湖大自控第二章

自動控制原理2012年9月唐求電氣與信息工程學院第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型2-1控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型2-2控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖3數(shù)學模型的實驗測定法42-32-4被控對象:數(shù)學上怎么來描述？被控對象位置速度加速度微分描述變化：2-1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型被控對象的基本描述：微分方程被控對象輸出y(t)輸入r(t)2-1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型求解微分方程，是整個控制理論的數(shù)學基礎(chǔ)（1）（2）（3）勻速運動勻加速運動一般運動2-1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型一、建立微分方程的一般步驟二、常見環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的微分方程的建立三、線性定常系統(tǒng)與疊加原理四、線性微分方程式的求解2-1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型（1）

確定系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量。一、建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟一個系統(tǒng)通常是由一些環(huán)節(jié)連接而成的，將系統(tǒng)中的每個環(huán)節(jié)的微分方程求出來，便可求出整個系統(tǒng)的微分方程。列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟：根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的基本物理規(guī)律，分別列寫出相應(yīng)的微分方程，并構(gòu)成微分方程組。（2）

建立初始微分方程組。將與輸入量有關(guān)的項寫在方程式等號右邊，與輸出量有關(guān)的項寫在等號的左邊。（3）消除中間變量，將式子標準化。2-1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型ucur二、常見環(huán)節(jié)和系統(tǒng)微分方程的建立1．RC電路+-uruc+-CiR輸入量：輸出量：（1）

確定輸入量和輸出量（2）

建立初始微分方程組（3）消除中間變量,使式子標準化RC電路是一階常系數(shù)線性微分方程。ur=Ri+uci=CducdtRCducdt+uc=ur2-1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型2．機械位移系統(tǒng)系統(tǒng)組成：質(zhì)量m輸入量彈簧系數(shù)k阻尼系數(shù)fF(t)輸出量y(t)初始微分方程組:F=maF(t)–FB(t)–FK(t)=ma根據(jù)牛頓第二定律mfy(t)F(t)kFK(t)FB(t)2-1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型中間變量關(guān)系式:FB(t)=fdy(t)dtFK(t)=ky(t)a=d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ky(t)=F(t)+消除中間變量得:mfy(t)F(t)kFK(t)FB(t)2-1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型試寫出以ur(t)為輸入量、uc(t)為輸出量的電路微分方程。i(t)LRur(t)uc(t)C解：設(shè)回路電流為i(t)，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為消除中間變量，可得：2-1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型3．RLC電路

系統(tǒng)微分方程由輸出量各階導數(shù)和輸入量各階導數(shù)以及系統(tǒng)的一些參數(shù)構(gòu)成。1.系統(tǒng)微分方程的一般表達式（標準形式）為：+dtm+bmr(t)

=b0dm-1r(t)dtm-1

b1+···dmr(t)

+dr(t)dtbm-1

+dnc(t)dn-1c(t)dc(t)anc(t)+···dtna0dt

n-1a1+dt

an-1+三、線性定常系統(tǒng)與疊加原理式中，c(t)——系統(tǒng)輸出量

r(t)——系統(tǒng)輸入量

ai(i=1,2,…,n),bj(j=1,2,…,m)為微分方程的系數(shù)2-1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型2.根據(jù)系統(tǒng)微分方程對系統(tǒng)進行分類：1）線性系統(tǒng)：方程中只含有變量c(t)，r(t)及其各階導數(shù)2）非線性系統(tǒng)：參數(shù)與變量有關(guān),或者方程中含有變量及其導數(shù)的高次冪或乘積項a)線性定常系統(tǒng)：a0,…,an;b0,…,bm為常數(shù)b)線性時變系統(tǒng)：a0,…,an;b0,…,bm為時間的函數(shù)2-1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型3.線性系統(tǒng)滿足疊加原理：線性系統(tǒng)r1(t)c1(t)線性系統(tǒng)r2(t)c2(t)線性系統(tǒng)ar1(t)+br2(t)ac1(t)+bc2(t)疊加原理的意義：對于線性系統(tǒng)，各個輸入產(chǎn)生的輸出是互不影響的。因此，在分析多個輸入加在線性系統(tǒng)上而引起的總輸出時，可以先分析由單個輸入產(chǎn)生的輸出，然后，把這些輸出疊加起來，則可能求得總的輸出。2-1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型四、線性微分方程式的求解求解方法：1）解析法

