盈虧問(wèn)題-2016.11.18-萊布尼茨

盈虧問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)：把若干物品平均分給一定數(shù)量的對(duì)象，若有剩余則稱為盈，若不夠則稱為虧。研究這一類算法的應(yīng)用題就成為盈虧問(wèn)題。基本的盈虧問(wèn)題有三種類型：盈虧型：（盈+虧）÷兩次分配差=份數(shù)盈盈型：（大盈—小盈）÷兩次分配差=份數(shù)虧虧型：（大虧—小虧）÷兩次分配差=份數(shù)有盈有虧相加，單盈單虧相減?！纠?】★（學(xué)而思網(wǎng)校）精靈王子把一箱水果分給同學(xué)們，如果每人分4個(gè)，就多15個(gè)；如果每人分7個(gè)，就少12個(gè)。有多少名同學(xué)呢？這批水果有多少個(gè)？【答案】9名;51個(gè)【解析】差量分析：每人4個(gè)，盈15個(gè)每人7個(gè)，虧12個(gè)（盈+虧）÷兩次分配差=份數(shù)（15+12）÷（7-4）=9（名）4×9+15=51（個(gè)）【例2】★（陜西人民教育出版社小學(xué)奧數(shù)A版舉一反三四年級(jí)）把一些糖果分給小朋友們，如果每個(gè)人分到4顆，則多16顆；如果每位小朋友分6顆，則剩下4顆。問(wèn)小朋友有幾名？這些糖果有幾顆？【答案】6名;40顆【解析】差量分析：每人4個(gè)，盈16顆每人6個(gè)，盈4顆（盈-盈）÷兩次分配差=份數(shù)（16-4）÷（6-4）=6（名）4×6+16=40（顆）【例2】★（陜西人民教育出版社小學(xué)奧數(shù)A版舉一反三四年級(jí)）將月季花插入花瓶中。如果每瓶插8朵，則缺少15朵；如果每瓶插6朵，則缺少1朵。求月季花的朵數(shù)和花瓶的只數(shù)。【答案】41朵;7只【解析】差量分析：每瓶8朵，少15朵每瓶6朵，少1朵（虧-虧）÷兩次分配差=份數(shù)（15-1）÷（8-6）=7（只）7×6-1=41（朵）【例4】★（學(xué)而思網(wǎng)校）老師把一堆蘋果分給小朋友，每人分的同樣多。如果分給9個(gè)人，那么還剩下21個(gè)蘋果；如果分給12個(gè)人，就只剩下12個(gè)蘋果。請(qǐng)問(wèn)：這一堆蘋果一共有多少個(gè)？【答案】48個(gè)【解析】前面例題分的份數(shù)相同，份數(shù)的量不同。這道題是量相同份數(shù)不同。兩次相差21-12=9（個(gè)）蘋果，造成相差9個(gè)蘋果的原因是第二次多分了12-9=3份第一次：分成9份，剩21個(gè)第二次：分成12份，剩12個(gè)相差3份相差9個(gè)一份=9÷3=33×9+21=48（個(gè)）【例5】★★（學(xué)而思網(wǎng)校）魔法小學(xué)少先隊(duì)的同學(xué)到會(huì)議室開會(huì)，若每條長(zhǎng)椅上坐3個(gè)人則多出7人，若每條長(zhǎng)椅上多坐4人，則多出3條長(zhǎng)椅。問(wèn)：到會(huì)議室開會(huì)的少先隊(duì)員有多少人？【答案】28人【解析】第一次每條3人多7人第二次每條3+4=7人少3×7=21人（21+7）÷（7-3）=7（條）3×7+7=28（人）【例6】★★（學(xué)而思網(wǎng)校）圣誕節(jié)要到了，老師給同學(xué)們準(zhǔn)備禮物，如果每個(gè)盒子里放入2件禮物，最后會(huì)多10件禮物；如果每個(gè)盒子放入3件禮物，最后會(huì)多4個(gè)盒子，那么老師一共準(zhǔn)備了多少件禮物，多少個(gè)盒子？ 【答案】54件;22個(gè)【解析】前面例題是把水果分給同學(xué)，此題相當(dāng)于把禮物分給盒子。禮物和盒子總量都不變差量分析：每盒2件，多10件每盒3件，多4個(gè)盒子=少12件禮物（盈+虧）÷兩次分配差=份數(shù)（10+12）÷（3-2）=22（個(gè)）22×2+10=54（件）【例7】★★（陜西人民教育出版社小學(xué)奧數(shù)A版舉一反三四年級(jí)）學(xué)校給一批新入學(xué)的學(xué)生分配宿舍。如果每個(gè)房間住12人，則34人沒有位置；如果每個(gè)房間住14人，則空出4個(gè)房間。求學(xué)生宿舍多少間？住宿學(xué)生有多少人？【答案】45間;574人【解析】前面例題是把水果分給同學(xué)，把禮物分給盒子。此題相當(dāng)于把同學(xué)平均分給宿舍。第一次：每間12人，多34人每間14人，少14×4=56（人）（盈+虧）÷兩次分配差=份數(shù)（56+34）÷（14-12）=45（間）45×12+34=574（人）【例8】★★（陜西人民教育出版社小學(xué)奧數(shù)A版舉一反三四年級(jí)）三（1）班學(xué)生去公園劃船，如果每條船坐4人，則少一條船：如果每條船坐6人，則多出4條船。