14用一元二次方程解決問(wèn)題

1.4用一元二次方程解決問(wèn)題【推本溯源】1.解決應(yīng)用題的一般步驟：步驟內(nèi)容摘要注意事項(xiàng)1.審審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等等量關(guān)系往往體現(xiàn)在關(guān)鍵詞句中2.設(shè)設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量一般要帶單位3.列根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程方程兩邊單位要統(tǒng)一4.解解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰一般不必寫出解方程的過(guò)程5.檢檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義一般兩個(gè)根中只有一個(gè)符合實(shí)際意義6.答寫出答案，切忌答非所問(wèn)注意帶上單位2.解下列應(yīng)用（1）已知兩個(gè)數(shù)的和等于12，積等于32，求這兩個(gè)數(shù)是多少．解：設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x，那么另一個(gè)數(shù)可表示為(12x)，依題意得：x(12x)＝32，整理得x212x+32＝0，解得x1＝4，x2＝8，當(dāng)x＝4時(shí)12x＝8；當(dāng)x＝8時(shí)12x＝4．答：這兩個(gè)數(shù)是4和8．?dāng)?shù)字問(wèn)題（1）任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來(lái)表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個(gè)三位數(shù)可表示為：

100c+10b+a.

（2）幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x1，x+1.幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x2，x+2.（2）隨著國(guó)家“惠民政策”的陸續(xù)出臺(tái)，為了切實(shí)讓老百姓得到實(shí)惠，國(guó)家衛(wèi)計(jì)委通過(guò)嚴(yán)打藥品銷售環(huán)節(jié)中的不正當(dāng)行為，某種藥品原價(jià)200元/瓶，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，現(xiàn)在僅賣98元/瓶，現(xiàn)假定兩次降價(jià)的百分率相同，求該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率．解：設(shè)該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率是x，由題意得：200（1﹣x）2=98解得：x1=1.7（不合題意舍去），x2=0.3=30%．答：該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率是30%．平均變化率問(wèn)題

列一元二次方程解決增長(zhǎng)(降低)率問(wèn)題時(shí)，要理清原來(lái)數(shù)、后來(lái)數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，以及增長(zhǎng)或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)或降低兩次.

①增長(zhǎng)率問(wèn)題：平均增長(zhǎng)率公式為(a為原來(lái)數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量.)

②.降低率問(wèn)題：平均降低率公式為(a為原來(lái)數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)

（3）有一個(gè)人患了新冠肺炎，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有169人患了新冠肺炎，那么每輪傳染中平均傳染了多少人？解：設(shè)每輪傳染中平均傳染了x人由題意得：x+1+（x+1）x=169即：（x+1）2=169解得：x1=12，x2=14（舍去）答：每輪傳染中平均傳染了12人.傳播問(wèn)題：從傳播的第二輪中可以抽象出一元二次方程，設(shè)a為傳染源，x為每個(gè)傳染源傳播的個(gè)數(shù)，則傳播兩輪后感染總個(gè)數(shù)為a（x+1）2.（4）如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12m的住房墻，另外三邊用25m長(zhǎng)的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門，所圍矩形豬舍的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí)，豬舍面積為80m2？解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長(zhǎng)為xm可以得出平行于墻的一邊的長(zhǎng)為（25﹣2x+1）m，由題意得x（25﹣2x+1）=80，化簡(jiǎn)，得x2﹣13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，當(dāng)x=5時(shí)，26﹣2x=16＞12（舍去），當(dāng)x=8時(shí)，26﹣2x=10＜12，答：所圍矩形豬舍的長(zhǎng)為10m、寬為8m．幾何圖形問(wèn)題各種規(guī)則圖形的面積、體積、周長(zhǎng)公式，常涉及三角形的三邊關(guān)系、三角形全等、勾股定理等。列一元二次方程解應(yīng)用題是把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決.這是在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)常用到的數(shù)學(xué)思想—方程思想（5）某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件．市場(chǎng)調(diào)查反映：每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，在顧客得實(shí)惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤(rùn)，應(yīng)將銷售單價(jià)定位多少元？解：降價(jià)x元，則售價(jià)為（60﹣x）元，銷售量為（300+20x）件，根據(jù)題意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，解得x1=5，x2=8，又顧客得實(shí)惠，故取x=4，級(jí)定價(jià)為56元，答：應(yīng)將銷售單價(jià)定位56元．商品銷售問(wèn)題利潤(rùn)=售價(jià)進(jìn)價(jià)(成本)

總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×總件數(shù)

