數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1.下列方程中表示圓的是（）A.x2+y2—2x+2y+2=0B。x2+y2-2xy+y+1=0C。x2+2y2-2x+4y+3=0D。x2+y2+4x-6y+9=0思路解析：題中的4個(gè)選項(xiàng)都是二元二次方程，一個(gè)二元二次方程是否表示圓，要判斷它是否同時(shí)滿足以下這三個(gè)條件：（1）x2、y2項(xiàng)的系數(shù)相等且不為零，即A=C≠0;（2)沒有xy項(xiàng)，即B=0;（3)D2+E2—4F＞0.根據(jù)這三個(gè)條件對(duì)每一個(gè)方程進(jìn)行判斷.因?yàn)檫x項(xiàng)A中D2+E2—答案：D2.已知方程x2+y2-2kx+2k+3=0表示圓，則k的取值范圍是(）A.(-∞,-1)B。(3，+∞)C.(—∞,-1)∪(3,+∞)D。思路解析:利用D2+E2—4F答案:C3。已知圓C的方程為f(x,y)=0，點(diǎn)A(x0，y0)是圓外的一點(diǎn)，那么方程f(x，y）—f(x0，y0）=0表示的曲線是()A。與圓C重合的圓B.過點(diǎn)A與圓C相交的圓C.過點(diǎn)A且與圓C同心的圓D?？赡懿皇菆A思路解析：此題所給出的圓的方程是一個(gè)抽象的方程,實(shí)際上，我們只學(xué)習(xí)了兩種圓的方程，完全可以分別用兩種方程來(lái)分析這道題.這里還基于一個(gè)結(jié)論：圓外的點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程后，方程就變成了不等式.因?yàn)辄c(diǎn)A（x0,y0）是圓外的一點(diǎn)，所以f(x0,y0）＞0,由方程f（x,y)—f（x0，y0)=0，得f（x，y）=f（x0，y0)，不妨設(shè)圓C的方程f（x，y）=0為方程（x—a)2+（y-b)2-r2=0,則方程f(x，y）=f（x0，y0）即為（x—a）2+(y-b)2=r2+f（x0,y0)，此方程表示的正是過點(diǎn)A且與圓C同心的圓。因此,選C。答案：C4.圓(x+2)2+y2=5關(guān)于原點(diǎn)（0，0)對(duì)稱的圓的方程為（）A.(x—2)2+y2=5B.x2+(y-2）2=5C.（x+2）2+（y+2)2=5D.x2+（y+2)2=5思路解析:求圓關(guān)于某點(diǎn)或直線的對(duì)稱圖形的方程,主要是求圓心關(guān)于點(diǎn)或直線的對(duì)稱點(diǎn)。求出圓心(-2,0)關(guān)于(0,0）的對(duì)稱點(diǎn)為（2，0）.答案：A5.設(shè)P(x，y)是曲線x2+(y+4)2=4上任意一點(diǎn)，則的最大值為(）A.+2B.C。5D.6思路解析:此題的解題關(guān)鍵是要能從觀察式子的特征中產(chǎn)生聯(lián)想，即這個(gè)式子的幾何意義是什么.因?yàn)槭阶拥膸缀我饬x是點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)(1，1)之間的距離，又因?yàn)镻(x,y)是曲線x2+（y+4）2=4上任意一點(diǎn)，所以的最大值即為在圓x2+（y+4）2=4上求一點(diǎn),使這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)(1,1）的距離最大。如圖2-3—(1,2)—4所示，｜CB|即為所求，而｜CB｜=｜CA|+|AB|，圓x2+（y+4）2=4的圓心坐標(biāo)為A（0,—4),半徑為2，即|AB｜=2，而|AC｜=,所以｜CB|=+2，即的最大值為+2。因此，選A.圖2—3—（1，2)—4答案：A6。程x2+y2+x-2y+m=0表示圓時(shí)，m∈___________。思路解析：如果方程x2+y2+x—2y+m=0表示圓，則D2+E2—4F因?yàn)榉匠蘹2+y2+x—2y+m=0表示圓，所以1+4—4m＞0，解得m＜。所以m∈(—∞,).答案：(—∞，)7.直線3x+4y-12=0和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的外接圓的方程是_______________。思路解析：直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是A、B，AB為圓的直徑，即AB的中點(diǎn)為圓心，AB長(zhǎng)的一半為圓的半徑.答案:(x-2）2+（y—）2=8。已知圓M：（x+cosθ)2+(y—sinθ)2=1,直線l:y=kx,下面四個(gè)命題：A.