第11章 三角形全章復習與測試（教師版）-七升八數(shù)學暑假銜接（人教版）

第11章三角形全章復習與測試【知識梳理】一、三角形的有關概念和性質三角形三邊的關系：定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊。推論：三角形任意兩邊的之差小于第三邊。要點詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點之間線段最短.（2）三邊關系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．三角形的分類按“角”分類：按“邊”分類：三角形的重要線段：一個三角形有三條中線，它們交于三角形內一點．一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內一點．三角形的三條高所在的直線相交于一點的位置情況有三種：銳角三角形交點在三角形內；直角三角形交點在直角頂點；鈍角三角形交點在三角形外.三角形的內角和與外角和：三角形內角和定理：三角形的內角和為180°．三角形外角性質：（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．（2）三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內角．三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.二、多邊形1．定義：在平面內不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．2．相關概念：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點．內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內角，一個n邊形有n個內角.外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．3.多邊形的分類:畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，那么這個多邊形就是凸多邊形，如果整個多邊形不在直線的同一側，這個多邊形叫凹多邊形．如圖：凸多邊形凸多邊形凹多邊形要點詮釋：(1)正多邊形必須同時滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個條件，二者缺一不可；(2)過n邊形的一個頂點可以引(n-3)條對角線，n邊形對角線的條數(shù)為；(3)過n邊形的一個頂點的對角線可以把n邊形分成(n-2)個三角形．4、多邊形內角和n邊形的內角和為(n-2)·180°(n≥3)．要點詮釋：(1)內角和公式的應用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內角和；②已知多邊形內角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個內角都相等，都等于；5、多邊形的外角和多邊形的外角和為360°．要點詮釋：(1)在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關；(2)正n邊形的每個內角都相等，所以它的每個外角都相等，都等于；(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)．【考點剖析】一．三角形（共2小題）1．（2023春?文山市期末）等腰三角形有一個角是80°，則這個等腰三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【分析】等腰三角形的一個內角是30°，則該角可能是底角，也可能是頂角，注意分情況討論．【解答】解：分兩種情況：當80°的角是底角時，則頂角度數(shù)為180°﹣80°×2＝20°；∴三角形是銳角三角形，當80°的角是頂角時，則頂角為80°．∴三角形是銳角三角形，故選：A．【點評】本題考查了三角形，等腰三角形的性質及三角形的內角和定理；做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵．2．（2022秋?婺城區(qū)期末）小明同學將幾種三角形的關系整理如圖，請幫他在括號內填上一個適當?shù)臈l件是∠B＝60°（答案不唯一）．【分析】根據(jù)等邊三角形的判定定理填空即可．【解答】解：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故答案為：∠B＝60°（答案不唯一）．【點評】本題考查等邊三角形的判定，解題的關鍵是掌握等邊三角形的定義及等邊三角形與等腰三角形的關系．二．三角形的角平分線、中線和高（共5小題）3．（2022秋?磁縣期末）三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個（）A．形狀相同的三角形 B．面積相等的三角形 C．直角三角形 D．周長相等的三角形【分析】根據(jù)三角形的面積公式以及三角形的中線定義，知三角形的一邊上的中線把三角形分成了等底同高的兩個三角形，所以它們的面積相等．【解答】解：三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個面積相等的三角形．故選：B．【點評】考查了三角形的中線的概念．構造面積相等的兩個三角形時，注意考慮三角形的中線．4．（2023?西湖區(qū)校級模擬）如圖，AD是△ABC的中線，則下列結論正確的是（）A．AB＝AC B．BD＝CD C．BD＝AD D．AC＝AD【分析】根據(jù)三角形的中線的定義即可判斷．【解答】解：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，故選：B．