第09講：《無(wú)窮小與無(wú)窮大、曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)》內(nèi)容小結(jié)、課件與典型例題與練習(xí)

第09講：《無(wú)窮小與無(wú)窮大、曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)》內(nèi)容小結(jié)、課件與典型例題與練習(xí)18世紀(jì)，微積分在生產(chǎn)和實(shí)踐上都有了廣泛而成功的應(yīng)用，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家對(duì)這一理論的可靠性是毫不懷疑的。但是牛頓的無(wú)窮小量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程在邏輯上自相矛盾，這種邏輯上的混亂受到了尖銳的批評(píng)。盡管微積分初期存在邏輯上的混亂，但這并不影響牛頓作為微積分發(fā)明人的重要地位與巨大貢獻(xiàn)。當(dāng)然隨著嚴(yán)格的極限理論建立，使微積分擁有了嚴(yán)密的基礎(chǔ)，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)也成功化解。無(wú)窮小是微積分的基礎(chǔ)概念之一牛頓在引入無(wú)窮小的概念時(shí)，并未說(shuō)明它是零還是非零，導(dǎo)致了矛盾。無(wú)窮小的爭(zhēng)議引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第二次危機(jī)19世紀(jì)柯西指出無(wú)窮小是使一個(gè)要多小就有多小的變量，基本解決了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)一、無(wú)窮小及其基本性質(zhì)1、無(wú)窮小(量)是自變量的某個(gè)變化過(guò)程中極限為0的函數(shù)2、除0外，其他任何常值函數(shù)都不是無(wú)窮小量3、函數(shù)，函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系：其中.【注】這個(gè)性質(zhì)給出了極限式中的抽象函數(shù)的一種相對(duì)具體的描述形式，借助f(x)的這種描述形式，使得與之相關(guān)問(wèn)題的解決更加直觀、有效！同時(shí)，看到一個(gè)函數(shù)極限存在的條件，要記得極限式可以寫(xiě)成以上描述形式，為問(wèn)題解決提供一種可能的探索思路或方向.4、有限個(gè)無(wú)窮小的和與有限個(gè)無(wú)窮小的積仍然是無(wú)窮小【注】無(wú)限個(gè)結(jié)果就不一定成立5、有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍然是無(wú)窮小二、無(wú)窮大及其基本性質(zhì)1、無(wú)窮大是自變量的某個(gè)變化過(guò)程中函數(shù)值整體無(wú)限增大！2、無(wú)窮大分為正無(wú)窮大與負(fù)無(wú)窮大，一般用前面帶正負(fù)號(hào)標(biāo)記區(qū)別+∞，-∞。如果函數(shù)值在某個(gè)變化過(guò)程中即趨于正無(wú)窮大，也趨于負(fù)無(wú)窮大，比如1/x在x→0時(shí)，兩側(cè)同時(shí)趨于無(wú)窮大，只不過(guò)左側(cè)趨于負(fù)無(wú)窮大，右側(cè)趨于正無(wú)窮大，則一般記作∞.3、驗(yàn)證一個(gè)函數(shù)是某個(gè)自變量變化過(guò)程中的無(wú)窮大最有效的方式是驗(yàn)證它的倒數(shù)為該自變量變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，即極限等于04、某變量變化過(guò)程的無(wú)窮大與有界函數(shù)之和仍是該過(guò)程的無(wú)窮大5、某變量變化過(guò)程的無(wú)窮大與該過(guò)程極限值為非零值的函數(shù)的乘積仍是該過(guò)程的無(wú)窮大6、無(wú)窮大與無(wú)界函數(shù)的區(qū)別與判定思路與方法如果有一個(gè)子變化過(guò)程，使得函數(shù)值趨于某個(gè)確定的值，則該函數(shù)不是該變化過(guò)程中的無(wú)窮大如果有一個(gè)變量的子變化過(guò)程，使得函數(shù)值趨于無(wú)窮大，則該函數(shù)是無(wú)界函數(shù)如果函數(shù)是某個(gè)自變量變化過(guò)程的無(wú)窮大，則它一定無(wú)界；無(wú)界函數(shù)不一定自變量的變化過(guò)程使得函數(shù)值趨于無(wú)窮大三、無(wú)窮小的比較高階無(wú)窮小、低階無(wú)窮小、同階無(wú)窮小、等價(jià)無(wú)窮小、k階無(wú)窮小【注】定義、判定見(jiàn)后面列出的課件.

