24.4 解直角三角形 華東師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)教案3

第23課時(shí)銳角三角函數(shù)與解直角三角形考點(diǎn)一：銳角三角函數(shù)1.銳角三角函數(shù)定義1、如圖，在△ABC中，∠C=90°∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，則sinA=cosA=tanA。2.特殊角的三角函數(shù)值：3.三角函數(shù)之間的關(guān)系：

（1）同角三角函數(shù)之間的關(guān)系：（2）互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系4、銳角三角函數(shù)的增減性：（同學(xué)們總結(jié)，教師歸納）典型考題展示：1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下邊各組邊的比不能表示sinB的（）A． B． C． D． 考點(diǎn)： 銳角三角函數(shù)的定義．分析： 利用兩角互余關(guān)系得出∠B=∠ACD，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出即可．解答： 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，∴sinB===，故不能表示sinB的是．故選：B．點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確把握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，則BC的長(zhǎng)是（）A． 2 B．8 C．2 D． 4考點(diǎn)： 銳角三角函數(shù)的定義．專題： 計(jì)算題．分析： 根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得出tanA=，代入求出即可．解答： 解：∵tanA==，AC=4，∴BC=2，故選：A．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了銳角三角函數(shù)定義的應(yīng)用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．3．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則tanA=（）A． B． C． D． 考點(diǎn)： 銳角三角函數(shù)的定義．專題： 網(wǎng)格型．分析： 在直角△ABC中利用正切的定義即可求解．解答： 解：在直角△ABC中，∵∠ABC=90°，∴tanA==．故選：D．點(diǎn)評(píng)： 本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，則tanB的值為（）A． B． C． D． 考點(diǎn)： 互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系．專題： 計(jì)算題．分析： 根據(jù)題意作出直角△ABC，然后根據(jù)sinA=，設(shè)一條直角邊BC為5x，斜邊AB為13x，根據(jù)勾股定理求出另一條直角邊AC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義可求出tan∠B．解答： 解：∵sinA=，∴設(shè)BC=5x，AB=13x，則AC==12x，故tan∠B==．故選：D．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的定義和勾股定理的運(yùn)用．5．計(jì)算sin245°+cos30°?tan60°，其結(jié)果是（）A． 2 B．1 C． D． 考點(diǎn)： 特殊角的三角函數(shù)值．專題： 計(jì)算題．分析： 根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可．解答： 解：原式=（）2+×=+=2．故選：A．6．在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，則∠C的度數(shù)是（）A． 45° B．60° C．75° D． 105°考點(diǎn)： 特殊角的三角函數(shù)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；三角形內(nèi)角和定理．專題： 計(jì)算題．分析： 根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得出cosA及tanB的值，繼而可得出A和B的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得出∠C的度數(shù)．解答： 解：由題意，得cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．故選：C．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了特殊角的三角形函數(shù)值及絕對(duì)值、偶次方的非負(fù)性，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是熟記一些特殊角的三角形函數(shù)值，也要注意運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理．考點(diǎn)二解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的邊角關(guān)系：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c（1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°（3）邊角之間的關(guān)系：典型考題展示：7．如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．△ABC的頂點(diǎn)都在方格的格點(diǎn)上，則cosA=．考點(diǎn)： 銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．專題： 網(wǎng)格型．分析： 根據(jù)勾股定理，可得AC的長(zhǎng)，根據(jù)鄰邊比斜邊，可得角的余弦值．解答： 解：如圖，由勾股定理得AC=2，AD=4，cosA=，故答案為：．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，角的余弦是角鄰邊比斜邊．8.⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD。若⊙O的半徑r=，AC=2，則cosB的值是（）解：在⊙O中，r=，AC=2∵AD是⊙O的直徑∴∠ACD=90°∴∵∠B=∠D∴cosB=cosD==9．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，則tan∠BPC=．考點(diǎn)： 銳角三角函數(shù)的定義；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理．專題： 計(jì)算題．分析： 先過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，求得∠BAE=∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)的定義，求得tan∠BPC=tan∠BAE=．解答： 解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵AB=AC=5，∴BE=BC=×8=4，∠BAE=∠BAC，∵∠BPC=∠BAC，∴∠BPC=∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，∴tan∠BPC=tan∠BAE=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)： 求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過(guò)設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值．10．在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的長(zhǎng)．考點(diǎn)： 解直角三角形；勾股定理．專題： 計(jì)算題．分析： 先由三角形的高的定義得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADB，得出AB=3，根據(jù)勾股定理求出BD=2，解Rt△ADC，得出DC=1；然后根據(jù)BC=BD+DC即可求解解答： 解：在Rt△ABD中，∵，又∵AD=1，∴AB=3，∵BD2=AB2﹣AD2，∴．在Rt△ADC中，∵∠C=45°，∴CD=AD=1．∴BC=BD+DC=+1．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角形的高的定義，勾股定理，解直角三角形，難度中等，分別解Rt△ADB與Rt△ADC，得出BD=2，DC=1是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．①求BD和AD的長(zhǎng)；②求tan∠C的值．考點(diǎn)： 解直角三角形；勾股定理．專題： 幾何圖形問(wèn)題．分析： （1）由BD⊥AC得到∠ADB=90°，在Rt△ADB中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系先得到BD=AB=3，再得到AD=BD=3；（2）先計(jì)算出CD=2，然后在Rt△BCD中，利用正切的定義求解．解答： 解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°，∴BD=AB=3，∴AD=BD=3；（2）CD=AC﹣AD=5﹣3=2，