【點評】本題考查三角形的中線的定義，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考基礎題．5．（2023春?伊川縣期末）如圖，在△ABC中，AB邊上的高是（）?A．AD B．BE C．CF D．BF【分析】根據(jù)三角形的高解答即可．【解答】解：因為點C到AB邊的垂線段是CF，所以AB邊上的高是CF，故選：C．【點評】此題考查三角形的高，關鍵是根據(jù)從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高解答．6．（2022秋?南陽期末）已知△ABC（如圖），按下列要求畫圖：（1）△ABC的中線AD；（2）△ABD的角平分線DM；（3）△ACD的高線CN；（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周長）且AB＝4，則AC＝7．【分析】（1）取BC的中點D，然后連接AD即可；（2）作∠ADB的平分線交AB于M點；（3）過C點作CN⊥AD于N點；（4）利用三角形中線的定義得到BD＝CD，然后利用三角形周長的定義得到AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，所以AC﹣AB＝3，從而可計算出AC．【解答】解：（1）如圖，AD為所作；（2）如圖，DM為所作；（3）如圖，CN為所作；（4）∵AD為△ABC的中線，∴BD＝CD，∵C△ADC﹣C△ADB＝3，∴AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，∴AC﹣AB＝3，∵AB＝4，∴AC＝AB+3＝4+3＝7．故答案為：7．【點評】本題考查三角形的中線，高線，角平分線，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了三角形的角平分線、中線和高．7．（2023春?高新區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．（1）若∠C＝70°，∠B＝40°，求∠DAE的度數(shù)（2）若∠C﹣∠B＝30°，則∠DAE＝15°．（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和互余進行計算；（2）根據(jù)三角形內角和定理和角平分線定義得出∠DAE的度數(shù)等于∠B與∠C差的一半解答即可；（3）根據(jù)（2）中所得解答即可．【解答】解：（1）由已知可得，∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∴∠CAD＝20°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝35°﹣20°＝15°；（2）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣（∠B+∠C），∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，而∠ADE＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝（90°﹣∠B）﹣[90°﹣（∠B+∠C）]＝（∠C﹣∠B），∵∠C﹣∠B＝30°，∴∠DAE＝×30°＝15°，故答案為：15°；（3）∵∠C﹣∠B＝α，∴∠DAE＝×α＝．【點評】本題考查了三角形內角和定理，關鍵是根據(jù)三角形內角和是180°和三角形外角性質解答．三．三角形的穩(wěn)定性（共1小題）8．（2023?十堰模擬）如圖，蓋房子時，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，這樣做的數(shù)學道理是（）A．兩點之間線段最短 B．垂線段最短 C．兩點確定一條直線 D．三角形具有穩(wěn)定性【分析】用木條固定矩形門框，即是組成三角形，故可用三角形的穩(wěn)定性解釋．【解答】解：加上木條后，原不穩(wěn)定的四邊形中具有了穩(wěn)定的三角形，故這種做法根據(jù)的是三角形的穩(wěn)定性．故選：D．【點評】本題考查三角形穩(wěn)定性的實際應用．三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結構，往往通過連接輔助線轉化為三角形而獲得．四．三角形三邊關系（共3小題）9．（2023春?普寧市期末）下列長度的三條線段能構成三角形的是（）A．4，6，10 B．2，5，8 C．3，4，5 D．5，7，13【分析】根據(jù)三角形三邊關系可進行求解．【解答】解：A、4+6＝10，不符合三角形三邊關系，故不能構成三角形，不符合題意；B、2+5＜8，不符合三角形三邊關系，故不能構成三角形，不符合題意；C、3+4＞5，符合三角形三邊關系，故可構成三角形，符合題意；D、5+7＜13，不符合三角形三邊關系，故不能構成三角形，不符合題意．故選：C．【點評】本題主要考查三角形三邊關系，熟練掌握三角形三邊關系是解題的關鍵．10．（2023春?太康縣期末）在△ABC中，AB＝8，AC＝1．（1）若BC是整數(shù)，求BC的長；（2）已知AD是△ABC的中線，若△ACD的周長為10，求三角形ABD的周長．【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊關系解答即可；（2）根據(jù)三角形的中線的定義得到BD＝CD，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：（1）由題意得：AB﹣AC＜BC＜AC+AB，∴7＜BC＜9，∵BC是整數(shù)，∴BC＝8；（2）∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD∵△ACD的周長為10，∴AC+AD+CD＝10，∵AC＝1，∴AD+CD＝9，∴△ABD的周長＝AB+BD+AD＝AB+AD+CD＝8+9＝17．