四、等價(jià)無(wú)窮小計(jì)算極限應(yīng)用注意事項(xiàng)【注1】?jī)蓚€(gè)無(wú)窮小之比求極限時(shí)，分子、分母整體都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替。

【注2】用等價(jià)無(wú)窮小替換計(jì)算極限的過(guò)程一般適用于相乘、相除因式整體用等價(jià)無(wú)窮小替換（因式替換原則）；一般兩個(gè)等價(jià)無(wú)窮小相減，一個(gè)或兩個(gè)都不能替換；非等價(jià)無(wú)窮小相減，或等價(jià)無(wú)窮小相加一般可以替換（加減替換原則）；兩個(gè)無(wú)窮小的加減項(xiàng)表達(dá)式整體等價(jià)于低階無(wú)窮小（和差取大原則）?！咀?】記住常用的幾個(gè)等價(jià)無(wú)窮?。▍⒁?jiàn)課件）五、函數(shù)描述的曲線(xiàn)漸近線(xiàn)求解步驟定義

設(shè)有一定直線(xiàn)L，當(dāng)曲線(xiàn)C上一動(dòng)點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，曲線(xiàn)C與直線(xiàn)L的距離趨于零，則稱(chēng)直線(xiàn)L為曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)。從曲線(xiàn)漸近線(xiàn)描述性定義來(lái)看，其關(guān)鍵點(diǎn)在于兩個(gè)因素：一是曲線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)，二是此時(shí)曲線(xiàn)與定直線(xiàn)的距離趨于零。曲線(xiàn)遠(yuǎn)離原點(diǎn)可以用因變量趨于無(wú)窮（此時(shí)自變量趨于某個(gè)固定的常數(shù)）或者自變量趨于無(wú)窮來(lái)刻畫(huà)，相應(yīng)得到曲線(xiàn)的鉛直漸近線(xiàn)，或斜漸近線(xiàn)、水平漸近線(xiàn)。

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水平漸近線(xiàn)一個(gè)函數(shù)f(x)的水平漸近線(xiàn)可能的條數(shù)為：0，1，2條數(shù)為0：以上兩個(gè)極限都不存在，比如f(x)=x；條數(shù)為1：以上兩個(gè)極限有一個(gè)存在，或者兩個(gè)都存在，但是極限值相等，比如f(x)=1/x；條數(shù)為2：以上兩個(gè)極限都存在，并且極限值不相等，比如f(x)=arctanx；函數(shù)f(x)描述的曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)為函數(shù)值等于極限值的常值函數(shù)對(duì)應(yīng)的水平直線(xiàn)。

●鉛直漸近線(xiàn)一個(gè)函數(shù)f(x)的鉛直漸近線(xiàn)可能的條數(shù)為：0，1，2，…無(wú)數(shù)條如果在函數(shù)f(x)的定義域上（包括沒(méi)有定義的定義區(qū)間端點(diǎn)），對(duì)于其中的xk，上面的左右極限只要有一個(gè)極限趨于正無(wú)窮大，或者負(fù)無(wú)窮大，則x=xk對(duì)應(yīng)的鉛直線(xiàn)就為函數(shù)f(x)描述的曲線(xiàn)的鉛直漸近線(xiàn)。

●斜漸近線(xiàn)一個(gè)函數(shù)f(x)的斜漸近線(xiàn)可能的條數(shù)為：0，1，2如果以上k值不等于0，且不相等，則有2條；如果僅有一個(gè)存在且不等于0，則只有1條；如果兩個(gè)都等于0，或者極限都不存在，則0條.

如果有斜漸近線(xiàn)，則對(duì)應(yīng)的斜漸近線(xiàn)方程為y=kx+b。

【注1】當(dāng)k=0，則曲線(xiàn)有相應(yīng)方向的水平漸近線(xiàn)y=b.即曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)、