2）拉普拉斯變換法

3）計算機求解。

拉普拉斯變換法求解微分方程的步驟：

1、考慮初始條件，對微分方程中的各項進行拉氏變換，變成變量S的代數(shù)方程；

2、由變量S的代數(shù)方程求出系統(tǒng)輸出量的拉氏變換式；

3、對輸出量的拉氏變換式進行拉氏反變換，得到系統(tǒng)微分方程的解。2-1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型r(t)=δ(t),c(0)=c'(0)=0

+2c

(t)=r(t)

+2d2c(t)dt2dc(t)dt用一個例子來說明采用拉氏變換法解線性定常微分方程的方法。例

已知系統(tǒng)的微分方程式，求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。解：將方程兩邊求拉氏變換得：求拉氏反變換得：s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s)R(s)=1

C

(s)=s2+2s+21=(s+1)2+11c(t)=e–t

sint2-1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型輸出響應(yīng)曲線c(t)r(t)r(t)t0c(t)2-1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型一、拉普拉斯變換及其主要性質(zhì)二、傳遞函數(shù)的定義及求取

拉氏變換可以簡化線性微分方程的求解。還可將線性定常微分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)S域內(nèi)的數(shù)學模型—傳遞函數(shù)。三、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型一、拉普拉斯變換及其主要性質(zhì):

1．拉普拉斯變換的定義：設(shè)函數(shù)f(t)當t0時有定義，且積分在s的某個域內(nèi)收斂，則它的拉氏變換定義為：2．拉普拉斯變換的主要性質(zhì)：1）線性性質(zhì)：若

、

是常數(shù)，2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型2）微分性質(zhì):2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型3）積分性質(zhì):4）位移性質(zhì):5）延遲性質(zhì):6）初值定理:7）終值定理:2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型3.拉氏逆變換:4.卷積定理:2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型5.典型函數(shù)的拉氏變換:2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型6.部分分式展開定理:一般，函數(shù)F(s)是復(fù)變數(shù)s的有理代數(shù)分式，即可以表示成如下形式：2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型輸出拉氏變換二、傳遞函數(shù)的定義及求取系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖輸入輸入拉氏變換輸出傳遞函數(shù)的定義：

零初始條件下，系統(tǒng)輸出量拉氏變換與系統(tǒng)輸入量拉氏變換之比。G(S)R(S)C(S)r(t)c(t)R(s)C(s)G(s)=2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型零初始條件:

系統(tǒng)的輸入量、輸出量及其各階導數(shù)在t=0時的值均為零。求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)的步驟:1）列寫系統(tǒng)微分方程（非線性方程需線性化）；2）設(shè)全部初始條件為零，對微分方程兩邊取拉氏變換；3）求輸出量與輸入量的拉氏變換之比——系統(tǒng)傳遞函數(shù)。2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型式中，c(t)——系統(tǒng)輸出量

r(t)——系統(tǒng)輸入量

ai(i=1,2,…,n),bj(j=1,2,…,m)為常系數(shù)設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程為:2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型對微分方程的一般表達式進行拉氏變換得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般表達式為(a0

sn

+a1

sn-1

+···+an-1s+an)C(s)=(b0

sm

+b1

sm-1

+···+bm-1s+bm

)R(s)R(s)C(s)G(s)==b0

sm

+b1

sm-1

+···+bm-1s+bma0

sn

+a1

sn-1

+···+an-1s+an（n≥m）2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型例

求圖示RLC電路的傳遞函數(shù)。+-uruc+-CLRi解：輸出量：輸入量：uruci=CducdtLdidtur=R·i

++uc根據(jù)基爾霍夫定律：得RCducdt+uc=urLCd2ucdt2+拉氏變換：RCsUc(s)+

LCs2Uc

(s)