【點評】本題考查的是三角形的三邊關系、三角形的中線的定義，掌握三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊是解題的關鍵．11．（2023春?臨沂期中）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4．（1）求BC邊的長的取值范圍？（2）若AD是△ABC的中線，求AD取值范圍？【分析】（1）根據(jù)三角形三邊的關系求解即可；（2）延長AD至E，使AD＝DE，連接BE，證明△ADC≌△EDB，得到AC＝BE，由三角形三邊關系得到1＜AE＜7，則．【解答】解：（1）由三角形的三邊關系可知：AC﹣AB＜BC＜AC+AB，∵AB＝3，AC＝4，∴1＜BC＜7；（2）延長AD至E，使AD＝DE，連接BE，在△ABE中，∵BD＝DC，∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝BE，由三角形的三邊關系：BE﹣AB＜AE＜BE+AB，∴1＜AE＜7，∴．【點評】本題主要考查了三角形三邊的關系，全等三角形的性質與判定，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．五．三角形內角和定理（共7小題）12．（2023春?萊州市期中）已知△ABC的三個內角的大小關系為∠A+∠B＝∠C，則這個三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定【分析】根據(jù)∠A、∠B、∠C之間的關系結合三角形內角和定理即可得出∠C＝90°，進而可得結論．【解答】解：∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC為直角三角形，故選：B．【點評】本題考查了三角形內角和定理，根據(jù)三角形內角和定理求出∠C的度數(shù)是解題的關鍵．13．（2023?南崗區(qū)模擬）△ABC中，∠BAC＝80°，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的角平分線，若∠DAE＝80°，則∠BAD為120度．【分析】根據(jù)角平分線的定義求出∠EAB的度數(shù)，最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式進行計算即可得解．【解答】解：∵∠BAC＝80°，AE平分∠BAC．∴∠EAB＝∠BAC＝×80°＝40°，∵∠DAE＝80°，∵∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝80°+40°＝120°，故答案為：120．【點評】本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，熟記圖形的性質與定理是解題的關鍵．14．（2023春?松江區(qū)期末）如圖，已知點D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，DE∥BC，∠1+∠2＝180°，∠3＝40°，求：∠B的度數(shù)．【分析】根據(jù)同角的補角相等可得∠1＝∠DGE，由平行線判定可得AB∥EG，則可得∠4的度數(shù)，再由兩直線平行，同位角相等可得∠B的度數(shù)．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠DGE＝180°，∴∠1＝∠DGE，∴AB∥EG，∴∠3＝∠4＝40°，∵DE∥BC，∴∠B＝∠4＝40°．【點評】此題主要是考查了平行線的判定及性質，能夠熟練運用平行線的判定及性質定理是解答此題的關鍵．15．（2023春?金安區(qū)期中）如圖所示，已知FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD＝150°，∠B＝∠C，求∠EDF的大?。痉治觥坷么咕€的定義，可得出∠CDF＝∠BDF＝90°，∠AED＝∠BED＝90°，利用鄰補角互補，可求出∠CFD的度數(shù)，在△CDF中，可求出∠C的度數(shù)，結合∠B＝∠C，可得出∠B的度數(shù)，在△BDE中，利用三角形內角和定理，可求出∠BDE的度數(shù)，再將其代入∠EDF＝∠BDF﹣∠BDE中，即可求出∠EDF的大?。窘獯稹拷猓骸逨D⊥BC于D，DE⊥AB于E，∴∠CDF＝∠BDF＝90°，∠AED＝∠BED＝90°．∵∠AFD+∠CFD＝180°，∠AFD＝150°，∴∠CFD＝180°﹣∠AFD＝180°﹣150°＝30°．在△CDF中，∠CDF＝90°，∠CFD＝30°，∴∠C＝180°﹣∠CDF﹣∠CFD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠B＝60°．在△BDE中，∠B＝60°，∠BED＝90°，∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴∠EDF＝∠BDF﹣∠BDE＝90°﹣30°＝60°．【點評】本題考查了三角形內角和定理、垂線以及鄰補角，牢記“三角形內角和是180°”是解題的關鍵．16．（2023?武山縣一模）如圖，已知：AD平分∠BAC，點F是AD反向延長線上的一點，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝60°，求∠B和∠F的度數(shù)．【分析】先利用角平分線的性質和三角形的內角和定理求出∠B，再利用外角和內角的關系求出∠CDF，最后利用三角形的內角和定理求出∠F．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠1＝40°，∴∠BAC＝2∠1＝80°．∵∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣60°＝40°．∴∠EDF＝∠B+∠1＝40°+40°＝80°．∵EF⊥BC，∴∠DEF＝90°．