2019高三數(shù)學(xué)（人教A版理）一輪課時分層訓(xùn)練61　變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例

課時分層訓(xùn)練(六十一)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例(對應(yīng)學(xué)生用書第263頁)A組基礎(chǔ)達標(biāo)(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．如圖9-4-2對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖①；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖②.由這兩個散點圖可以判斷()圖①圖②圖9-4-2A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C[由題圖①可知y隨x的增大而減小，各點整體呈下降趨勢，故變量x與y負(fù)相關(guān)，由題圖②知v隨u的增大而增大，各點整體呈上升趨勢，故變量v與u正相關(guān)．]2．四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論：①y與x負(fù)相關(guān)且eq\o(y,\s\up9(^))＝2.347x－6.423；②y與x負(fù)相關(guān)且eq\o(y,\s\up9(^))＝－3.476x＋5.648；③y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up9(^))＝5.437x＋8.493；④y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up9(^))＝－4.326x－4.578.其中一定不正確的結(jié)論的序號是()A．①② B．②③C．③④ D．①④D[由回歸直線方程eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))，知當(dāng)eq\o(b,\s\up9(^))＞0時，y與x正相關(guān)；當(dāng)eq\o(b,\s\up9(^))＜0時，y與x負(fù)相關(guān)．∴①④一定錯誤．故選D.]3．(2018·石家莊一模)下列說法錯誤的是()A．回歸直線過樣本點的中心(eq\o(x,\s\up9(－))，eq\o(y,\s\up9(－)))B．兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1C．對分類變量X與Y，隨機變量K2的觀測值k越大，則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越小D．在回歸直線方程eq\o(y,\s\up9(^))＝0.2x＋0.8中，當(dāng)解釋變量x每增加1個單位時，預(yù)報變量eq\o(y,\s\up9(^))平均增加0.2個單位C[根據(jù)相關(guān)定義分析知A，B，D正確；C中對分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k來說，k越大，判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大，故C錯誤，故選C．]4．(2017·山東高考)為了研究某班學(xué)生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)其回歸直線方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^)).已知eq\o(∑,\s\up9(10),\s\do7(i＝1))xi＝225，eq\o(∑,\s\up9(10),\s\do7(i＝1))yi＝1600，eq\o(b,\s\up9(^))＝4.該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為()【導(dǎo)學(xué)號：97190338】A．160 B．163C．166 D．170C[∵eq\o(∑,\s\up9(10),\s\do7(i＝1))xi＝225，∴eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)eq\o(∑,\s\up9(10),\s\do7(i＝1))xi＝22.5.∵eq\o(∑,\s\up9(10),\s\do7(i＝1))yi＝1600，∴eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)eq\o(∑,\s\up9(10),\s\do7(i＝1))yi＝160.又eq\o(b,\s\up9(^))＝4，∴eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up9(^))eq\x\to(x)＝160－4×22.5＝70.∴回歸直線方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝4x＋70.將x＝24代入上式得eq\o(y,\s\up9(^))＝4×24＋70＝166.故選C．]5．通過隨機詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，算得K2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是()A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”C[根據(jù)獨立性檢驗的定義，由K2≈7.8＞6.635，可知我們在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，即有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”．]二、填空題6．某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程eq\o(y,\s\up9(^))＝0.67x＋54.9.零件數(shù)x(個)1020304050加工時間y(min)62758189現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為________．68[由eq\x\to(x)＝30，得eq\x\to(y)＝0.67×30＋54.9＝75.設(shè)表中的“模糊數(shù)字”為a，則62＋a＋75＋81＋89＝75×5，即a＝68.]7．某醫(yī)療研究所為了檢驗?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H0：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計算得K2≈3.918，經(jīng)查臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是________．①有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”；②若某人未使用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%；④這種血清預(yù)防感冒的有效率為5%.①[K2＝3.918≥3.841，而P(K2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”．要注意我們檢驗的是假是否成立和該血清預(yù)防感冒的有效率是沒有關(guān)系的，不是同一個問題，不要混淆．]8．(2017·長沙雅禮中學(xué)質(zhì)檢)某單位為了了解用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對照表：氣溫(℃)181310－1用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))中的eq\o(b,\s\up9(^))＝－2，預(yù)測當(dāng)氣溫為－4℃時，用電量為________度．68[根據(jù)題意知eq\x\to(x)＝eq\f(18＋13＋10＋－1,4)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(24＋34＋38＋64,4)＝40，因為回歸直線過樣本點的中心，所以eq\o(a,\s\up9(^))＝40－(－2)×10＝60，所以當(dāng)x＝－4時，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用電量為68度．]三、解答題9．(2018·合肥二檢)某校在高一年級學(xué)生中，對自然科學(xué)類、社會科學(xué)類校本選修課程的選課意向進行調(diào)查．現(xiàn)從高一年級學(xué)生中隨機抽取180名學(xué)生，其中男生105名；在這180名學(xué)生中選擇社會科學(xué)類的男生、女生均為45名.