2024-2025學(xué)年重慶市北碚區(qū)西南大學(xué)附中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年重慶市北碚區(qū)西南大學(xué)附中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請將答題卡上對應(yīng)題目的正確答案標(biāo)號涂黑．1．（4分）﹣2024的絕對值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（4分）下列圖形是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）已知點（﹣2，1）在反比例函數(shù)的圖象上（）A．2 B．﹣2 C． D．4．（4分）下列調(diào)查中，適合采用全面調(diào)查的是（）A．調(diào)查一批圓珠筆的使用壽命 B．調(diào)查全國九年級學(xué)生的睡眠情況 C．調(diào)查重慶市民坐輕軌出行的意愿 D．調(diào)查“神十八”載人飛船各零部件質(zhì)量5．（4分）兩個相似三角形的面積比為1：4，那么這兩個三角形的周長比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：166．（4分）如圖，點A、B、C在⊙O上，∠ACB＝55°（）A．30° B．35° C．40° D．55°7．（4分）估計的值在（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間8．（4分）如圖，每個圖案均由邊長相等的黑、白兩色正方形按規(guī)律拼接而成，照此規(guī)律（）個．A．43 B．47 C．53 D．579．（4分）如圖，正方形ABCD邊BC上有一點E，CB延長線上有一點F，若∠EAF＝45°，tan∠AFB＝2，則（）A． B． C． D．10．（4分）給定一列數(shù)，我們把這列數(shù)中第一個數(shù)記為a1，第二個數(shù)記為a2，第三個數(shù)記為a3，以比類推，第n個數(shù)記為an．已知a1＝x，并規(guī)定：，Sn＝a1+a2+a3+?+an．下列說法：①a2＝a10；②T1+T2+T3+?+T2024＝0；③對于任意正整數(shù)k，都有成立．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本大題共8小題，每小題4分，共32分．請將正確答案寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．11．（4分）計算：＝．12．（4分）一個多邊形的每一個內(nèi)角都是108°，那么這個多邊形的邊數(shù)是．13．（4分）甲、乙兩個不透明的盒子中，分別裝有除顏色外完全相同的小球，甲盒中裝有1個紅球、2個白球，從甲、乙兩盒中各取一個球，則兩球顏色相同的概率為．14．（4分）為改善農(nóng)民生活質(zhì)量，落實惠農(nóng)政策，我國農(nóng)村燃氣普及率逐年上升．某地區(qū)農(nóng)村2022年新開通燃氣20萬戶，則該地區(qū)農(nóng)村這兩年新開通燃氣的年平均增長率是．15．（4分）如圖，BD為Rt△ABC斜邊AC上的中線，過點D作BC的垂線交BC于點E，AB＝BE＝1，則DF＝．16．（4分）若關(guān)于x的不等式組至少有3個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程，則符合條件的所有整數(shù)a的和為．17．（4分）如圖，以AB為直徑的⊙O與AE相切于點A，BE與⊙O交于點D，連接CE交AB于點F、交⊙O于點G．若BH＝2，AH＝8，AG＝．18．（4分）我們規(guī)定：若一個四位自然數(shù)各個數(shù)位均不為零，且千位與百位的積等于十位與個位的和，千位與十位的和為10，滿足2×7＝8+6，且2+8＝10，最小的“加乘數(shù)”為；將一個“加乘數(shù)”M的千位與十位對調(diào)、百位與個位對調(diào)，得到新的數(shù)記為N，若M+N能被11整除．三、解答題：本大題8小題，共78分．解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．19．（8分）計算：（1）x（x+4y）+（x﹣2y）2；（2）．20．（10分）傳統(tǒng)節(jié)日是中華民族悠久歷史文化的重要組成部分，也是傳承和弘揚傳統(tǒng)文化的重要載體．某中學(xué)在全校七、八年級學(xué)生中開展了“傳統(tǒng)節(jié)日彰顯中華文化”知識競賽，并從七、八年級學(xué)生中各抽取20名學(xué)生的競賽成績（百分制）（成績得分用x表示，共分為四組：A．