【解惑】例1：若某兩位數(shù)的十位數(shù)字是方程的根，則它的十位數(shù)字是_____．【答案】7【分析】解方程，求出方程的解，根據(jù)兩位數(shù)的十位不為0從而求出答案．【詳解】依題意解方程：，又因?yàn)槭莾晌粩?shù)，所以十位數(shù)字是7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】此題考查了用因式分解解一元二次方程，關(guān)鍵是正確求解方程，并結(jié)合題意兩位數(shù)的十位確定出取值．例2：有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有169人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了___人．【答案】12【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x人，則一輪傳染后共有人患了流感，兩輪傳染后共有人患了流感，由此列一元二次方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x人，由題意可知：，整理得：，解得，（舍去），因此每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了12人．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確列出一元二次方程．例3：如圖，在一塊長(zhǎng)米、寬米的矩形空地上，修建兩條同樣寬的相互垂直的道路，剩余部分栽種花草．要使綠化面積為平方米，則修建的路寬應(yīng)是多少米？

【答案】1米【分析】把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的草坪是一個(gè)長(zhǎng)方形，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)道路的寬為x米，根據(jù)題意得：，解得：，（不合題意，舍去），則道路的寬應(yīng)為1米．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，把中間修建的兩條道路分別平移到矩形地面的最上邊和最左邊是解題的關(guān)鍵．例4：如果不防范，病毒的傳播速度往往很快，有一種病毒人感染后，經(jīng)過(guò)兩輪傳播，共有人感染．(1)平均每人每輪感染多少人？(2)第二輪傳播后，人們加強(qiáng)防范，使病毒的傳播力度減少到原來(lái)的，這樣第三輪傳播后感染的人數(shù)只是第二輪傳播后感染人數(shù)的倍，求的值．【答案】(1)人(2)【分析】（1）設(shè)平均每人每輪感染人，開始是個(gè)人，則第一輪感染人，第二輪感染人，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩輪傳播，共有人感染，得出關(guān)于的方程，解方程即可得出結(jié)果；（2）由第二輪傳播后，病毒的傳播力度減少到原來(lái)的可知，第三輪的傳染人數(shù)為，根據(jù)第三輪傳播后感染的人數(shù)只是第二輪傳播后感染人數(shù)的倍列出關(guān)于的方程求解即可．【詳解】（1）.解：設(shè)平均每人每輪感染人，根據(jù)題意得，，解得，（舍去），答：平均每人每輪感染人；（2）依題意得：，解得，答：的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意找出等量關(guān)系列方程求解是解答本題的關(guān)鍵．例5：一款服裝每件進(jìn)價(jià)為80元，銷售價(jià)為120元時(shí)，每天可售出20件，為了擴(kuò)大銷售量，增加利潤(rùn)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件服裝降價(jià)1元，那么平均每天可多售出2件．(1)設(shè)每件衣服降價(jià)x元，則每天銷售量增加______件，每件商品盈利________元（用含x的代數(shù)式表示）；(2)在讓利于顧客的情況下，每件服裝降價(jià)多少元時(shí)，商家平均每天能盈利1200元；(3)商家能達(dá)到平均每天盈利1500元嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．【答案】(1)，(2)20元(3)不能，理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)每件衣服降價(jià)x元，根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；（2）設(shè)每件服裝降價(jià)x元，則每件的銷售利潤(rùn)為元，平均每天的銷售量為件，根據(jù)題意列出一元二次方程求解即可；（3）設(shè)每件服裝降價(jià)y元，則每件的銷售利潤(rùn)為元，平均每天的銷售量為件，根據(jù)題意列出一元二次方程，然后依據(jù)判別式求解即可.【詳解】（1）設(shè)每件衣服降價(jià)x元，則每天銷售量增加件，每件商品盈利元．故答案為：，；（2）設(shè)每件服裝降價(jià)x元，則每件的銷售利潤(rùn)為元，平均每天的銷售量為件，依題意得：，整理得：，解得：．又∵需要讓利于顧客，∴．答：每件服裝降價(jià)20元時(shí)，能讓利于顧客并且商家平均每天能贏利1200元；（3）商家不能達(dá)到平均每天盈利1500元，理由如下：設(shè)每件服裝降價(jià)y元，則每件的銷售利潤(rùn)為元，平均每天的銷售量為件，依題意得：，整理得：．∵，∴此方程無(wú)解，即不可能每天盈利1500元．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確分析題目中的等量關(guān)系．【摩拳擦掌】1．三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法，例如可構(gòu)造如圖所示的圖形求解方程，這一過(guò)程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）

