第一章 數(shù)值積分

第一章數(shù)據(jù)處理1.2數(shù)值微分1.2.1用差商近似微商我們知道函數(shù)

在

的導(dǎo)數(shù)可以通過下述差商的極限得到

因此可以通過適當(dāng)選取h達(dá)到用差商

近似導(dǎo)數(shù)的目的，這就是利用差商代替導(dǎo)數(shù)的思想。第一章數(shù)據(jù)處理1.2數(shù)值微分中心差商

向前差商

向后差商

1.2數(shù)值微分對于二階導(dǎo)數(shù)則有：第一章數(shù)據(jù)處理第一章數(shù)據(jù)處理1.2數(shù)值微分1.2.2用插值函數(shù)計(jì)算微商方法思想：利用插值多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)作為導(dǎo)數(shù)的近似當(dāng)，則有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，可以取0，1當(dāng)，有三個(gè)點(diǎn)，可以取0，1，2（1）兩點(diǎn)求導(dǎo)公式（2）三點(diǎn)求導(dǎo)公式例題：

原始數(shù)據(jù)記錄10.330.250.1t/minCt/(g/L)求在t=1min，3min和5min時(shí)的反應(yīng)速度。第一章數(shù)據(jù)處理1.2數(shù)值微分解：當(dāng)只選取兩個(gè)點(diǎn)1和3當(dāng)課堂練習(xí)（三）x1.01.11.21.3f(x)0.250.22860.20660.1898用兩點(diǎn)求導(dǎo)公式和三點(diǎn)求導(dǎo)公式求出x為1.0及1.1處的導(dǎo)數(shù)值：1.3數(shù)值積分一、數(shù)值積分的必要性本章主要討論如下形式的一元函數(shù)積分在微積分里，按Newton-Leibniz公式求定積分要求被積函數(shù)?有解析表達(dá)式；?

的原函數(shù)

為初等函數(shù)．

實(shí)際問題1.

的原函數(shù)

不能用初等函數(shù)表示例如函數(shù):2.

有些被積函數(shù)其原函數(shù)雖然可以用初等函數(shù)表示成有限形式,但表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜,計(jì)算極不方便.例如函數(shù):并不復(fù)雜,但它的原函數(shù)卻十分復(fù)雜:3.

沒有解析表達(dá)式，只有數(shù)表形式:1423454.5688.5原來通過原函數(shù)來計(jì)算積分有它的局限性。那……怎么辦呢？呵呵…這就需要積分的數(shù)值方法來幫忙啦。二、數(shù)值積分的基本思想1、定積分的幾何意義3、求積公式的構(gòu)造

若簡單選取區(qū)間端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值作為平均高度，則可得一點(diǎn)求積公式如下：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：

若取兩點(diǎn)，并令，則可得梯形公式（兩點(diǎn)求積公式）則可得Simpson公式(三點(diǎn)求積公式)

若取三點(diǎn)，并令1.3.1插值型求積公式一、定義在積分區(qū)間上，取個(gè)節(jié)點(diǎn)作

的次代數(shù)插值多項(xiàng)式（拉格朗日插值公式）:則有其中，為插值余項(xiàng)。于是有：取Ak由節(jié)點(diǎn)決定，與

無關(guān)。稱為插值型求積公式Newton-Cotes公式1、定義一、Cotes系數(shù)取節(jié)點(diǎn)為等距分布：由此構(gòu)造的插值型求積公式稱為Newton-Cotes公式,此時(shí)求積系數(shù)：令Cotes系數(shù)二、Newton-Cotes公式1、定義：記則求積公式變?yōu)榉Q上式為n階閉型Newton-Cotes求積公式。注意:由式Cotes系數(shù)只與和有關(guān),

與

和積分區(qū)間無關(guān)，且滿足:2、截?cái)嗾`差Newton-Cotes公式的誤差為:與x有關(guān)三、幾種常用的低階求積公式n=1:梯形公式代數(shù)精度=1n=2:Simpson公式代數(shù)精度=3n=4:

Cotes公式代數(shù)精度=5,這里1.3.2求積公式的代數(shù)精度定義：如果求積公式對于不高于m次的代數(shù)多項(xiàng)式都能精確成立，而對m+1次多項(xiàng)式不能精確成立，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。例1:對梯形公式

解：令

首先將代入左邊=b-a，右邊=b-a代入左邊=，右邊=

代入左邊=，右邊=所以梯形公式的代數(shù)精度為1。例2確定以下求積公式的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡可能高又由于3、代數(shù)精度定理：含有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)利用插值公式來確定的數(shù)值積分公式，它至少具有n次代數(shù)精度。