公園里有多少條船？三（1）班學(xué)生有多少人？【答案】14條;60人【解析】學(xué)生分給船第一次每船4人多4人第二次每船6人少24人（24+4）÷（6-4）=14（條）14×4+4=60（人）【例9】★★（學(xué)而思網(wǎng)校）老猴給小猴分桃子，如果每只猴子分4個(gè)桃子，則多出28個(gè)桃；如果有4只猴子每只分6個(gè)桃子，6只猴子每只分4個(gè)桃，其余的都分5個(gè)桃，則正好分完。那么一共有幾只小猴和多少個(gè)桃子？【答案】30只;148個(gè)【解析】此題解題關(guān)鍵是第二次分配沒有平均分，統(tǒng)一第二次小猴們分得的桃數(shù)。四只猴每人拿走一個(gè)，變成每只猴5個(gè)桃子。再給6只猴子每人一個(gè)桃子，變成每只猴5個(gè)桃子。得第二次分配少6-4=2個(gè)桃。差量分析：每猴4桃，多28個(gè)桃每猴5桃，少2個(gè)桃（盈+虧）÷兩次分配差=份數(shù)（28+2）÷（5-1）=30（只）30×4+28=148（個(gè)）【例10】★★（學(xué)而思網(wǎng)校優(yōu)酷）幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果分給大班的小朋友每人5個(gè)則余10個(gè)；如果分給小班的小朋友每人8個(gè)缺2個(gè)，已知大班比小班多3個(gè)小朋友。這筐蘋果共有多少個(gè)?【答案】70個(gè)【解析】分的份數(shù)不同變相同第一次每人5個(gè)（多3人）多10個(gè)第二次每人8個(gè)缺2個(gè)第一次每人5個(gè)（人數(shù)相同）多25個(gè)小班人數(shù)（25+2）÷（8-5）=9（人）蘋果9×8-2=70（個(gè)）【例11】★★（陜西人民教育出版社小學(xué)奧數(shù)A版舉一反三四年級(jí)）一個(gè)學(xué)生從家到學(xué)校，如果以每分鐘50米的速度行走，就要遲到8分鐘；如果以每分鐘60米的速度行走，就可以提前5分鐘到校。這個(gè)學(xué)生出發(fā)時(shí)離上課時(shí)間有多少分鐘？【答案】70分鐘【解析】第一次每分鐘50米少400米第二次每分鐘60米多300米（400+300）÷（60-50）=70（分鐘）【例12】★★（新東方論壇）鋼筆比圓珠筆每支貴1元2角，小明帶的錢買5支鋼筆差1元5角，買8支圓珠筆多6角。問(wèn)小明帶了多少錢？答案】11元【解析】可以看做第一次把錢分給5支鋼筆，第二次分給8支圓珠筆。份數(shù)不同先變相同。第一次5只鋼筆少1元5角第二次8只圓珠筆多6角第二次8支鋼筆少9元（9-1.5）÷（8-5）=2.5（元）2.5×5-1.5=11(元）【例13】★★（北京市第五屆“迎春杯”試題改編題）來(lái)到游樂(lè)場(chǎng)后，樂(lè)樂(lè)請(qǐng)小朋友們劃船，如果增加1條船，則每條船正好坐4人；如果減少1條船，則每條船上正好坐6人，如果租一條船租金50元，則樂(lè)樂(lè)要付多少錢？【答案】250元【解析】第一次每船坐4人多4人第二次每船坐6人少6人（4+6）÷（6-4）=5（條）5×50=250（元）【例14】★★（優(yōu)酷學(xué)而思培優(yōu)）精靈王子買來(lái)一籃橘子分給大家，如果其中兩人分4個(gè)，其余每人分2個(gè)，則多出4個(gè)；如果其中一人分6個(gè)，其余每人分4個(gè)，則缺少12個(gè)。求橘子有多少個(gè)？同學(xué)們共有多少人？【答案】22個(gè)橘子；同學(xué)8人【解析】把不平均分配改為平均分第一次4個(gè)（2人）每人2個(gè)（其余）多4個(gè)第二次6個(gè)（1人）每人4個(gè)（其余）少12個(gè)第一次分配公平后每人2個(gè)多6個(gè)第二次分配公平后每人4個(gè)少10個(gè)（10+6）÷（4-2）=8(人）8×2+6=22（個(gè)）【例15】★★★（優(yōu)酷學(xué)而思培優(yōu)）小巧讀一本小說(shuō)，如果每天讀30頁(yè)，則比規(guī)定的日期遲一天讀完全書；如果每天讀35頁(yè)，則最后一天要少讀5頁(yè)；如果每天讀33頁(yè)，最后一天要讀多少頁(yè)才能按規(guī)定的日期讀完這本書？