A．統(tǒng)計(jì)思想 B．化歸思想 C．分類討論思想 D．?dāng)?shù)形結(jié)合思想【答案】D【分析】依題意，一元二次方程的幾何解法，構(gòu)造圖形解方程，體現(xiàn)的熟悉思想是數(shù)形結(jié)合，據(jù)此即可求解．【詳解】解：依題意，造如圖所示的圖形求解方程，這一過(guò)程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想,故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程與圖形面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．2．為大力實(shí)施城市綠化行動(dòng)，某小區(qū)規(guī)劃設(shè)置一片面積為1000平方米的矩形綠地，并且長(zhǎng)比寬多30米，設(shè)綠地長(zhǎng)為x米，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B． C．D．【答案】B【分析】設(shè)綠地長(zhǎng)為x米，則寬為米，根據(jù)矩形綠地的面積為1000平方米列出方程即可．【詳解】解：設(shè)綠地長(zhǎng)為x米，則寬為米，根據(jù)題意得：，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的面積公式．3．據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的《2022年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2020年和2022年全國(guó)居民人均可支配收入分別為3.2萬(wàn)元和3.7萬(wàn)元．設(shè)2020年至2022年全國(guó)居民人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，依題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)2020年至2022年全國(guó)居民人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列出一元二次方程即可．【詳解】設(shè)2020年至2022年全國(guó)居民人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121個(gè)人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染個(gè)人．根據(jù)題意列出方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】第一輪傳染后總傳染人數(shù)為，第二輪后總傳染人數(shù)為，由此可解．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染個(gè)人，則第一輪傳染后總傳染人數(shù)為，第二輪后總傳染人數(shù)為，因此．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．參加宴會(huì)的人兩兩彼此握手，在某次宴會(huì)中，出席宴會(huì)的人一共握了次手，那么出席這次宴會(huì)的人數(shù)是________人．【答案】10【分析】設(shè)出席這次宴會(huì)的人數(shù)是人，根據(jù)一共握了次手列出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)出席這次宴會(huì)的人數(shù)是人，根據(jù)題意得：，解得：，（舍去），即出席這次宴會(huì)的人數(shù)是10人．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程．6．（2023·山西大同·大同一中?？寄M預(yù)測(cè)）2023“全晉樂(lè)購(gòu)”網(wǎng)上年貨節(jié)活動(dòng)期間，某商家購(gòu)進(jìn)一批進(jìn)價(jià)為80元/盒的呂梁沙棘汁，按150元/盒的價(jià)格進(jìn)行銷售，每天可售出160盒．后經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每盒價(jià)格降低1元時(shí)，每天可多售出8盒．若要每天盈利16000元，設(shè)每盒價(jià)格降低元，則可列方程為___________．【答案】【分析】設(shè)每件商品售價(jià)降低元，根據(jù)“每天盈利16000元”列出一元二次方程即可．【詳解】解：設(shè)每件商品售價(jià)降低元，平均每天可售出盒．依題意得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字少1，且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積等于72，則這個(gè)兩位數(shù)是_____．【答案】98【分析】設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為，根據(jù)“個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積等于72，”列出方程，即可求解．【詳解】解∶設(shè)這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為，依題意，得：，整理，得：，解得：（不合題意，舍去），，∴．故答案為：98【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確表示出這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某商場(chǎng)一種商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，售價(jià)為每件40元，每天可以銷售48件，為盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定降價(jià)促銷．(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價(jià)降至每件元，求兩次下降的百分率；(2)經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價(jià)元，每天可多銷售4件，那么每天要想獲得512元的利潤(rùn)，每件應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】(1)(2)2元【分析】（1）設(shè)每次降價(jià)的百分率為，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)元，由銷售問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系建立方程求出其解即可．【詳解】（1）解：設(shè)每次降價(jià)的百分率為，由題意，得，（不符合題意，舍去）．答：該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價(jià)降至每件元，兩次下降的百分率為；（2）解：設(shè)每天要想獲得512元的利潤(rùn)，且更有利于減少庫(kù)存，則每件商品應(yīng)降價(jià)元，由題意，得，解得：．答：要使商場(chǎng)每天要想獲得512元的利潤(rùn)，每件應(yīng)降價(jià)2元．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系，列出方程，解答即可．9．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）一個(gè)兩位數(shù)是一個(gè)一位數(shù)的平方，把這個(gè)一位數(shù)放在這個(gè)兩位數(shù)的左邊所成的三位數(shù)，比把這個(gè)一位數(shù)放在這個(gè)兩位數(shù)的右邊所成的三位數(shù)大，求這個(gè)兩位數(shù)．【答案】16或49【分析】設(shè)一位數(shù)為，則兩位數(shù)為，根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】設(shè)一位數(shù)為，則兩位數(shù)為．則根據(jù)題意可得：，