+

Uc

(s)=Ur(s)傳遞函數(shù)為:G

(s)=1LCs2+

RCs

+

1Uc

(s)Ur(s)=2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型dh(t)1=qi(t)dtAh(t)2A+ah0例求液位控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù).將上式兩邊求拉氏變換：設(shè)解：得asH(s)+H(s)Qi(s)=h02A1AH(s)A(s+=ah02A)1Qi(s)s+1=ah02A/ah02=Abah02Aa

=bh02傳遞函數(shù)為H(s)Abs+1b=Qi(s)2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型傳遞函數(shù)性質(zhì)：（1）傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。（2）傳遞函數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外施信號的大小和形式無關(guān)。（3）傳遞函數(shù)一般為復(fù)變量S的有理分式。（4）傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，不能反映非零初始條件下系統(tǒng)的運動過程。將傳遞函數(shù)中的分子與分母多項式分別用因式連乘的形式來表示，即G(s)=K＊(s

–z1)(s

–z2)···(s

–zm

)(s

–s1)(s

–s2)···(s

–sn

)式中：n>=mK＊—為根軌跡增益S=S1,S2···,Sn—傳遞函數(shù)的極點S=Z1,Z2···,Zm—傳遞函數(shù)的零點傳遞函數(shù)分母多項式就是相應(yīng)微分方程的特征多項式，傳遞函數(shù)的極點就是微分方程的特征根。2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型首1標準型（即零、極點形式）：首1標準型在根軌跡法中使用較多尾1標準型：尾1標準型在頻率法中使用較多系統(tǒng)的根軌跡增益—jnjimiKpszsKsRsCsG

)()()()()(

*11*-?-?====2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型（5）傳遞函數(shù)與微分方程一一對應(yīng)。

微分方程：在時域內(nèi)描述系統(tǒng)的動態(tài)關(guān)系（特性）傳遞函數(shù)：在復(fù)頻域內(nèi)描述系統(tǒng)的動態(tài)關(guān)系（特性）（6）不同物理系統(tǒng)（機械、電氣、液壓）可用形式相同的傳遞函數(shù)來描述——相似原理，能用相同數(shù)學模型描述的系統(tǒng)——相似系統(tǒng)。

應(yīng)用意義：可用模擬機進行系統(tǒng)研究2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型（7）傳遞函數(shù)的拉氏反變換為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。系統(tǒng)的輸入是單位脈沖信號

(t)時，系統(tǒng)的輸出稱為脈沖響應(yīng)。2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型一般可將自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型看作由若干個典型環(huán)節(jié)所組成。研究和掌握這些典型環(huán)節(jié)的特性將有助于對系統(tǒng)性能的了解。三、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型K=-R1R2比例環(huán)節(jié)實例(a)-∞++urR1ucR2由運算放大器構(gòu)成的比例環(huán)節(jié)(b)線性電位器構(gòu)成的比例環(huán)節(jié)K=R2+R1R2uc(t)+-R1R2+-ur(t)1．比例環(huán)節(jié)2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型C(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)—比例環(huán)節(jié)系數(shù)拉氏變換:比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù):微分方程:K比例環(huán)節(jié)方框圖KR(S)C(S)特點:輸出不失真,不延遲,成比例地R(s)C(s)G(s)==K復(fù)現(xiàn)輸入信號的變化.2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型-∞++R1R2urucC慣性環(huán)節(jié)實例(a)運算放大器構(gòu)成的慣性環(huán)節(jié)R1CS+1R1/R2G(s)=–(b)RC電路構(gòu)成的慣性環(huán)節(jié)1

RCS

+1G(s)=2．慣性環(huán)節(jié)r(t)RCc(t)2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型慣性環(huán)節(jié)的微分方程:

+c

(t)=Kr(t)dc(t)dtT—比例常數(shù)—時間系數(shù)式中KT拉氏變換：TsC

(s)+C

(s)=KR(s)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù):R(s)C(s)G(s)=KTs

+

1=慣性環(huán)節(jié)方框圖R(S)C(S)1+TsK單位階躍信號作用下的響應(yīng):R(s)=1sKTs

+

11s·C(s)=拉氏反變換得:c(t)=K′

(1–e)tT-2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型單位階躍響應(yīng)曲線特點:輸出量不能瞬時完成與輸入量完全一致的變化.r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.6322-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型積分環(huán)節(jié)實例(a)由運算放大器構(gòu)成的積分環(huán)節(jié)-∞++R0ucCur1RCSG(s)=–(b)電機構(gòu)成的積分環(huán)節(jié)+-UdMθSKG(s)=2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型3．積分環(huán)節(jié)R(s)C(s)G(s)==1TsTTsC(s)=R(s)

=r(t)dc(t)dtT微分方程：—積分時間常數(shù)傳遞函數(shù)：拉氏變換：積分環(huán)節(jié)方框圖R(S)C(S)Ts11TC(t)=t1TS1S·C(s)=1TS2=R(s)=1S積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)：2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型單位階躍響應(yīng)曲線輸出量與輸入量對時間的積分成正比，具有滯后作用和記憶功能.特點:r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型4．微分環(huán)節(jié)R(S)C(S)Ts理想微分環(huán)節(jié)數(shù)學模型：—微分時間常數(shù)微分環(huán)節(jié)方框圖單位階躍響應(yīng)函數(shù)：c(t)=dr(t)dtTTR(s)C(s)G(s)==TsC(t)=Tδ(t)2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型單位階躍響應(yīng)曲線理想脈沖實際中是不可能實現(xiàn)的，實際的物理裝置中常用近似理想微分環(huán)節(jié)。r(t)t0c(t)c(t)r(t)2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型G(s)=-RCs(a)近似理想微分環(huán)節(jié)實例-Δ∞++RucCur運算放大器構(gòu)成的微分環(huán)節(jié)+-uc+-CRur(b)RC電路構(gòu)成的微分環(huán)節(jié)RCsRCS+1

G(s)=TsTs+1=T=RC<<1G(s)Ts2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型實用微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng):單位階躍響應(yīng)曲線

C(s)TsTs+1=1s=1s+1/T

c(t)=etT-特點:輸出量反映了輸入量的變化率，而不反映輸入量本身的大小.r(t)r(t)t0c(t)c(t)12-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型采用運算放大器構(gòu)成的比例微分環(huán)節(jié)：R1ucC1R2ur-Δ∞++由于微分環(huán)節(jié)的輸出只能反映輸入信號的變化率，不能反映輸入量本身的大小，故常采用比例微分環(huán)節(jié)。

傳遞函數(shù)：單位階躍響應(yīng)：c(t)=KTδ(t)+K=K[Tδ(t)+1]R(s)C(s)G(s)==K(Ts+1)2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型單位階躍響應(yīng)曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型5.振蕩環(huán)節(jié)微分方程：

+c

(t)=r(t)+2Td2c(t)dt2dc(t)dtT2ζ—時間常數(shù)—阻尼比ζT傳遞函數(shù)：1T2S2+2TS+1=R(s)C(s)G(s)=ζG(s)=T21T21T2S2+S+ζn2ωn2ωnζS2+2S+ω=T1ωn=

—無阻尼自然振蕩頻率振蕩環(huán)節(jié)方框圖S2+2ξωnS+ωn2ωn2R(S)C(S)單位階躍響應(yīng)：c(t)=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型單位階躍響應(yīng)曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型1

ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常見振蕩環(huán)節(jié)的實例：（1）彈簧-質(zhì)量-阻尼器組成的機械位移系統(tǒng)