x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）下面給出了部分信息：七年級20名學(xué)生的競賽成績是：78，79，82，84，85，87，88，90，90，93，94，95，96，100．八年級20名學(xué)生的競賽成績在C組中的數(shù)據(jù)是：90，91，91，93，94．七、八年級抽取的學(xué)生的競賽成績統(tǒng)計表年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級8989.5a八年級89b91根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）填空：a＝，b＝，m＝；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為在此次知識競賽中，該校七、八年級中哪個年級的成績更好？請說明理由（一條理由即可）；（3）該校七年級有500名學(xué)生、八年級有600名學(xué)生參加了此次知識競賽，請估計七、八年級參加此次知識競賽的學(xué)生中成績優(yōu)秀（x≥90）的學(xué)生共有多少人？21．（10分）在學(xué)習(xí)了平行四邊形與矩形的相關(guān)知識后，某數(shù)學(xué)興趣小組進行了更深入的研究，他們發(fā)現(xiàn)，與平行四邊形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是矩形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他們的想法與思路（1）如圖，在平行四邊形ABCD中，CE⊥AD于點E．用尺規(guī)過點A作BC的垂線（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）已知：平行四邊形ABCD中，CE⊥AD于點E，AF⊥BC于點F．求證：四邊形AFCE是矩形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，①．∵CE⊥AD，AF⊥BC，∴∠AFB＝∠CED＝90°．在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）．∴AF＝CE，②．∴BC﹣BF＝AD﹣DE，即③．∴四邊形AFCE是平行四邊形．又∵CE⊥AD，∴四邊形AFCE是矩形．進一步思考，如果四邊形ABCD是菱形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：過菱形的一條對角線的兩個端點分別作一組對邊的垂線．22．（10分）某茶具生產(chǎn)車間有25名工人生產(chǎn)茶壺和茶杯，1個茶壺和6個茶杯配成一套．已知一名工人一天可以生產(chǎn)3個茶壺或7個茶杯．（1）要使一天生產(chǎn)的茶壺和茶杯正好配套，應(yīng)分別安排多少名工人生產(chǎn)茶壺和茶杯？（2）10月一套茶具的成本比9月提高了20%，9月投入了10萬元，10月投入的比9月多5000元，求10月每套茶具的成本是多少元？23．（10分）如圖1，在△ABC中，AB＝6，點P為AB上一點，AP＝x，Q的距離為y1，△ABC的周長與△APQ的周長之比為y2．（1）請直接寫出y1，y2分別關(guān)于x的函數(shù)表達式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y1，y2的圖象，并分別寫出函數(shù)y1，y2的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請直接寫出y1＞y2時x的取值范圍（近似值保留小數(shù)點后一位，誤差不超過0.2）．24．（10分）如圖，A，B，C，D，E分別是某湖邊的五個打卡拍照點，為了方便游客游玩，在B，D之間修了一座橋．B，C在B的正南方向，且在D的南偏西60°方向，且在D的北偏西30°方向，AB＝100米（參考數(shù)據(jù)：）（1）求BD的長度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；（2）甲、乙兩人從拍照點A出發(fā)去拍照點D，甲選擇的路線為：A﹣B﹣C﹣D，乙選擇的路線為：A﹣E﹣D．請計算說明誰選擇的路線較近？25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）經(jīng)過點，與x軸交于A，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸是直線x＝1．（1）求拋物線的表達式；（2）點P是直線BC上方拋物線上的一動點，過點P作PD∥y軸，交BC于點D．點M是y軸上的一動點，DM．