∴在Rt△EDF中，∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣80°＝10°．【點評】本題主要考查了三角形的內角和定理，掌握“三角形的內角和是180°”、“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和”、“直角三角形的兩個銳角互余”是解決本題的關鍵．17．（2023春?衡山縣期中）在△ABC中，已知∠A＝∠B＝∠C，試判斷ABC的形狀．【分析】設∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x，再根據(jù)三角形內角和定理求出x的值，進而可判斷出△ABC的形狀．【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，∴設∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，∴∠C＝3x＝90°，∴△ABC是直角三角形．【點評】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形的內角和等于180°是解答此題的關鍵．18．（2022秋?沂水縣期末）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數(shù)．【分析】由圖可知∠1是△ADF的外角，根據(jù)三角形外角的性質可得∠A+∠AFD＝∠1；∠AFD是△EFA'的外角，同理可得∠2+∠A'＝∠AFD，則∠A+∠2+∠A'＝∠1，由折疊可知∠A＝∠A'，將∠1、∠2的度數(shù)帶入，即可求出∠A的度數(shù)．【解答】解：如圖所示：∵∠1是△ADF的外角，∴∠A+∠AFD＝∠1；又∵∠AFD是△EFA'的外角，∴∠2+∠A'＝∠AFD，∴∠A+∠2+∠A'＝∠1，由折疊可知∠A＝∠A'，且∠1＝80°，∠2＝24°，∴∠A+24°+∠A＝80°，即：2∠A＝56°，解得：∠A＝28°．【點評】本題考查了折疊的性質、外角的性質等知識點，正確找到相關三角形的外角是解決這道題的關鍵．六．三角形的外角性質（共3小題）19．（2023春?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長線于點E，若∠B＝36°，∠E＝24°，則∠BAC＝84°．【分析】利用三角形的外角性質可求出∠ECD的度數(shù)，結合角平分線的定義可求出∠ACD的度數(shù)，再利用三角形的外角性質即可求出∠BAC的度數(shù)．【解答】解：∵∠B＝36°，∠E＝24°，∴∠ECD＝∠B+∠E＝36°+24°＝60°．∵CE為∠ACD的平分線，∴∠ACD＝2∠ECD＝120°．又∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣36°＝84°．故答案為：84．【點評】本題考查了三角形的外角性質以及角平分線的定義，牢記三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．20．（2023春?普陀區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，點D、G分別在邊BC、AC上，且∠B＝∠GDC，F(xiàn)在DG的延長線上，E在GC上，如果∠AGF＝∠DAG+∠3，說明∠1＝∠3的理由．解：因為∠B＝∠GDC（已知），所以AB∥GD（同位角相等，兩直線平行），所以∠1＝∠2（兩直線平行，內錯角相等），因為∠AGF＝∠2+∠DAG，（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），因為∠AGF＝∠DAG+∠3（已知），所以∠2＝∠3（等式性質）．所以∠1＝∠3（等量代換）．【分析】先證明AB∥GD，得∠1＝∠2，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和得∠AGF＝∠2+∠DAG，再根據(jù)∠AGF＝∠DAG+∠3，可得∠2＝∠3，所以∠1＝∠3．【解答】解：因為∠B＝∠GDC（已知），所以AB∥GD（同位角相等，兩直線平行），所以∠1＝∠2（兩直線平行，內錯角相等），因為∠AGF＝∠2+∠DAG，（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），因為∠AGF＝∠DAG+∠3（已知），所以∠2＝∠3（等式性質），所以∠1＝∠3（等量代換）．故答案為：同位角相等，兩直線平行；∠2；兩直線平行，內錯角相等；∠DAG；∠3．【點評】本題考查了三角形的外角性質，平行線的判定與性質，熟練掌握三角形的外角性質，平行線的判定與性質定理是解題的關鍵．21．（2023?平谷區(qū)二模）下面是證明三角形內角和定理推論1的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形內角和定理推論1：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．已知：如圖，△ABC，點D是BC延長線上一點．求證：∠ACD＝∠A+∠B．方法一：利用三角形的內角和定理進行證明證明：方法二：構造平行線進行證明證明：【分析】分別利用三角形內角和定理與平行線的性質即可證明．【解答】證明：方法一：∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）．又∵∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠ACB＝180°﹣∠ACD．∴180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣∠ACD，∴∠ACD＝∠A+∠B．方法二：過點C作CE∥AB．