整理得：．分解得：，解得：，．答：這個(gè)兩位數(shù)為16或49．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，把一個(gè)一位數(shù)放在這個(gè)兩位數(shù)的左邊所成的三位數(shù)，可以表示為；把一個(gè)一位數(shù)放在這個(gè)兩位數(shù)的右邊所成的三位數(shù)，可以表示為，讀懂題意，找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．10．（2020秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)期末）如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園（圍墻最長(zhǎng)可利用），現(xiàn)在已備足可以砌長(zhǎng)的墻的材料．(1)當(dāng)長(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形花園的面積為米；(2)能否圍成矩形花園面積為米，為什么？【答案】(1)米(2)不能，理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，則，根據(jù)矩形花園的面積為，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合圍墻最長(zhǎng)可利用，即可確定結(jié)論；（2）設(shè)，則，根據(jù)矩形花園的面積為，即可得出關(guān)于的一元二次方程，由根的判別式，即可得出該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可得出不能圍成面積為的矩形花園．【詳解】（1）解：設(shè)，則，依題意得：，整理得：，解得：，．當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意．答：當(dāng)長(zhǎng)度是時(shí)，矩形花園的面積為．（2）不能，理由如下：設(shè)，則，依題意得：，整理得：．，該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，不能圍成面積為的矩形花園．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）牢記“當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根”．11．（2023·河南開封·統(tǒng)考一模）閱讀材料，解決問(wèn)題．相傳古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題．他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來(lái)表示數(shù)，比如，他們研究過(guò)1、3、6、10…，由于這些數(shù)可以用圖中所示的三角點(diǎn)陣表示，他們就將每個(gè)三角點(diǎn)陣中所有的點(diǎn)數(shù)和稱為三角數(shù)．則第n個(gè)三角數(shù)可以用（且為整數(shù)）來(lái)表示．(1)若三角數(shù)是55，則______；(2)把第n個(gè)三角點(diǎn)陣中各行的點(diǎn)數(shù)依次換為2，4，6，…，2n，…，請(qǐng)用含n的式子表示前n行所有點(diǎn)數(shù)的和；(3)在（2）中的三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和能為120嗎？如果能，求出n，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)10(2)(3)不能，理由見(jiàn)解析【分析】（1）直接根據(jù)題意建立方程進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意得到前n行所有點(diǎn)數(shù)的和為，然后提取公因數(shù)2即可得到答案；（3）根據(jù)題意建立方程，求出n不是正整數(shù)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意得，，即，∴，解得（負(fù)值舍去），故答案為：10；（2）解：由題意得：前n行所有點(diǎn)數(shù)的和為；（3）解：不能，理由如下：假設(shè)能為120，則，即解得：，∵n為正整數(shù)，∴前n行的點(diǎn)數(shù)和不能為120．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，數(shù)字類的規(guī)律探索，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．12．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）一個(gè)兩位數(shù)，它們的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為，如果把十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字調(diào)換后，所得的兩位數(shù)乘以原來(lái)的兩位數(shù)就得，求原來(lái)的兩位數(shù)．【答案】或【分析】設(shè)個(gè)位數(shù)字為，則十位數(shù)字是．再建立方程，再解方程即可．【詳解】解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為，則十位數(shù)字是．根據(jù)題意可得：，整理得：．分解得：，