當(dāng)線段PD長度取得最大值時，求△PDM周長的最小值；（3）將該拋物線進行平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過（2）中△PDM周長取得最小值時的點M（﹣4，0），F(xiàn)兩點（E在F的左側(cè)），連接EM．點N為平移后的拋物線上的一動點，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)．26．（10分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC（1）如圖1，若∠BAC＝α，線段AD旋轉(zhuǎn)到BA延長線上，交BC、AC于E，F(xiàn)，求∠AFD的度數(shù)（用含α的式子表示）；（2）如圖2，若∠BAC＝90°，線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，過點C作CE∥AB，連接DE，試用等式表示線段CD、AC、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，若∠BAC＝90°，，連接BD，交BD延長線DE于點E．當(dāng)BE取最大值時，請直接寫出

2024-2025學(xué)年重慶市北碚區(qū)西南大學(xué)附中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共10個小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請將答題卡上對應(yīng)題目的正確答案標(biāo)號涂黑．1．（4分）﹣2024的絕對值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：﹣2024的絕對值是2024．故選：A．2．（4分）下列圖形是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項A、B、D的圖形都不能找到一個點，所以不是中心對稱圖形；選項C的圖形能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合．故選：C．3．（4分）已知點（﹣2，1）在反比例函數(shù)的圖象上（）A．2 B．﹣2 C． D．【解答】解：∵點（﹣2，1）在反比例函數(shù)，∴1＝，∴k＝﹣3×1＝﹣2，故選：B．4．（4分）下列調(diào)查中，適合采用全面調(diào)查的是（）A．調(diào)查一批圓珠筆的使用壽命 B．調(diào)查全國九年級學(xué)生的睡眠情況 C．調(diào)查重慶市民坐輕軌出行的意愿 D．調(diào)查“神十八”載人飛船各零部件質(zhì)量【解答】解：A、調(diào)查一批圓珠筆的使用壽命，故本選項不符合題意；B、調(diào)查全國九年級學(xué)生的睡眠情況，故本選項不符合題意；C、調(diào)查重慶市民坐輕軌出行的意愿，故本選項不符合題意；D、調(diào)查“神十八”載人飛船各零部件質(zhì)量，故本選項符合題意．故選：D．5．（4分）兩個相似三角形的面積比為1：4，那么這兩個三角形的周長比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【解答】解：∵兩個相似三角形的面積比是1：4，∴它們的相似比是3：2，∴它們的周長比是1：6．故選：A．6．（4分）如圖，點A、B、C在⊙O上，∠ACB＝55°（）A．30° B．35° C．40° D．55°【解答】解：∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝2∠ACB＝110°，∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝35°，故選：B．7．（4分）估計的值在（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【解答】解：＝4，∵3.5＜6，∴7＜2＜6，∴6﹣8＜7，∴的值在6到7之間，故選：C．8．（4分）如圖，每個圖案均由邊長相等的黑、白兩色正方形按規(guī)律拼接而成，照此規(guī)律（）個．A．43 B．47 C．53 D．57【解答】解：第1個圖形白色正方形共8個，黑色3個，第2個圖形比第1個圖形白色比黑色又多了2個，即白色比黑色多（7+4）個，第5個圖形比第2個圖形白色比黑色又多了4個，即白色比黑色多（6+4×2）個，類推，第n個圖案中白色正方形比黑色正方形多[6+4（n﹣1）]個，故第n個圖案中白色正方形比黑色正方形多（8n+3）個．∴第10個圖案中白色正方形比黑色正方形多：4×10+2＝43（個）．故選：A．9．（4分）如圖，正方形ABCD邊BC上有一點E，CB延長線上有一點F，若∠EAF＝45°，tan∠AFB＝2，則（）A． B． C． D．