∴∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B，∴∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B．【點評】本題考查三角形內角和定理與平行線的性質，比較簡單，要牢牢掌握該知識點，并能靈活運用．七．直角三角形的性質（共2小題）22．（2023春?漢壽縣期中）在一個直角三角形中，有一個銳角等于35°，則另一個銳角的度數(shù)是（）A．145° B．125° C．65° D．55°【分析】根據(jù)直角三角形中兩銳角互余可直接求得．【解答】解：一個直角三角形中，有一個銳角等于35°，則另一個銳角的度數(shù)是90°﹣35°＝55°，故選：D．【點評】本題考查了三角形內角和定理的應用，熟記直角三角形兩銳角互余的性質是解本題的關鍵．23．（2023春?玄武區(qū)期末）請把下面的證明過程補充完整．已知：如圖，AD是△ABC的高，點E在AC上，G在AB上，∠2+∠C＝90°，∠1＝∠2．求證：GD∥AC．證明：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC（三角形高線的定義），∴∠ADC＝90°（垂直的意義①），∴∠3+∠C＝90°（直角三角形兩個銳角互余），又∵∠2+∠C＝90°（已知），∴∠2＝∠3②（同角的余角相等③），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠3（等量代換④），∴GD∥AC（內錯角相等，兩直線平行⑤）．【分析】根據(jù)題意推出角度關系，利用等量代換得到∠1＝∠3，從而因為內錯角相等得到GD∥AC．【解答】證明：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC（三角形高線的定義），∴∠ADC＝90°（垂直的意義），∴∠3+∠C＝90°（直角三角形兩個銳角互余），又∵∠2+∠C＝90°（已知），∴∠2＝∠3（同角的余角相等），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠3（等量代換），∴GD∥AC（內錯角相等，兩直線平行）．故答案為：垂直的意義；∠2＝∠3；同角的余角互補；等量代換；內錯角相等，兩直線平行．【點評】本題以證明題為背景考查了平行線的判定，考查了學生對基礎知識的掌握．解題的關鍵是明確垂直的意義，同角的余角互補等基礎知識．八．多邊形（共2小題）24．（2023?宛城區(qū)校級模擬）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（）A．平行四邊形 B．長方形 C．正方形 D．三角形【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答．【解答】解：長方形，正方形，三角形，平行四邊形中只有三角形具有穩(wěn)定性．故選：D．【點評】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，解題的關鍵是掌握在所有的圖形里，只有三角形具有穩(wěn)定性，也是三角形的特性．25．（2022秋?夏津縣期中）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，則x為（）A．30° B．35° C．36° D．45°【分析】根據(jù)正多邊形的每個內角相等以及多邊形的內角和公式可得∠E＝∠CDE＝108°，再根據(jù)正多邊形的各邊相等可得△ADE是等腰三角形，據(jù)此可得∠1的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關系求解即可．【解答】解：因為五邊形ABCDE是正五邊形，所以∠E＝∠CDE＝＝108°，AE＝DE，所以，所以x＝∠CDE﹣∠1﹣∠3＝36°．故選：C．【點評】本題主要考查了多邊形，熟記多邊形的內角和公式是解答本題的關鍵．九．多邊形內角與外角（共5小題）26．（2022秋?重慶期末）一個多邊形的每個內角都等于140°，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根據(jù)多邊形的內角和定理：180°?（n﹣2）進行求解即可．【解答】解：由題意可得：180°?（n﹣2）＝140°?n，解得n＝9，故多邊形是九邊形．故選：C．【點評】本題主要考查了多邊形的內角和定理．解題時注意：n邊形的內角和為：180°?（n﹣2）．27．（2023?臨淄區(qū)二模）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，若l1∥l2，則∠1﹣∠2的度數(shù)為（）A．72° B．36° C．90° D．以上都不對【分析】延長AB交l2于F，由平行線的性質，得到∠BFD＝∠2，求出正五邊形的外角的度數(shù)，由三角形外角的性質即可解決問題．【解答】解：延長AB交l2于F，∵l1∥l2，∴∠BFD＝∠2，∵正五邊形ABCDE的每個外角相等，∴∠FBC＝360°÷5＝72°，∵∠1＝∠BFD+∠FBC，∴∠1﹣∠BFD＝∠FBC＝72°，∴∠1﹣∠2＝72°．故選：A．【點評】本題考查平行線的性質，多邊形，三角形的外角，關鍵是作輔助線應用三角形外角的性質．28．（2023春?新鄉(xiāng)期末）如果一個正多邊形的每個外角都為45°．（1）求這個正多邊形的邊數(shù)；（2）若截去一個角（截線不經過多邊形的頂點），求截完角后所形成的另一個多邊形的內角和．【分析】（1）利用正多邊形的性質和多邊形的外角和計算即可；（2）由題意確定截完角后所形成多邊形的邊數(shù)，然后利用多邊形的內角和公式計算即可．【解答】解：（1）由題意可得：360°÷45°＝8，即這個正多邊形的邊數(shù)為8；（2）∵將正多邊形截去一個角（截線不經過多邊形的頂點），∴截完角后所形成的多邊形為九邊形，則其內角和為：（9﹣2）×180°＝1260°．【點評】本題考查多邊形的內角和與外角和，正多邊形的性質，（2）中根據(jù)題意確定截完角后所形成多邊形的邊數(shù)是解題的關鍵．