（2）他激直流電動機

（3）RLC電路1

LCs2+RCs+1=Ur(s)Uc(s)G(s)=1/CeTaTms2+Tms+1=Ua(s)N(s)G(s)=2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型R(s)C(s)G(s)==e

-τs=eτs1c(t)=r(t–τ)·1(t–τ)R(S)C(S)e-τs

6．時滯（延時）環(huán)節(jié)—延時時間數(shù)學模型：時滯環(huán)節(jié)方框圖傳遞函數(shù)：時滯環(huán)節(jié)作近似處理得1+τs1G(s)=eτs1=1+τS+2!2S2+···1τ2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型階躍響應(yīng)曲線1c(t)r(t)r(t)t0c(t)τ2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學模型典型環(huán)節(jié)（1）比例環(huán)節(jié)：（2）積分環(huán)節(jié)：（3）微分環(huán)節(jié)：（4）慣性環(huán)節(jié)：（5）振蕩環(huán)節(jié)：（6）延時環(huán)節(jié)：（7）一階微分環(huán)節(jié)：（8）二階微分環(huán)節(jié)：控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖是系統(tǒng)數(shù)學模型的另一種形式，它表示出系統(tǒng)中各變量之間的數(shù)學關(guān)系及信號的傳遞過程。2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖將組成控制系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)的函數(shù)方框按信號流向聯(lián)接起來就可得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖(方框圖)?？刂葡到y(tǒng)中每個環(huán)節(jié)的功能和信號流向可用函數(shù)方框表示：X2(s)=G(s)X1(s)X1(s)X2(s)G(s)2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖一、建立結(jié)構(gòu)圖的一般方法例

設(shè)一RC電路如圖所示。畫出系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。+-uruc+-CiR

RC電路解：初始微分方程組：ur=Ri+ucduci=dtc取拉氏變換：Ur(s)=RI(s)+Uc(s)I(s)=CSUc(s)即=I(s)RUr(s)–Uc(s)Uc(s)=I(s)·1CS用方框表示各變量間關(guān)系Ur(s)1R_I(s)Uc(s)Uc(s)I(s)1CS根據(jù)信號的流向，將各方框依次連接起來，即得系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。Uc(s)I(s)1CS

由圖可見，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖一般由四種基本符號構(gòu)成：信號線、比較點、方框和引出點。

2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖G1(s)H(s)G2(s)R(s)N(s)C(s)+_典型反饋控制系統(tǒng)方框圖1）信號線：帶單向箭頭，表示信號流向2）引出點：信號從引出點分開，大小和性質(zhì)相同3）比較點：兩個或兩個以上的信號相加減4）方框：對信號進行數(shù)學變換，方框中寫入環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖繪制結(jié)構(gòu)圖的一般步驟為:（1）確定系統(tǒng)中各元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。（2）繪出各環(huán)節(jié)的方框，方框中標出其傳遞函數(shù)、輸入量和輸出量。（3）根據(jù)信號在系統(tǒng)中的流向，依次將各方框連接起來。2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖例：試繪制如圖所示無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖uc(t)ur(t)R1R2Cii1i2Ur(s)R1R2Uc(s)I(s)I1(s)I2(s)Cs—1解：1）化為復(fù)阻抗形式2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖2）根據(jù)基爾霍夫定律寫出下列方程3）根據(jù)上述方程繪制對應(yīng)元件的方框圖R2I(s)Uc(s)I1(s)I(s)I2(s)R1I1(s)Cs—1I2(s)CsI2(s)Ur(s)Uc(s)I1(s)R1—R1—1I1(s)2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖4）根據(jù)信號傳遞關(guān)系用信號線連接各方框圖R2I(s)Uc(s)I1(s)R1I1(s)CsI2(s)Ur(s)Uc(s)—R1—1R2I(s)Uc(s)I1(s)I(s)I2(s)R1I1(s)Cs—1I2(s)CsI2(s)Ur(s)Uc(s)I1(s)R1—R1—1I1(s)2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖列方程組例