【解答】解：作EH⊥AC于H點，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵∠EAF＝45°，即∠EAB+∠FAB＝45°，∠HAE+∠EAB＝45°，∴∠HAE＝∠BAF，∴∠AEH＝∠AFB，∴tan∠AEH＝tan∠AFB＝2，在Rt△AEH中，∵tan∠AEH＝，∴設(shè)HE＝x，AH＝2x，∴CH＝HE＝x，CE＝x，∵AC＝AH+CH＝2x+x＝6x，∴AB＝BC＝AC＝x，∴BE＝BC﹣CE＝x﹣x，在Rt△ABF中，∵tanABF＝，∴BF＝AB＝x，∴＝＝．故選：B．10．（4分）給定一列數(shù)，我們把這列數(shù)中第一個數(shù)記為a1，第二個數(shù)記為a2，第三個數(shù)記為a3，以比類推，第n個數(shù)記為an．已知a1＝x，并規(guī)定：，Sn＝a1+a2+a3+?+an．下列說法：①a2＝a10；②T1+T2+T3+?+T2024＝0；③對于任意正整數(shù)k，都有成立．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：根據(jù)題意可知，a1＝x，∵，∴a2＝，a3＝＝＝＝﹣，a6＝＝，a2＝＝＝＝x，a6＝，a7＝＝＝＝﹣，a7＝＝，…，∴每四個數(shù)為一個循環(huán)，∴10÷3＝2……2，故a10＝，∴a2＝a10，故①正確；由題意可知T5＝a1＝x，T2＝a8?a2＝x?＝，T4＝a1?a2?a5＝x??（﹣，T3＝a1?a2?a4?a4＝?＝6，T5＝a1?a5?a3?a4?a8＝1×x＝x，T6＝a5×a2×a3×a5×a5×a6＝，...．∴T1+T6+T3+T4＝＝＝＝＝0，由此可得an，Tn都是以4個數(shù)為一周期的數(shù)列，∵2024÷5＝506，∴T1+T2+T5+T4+...T2024＝0，故②正確；∵T2k＝1，，T4k+1＝x＝a4，∴＝＝＝．∵S4k＝a1+a5+a3+……+S4k，S7k+3＝a1+a4+a3+……+S4k+a5+a2+a3，∴S6k+3﹣S4k＝a8+a2+a3，∴＝＝＝＝＝，∴＝，故③正確，綜上所述，正確的有①②③．故選：D．二、填空題：本大題共8小題，每小題4分，共32分．請將正確答案寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．11．（4分）計算：＝1．【解答】解：原式＝2﹣1＝5．故答案為：1．12．（4分）一個多邊形的每一個內(nèi)角都是108°，那么這個多邊形的邊數(shù)是5．【解答】解：180﹣108＝72，多邊形的邊數(shù)是：360÷72＝5．則這個多邊形是五邊形．故答案為：5．13．（4分）甲、乙兩個不透明的盒子中，分別裝有除顏色外完全相同的小球，甲盒中裝有1個紅球、2個白球，從甲、乙兩盒中各取一個球，則兩球顏色相同的概率為．【解答】解：列表如下：紅白白紅（紅，紅）（紅，白）（紅，白）紅（紅，紅）（紅，白）（紅，白）白（白，紅）（白，白）（白，白）共有9種等可能的結(jié)果，其中兩球顏色相同的結(jié)果有4種，∴兩球顏色相同的概率為．故答案為：．14．（4分）為改善農(nóng)民生活質(zhì)量，落實惠農(nóng)政策，我國農(nóng)村燃氣普及率逐年上升．某地區(qū)農(nóng)村2022年新開通燃氣20萬戶，則該地區(qū)農(nóng)村這兩年新開通燃氣的年平均增長率是40%．【解答】解：設(shè)該地區(qū)農(nóng)村這兩年新開通燃氣的年平均增長率是x，由題意得：20（1+x）2＝39.6，解得：x1＝0.8＝40%，x2＝﹣2.5（不符合題意，舍去），即該地區(qū)農(nóng)村這兩年新開通燃氣的年平均增長率是40%，故答案為：40%．15．（4分）如圖，BD為Rt△ABC斜邊AC上的中線，過點D作BC的垂線交BC于點E，AB＝BE＝1，則DF＝2.5．【解答】解：∵BD為Rt△ABC斜邊AC上的中線，∴BD＝AD＝CD＝AC，∴∠DBA＝∠A，∵DE⊥BC，∴BE＝CE，∵AB＝BE＝3，∴AB＝BE＝CE＝1，在Rt△ABC中，AB＝1，由勾股定理得：AC＝＝，∴BD＝AD＝CD＝，∵∠ACB＝90°，BD⊥DF，∴∠ABC＝∠BEF＝90°，∴∠DBA+∠DBC＝90°，∠DBC+∠EBF＝90°，∴∠DBA＝∠EBF，∴∠A＝∠EBF，在△ABC和△BEF中，，∴△ABC≌△BEF（ASA），∴AC＝BF＝√5，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF＝＝．故答案為：2.5．16．（4分）若關(guān)于x的不等式組至少有3個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程，則符合條件的所有整數(shù)a的和為﹣4．【解答】解：解不等式組，得1≤x≤2a+7，∵原不等式組少有3個整數(shù)解，∴2a+3≥3，∴a≥﹣3；解分式方程，得y＝，∵y＝1是分式方程的增根，∴≠1，∴a≠7，∴a≥﹣3且a≠2．