【答案】42頁(yè)【解析】此題相當(dāng)于把一本小說(shuō)頁(yè)數(shù)分給固定的天數(shù)第一種每天30頁(yè)多30頁(yè)第二種每天35頁(yè)少5頁(yè)第三種每天33頁(yè)（30+5）÷（35-30）=7（天）30×（7+1）=240（頁(yè)）140-（6×33）=42（頁(yè)）【例16】★★★★（2008年第六屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽）包包打一篇文稿，打完一半后吃晚飯，晚飯后每分鐘比晚飯前多打32個(gè)字，前后共打50分鐘，前25分鐘比后25分鐘少打640個(gè)字。這篇文稿一共多少字？【答案】3840個(gè)【解析】晚飯后的時(shí)間640÷32=20（分鐘）晚飯前的時(shí)間50-20=30（分鐘）晚飯前比晚飯后多打30-20=10（分鐘）文稿的字?jǐn)?shù)640×（30÷10）×2=3840(個(gè)）【例17】★★★（新東方論壇）蘋果和梨各有若干只。如果5只蘋果和3只梨裝一袋，蘋果還多4只，梨恰好裝完；如果7只蘋果和3只梨裝一袋，蘋果恰好裝完，梨還多12只。那么梨和蘋果共有多少只？【答案】132只【解析】此題相當(dāng)于把水果分給袋子第一次蘋果分給袋子之后，盈余4只第二次蘋果分給袋子，還有4只袋子沒有分到蘋果，虧28只第一次每袋5蘋3梨多4只第二次每袋7蘋3梨少7×（12÷3）=28只（28+4）÷（7-5）=16（袋）16×（5+3）+4=132（只）【例18】★★★（學(xué)而思網(wǎng)校）思思帶了一些錢去買蘋果，如果她買5千克小蘋果，還會(huì)剩下32元；如果買6千克大蘋果，就只能剩10元錢。一只小蘋果比大蘋果每千克便宜3元，請(qǐng)問(wèn)小蘋果多少錢一千克？【答案】4元【解析】5千克大蘋果共比小蘋果貴3×5=1532-（10+15）=77-3=4（元）第一次5小剩32元第二次6大剩10元第二次6小剩10+18=28元（32-28）÷（6-5）=4（元）【例19】★★★（學(xué)而思網(wǎng)校）濤濤在商店門口發(fā)放優(yōu)惠券，一開始他準(zhǔn)備給每個(gè)人100元的優(yōu)惠券，結(jié)果剩下350元，他決定每個(gè)人多給20元。這時(shí)從其它地方聞?dòng)嵱众s來(lái)了5個(gè)人，如果他們每個(gè)人拿到的優(yōu)惠券和其他人一樣多，濤濤還需增加550元，那么原來(lái)有多少人呢？【答案】15人【解析】此題的難點(diǎn)在于：兩次分配的份數(shù)不一樣第一次每個(gè)人100元多350元第二次每個(gè)人120元（比第一次多5個(gè)人）少550元首先要做兩步處理：（1）把第二次人數(shù)變成和第一次人數(shù)相等人數(shù)相等時(shí)，此時(shí)的錢數(shù)是盈是虧先把這5個(gè)人的優(yōu)惠券要回來(lái)120×5=600（元）600-550=50（元）說(shuō)明第二次和第一次人數(shù)相等時(shí)多50元?jiǎng)t（350-50）÷20=15（人）【例20】★★★★（學(xué)而思網(wǎng)校）有4名同學(xué)原計(jì)劃合買一臺(tái)電腦，費(fèi)用大家均攤。后來(lái)隔壁宿舍的兩名同學(xué)也加入進(jìn)來(lái)一起來(lái)，并且電腦由于促而降價(jià)了1000元，于是每個(gè)人將比原來(lái)少出850元。則電腦的促銷價(jià)是多少錢？【答案】7200元【解析】此題的難點(diǎn)在于：兩次分配的總量也不一樣，份數(shù)也不一樣并且第一次均攤的總量和每份的錢數(shù)都沒有給出條件。促銷降價(jià)1000元第二次6個(gè)人每個(gè)人少出850元統(tǒng)一總量：第二次是按促銷價(jià)，如果第一次也按促銷價(jià)，應(yīng)該是：第一次4個(gè)人每個(gè)人少出250元電腦按促銷價(jià)，這4個(gè)人本來(lái)應(yīng)該每人少出250元，現(xiàn)在少出了850元。（850-250）×4=2400（元）這差價(jià)是由隔壁寢室的兩名同學(xué)承擔(dān)的，一人承擔(dān)：2400÷2=1200（元）第二次6人出了1200×6=7200（元）也就是電腦的促銷價(jià)。1000÷4=250（元）（850-250）×4=2400（元）2400÷2=1200（元）1200×(4+2)=7200（元）【例21】★★★★（學(xué)而思網(wǎng)校）幼兒園準(zhǔn)備了很多梨和蘋果，蘋果總數(shù)是梨的4倍。每個(gè)小朋友分得9個(gè)蘋果和2個(gè)梨后，還剩下了2個(gè)蘋果和4個(gè)梨，那么原來(lái)一共有多少個(gè)梨？【答案】32個(gè)【解析】此題的難點(diǎn)在于：一次分兩種不同的物品