29．（2022秋?合肥期末）按要求完成下列各小題．（1）一個多邊形的內角和比它的外角和多900°，求這個多邊形的邊數(shù)．（2）如圖，若正五邊形ABCDE和長方形AFCG按如圖方式疊放在一起，求∠EAF的度數(shù)．【分析】（1）本題首先由題意得出等量關系，即這個多邊形的內角和比360°多900°，由此列出方程即可解出邊數(shù)；（2）根據(jù)多邊形的內角和可得∠ABC和∠ABF的度數(shù)．【解答】解：（1）解：設邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得（n﹣2）×180°＝360°+900°，所以（n﹣2）×180°＝1260°，所以n﹣2＝7，所以n＝9．答：這個多邊形的邊數(shù)是9．（2）正五邊形內角和為540°，∴其每個內角為540°÷5＝108°．∵長方形每個內角為90°，∴∠F＝90°，∴∠ABC＝108°，∠ABF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣108°＝72°，∴∠BAF＝180°﹣∠F﹣∠ABF＝180°﹣90°﹣72°＝18°，∠EAF＝∠EAB+∠BAF＝108°+18°＝126°．【點評】本題考查多邊形的內角和，熟練掌握多邊形的內角和公式是解題關鍵．30．（2022秋?平橋區(qū)期末）探索歸納：（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A＝90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2＝270°．（2）如圖2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2＝220°．（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關系是180°+∠A．（4）如圖3，若沒有剪掉∠A，而是把它折成如圖3形狀，試探究∠1+∠2與∠A的關系，并說明理由．【分析】（1）利用了四邊形內角和為360°和直角三角形的性質求解；（2）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和求解；（3）根據(jù)（1）（2）可以直接寫出結果；（4）根據(jù)折疊的性質，對應角相等，以及鄰補角的性質即可求解．【解答】解：（1）：∵四邊形的內角和為360°，直角三角形中兩個銳角和為90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故答案為：270°；（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，故答案是：220°；（3）∠1+∠2與∠A的關系是：∠1+∠2＝180°+∠A；故答案為：180°+∠A；（4）∵△EFP是由△EFA折疊得到的，∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．【點評】主要考查了三角形的內角和外角之間的關系．（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和．（2）三角形的內角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內角和是180°”這一隱含的條件．【過關檢測】一、單選題1．下列具有穩(wěn)定性的圖形是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】A【分析】根據(jù)幾何圖形中三角形具有穩(wěn)定性可知A答案正確．【詳解】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，可知A答案符合題意．故選A．【點睛】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，在幾何圖形中只有三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形以及四邊以上的多邊形都不具有穩(wěn)定性．2．下列長度的三條線段能組成三角形的是(

)A．2cm，3cm，6cm B．3cm，4cm，7cmC．5cm，6cm，8cm D．7cm，8cm，16cm【答案】C【分析】根據(jù)三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進行分析．【詳解】解：A選項：2+3<6，故不能組成三角形；B選項：4+3＝7，故不能組成三角形；C選項：5+6>8，故能組成三角形；D選項：7+8<16，故不能組成三角形；故選C．【點睛】考查了三角形的三邊關系．判斷能否組成三角形的簡便方法是看較小的兩個數(shù)的和是否大于第三個數(shù)．3．一個多邊形截去一個角后，形成新多邊形的內角和為，則原多邊形邊數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或或【答案】D【分析】先求出新多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)相等，多1，少1三種情況進行討論．【詳解】解：設新多邊形的邊數(shù)是n，則（n-2）?180°=2520°，解得n=16，∵截去一個角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)可以相等，多1或少1，∴原多邊形的邊數(shù)是15，16，17．故選D．【點睛】本題考查多邊形的內角和定理，注意要分情況進行討論，避免漏解．4．一個正多邊形的外角與它相鄰的內角之比為1：4，那么這個多邊形的邊數(shù)為（）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】C【詳解】試題分析：一個正多邊形的外角與它相鄰的內角互補，且外角與它相鄰的內角之比為1：4；∴外角為，故這個多邊形的邊數(shù)為360°÷36°=10；所以答案選C考點：正多邊形的外角和5．在三角形中，一定能將其面積分成相等兩部分的是（