對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ，直線l和圓M相切B。對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ，直線l和圓M有公共點(diǎn)C.對(duì)任意實(shí)數(shù)θ，必存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與圓M相切D.對(duì)任意實(shí)數(shù)k，必存在實(shí)數(shù)θ,使得直線l與圓M相切其中真命題的代號(hào)是____________。（寫出所有真命題的代號(hào))思路解析:圓心坐標(biāo)為（—cosθ,sinθ）,圓的半徑為1，圓心到直線的距離為d==|sin（θ+φ）｜≤1，故選B、D。答案:BD我綜合我發(fā)展9。求圓心在直線y=—4x上,并且與直線l:x+y-1=0相切于點(diǎn)(3,—2）的圓的方程。思路分析：已知圓心在y=-4x上，所以可設(shè)圓心為(a，-4a)，利用圓心到直線l：x+y—1=0的距離等于圓心到點(diǎn)（3,-2)的距離等于半徑，就可以求出圓的方程。解：依題意,設(shè)圓心為（a,—4a)，則其到直線x+y—1=0的距離及其到點(diǎn)(3，-2）的距離都等于半徑的長(zhǎng)度。應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式及點(diǎn)到直線的距離公式，可得圓心到點(diǎn)(3,-2)的距離=,圓心到直線l的距離=,即得=，對(duì)這個(gè)式子兩邊平方并化簡(jiǎn)得a=1.于是容易計(jì)算得到此圓的圓心為(1,—4)，半徑長(zhǎng)為22,于是得到此圓的方程為(x—1)2+(y+4）2=8。10。求過點(diǎn)A(-1，3)，B（4,2)，且在x軸、y軸上的四個(gè)截距之和是14的圓的方程。思路分析：本題所給的條件是過兩個(gè)定點(diǎn)和截距三個(gè)條件,考慮到知道三點(diǎn)就可以求出圓的方程，所以考慮應(yīng)用圓的一般式并結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解決這個(gè)問題.解：設(shè)圓的一般式方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,①由題意可知令①中的y=0，可得x2+Dx+F=0，圓在x軸上的截距之和為—D；令①中的x=0，可得y2+Ey+F=0，圓在y軸上的截距之和為—E.結(jié)合以上的方程組可以解得D=-4，E=-10，F(xiàn)=16.所以我們得到此圓的方程為x2+y2-4x-10y+16=0。11.設(shè)A、B兩點(diǎn)是圓心都在直線3x—2y+5=0上的相交兩圓的兩個(gè)交點(diǎn)，且A的坐標(biāo)是（—4,5)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)。思路分析：解本題要充分利用平面幾何的知識(shí).注意到兩圓相交，則意味著兩交點(diǎn)關(guān)于連心線對(duì)稱，即B點(diǎn)應(yīng)為點(diǎn)A關(guān)于直線3x—2y+5=0的對(duì)稱點(diǎn)。解:設(shè)B（x，y）,因AB垂直于直線l：3x—2y+5=0，且A（-4,5)，故直線AB的方程為y-5=(x+4）。解方程組得交點(diǎn)P（）。又由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得。解得x=。∴B(）.12.已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y2—4x+1=0.(1)求的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值。思路分析：方程x2+y2-4x+1=0表示圓心(2，0),半徑為的圓；的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,x2+y2表示圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，故可借助于平面幾何知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)求解.解：(1)原方程化為（x-2）2+y2=3,表示以點(diǎn)（2，0)為圓心，以為半徑的圓。設(shè)=k,即y=kx，當(dāng)直