解得：，．答：原來(lái)的兩位數(shù)是或．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用一元二次方程解決數(shù)字問(wèn)題，確定相等關(guān)系列方程是解本題的關(guān)鍵．【知不足】1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）有人患了流感后，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了人，則根據(jù)題意可列方程（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了人，根據(jù)題意列出一元二次方程即可求解．【詳解】設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了人，則根據(jù)題意可列方程,故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）參加一次活動(dòng)的每個(gè)人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人參加活動(dòng)？設(shè)有人參加活動(dòng)，可列方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)有人參加活動(dòng)，每個(gè)人與其他人握手的次數(shù)均為次，并且每個(gè)人與其他人握手均重復(fù)一次，由此列出方程即可．【詳解】解：設(shè)有x人參加活動(dòng)，每個(gè)人與其他人握手的次數(shù)均為次，并且每個(gè)人與其他人握手均重復(fù)一次，由此可得：，故選：A．【點(diǎn)睛】題目主要考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，列出方程是解題關(guān)鍵．3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在一塊長(zhǎng)，寬的矩形耕地上挖三條水渠（水渠的寬都相等），水渠把耕地分成6個(gè)矩形小塊（陰影部分），如果6個(gè)矩形小塊的面積和為，那么水渠應(yīng)挖多寬？若設(shè)水渠應(yīng)挖xm寬，則根據(jù)題意，下面所列方程中正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】6個(gè)矩形小塊通過(guò)平移可以得到一個(gè)大的矩形，求出矩形的長(zhǎng)和寬，根據(jù)面積為即可列出方程．【詳解】解：由題意知，6個(gè)矩形小塊通過(guò)平移可以得到一個(gè)大的矩形，長(zhǎng)為，寬為，6個(gè)矩形小塊的面積和為，．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程，解題的關(guān)鍵是用含x的代數(shù)式表示出6個(gè)矩形小塊合成的大矩形的長(zhǎng)和寬．4．（2023春·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，…都是直角三角形，請(qǐng)細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問(wèn)題．；；；請(qǐng)用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律：_________．若，則___________．【答案】15【分析】根據(jù)給出的數(shù)字，抽象出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律，進(jìn)行作答即可。【詳解】解：∵；；；，∴，∴，∴，解得：或（舍去）；故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考考查數(shù)字規(guī)律探究。解題的關(guān)鍵是通過(guò)已知數(shù)據(jù)，抽象概括出相應(yīng)的數(shù)字規(guī)律。5．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）某件服裝廠促銷一種服裝，原來(lái)每件每件售價(jià)為200元，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，該種服裝每件售價(jià)為98元，則平均每次降價(jià)的百分率為__________．【答案】【分析】設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，那么第一次降價(jià)后為，第二次降價(jià)后為，然后根據(jù)每件的價(jià)格由原來(lái)的200元降為現(xiàn)在的98元即可列出方程，解方程即可．【詳解】設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，依題意得，∴，∴，解得，（舍去）．即：平均每次降價(jià)的百分率為．故答案是：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程增長(zhǎng)率問(wèn)題的應(yīng)用，一般兩次增長(zhǎng)的公式為原來(lái)的量后來(lái)的量，增長(zhǎng)用＋，減少用?．6．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位個(gè)，并按計(jì)劃逐月增長(zhǎng)，預(yù)計(jì)八月份將提供崗位個(gè)．設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，可列方程為___________．【答案】【分析】設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意列出一元二次方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，增長(zhǎng)率問(wèn)題，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．7．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）為了加快數(shù)字化城市建設(shè)，某市計(jì)劃新建一批智能充電樁，第一個(gè)月新建了301個(gè)充電樁，第三個(gè)月新建了500個(gè)充電樁，設(shè)該市新建智能充電樁個(gè)數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，請(qǐng)列出方程________．【答案】【分析】根據(jù)變化前數(shù)量變化后數(shù)量，即可列出方程．【詳解】第一個(gè)月新建了301個(gè)充電樁，該市新建智能充電樁個(gè)數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為．第二個(gè)月新建了個(gè)充電樁，第三個(gè)月新建了個(gè)充電樁，第三個(gè)月新建了500個(gè)充電樁，于是有，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用中的增長(zhǎng)率問(wèn)題，若設(shè)平均增長(zhǎng)率為，則有，其中表示變化前數(shù)量，表示變化后數(shù)量，表示增長(zhǎng)次數(shù)．解決增長(zhǎng)率問(wèn)題時(shí)要注意區(qū)分變化前數(shù)量和變化后數(shù)量，同時(shí)也要注意變化前后經(jīng)過(guò)了幾次增長(zhǎng)．8．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）某商場(chǎng)銷售一批襯衫，進(jìn)貨價(jià)為每件元，按每件元出售，一個(gè)月內(nèi)可售出件．已知這種襯衫每件漲價(jià)元，其銷售量要減少件．為了減少庫(kù)存量，且在月內(nèi)賺取元的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每件多少元？【答案】元【分析】根據(jù)等量關(guān)系式：?jiǎn)渭麧?rùn)銷售量總利潤(rùn)，列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這種襯衫每件漲價(jià)元，由題意可得，整理可得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，可賣件數(shù)：，當(dāng)時(shí)，可賣件數(shù)：，要減少庫(kù)存量，售價(jià)應(yīng)定為每件（元）．答：售價(jià)應(yīng)定為每件元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程在銷售利潤(rùn)問(wèn)題中的應(yīng)用，找出等量關(guān)系式，進(jìn)行正確求解是解題的關(guān)鍵．9．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）要建一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，為了節(jié)省材料，養(yǎng)雞場(chǎng)的一邊利用原有的一道墻，另三邊用鐵絲網(wǎng)圍成，如果鐵絲網(wǎng)的長(zhǎng)為．