繪制雙T網(wǎng)絡(luò)的框圖2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

繪圖：

ur(s)為輸入，畫在最左邊。2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖uC(s)ur(s)u1(s)i1(s)i2(s)--u1(s)-uC(s)若重新選擇一組中間變量，會有什么結(jié)果呢？列方程：2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

可見選擇不同的中間變量，結(jié)構(gòu)框圖也不一樣，但是整個系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系并不改變的。2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖二、結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖直觀地反映了系統(tǒng)內(nèi)部各變量之間的動態(tài)關(guān)系。將復(fù)雜的結(jié)構(gòu)圖進行化簡可求出傳遞函數(shù)。1．結(jié)構(gòu)圖的等效變換等效變換：被變換部分的輸入量和輸出量之間的數(shù)學關(guān)系，在變換前后保持不變。變換原則：變換前后變量關(guān)系保持等效2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖（1）串聯(lián)兩個環(huán)節(jié)串聯(lián)的變換如圖：R(s)C(s)G2(s)G1(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)=G1(s)G2(s)G(s)=等效可得n個環(huán)節(jié)的串聯(lián)

G

(s)=∏

Gi

(s)

n

i=12-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖R(s)C(s)=G1(s)+G2(s)G(s)=（2）并聯(lián)兩個環(huán)節(jié)的并聯(lián)等效變換如圖：G1(s)+G2(s)R(s)C(s)等效n個環(huán)節(jié)的并聯(lián)

G

(s)=Σ

Gi

(s)

n

i=12-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖++G2(s)R(s)C(s)G1(s)

E(s)=R(s)B(s)+–=R(s)E(s)G(s)H(s)+–1±

G(s)H(s)R(s)E(s)=（3）反饋連接G(s)1±G(s)H(s)C(s)R(s)環(huán)節(jié)的反饋連接等效變換：根據(jù)框圖得：則另：得：等效R(s)C(s)1±

G(s)H(s)G(s)=C

(s)=E(s)G(s)2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖G(s)C(s)H(s)R(s)E(s)B(s)±2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖用Ф(s)表示閉環(huán)傳遞函數(shù):R(s)C(s)1±

G(s)H(s)G(s)=Ф(s)=稱

為開環(huán)傳遞函數(shù)；稱

為前向通路傳遞函數(shù)；稱

單位反饋，即有：稱

為開環(huán)傳遞函數(shù)；稱

為前向通路傳遞函數(shù)；稱

單位反饋，即有：（4）比較點和引出點的移動1)

比較點之間或引出點之間的位置交換引出點之間的交換：

b比較點之間交換：bc±aa±b±c±cba±c±baaaaaa2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖2）比較點相對方框的移動F(s)R(s)G(s)C(s)±R(s)前移：R(s)C(s)G(s)±F(s)R(s)±C(s)1G(s)F(s)后移：±C(s)G(s)F(s)R(s)C(s)G(s)±F(s)F(s)R(s)G(s)C(s)±2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

3)引出點相對方框的移動C(s)R(s)C(s)G(s)R(s)R(s)C(s)G(s)R(s)G(s)1C(s)R(s)C(s)G(s)前移：G(s)C(s)后移：R(s)R(s)C(s)G(s)2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖78序號原結(jié)構(gòu)圖等效原結(jié)構(gòu)圖等效法則

1串聯(lián)等效

2并聯(lián)等效

3反饋等效2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖79

4等效單位反饋5比較點前移6比較點后移7引出點前移

80

8引出點后移9交換和合并比較點10交換比較點和引出點（一般不采用)11負號在支路上移動

例：試簡化如圖所示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，并求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)

R(s)C(s)解：1）將支路H2(s)的引出點后移G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)

R(s)C(s)1/G4(s)2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖2）簡化上圖虛線框內(nèi)的各環(huán)節(jié)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)