∵原分式方程有整數(shù)解，∴a+2＝±4，±2，∴a＝﹣2，﹣4，﹣1，5，2，∵a≥﹣3且a≠4，∴a＝﹣3，﹣1，6，﹣3﹣1+5＝﹣4，∴符合條件的所有整數(shù)a的和為﹣4．故答案為：﹣6．17．（4分）如圖，以AB為直徑的⊙O與AE相切于點A，BE與⊙O交于點D，連接CE交AB于點F、交⊙O于點G．若BH＝2，AH＝88，AG＝．【解答】解：連接OD，BC∵BH＝2，AH＝8，∴AB＝BH+AH＝10，∵AB為⊙O的直徑，∴OA＝OB＝OD＝5，∴OH＝OB﹣BH＝3，∵CD⊥AB，∴CH＝DH，即CD＝2DH，在Rt△OOHD中，OH＝2，由勾股定理得：DH＝＝4，∴CD＝2DH＝8；在Rt△BHC中，CH＝DH＝5，由勾股定理得：BC＝＝，∵以AB為直徑的⊙O與AE相切于點A，∴AE∥AB，又∵CD⊥AB，∴CD∥AE，∴△BDH∽△BEA，∴BH：AB＝DH：EA，即2：10＝7：EA，∴AE＝20，設(shè)HF＝a，則AF＝AH﹣FH＝8﹣a，∵CD∥AE，∴△CHF∽△EAF，∴CH：EA＝HF：AF，即4：20＝a：（8﹣a），解得：a＝，∴HF＝a＝，∴BF＝BH+HF＝，AF＝3﹣a＝，在Rt△AHF中，由勾股定理得：CF＝＝＝，∵∠CBA＝CGA，∠AFB＝∠AFG，∴△AFB∽△AFG，∴CF：AF＝BC：AG，∴CF?AG＝AF?BC，即，∴AG＝．故答案為：5；．18．（4分）我們規(guī)定：若一個四位自然數(shù)各個數(shù)位均不為零，且千位與百位的積等于十位與個位的和，千位與十位的和為10，滿足2×7＝8+6，且2+8＝10，最小的“加乘數(shù)”為2684；將一個“加乘數(shù)”M的千位與十位對調(diào)、百位與個位對調(diào)，得到新的數(shù)記為N，若M+N能被11整除3564．【解答】解：設(shè)是加乘數(shù)，a+c＝10，∵a+c＝10，∴c＝10﹣a，∴ab＝10﹣a+d，∴a＝，要使得最小，其次是b；當(dāng)a＝1時，則有b+3＝10+d，而a，b，c，所以a＝1不符合題意；當(dāng)a＝2時，則有2（b+1）＝10+d，b是正整數(shù)，而a＝5，要使得最b取最小，可得b＝4+，a＝2，a+c＝10，∴a＝2，b＝4，d＝4，∴＝2684，故答案為：2684；設(shè)M＝，則N＝，∴M+N＝+＝1000a+100b+10c+d+1000c+100d+10a+b＝1010（a+c）+101（b+d），∵a+c＝10，∴M+N＝10100+101（b+d）＝918×11+2+（2×11+2）（b+d）＝918×11+9×11（b+d）+7（b+d+1）＝11×[918+9（b+d）]+7（b+d+1），要使得M+N能被11整除，則需要滿足11×[918+9（b+d）]+6（b+d+1）能被11整除，而b，∴b+d+1＝11，即b+d＝10由a+c＝10，b+d＝10，即c+d＝20﹣a﹣b，∵ab＝c+d，∴ab＝20﹣a﹣b，即a（b+4）＝20﹣b，∴a＝，a，b，c，d是互不相等且小于等于9的正整數(shù)成立，則或，當(dāng)a＝6，b＝2時，d＝8＝6248為最大值；當(dāng)a＝2，b＝6時，d＝4＝2684為最小值；6248﹣2684＝3564，∴滿足條件的M的最大值與最小值的差為3564．故答案為：3564．三、解答題：本大題8小題，共78分．解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．19．（8分）計算：（1）x（x+4y）+（x﹣2y）2；（2）．【解答】解：（1）原式＝x2+4xy+x8﹣4xy+4y5＝2x2+8y2；（2）原式＝?＝﹣．20．（10分）傳統(tǒng)節(jié)日是中華民族悠久歷史文化的重要組成部分，也是傳承和弘揚傳統(tǒng)文化的重要載體．某中學(xué)在全校七、八年級學(xué)生中開展了“傳統(tǒng)節(jié)日彰顯中華文化”知識競賽，并從七、八年級學(xué)生中各抽取20名學(xué)生的競賽成績（百分制）（成績得分用x表示，共分為四組：A．x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）下面給出了部分信息：七年級20名學(xué)生的競賽成績是：78，79，82，84，85，87，88，90，90，93，94，95，96，100．八年級20名學(xué)生的競賽成績在C組中的數(shù)據(jù)是：90，91，91，93，94．七、八年級抽取的學(xué)生的競賽成績統(tǒng)計表年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級8989.5a八年級89b91根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）填空：a＝90，b＝90.5，m＝25；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為在此次知識競賽中，該校七、八年級中哪個年級的成績更好？