(1)若墻足夠長(zhǎng)，則養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)與寬各為多少？(2)若給定墻長(zhǎng)為，則墻長(zhǎng)a對(duì)題目的解是否有影響？【答案】(1)養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為或，寬為或；(2)當(dāng)時(shí)，題目無(wú)解；當(dāng)時(shí)，題目只有一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，題目有兩個(gè)解．【分析】（1）設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為，則平行于墻的邊長(zhǎng)為，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式結(jié)合養(yǎng)雞場(chǎng)的面積為，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可分、及三種情況，找出題目解的個(gè)數(shù)．【詳解】（1）解：設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為，則平行于墻的邊長(zhǎng)為，依題意，得：，整理，得：，解得：，∴或．答：養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為或，寬為或；（2）解：當(dāng)時(shí)，題目無(wú)解；當(dāng)時(shí)，題目只有一個(gè)解；當(dāng)時(shí)，題目有兩個(gè)解．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．10．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）圣誕節(jié)昂立師生互送賀卡，總共送出張，求昂立共有師生多少人？【答案】31人【分析】設(shè)昂立共有師生人，再建立方程：，再解方程即可．【詳解】解：設(shè)昂立共有師生人，由題意可得：，整理得：，解得：，（負(fù)值舍去）．答：昂立共有師生31人．【點(diǎn)睛】本題主要考查互送卡片問(wèn)題，一元二次方程的應(yīng)用，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，注意由于每人都要送到，因此不用除2．11．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，用籬笆靠墻圍成矩形花圃，一面利用舊墻，其余三面用籬笆圍，墻可利用的最大長(zhǎng)度為，籬笆長(zhǎng)為，設(shè)平行于墻的邊長(zhǎng)為．(1)若圍成的花圃面積為時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖，若計(jì)劃在花圃中間用一道籬笆隔成兩個(gè)小矩形，且花圃面積為，請(qǐng)你判斷能否圍成花圃，如果能，求的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)的長(zhǎng)為米；(2)不能圍成花圃，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）由于籬笆總長(zhǎng)為，設(shè)平行于墻的邊長(zhǎng)為，由此得到，接著根據(jù)題意列出方程，解方程即可求出的長(zhǎng)；（2）不能圍成花圃；根據(jù)（）得到，此方程的判別式，由此得到方程無(wú)實(shí)數(shù)解，所以不能圍成花圃；【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，，則，∴，因?yàn)?，所以舍去，所以，答：的長(zhǎng)為米；（2）解：不能圍成花圃，理由如下：根據(jù)題意得，，方程可化為，∴，∴方程無(wú)實(shí)數(shù)解，∴不能圍成花圃；【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，同時(shí)也利用了矩形的性質(zhì)，解題時(shí)首先正確理解題意，然后根據(jù)題意列出方程即可解決問(wèn)題．12．（2023春·北京東城·八年級(jí)匯文中學(xué)?？计谥校┤龂?guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了用幾何法對(duì)一元二次方程進(jìn)行求解的方法，以為例，大致過(guò)程如下：第一步：將原方程變形為．即．第二步：構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)比寬大2，且面積為3，如圖①所示．第三步：用四個(gè)這樣的長(zhǎng)方形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，如圖②所示．第四步：將大正方形邊長(zhǎng)用含的代數(shù)式表示為______．小正方形邊長(zhǎng)為常數(shù)______，長(zhǎng)方形面積之和為常數(shù)______．由觀察可得，大正方形面積等于四個(gè)長(zhǎng)方形與小正方形面積之和，得方程______，兩邊開方可求得，．

(1)第四步中橫線上應(yīng)依次填入______，______，______，______；(2)請(qǐng)參考古人的思考過(guò)程，畫出示意圖，寫出步驟，解方程．【答案】(1)，2，12，(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，表示出大正方形的邊長(zhǎng)，小正方形的邊長(zhǎng)，長(zhǎng)方形面積之和，再由大正方形面積等于四個(gè)長(zhǎng)方形與小正方形面積之和列出方程即可得到答案；（2）先將原方程變形，構(gòu)造出一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)比寬大1，且面積為3，再用四個(gè)這樣的長(zhǎng)方形圍城一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，然后根據(jù)大正方形面積等于四個(gè)長(zhǎng)方形與小正方形面積之和，得出一個(gè)方程，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：大正方形的邊長(zhǎng)為：，小正方形的邊長(zhǎng)為：，長(zhǎng)方形面積之和為：，大正方形面積等于四個(gè)長(zhǎng)方形與小正方形面積之和，，故答案為：，2，12，；（2）解：第一步：將原方程變形為，即，第二步：構(gòu)造成一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)比寬大1，且面積為3，第三步：用四個(gè)這樣的長(zhǎng)方形圍城一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，如圖所示，，

第四步：將大正方形邊長(zhǎng)用含的代數(shù)式表示為，小正方形邊長(zhǎng)為常數(shù)，長(zhǎng)方形面積之和為常數(shù)，由觀察可得，大正方形面積等于四個(gè)長(zhǎng)方形與小正方形面積之和，得方程，兩邊開方可求得，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是長(zhǎng)方形、正方形的面積公式，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程．13．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）隨旅游旺季的到來(lái)，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬(wàn)人，4月份游客人數(shù)為2.5萬(wàn)人．(1)求這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率；(2)預(yù)計(jì)5月份該景區(qū)游客人數(shù)會(huì)繼續(xù)增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)率不會(huì)超過(guò)前兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬(wàn)人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬(wàn)人？【答案】(1)這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為(2)5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是1萬(wàn)人【分析】（1）設(shè)這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，列出一元二次方程，進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)5月份后10天日均接待游客人數(shù)是y萬(wàn)人，根據(jù)題意，列出不等式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：設(shè)這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為，由題意，得：，解得：（負(fù)值已舍掉）；答：這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為；（2）設(shè)5月份后10天日均接待游客人數(shù)是y萬(wàn)人，由題意，得：，解得：；∴5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是1萬(wàn)人．【一覽眾山小】1．（2023·浙江·一模）取一張長(zhǎng)與寬之比為的長(zhǎng)方形紙板，剪去4個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形（如圖），并用它做一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體形狀的包裝盒．要使包裝盒的容積為（紙板的厚度略去不計(jì)），則這張長(zhǎng)方形紙板的周長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)這張長(zhǎng)方形紙板的長(zhǎng)為厘米，寬為厘米，根據(jù)包裝盒的容積為，得，解方程即可．【詳解】設(shè)這張長(zhǎng)方形紙板的長(zhǎng)為厘米，寬為厘米，根據(jù)題意，得，解方程，得（不合題意，舍去），，∴厘米，∴厘米．∴這張長(zhǎng)方形紙板的周長(zhǎng)為84厘米．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確表示出長(zhǎng)方體的底面積是解題的關(guān)鍵．2.（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長(zhǎng)35米、寬20米的矩形，為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為()BC．D．【答案】C【分析】設(shè)小道的寬為米，則陰影部分可合成長(zhǎng)為米，寬為米的矩形，再利用矩形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)小道的寬為米，則陰影部分可合成長(zhǎng)為米，寬為米，依題意得：，故選：C．【點(diǎn)睛】考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．3．（2023·重慶·西南大學(xué)附中?？既＃┠持袑W(xué)連續(xù)3年開展植樹活動(dòng)，已知第一年植樹500棵，第三年植樹720棵，若設(shè)該校這兩年植樹棵數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)該校這兩年植樹棵樹的年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意列出方程即可求解．【詳解】解：設(shè)該校這兩年植樹棵樹的年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意、找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）某縣年人均可支配收入為萬(wàn)元，年達(dá)到萬(wàn)元，若年至年間每年人均可支配收入的增長(zhǎng)率都為，則下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)年至年間每年人均可支配收入的增長(zhǎng)率都為，根據(jù)題意列出一元二次方程即可．【詳解】解：設(shè)年至年間每年人均可支配收入的增長(zhǎng)率都為，根據(jù)題意得，，故選：B．5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121個(gè)人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了（

