第09講：《無窮小與無窮大、曲線的漸近線》內(nèi)容小結(jié)、課件與典型例題與練習

第09講：《無窮小與無窮大、曲線的漸近線》內(nèi)容小結(jié)、課件與典型例題與練習18世紀，微積分在生產(chǎn)和實踐上都有了廣泛而成功的應用，大部分數(shù)學家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。但是牛頓的無窮小量的數(shù)學推導過程在邏輯上自相矛盾，這種邏輯上的混亂受到了尖銳的批評。盡管微積分初期存在邏輯上的混亂，但這并不影響牛頓作為微積分發(fā)明人的重要地位與巨大貢獻。當然隨著嚴格的極限理論建立，使微積分擁有了嚴密的基礎(chǔ)，第二次數(shù)學危機也成功化解。無窮小是微積分的基礎(chǔ)概念之一牛頓在引入無窮小的概念時，并未說明它是零還是非零，導致了矛盾。無窮小的爭議引發(fā)了數(shù)學史上的第二次危機19世紀柯西指出無窮小是使一個要多小就有多小的變量，基本解決了第二次數(shù)學危機一、無窮小及其基本性質(zhì)1、無窮小(量)是自變量的某個變化過程中極限為0的函數(shù)2、除0外，其他任何常值函數(shù)都不是無窮小量3、函數(shù)，函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系：其中.【注】這個性質(zhì)給出了極限式中的抽象函數(shù)的一種相對具體的描述形式，借助f(x)的這種描述形式，使得與之相關(guān)問題的解決更加直觀、有效！同時，看到一個函數(shù)極限存在的條件，要記得極限式可以寫成以上描述形式，為問題解決提供一種可能的探索思路或方向.4、有限個無窮小的和與有限個無窮小的積仍然是無窮小【注】無限個結(jié)果就不一定成立5、有界函數(shù)與無窮小的乘積仍然是無窮小二、無窮大及其基本性質(zhì)1、無窮大是自變量的某個變化過程中函數(shù)值整體無限增大！2、無窮大分為正無窮大與負無窮大，一般用前面帶正負號標記區(qū)別+∞，-∞。如果函數(shù)值在某個變化過程中即趨于正無窮大，也趨于負無窮大，比如1/x在x→0時，兩側(cè)同時趨于無窮大，只不過左側(cè)趨于負無窮大，右側(cè)趨于正無窮大，則一般記作∞.3、驗證一個函數(shù)是某個自變量變化過程中的無窮大最有效的方式是驗證它的倒數(shù)為該自變量變化過程中的無窮小量，即極限等于04、某變量變化過程的無窮大與有界函數(shù)之和仍是該過程的無窮大5、某變量變化過程的無窮大與該過程極限值為非零值的函數(shù)的乘積仍是該過程的無窮大6、無窮大與無界函數(shù)的區(qū)別與判定思路與方法如果有一個子變化過程，使得函數(shù)值趨于某個確定的值，則該函數(shù)不是該變化過程中的無窮大如果有一個變量的子變化過程，使得函數(shù)值趨于無窮大，則該函數(shù)是無界函數(shù)如果函數(shù)是某個自變量變化過程的無窮大，則它一定無界；無界函數(shù)不一定自變量的變化過程使得函數(shù)值趨于無窮大三、無窮小的比較高階無窮小、低階無窮小、同階無窮小、等價無窮小、k階無窮小【注】定義、判定見后面列出的課件.

四、等價無窮小計算極限應用注意事項【注1】兩個無窮小之比求極限時，分子、分母整體都可用等價無窮小來代替。

【注2】用等價無窮小替換計算極限的過程一般適用于相乘、相除因式整體用等價無窮小替換（因式替換原則）；一般兩個等價無窮小相減，一個或兩個都不能替換；非等價無窮小相減，或等價無窮小相加一般可以替換（加減替換原則）；兩個無窮小的加減項表達式整體等價于低階無窮?。ê筒钊〈笤瓌t）?！咀?】記住常用的幾個等價無窮?。▍⒁娬n件）五、函數(shù)描述的曲線漸近線求解步驟定義

設(shè)有一定直線L，當曲線C上一動點遠離原點時，曲線C與直線L的距離趨于零，則稱直線L為曲線C的漸近線。從曲線漸近線描述性定義來看，其關(guān)鍵點在于兩個因素：一是曲線上動點遠離原點，二是此時曲線與定直線的距離趨于零。曲線遠離原點可以用因變量趨于無窮（此時自變量趨于某個固定的常數(shù)）或者自變量趨于無窮來刻畫，相應得到曲線的鉛直漸近線，或斜漸近線、水平漸近線。

●

水平漸近線一個函數(shù)f(x)的水平漸近線可能的條數(shù)為：0，1，2條數(shù)為0：以上兩個極限都不存在，比如f(x)=x；條數(shù)為1：以上兩個極限有一個存在，或者兩個都存在，但是極限值相等，比如f(x)=1/x；條數(shù)為2：以上兩個極限都存在，并且極限值不相等，比如f(x)=arctanx；函數(shù)f(x)描述的曲線的水平漸近線為函數(shù)值等于極限值的常值函數(shù)對應的水平直線。

●鉛直漸近線一個函數(shù)f(x)的鉛直漸近線可能的條數(shù)為：0，1，2，…無數(shù)條如果在函數(shù)f(x)的定義域上（包括沒有定義的定義區(qū)間端點），對于其中的xk，上面的左右極限只要有一個極限趨于正無窮大，或者負無窮大，則x=xk對應的鉛直線就為函數(shù)f(x)描述的曲線的鉛直漸近線。

●斜漸近線一個函數(shù)f(x)的斜漸近線可能的條數(shù)為：0，1，2如果以上k值不等于0，且不相等，則有2條；如果僅有一個存在且不等于0，則只有1條；如果兩個都等于0，或者極限都不存在，則0條.

如果有斜漸近線，則對應的斜漸近線方程為y=kx+b。

【注1】當k=0，則曲線有相應方向的水平漸近線y=b.即曲線的水平漸近線、