【導(dǎo)學(xué)號：97190339】(1)試問：從高一年級學(xué)生中隨機抽取1人，抽到男生的概率約為多少？(2)根據(jù)抽取的180名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果，完成下面的2×2列聯(lián)表．并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)？選擇自然科學(xué)類選擇社會科學(xué)類合計男生女生合計附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828[解](1)從高一年級學(xué)生中隨機抽取1人，抽到男生的概率約為eq\f(105,180)＝eq\f(7,12).(2)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表如下：選擇自然科學(xué)類選擇社會科學(xué)類合計男生6045105女生304575合計9090180則K2＝eq\f(180×60×45－30×452,105×75×90×90)＝eq\f(36,7)≈5.1429＞5.024，所以能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)．10．(2016·全國卷Ⅲ)如圖9-4-3是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖．圖9-4-3注：年份代碼1－7分別對應(yīng)年份2008－2014.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量．附注參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up9(7),\s\do7(i＝1))yi＝9.32，eq\o(∑,\s\up9(7),\s\do7(i＝1))tiyi＝40.17，eq\r(\o(∑,\s\up9(7),\s\do7(i＝1))yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up9(n),\s\do7(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up9(n),\s\do7(i＝1))ti－\x\to(t)2\o(∑,\s\up9(n),\s\do7(i＝1))yi－\x\to(y)2))，回歸方程eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(a,\s\up9(^))＋eq\o(b,\s\up9(^))t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up9(n),\s\do7(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up9(n),\s\do7(i＝1))ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\o(y,\s\up9(－))－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(\x\to(t)).[解](1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得eq\x\to(t)＝4，eq\o(∑,\s\up9(7),\s\do7(i＝1))(ti－eq\x\to(t))2＝28，eq\r(\o(∑,\s\up9(7),\s\do7(i＝1))yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\o(∑,\s\up9(7),\s\do7(i＝1))(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝eq\o(∑,\s\up9(7),\s\do7(i＝1))tiyi－eq\x\to(t)eq\o(∑,\s\up9(7),\s\do7(i＝1))yi＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈eq\f(2.89,2×2.646×0.55)≈0.99.因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系．(2)由eq\x\to(y)＝eq\f(9.32,7)≈1.331及(1)得eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up9(7),\s\do7(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up9(7),\s\do7(i＝1))ti－\x\to(t)2)＝eq\f(2.89,28)≈0.103，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(\x\to(t))≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y關(guān)于t的回歸方程為eq\o(y,\s\up9(^))＝0.92＋0.10t.將2016年對應(yīng)的t＝9代入回歸方程得eq\o(y,\s\up9(^))＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.82億噸．B組能力提升(建議用時：15分鐘)11．下列說法錯誤的是()A．自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系B．在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)r的值越大，變量間的相關(guān)性越強C．在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高D．在回歸分析中，R2為0.98的模型比R2為0.80的模型擬合的效果好B[根據(jù)相關(guān)關(guān)系的概念知A正確；當(dāng)r＞0時，r越大，相關(guān)性越強，當(dāng)r＜0時，r越大，相關(guān)性越弱，故B不正確；對于一組數(shù)據(jù)擬合程度好壞的評價，一是殘差點分布的帶狀區(qū)域越窄，擬合效果越好；二是R2越大，擬合效果越好，所以R2為0.98的模型比R2為0.80的模型擬合的效果好，C，D正確，故選B．]12．2017年9月18日那天，某市物價部門對本市的5家商場的某商品的一天銷售量及其價格進行調(diào)查，5家商場的售價x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價格x99.5m10.511銷售量y11n865由散點圖可知，銷售量y與價格x之間有較強的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是eq\o(y,\s\up9(^))＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，則其中的n＝________.【導(dǎo)學(xué)號：97190340】10[eq\x\to(x)＝eq\f(9＋9.5＋m＋10.5＋11,5)＝8＋eq\f(m,5)，eq\x\to(y)＝eq\f(11＋n＋8＋6＋5,5)＝6＋eq\f(n,5)，回歸直線一定經(jīng)過樣本中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，即6＋eq\f(n,5)＝－3.2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋\f(m,5)))＋40，即3.2m＋n＝42.又因為m＋n＝20，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3.2m＋n＝42，,m＋n＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝10，,n＝10，))故n＝10.]13．(2018·東北三省三校二聯(lián))下表數(shù)據(jù)為某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量x(單位：噸)及對應(yīng)銷售價格y(單位：千元/噸)．x12345y7065553822(1)若y與x有較強的線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up9(^))＝eq\o(b,\s\up9(^))x＋eq\o(a,\s\up9(^))；(2)若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為13.1千元，假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時，年利潤Z最大？參考公式：eq\b\lc\{\