）個(gè)人．A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中．設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則第一輪傳染了x個(gè)人，第二輪作為傳染源的是人，則傳染人，依題意列方程：，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，依題意得：，即，解方程得(舍去)，即每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題目，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出方程模型，設(shè)出未知數(shù)，找出等量關(guān)系，列方程求解．6．（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校?？既＃┤鐖D，將一張正方形鐵皮的四個(gè)角同時(shí)切去邊長(zhǎng)為2的四個(gè)小正方形，制成一個(gè)無(wú)蓋箱子，若箱子的底面邊長(zhǎng)為，原正方形鐵皮的面積為，則無(wú)蓋箱子的外表面積為（）

A．1 B．4 C．6 D．9【答案】D【分析】根據(jù)題意，得出原正方形鐵皮的邊長(zhǎng)為，從而得到原正方形鐵皮的面積為，即，解得，從而得到無(wú)蓋箱子的外表面積為，即可得到答案．【詳解】解：正方形鐵皮的四個(gè)角同時(shí)切去邊長(zhǎng)為2的四個(gè)小正方形，制成一個(gè)無(wú)蓋箱子，若箱子的底面邊長(zhǎng)為，原正方形鐵皮的邊長(zhǎng)為，原正方形鐵皮的面積為，又正方形鐵皮的面積為，，解得，無(wú)蓋箱子的外表面積為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查方程的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，準(zhǔn)確表示出各個(gè)邊長(zhǎng)，根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）空地上有一段長(zhǎng)為a米的舊墻，工人師傅欲利用舊墻和木棚欄圍成一個(gè)封閉的長(zhǎng)方形菜園（如圖），已知木柵欄總長(zhǎng)為40米，所圍成的長(zhǎng)方形菜園面積為S平方米．若，，則（）

A．有一種圍法 B．有兩種圍法 C．不能圍成菜園 D．無(wú)法確定有幾種圍法【答案】A【分析】設(shè)矩形的邊為x米，則寬為米，根據(jù)面積建立一元二次方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，設(shè)矩形的邊為x米，則寬為米，

根據(jù)題意得：，即：，解得：，，而，∴，∴，∴只有一種圍法，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立正確的方程．8．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在y軸上，邊在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，D為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把沿折疊，若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在矩形的對(duì)角線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，從而可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，然后在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