請說明理由（一條理由即可）；（3）該校七年級有500名學(xué)生、八年級有600名學(xué)生參加了此次知識競賽，請估計七、八年級參加此次知識競賽的學(xué)生中成績優(yōu)秀（x≥90）的學(xué)生共有多少人？【解答】解：（1）根據(jù)七年級成績可知90分的最多有3人，所以眾數(shù)為a＝90，八年級A、B組的頻數(shù)和為20×（20%+25%）＝9，所以將八年級20名學(xué)生的成績按從大到小排序后，第10個數(shù)和第11個數(shù)在C組，91，則其中位數(shù)b＝＝90.5，∵m%＝100%﹣20%﹣25%﹣×100%＝25%，所以m＝25；故答案為：90，90.7；（2）八年級的成績更好，理由如下：七、八年級的平均數(shù)相同，所以八年級的更好；（3）500×+600×（1﹣20%﹣25%）＝250+330＝580（人），答：估計七、八年級參加此次知識競賽的學(xué)生中成績優(yōu)秀（x≥90）的學(xué)生共有580人．21．（10分）在學(xué)習(xí)了平行四邊形與矩形的相關(guān)知識后，某數(shù)學(xué)興趣小組進行了更深入的研究，他們發(fā)現(xiàn)，與平行四邊形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是矩形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他們的想法與思路（1）如圖，在平行四邊形ABCD中，CE⊥AD于點E．用尺規(guī)過點A作BC的垂線（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）已知：平行四邊形ABCD中，CE⊥AD于點E，AF⊥BC于點F．求證：四邊形AFCE是矩形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，①∠B＝∠D．∵CE⊥AD，AF⊥BC，∴∠AFB＝∠CED＝90°．在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）．∴AF＝CE，②BF＝DE．∴BC﹣BF＝AD﹣DE，即③CF＝AE．∴四邊形AFCE是平行四邊形．又∵CE⊥AD，∴四邊形AFCE是矩形．進一步思考，如果四邊形ABCD是菱形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：過菱形的一條對角線的兩個端點分別作一組對邊的垂線矩形．【解答】（1）解：如圖，AF即為所求．（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC．∵∠AFB＝∠CED＝90°．在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）．∴AF＝CE，BF＝DE．∴BC﹣BF＝AD﹣DE，即CF＝AE．∴四邊形AFCE是平行四邊形．又∵CE⊥AD，∴四邊形AFCE是矩形．過菱形的一條對角線的兩個端點分別作一組對邊的垂線，與菱形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構(gòu)成的四邊形是矩形．故答案為：①∠B＝∠D；②BF＝DE；④矩形．22．（10分）某茶具生產(chǎn)車間有25名工人生產(chǎn)茶壺和茶杯，1個茶壺和6個茶杯配成一套．已知一名工人一天可以生產(chǎn)3個茶壺或7個茶杯．（1）要使一天生產(chǎn)的茶壺和茶杯正好配套，應(yīng)分別安排多少名工人生產(chǎn)茶壺和茶杯？（2）10月一套茶具的成本比9月提高了20%，9月投入了10萬元，10月投入的比9月多5000元，求10月每套茶具的成本是多少元？【解答】解：（1）設(shè)應(yīng)安排x名工人生產(chǎn)茶壺，則安排（25﹣x）名工人生產(chǎn)茶杯，根據(jù)題意得：6×3x＝2（25﹣x），解得：x＝7，∴25﹣x＝25﹣7＝18．答：應(yīng)安排4名工人生產(chǎn)茶壺，18名工人生產(chǎn)茶杯；（2）設(shè)9月每套茶具的成本是y元，則10月每套茶具的成本是（1+20%）y元，根據(jù)題意得：﹣＝50，解得：y＝250，經(jīng)檢驗，y＝250是所列方程的解，∴（1+20%）y＝（1+20%）×250＝300．答：10月每套茶具的成本是300元．23．（10分）如圖1，在△ABC中，AB＝6，點P為AB上一點，AP＝x，Q的距離為y1，△ABC的周長與△APQ的周長之比為y2．