）A．中線 B．高線 C．角平分線 D．某一邊的垂直平分線【答案】A【分析】根據(jù)三角形的中線、角平分線、高的性質和垂直平分線的性質即可判斷．【詳解】解：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，故選：A．【點睛】本題考查三角形的中線的性質，解題的關鍵是熟練掌握基本概念．6．如圖，已知AB∥CD，AF交CD于點E，且BE⊥AF，∠BED＝50°，則∠A的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．80° D．90°【答案】A【分析】本題根據(jù)垂直性質求解∠FED，繼而根據(jù)兩直線平行，同位角相等求解本題．【詳解】∵，∴∠DEF=40°．又∵AB∥CD，∴∠A=∠DEF=40°．故選：A．【點睛】本題考查平行線的性質以及垂直性質，需注意兩直線平行，同位角、內錯角均相等，同旁內角互補．7．如圖，在ABC中，已知點分別為邊的中點，若的面積為16，則圖中陰影部分的面積為()A．8 B．4 C．2 D．1【答案】B【分析】由于三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，則利用點為的中點得到，再利用點為的中點得到，所以，然后利用點為的中點得到．【詳解】解：∵點為的中點，∴，∵點為的中點，∴，∴，∵點為的中點，∴．故選：B．【點睛】本題考查了三角形中線的性質，掌握三角形中線將三角形面積平分是解題的關鍵．8．小明用長度分別為5，a，9的三根木棒首尾相接組成一個三角形，則a可能是（

）A．4 B．6 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形三邊關系即可得到答案；【詳解】解：∵5，a，9的三根木棒首尾相接組成一個三角形，∴，即，故選B．【點睛】本題考查三角形三邊關系：任意兩邊之差小于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊．9．如圖是五邊形的三個外角，若則=（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出五邊形的內角和，結合，即可求出答案.【詳解】解：根據(jù)題意，五邊形的內角和為：，∵，∵，∴；故選：C.【點睛】本題考查了多邊形的內角和，多邊形的外角，解題的關鍵是熟練掌握求多邊形內角和的公式進行解題.10．如圖，在△ABC中，∠C＝78°，若沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2＝（）A．282° B．180° C．258° D．360°【答案】C【分析】先利用三角形內角與外角的關系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根據(jù)三角形內角和定理即可得出結果．【詳解】如圖，∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝78°+180°＝258°．故選C．【點睛】此題主要考查了三角形內角和定理及外角的性質，三角形內角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個內角之和．二、填空題11．如圖所示，在△ABC中，∠A＝36°，E是BC延長線上一點，∠DBE＝∠ABE，∠DCE＝∠ACE，則∠D的度數(shù)為________．【答案】24°/24【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ACE=∠A+∠ABE，∠DCE=∠D+∠DBE，然后整理即可得解．【詳解】由三角形的外角性質得，∠ACE=∠A+∠ABE，∠DCE=∠D+∠DBE，∵∠DBE=∠ABE，∠DCE=∠ACE，∴∠D+∠DBE=（∠A+∠ABE）=∠A+∠ABE，∴∠D=∠A，∵∠A=36°，∴∠D=×36°=24°．故答案為：24°【點睛】本題考查了三角形的外角性質，熟知三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，并表示出∠ACE和∠DCE是解題的關鍵．12．如圖．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12cm，BC=5cm，AC=13cm，若BD是AC邊上的高，則BD的長為______cm．【答案】【詳解】∵S△ABC=AB?BC=AC?BD，∴12×5=13BD，∴BD=cm．故答案為.13．如圖，，平分交于點，，則__°．【答案】30【分析】根據(jù)平分得到，之后根據(jù)即可得到答案．【詳解】解：平分，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查平行線的性質，角平分線的定義，掌握平行線的性質以及角平分線的定義是解題的關鍵．14．一個多邊形的每個內角都比每個外角大，這個多邊形的對角線條數(shù)為____________________．【答案】【分析】由題意根據(jù)內外角關系求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)根據(jù)多邊形的對角線公式進行計算即可．【詳解】解：設外角為x度，內角則為（x+60）度，由內外角關系可得，解得，即多邊形的外角為60°，所以多邊形的邊數(shù)為：（條），多邊形的對角線條數(shù)為：（條）.故答案為：9.【點睛】本題考查多邊形的內角和外角關系以及求多邊形的對角線，熟記相關計算公式是解題的關鍵．15．如圖，在△ABC中，點D在BC的延長線上，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A2，得∠A2；…；∠A2019BC和∠A2019CD的平分線交于點A2020，則∠A2020＝________°．