我們可以用余項(xiàng)的思想來理解此定理：令所以左邊=右邊，至少為n次。作為插值型求積公式，具有次代數(shù)精度，階Newton-Cotes公式至少而實(shí)際的代數(shù)精度是否可以進(jìn)一步提高呢？定理當(dāng)階數(shù)為偶數(shù)時(shí),Newton-Cotes公式至少具有次代數(shù)精度。證明:只需驗(yàn)證當(dāng)為偶數(shù)時(shí),Newton-Cotes公式對的余項(xiàng)為零。由于

,所以

即得引進(jìn)變換,因?yàn)闉榕紨?shù),故為整數(shù),于是有據(jù)此可斷定

,因?yàn)樯鲜霰环e函數(shù)是個(gè)奇函數(shù).1.3.3復(fù)化求積公式

高次插值有Runge現(xiàn)象，怎么辦？可采用分段低次插值來解決高階Newton-Cotes公式會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定。而低階Newton-Cotes公式有時(shí)又不能滿足精度要求，怎么辦？可將積分區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用低階求積公式計(jì)算，然后求和。

復(fù)化梯形公式：在每個(gè)上用梯形公式：=

Tn

復(fù)化梯形公式積分法

復(fù)化Simpson公式：44444=

Sn

復(fù)化Simpson公式積分法

復(fù)化Cotes公式：=

Cn

收斂速度與誤差估計(jì)：定義：若一個(gè)積分公式的誤差滿足，且

，則稱該公式是p

階收斂的。~~~例:利用數(shù)據(jù)表01/83/81/25/83/47/811/422.265492.460002.876403.200003.506853.764703.938464計(jì)算積分解：這個(gè)問題有明顯的答案取n=8用復(fù)化梯形公式=3.138988494取n=4

用辛普生公式=3.141592502運(yùn)算量基本相同1.3.4變步長求積公式1）梯形公式的加速由前面的誤差分析得，復(fù)化梯形求積公式的截?cái)嗾`差為

類似根據(jù)復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差為

兩式相比可得：即：

假設(shè)已知，，則2）辛普森公式的加速類似梯形加速公式的導(dǎo)出，由的截?cái)嗾`差為

可得，如何證明？？1.3.5龍貝格積分例:計(jì)算已知對于

=106

須將區(qū)間對分9次，得到T512=3.14159202考察由來計(jì)算I

效果是否好些？=3.141592502=S4一般有：Romberg序列

Romberg算法：<

?<

?<

?………………

T1=)0(0T

T8=)3(0T

T4=)2(0T

T2=)1(0T

S1=)0(1T

R1=)0(3T

S2=)1(1T

C1=)0(2T

C2=)1(2T

S4=)2(1T問題的提出:已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求它們的近似函數(shù)關(guān)系y＝f(x).需要解決兩個(gè)問題:1.確定近似函數(shù)的類型

根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布規(guī)律

根據(jù)問題的實(shí)際背景2.確定近似函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有誤差,不能要求1.4最小二乘曲線擬合

偏差有正有負(fù),值都較小且便于計(jì)算,可由偏差平方和最小為使所有偏差的絕對來確定近似函數(shù)f(x).最小二乘法原理:設(shè)有一列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分布在某條曲線上,通過偏差平方和最小求該曲線的方法稱為最小二乘法,找出的函數(shù)關(guān)系稱為經(jīng)驗(yàn)公式.,它們大體特別,當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布近似一條直線時(shí),問題為確定a,b

令滿足:使得解此線性方程組即得a,b稱為法方程組(注意其特點(diǎn))例1.為了測定刀具的磨損速度,每隔1小時(shí)測一次刀具的厚度,得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:找出一個(gè)能使上述數(shù)據(jù)大體適合的經(jīng)驗(yàn)公式.解:

通過在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)可看出它們大致在一條直線上,列表計(jì)算:故可設(shè)經(jīng)驗(yàn)公式為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567得法方程組解得故所求經(jīng)驗(yàn)公式為0027.0074924.8137.628140208.5717.0為衡量上述經(jīng)驗(yàn)公式的優(yōu)劣,計(jì)算各點(diǎn)偏差如下:稱為均方誤差,對本題均方誤差它在一定程度上反映了經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的好壞.偏差平方和為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.0860.093－0.200例2.

在研究某單分子化學(xué)反應(yīng)速度時(shí),得到下列數(shù)據(jù):57.641.931.022.716.612.28.96.53691215182124123456