R(s)C(s)1/G4(s)G1(s)G2(s)H1(s)

R(s)C(s)H2(s)/G4(s)G3(s)G4(s)1+G3(s)G4(s)H3(s)2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖3）簡化上圖虛線框內(nèi)的各環(huán)節(jié)G1(s)G2(s)H1(s)

R(s)C(s)H2(s)/G4(s)G3(s)G4(s)1+G3(s)G4(s)H3(s)G1(s)H1(s)

R(s)C(s)G2(s)G3(s)G4(s)1+G2(s)G3(s)H2(s)+G3(s)G4(s)H3(s)2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖4）最后簡化得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G1(s)H1(s)

R(s)C(s)G2(s)G3(s)G4(s)1+G2(s)G3(s)H2(s)+G3(s)G4(s)H3(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)1+G2(s)G3(s)H2(s)+G3(s)G4(s)H3(s)+G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H1(s)=2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖先移動引出點和比較點，消除交叉連接，再進行等效變換，最后求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。G1(s)G2(s)G3(s)H(s)__+R(s)C(s)a移動aG2(s)+_G2(s)H(s)例

簡化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，求傳遞函數(shù)。解：G1(s)G2(s)G3(s)G2(s)H(s)+__R(s)C(s)交換比較點a求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù):R(s)C(s)G1(s)G2(s)+G3(s)=1+G2(s)H(s)+G1(s)G2(s)+G3(s)G1(s)G2(s)+G3(s)11+G2(s)H(s)_R(s)C(s)等效變換后系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖：2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖例

求RC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。1R11C1S1C2S___R(S)C(S)1R2

RC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖解：錯！C2S1R1注意：比較點與引出點的位置不作交換！R1_1R2C2S_1R1C1SR1C2S1R1C1S+11R2C2S+1_R(s)C(s)系統(tǒng)傳遞函數(shù)：R(s)C(s)(R1C1S+1)(R2C2S+1)+R1C2S1=2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖框圖簡化的一般方法：移動引出點或比較點；進行方框運算；將串聯(lián)、并聯(lián)、反饋連接的框圖合并。2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖88注意對比較點和引出點進行移動位置，消除交叉回路。在移動中一定要注意以下幾點：①必須保持移動前后信號的等效性；②相鄰比較點可以互相換位和合并；③相鄰引出點可以互相換位；④比較點和引出點之間一般不宜交換位置。

2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖89例：試化簡下述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)顯然化簡該結(jié)構(gòu)圖需要移動比較點和引出點，需要注意得是，引出點和比較點之間是不宜隨便移動的。因此我們將比較點前移，將引出點后移。2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖90將兩個比較點合并，并將求出的等效傳遞函數(shù)：得到圖為得到系統(tǒng)等效傳遞函數(shù)：2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖三、控制系統(tǒng)的信號流圖：y2=ay11、定義一組線性代數(shù)方程式變量間傳遞關(guān)系的圖形表示，由節(jié)點、支路和支路增益組成。y1y2ax1x2x3x4x5x61abcdefg1典型的信號流圖2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖x1x2x3x4x5x61abcdefg1每個節(jié)點所標志的變量等于所有流入該節(jié)點的信號的代數(shù)和2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖2、關(guān)于信號流圖的一些術(shù)語：x1x2x3x4x5x61abcdefg11）輸入節(jié)點（源節(jié)點）2）輸出節(jié)點（阱節(jié)點）3）混合節(jié)點4）前向通路:5）回路:6）不接觸回路:2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖信號從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點傳遞時，每個節(jié)點只通過一次的通路。起點和終點在同一個節(jié)點，而且信號通過任一節(jié)點不多于一次的閉合通路。3、信號流圖的繪制：1）由系統(tǒng)微分方程繪制信號流圖步驟：含有積分或微分的線性方程經(jīng)過拉普拉氏變換變成復(fù)頻域的代數(shù)方程，然后繪制信號流圖。2）由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖例：畫出如圖所示無源網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的信號流圖，設(shè)電容初始電壓為u1(0)。解：a）由基爾霍夫定律寫出下列微分方程uc(t)ur(t)R1R2Cii1i2u1(t)b）求拉氏變換，得：c）根據(jù)上述方程畫出對應(yīng)的信號流圖：UrUcI11–1R11UcIR2I2U1u1(0)sC-CII1I211I1U1R12-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖d）沿信號流向?qū)⒏餍盘柫鲌D連接得系統(tǒng)的信號流圖：UrUcI11–1R11UcIR2I2U1u1(0)sC-CII1I211I1U1R1UrI11–1R11UcIR21R1I2U1u1(0)sC-C12-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖R(s)C(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖例：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖。X2X1X3X4X6X5X7X9X8ΣLiΣLiLj