【答案】【分析】根據(jù)角平分線的性質可得∠A1CD=∠ACD，∠A1BD=∠ABC，再根據(jù)外角的性質可得∠A1=∠A，找出規(guī)律即可求出∠A2020．【詳解】解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BD=∠ABC，∴∠A1=∠A1CD-∠A1BD=∠ACD∠-∠ABC=∠A，同理可得∠A2=∠A1=()2∠A，∴∠A2020=()2020∠A，∵∠A=m°，∴∠A2020=，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的性質與圖形規(guī)律的綜合，涉及三角形外角性質，找出∠A1和∠A之間的規(guī)律是解題的關鍵．16．如圖，點D在△ABC邊BC的延長線上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，則∠ACE的大小是_________度．【答案】60【分析】由∠A=80°，∠B=40°，根據(jù)三角形任意一個外角等于與之不相鄰的兩內角的和得到∠ACD=∠B+∠A，然后利用角平分線的定義計算即可．【詳解】∵∠ACD=∠B+∠A，而∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACD=80°+40°=120°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=60°，故答案為60．17．若正多邊形的一個外角是45°，則該正多邊形的邊數(shù)是_________.【答案】8【分析】根據(jù)多邊形外角和是360度，正多邊形的各個內角相等，各個外角也相等，直接用可求得邊數(shù)．【詳解】解：多邊形外角和是360度，正多邊形的一個外角是，即該正多邊形的邊數(shù)是8，故答案為：8．【點睛】本題主要考查了多邊形外角和以及多邊形的邊數(shù)，解題的關鍵是掌握正多邊形的各個內角相等，各個外角也相等．18．如圖，點，分別在兩邊，上運動（不與點重合），在運動的過程中，，平分，的反向延長線與的平分線交于點，在，的運動過程中，的度數(shù)為______．

【答案】/22度【分析】根據(jù)和是的外角，結合三角形內角和定理可求得，再由是的外角，結合角平分線的性質，從而得到，【詳解】解：和是的外角，，，，，，是的外角，，平分，平分，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質，角平分線的性質，三角形內角和定理，熟練掌握并靈活運用知識點是解題的關鍵．三、解答題19．已知某正多邊形的一個內角都比它相鄰外角的3倍還多，求這個正多邊形一個內角的度數(shù)．【答案】這個正多邊形一個內角的度數(shù)為【分析】設一個內角為，根據(jù)題意列出一元一次方程，即可求解．【詳解】設一個內角為，根據(jù)題意有：，解得，答：這個正多邊形一個內角的度數(shù)．【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和外角的知識以及一元一次方程的應用，明確多邊形的內角與其相鄰的外角之和為180°是解答本題的關鍵．20．在△ABC中，BC＝8，AB＝1；(1)若AC是整數(shù)，求AC的長；(2)已知BD是△ABC的中線，若△ABD的周長為10，求△BCD的周長．【答案】(1)8(2)17【分析】（1）根據(jù)三角形三邊關系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”得7＜AC＜9，根據(jù)AC是整數(shù)得AC＝8；（2）根據(jù)BD是△ABC的中線得AD＝CD，根據(jù)△ABD的周長為17和AB＝1得AD+BD＝9，即可求解．【詳解】（1）由題意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∵AC是整數(shù)，∴AC＝8；（2）如圖所示：∵BD是△ABC的中線，∴AD＝CD，∵△ABD的周長為10，∴AB+AD+BD＝10，∵AB＝1，∴AD+BD＝9，∴△BCD的周長＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+9＝17．【點睛】本題考查的是三角形的三邊關系、三角形的中線的定義，掌握三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊是解題的關鍵．21．如圖，在中，是的角平分線交于點，，交于點，，，求各內角的度數(shù)．【答案】，【分析】利用三角形外角的性質得∠ACD=∠BDC-∠A=80°-60°=20°，再根據(jù)平行線的性質和三角形內角和定理可得答案．【詳解】解：是的角平分線，，又是的外角，，，，，，，，．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內角和定理，三角形外角的性質，平行線的性質等知識，熟練掌握各三角形外角的性質是解題的關鍵．22．如圖，△ABC中，AD⊥BC，點E在AC的垂直平分線上，且BD=DE．(1)如果∠BAD=20°，求∠B的度數(shù)，求∠C的度數(shù)；(2)如果△ABC的周長為13cm，AC=6cm，求△ABE的周長；【答案】(1)∠B＝70°，∠C＝35°；(2)△ABE的周長為7cm；【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質求出AB=AE，根據(jù)等腰三角形的性質可求∠B＝∠AEB，再根據(jù)三角外角的性質求出∠C即可；（2）通過線段的等量代換即可求解．（1）解：∵AD⊥BC，BD=DE，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∴∠BAD＝∠EAD＝20°，