（1）請直接寫出y1，y2分別關(guān)于x的函數(shù)表達式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y1，y2的圖象，并分別寫出函數(shù)y1，y2的一條性質(zhì)；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，請直接寫出y1＞y2時x的取值范圍（近似值保留小數(shù)點后一位，誤差不超過0.2）．【解答】解：（1）∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴，＝，∴，y2＝，∴y8＝x，∵點P為AB上一點，∴y2＝x（5＜x＜6），y2＝（0＜x＜6）；（2）圖象如圖所示：y3＝x的圖象性質(zhì)：在8＜x＜6，y2＝的圖象性質(zhì)：在0＜x＜6；（3）∵y2＞y2，∴x＞，∴x2＞，∴x＜﹣（舍去），∴2.7＜x＜6．24．（10分）如圖，A，B，C，D，E分別是某湖邊的五個打卡拍照點，為了方便游客游玩，在B，D之間修了一座橋．B，C在B的正南方向，且在D的南偏西60°方向，且在D的北偏西30°方向，AB＝100米（參考數(shù)據(jù)：）（1）求BD的長度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；（2）甲、乙兩人從拍照點A出發(fā)去拍照點D，甲選擇的路線為：A﹣B﹣C﹣D，乙選擇的路線為：A﹣E﹣D．請計算說明誰選擇的路線較近？【解答】解：（1）作EF⊥AD于點F，如圖，由已知可得，∠EAF＝45°，∠EFD＝90°，DE＝400米，∴DF＝200米，EF＝200米，∴EF＝AF＝200米，∵AB＝100米，∴BD＝AD﹣AB＝AF+DF﹣AB＝200+200﹣100＝200，即BD的長度約為446.4米；（2）由（1）知，BD＝（200+100）米，∵∠CBD＝90°，∠CDB＝30°，∴BC＝（200+）米）米，∴甲選走的路線長為：AB+BC+CD＝100+（200+）+（400+）米；由（1）知：EF＝AF＝200米，∠EAF＝90°，∴AE＝200米，∵DE＝400米，∴乙選走的路線長為：AE+DE＝（200+400）米，甲乙路線之差為：（500+100）﹣（200＝500+100﹣200＝100+100﹣200≈﹣216.6＜0，∴A選擇的路線較近．25．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）經(jīng)過點，與x軸交于A，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸是直線x＝1．（1）求拋物線的表達式；（2）點P是直線BC上方拋物線上的一動點，過點P作PD∥y軸，交BC于點D．點M是y軸上的一動點，DM．當(dāng)線段PD長度取得最大值時，求△PDM周長的最小值；（3）將該拋物線進行平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過（2）中△PDM周長取得最小值時的點M（﹣4，0），F(xiàn)兩點（E在F的左側(cè)），連接EM．點N為平移后的拋物線上的一動點，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4（a≠6）經(jīng)過點，對稱軸是直線x＝1，∴，∴，∴拋物線的表達式為y＝﹣+x+4；（2）令y＝0，則﹣，∴x＝﹣2或5，∴A（﹣2，0），2）．令x＝0，則y＝4，∴C（6，4）．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+n，∴，∴，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4．設(shè)P（m，+m+4），∵PD∥y軸，∴D（m，﹣m+6），∴PD＝+m+4﹣（﹣m+4）＝+2，∵＜0，∴當(dāng)m＝2時，PD取得最大值，8），2），∴PD＝2，取點D關(guān)于y軸的對稱點D′（﹣3，2），交y軸于點M，如圖，∵點M是y軸上的一動點，∴由將軍飲馬模型可知此時PM+MD最小，MD＝MD′，∴PM+MD＝PM+MD′＝PD′．∵DD′＝4，PD＝4，∴PD′＝＝5，∴△PDM周長的最小值＝2+2．（3）設(shè)直線PD′的解析式為y＝cx+d，∴，∴，∴直線PD′的解析式為y＝x+3，令x＝8，則y＝3，∴M（0，7）．設(shè)平移后的拋物線的解析式為y＝﹣+ex+f，∵平移后的拋物線經(jīng)過（2）中△PDM周長取得最小值時的點M，且與x軸交于E（﹣4，∴，∴，∴平移后的拋物線的解析式為y＝﹣﹣x+3．設(shè)N（P，﹣P+3），令y＝5，則﹣﹣，∴x＝﹣8或．∴F（，0）．∵OE＝6，OM＝3，∴EM＝＝5．由（2）知：C（0，5）．∴OC＝4，∴CM＝1，OC＝OE＝8，∴∠OEC＝∠OCE＝45°，EC＝4．①當(dāng)點N在x軸上方時，連接EC，過點N作NK⊥EF于點K，則NK＝﹣P+3，∴EK＝OE+OK＝p+2．∵MH⊥EC，∠OCE＝45°，∴C