矩形的邊在軸上，邊在軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，由折疊的性質(zhì)得：，在中，，即，解得或（不符合題意，舍去），，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、一次函數(shù)的幾何應(yīng)用、勾股定理、折疊的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用，正確求出直線的函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．9．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）某校截止到年底，校園綠化面積為平方米．為美化環(huán)境，該校計(jì)劃年底綠化面積達(dá)到平方米．利用方程想想，設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為，則依題意列方程為__________．【答案】【分析】設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為，依題意列出一元二次方程即可求解．【詳解】解：設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為，則依題意列方程為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．10．（2023·內(nèi)蒙古·二模）端午節(jié)又稱端陽(yáng)節(jié)，是中華民族重要的傳統(tǒng)節(jié)日，我國(guó)各地都有吃粽子的習(xí)俗，某超市以9元每袋的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批棕子，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，售價(jià)定為每袋15元，每天可售出200袋；若售價(jià)每降低1元，則可多售出70袋，問(wèn)此種粽子售價(jià)降低多少元時(shí)，超市每天售出此種粽子的利潤(rùn)可達(dá)到1360元？若設(shè)每袋棕子售價(jià)降低x元，則可列方程為____________．【答案】【分析】由售價(jià)及銷售間的關(guān)系，可得出降價(jià)后每袋粽子的銷售利潤(rùn)為，每天可售出袋，利用超市每天售出此種粽子的利潤(rùn)每袋的銷售利潤(rùn)日銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：根據(jù)題意得：每袋粽子的銷售利潤(rùn)為，每天可售出袋，∴超市每天售出此種粽子的利潤(rùn)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．11．（2021秋·廣東河源·七年級(jí)校考期中）某批發(fā)店將進(jìn)價(jià)為元的小商品按元賣出時(shí)，可賣出件，已知這種商品每件漲價(jià)元，其銷售量就減少件．若要賺得元利潤(rùn)，設(shè)每件漲價(jià)元，則滿足方程____．【答案】【分析】設(shè)每件漲價(jià)元，小商品的利潤(rùn)為元，再根據(jù)每件漲價(jià)元其銷售量就減少件得到該商品的銷售量件，再根據(jù)根據(jù)總利潤(rùn)單件利潤(rùn)銷售數(shù)量即可解答．【詳解】解：設(shè)每件漲價(jià)元根據(jù)題意，可得方程，故答案為；【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意明確題目中的數(shù)量關(guān)系與等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在寬為，長(zhǎng)為的矩形地面上修建兩條同樣寬且互相垂直的道路，其余部分作為耕地為．則道路的寬為是______．【答案】1米【分析】設(shè)道路的寬為．由題意可得：，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)道路的寬為．由題意可得：，整理得：，

解得：，（不符合題意，舍去）．∴道路的寬為米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）某家電超市銷售一款智能水壺，平均每天可售出件，每件贏利元，為了擴(kuò)大銷售，增加贏利，盡快減少庫(kù)存，超市決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件水壺每降價(jià)元，超市平均每天可多售出件，若超市銷售水壺平均每天要贏利元，每件水壺應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】元【分析】設(shè)每件水壺應(yīng)降價(jià)元，則每件盈利元，平均每天可售出件，利用商場(chǎng)每天銷售該款水壺獲得的總利潤(rùn)每件水壺的銷售利潤(rùn)每天的銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合要盡快減少庫(kù)存，即可得出每件水壺應(yīng)降價(jià)元．【詳解】解：設(shè)每件水壺應(yīng)降價(jià)元，則每件盈利元，平均每天可售出件，依題意得：，整理得：，解得：，．又要盡快減少庫(kù)存，符合題意．答：每件水壺應(yīng)降價(jià)元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．14．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）某書店銷售一本科普讀物，進(jìn)價(jià)為每本16元，若按每本30元銷售，平均每月能賣出200本．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在不虧本的情況下，為減少庫(kù)存，若每本售價(jià)降低1元，則平均每月可多賣出20本．設(shè)每本科普讀物的售價(jià)降低元．(1)小宇說(shuō)：“既然降價(jià)銷售，薄利多銷，那么就有可能賣出600本．”請(qǐng)判斷小宇的說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由；(2)若該書店銷售此科普讀物想平均每月的銷售利潤(rùn)為2860元，銷售經(jīng)理甲說(shuō)：“在原售價(jià)的基礎(chǔ)上降低3元，可以完成任務(wù)”，銷售經(jīng)理乙說(shuō)：“在原售價(jià)的基礎(chǔ)上降低1元即可”，請(qǐng)判斷甲、乙兩人的說(shuō)法是否正確并指出應(yīng)采取誰(shuí)的意見(jiàn)．【答案】(1)不正確，理由見(jiàn)解析(2)甲、乙兩人的說(shuō)法都正確，應(yīng)采取銷售經(jīng)理甲的意見(jiàn)【分析】（1）根據(jù)題意賣出600本得到銷售價(jià)格，發(fā)現(xiàn)低于成本則不能獲利，故不正確；（2）據(jù)題意列出一元二次方程，解出結(jié)果后得出結(jié)論．【詳解】（1）解：小宇的說(shuō)法不正確，理由是：根據(jù)小宇的說(shuō)法可列方程，解得，∵售價(jià)為，∴此時(shí)虧本銷售，與題意不符，∴小宇的說(shuō)法不正確．（2）解：由題意得解得，，∴兩人的說(shuō)法都正確．∵由于增加銷售量可以減少庫(kù)存，∴應(yīng)采取銷售經(jīng)理甲的意見(jiàn)．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，其中根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·江蘇·八年級(jí)期末）某體育用品店銷售一種運(yùn)動(dòng)鞋，當(dāng)每雙的零售價(jià)為300元時(shí)，每天能賣出10雙，經(jīng)過(guò)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)單價(jià)降低10元，每天就能多賣出10雙，但是單價(jià)不能低于200元，按此規(guī)律，如果該店某天銷售這種運(yùn)動(dòng)鞋的銷售額為396