ΣLiLj

LzΔ=1––++···4．梅遜公式梅遜公式：—特征式△—各回路增益之和?！獌蓛苫ゲ幌嘟佑|回路增益之乘積的和?！腥齻€互不相接觸回路增益之乘積和。Φ(s)=Σnk=1Pk

ΔkΔΣLiΣLiLj

ΣLiLj

LzΣLiΣLiLj

ΣLiLj

Lz2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖△k

—將△中與第k條前向通道相接觸的回路所在項去掉之后的剩余部分，稱為余子式。Pk—第k條前向通路總增益。例：求如圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。RG1(s)1-H(s)CG2(s)G4(s)1G3(s)ee1e2解：1321=D=D=D

)()()()(1

221++=D\sHsGsHsG接觸且前向通路和所有回路個單獨回路互相接觸，2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖R(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G3△1=1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)P2=G4G3△2=1+G1H12-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖G4(s)G3(s)例

系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，求閉環(huán)傳遞函數(shù)。G1G2G3H1G4H2___C(s)+R(s)解：系統(tǒng)有5個回路，各回路的傳遞函數(shù)為L1L1=–G1G2H1L2L2=–G2G3H2L3L3=–G1G2G3L4L4=–G1G4L5L5=–G4H2ΣLiLj

=0ΣLiLj

Lz

=0Δ

=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2P1=G1G2G3Δ1=1P2=G1G4Δ2=1將△、Pk

、△k代入梅遜公式得傳遞函數(shù)：G1G2G3+G1G41+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2=2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖L1L2L3H1_+++G1+C(s)R(s)G3G2例

求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解:L1=G3H1L2=–G1H1L3=–G1G2P1=G1G2Δ1=1–

G3H1Δ=1+G1G2+G1H1–

G3H1R(s)C(s)1+G1G2+G1H1–

G3H1G1G2

(1–

G3H1)=2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖L5=G1(s)G2(s)L4=G1(s)G2(s)L3=G1(s)G2(s)L2=–G2(s)L1=–G1(s)例求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++解:(1)用梅遜公式L1___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++L2___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++L3___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++L4___R(S)C(S)G2(s)G1(s)++L5Δ3=1Δ4=1P4=–G1(s)G2(s)P3=-G1(s)G2(s)P2=G2(s)P1=G1(s)Δ1=1Δ2=1系統(tǒng)的傳遞函數(shù)R(s)C(s)1+G1(s)

+

G2(s)–

3G1(s)G2(s)G1(s)+G2(s)–

2G1(s)G2(s)=2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖（2）用等效變換法系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖變換為：_R(S)C(S)_++_++G2(s)G1(s)G2(s)G1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)1+G1(s)+G2(s)–3G1(s)G2(s)G1(s)+G2(s)–2G1(s)G2(s)=2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖四、閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(一)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(二)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)研究控制系統(tǒng)的性能，主要的傳遞函數(shù)為：(三)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+N(s)（一）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)：開環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)反饋量與誤差信號的比值E(s)B(s)

Gk(s)=E(s)B(s)

=G1(s)G2(s)H

(s)=G

(s)H

(s)

2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖（二）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)1