2024-2025學(xué)年廣東省汕尾市四校高三（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣東省汕尾市四校高三（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若集合A={x|0<x≤2}，B={x|?1<x<3}，則A∩B=(

)A.[?1,3] B.(0,2] C.(0,1] D.(1,2]2.已知命題p：?x∈R，ex>0；命題q：a>b是ac2A.p和q都是真命題 B.￢p和q都是真命題

C.p和￢q都是真命題 D.￢p和￢q都是真命題3.若函數(shù)y=3cos(2ωx?π3)(ω>0)A.1 B.2 C.3 D.44.已知一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為36cm，矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱.旋轉(zhuǎn)所形成的圓柱的側(cè)面積最大是(

)A.81cm2 B.162cm2 C.5.已知函數(shù)?(x)=x2?kx?8，在[5,10]上是單調(diào)函數(shù)，則k的取值范圍是A.(?∞,10] B.[20,+∞)

C.(?∞,10]∪[20,+∞) D.?6.已知α、β都是銳角，sinα=45,cosA.5365 B.3365 C.16657.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達(dá)到20～79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)30%的速度減少，那么他至少經(jīng)過(guò)幾個(gè)小時(shí)才能駕駛？(????)(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg7≈0.845)A.3 B.4 C.5 D.68.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2+b2+ab=c2，若角C的內(nèi)角平分線A.8 B.4 C.16 D.12二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖所示是y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.f(x)在區(qū)間(?1,2)，(4,+∞)上單調(diào)遞增

B.x=?1是f(x)的極小值點(diǎn)

C.f(x)在區(qū)間(2,4)上單調(diào)遞減

D.x=2是f(x)的極小值點(diǎn)10.已知函數(shù)y=f(x+1)為奇函數(shù)，且f(1?x)=f(x+3)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)=2?2x，則(

)A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱 B.f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱

C.f(x)的最小正周期為2 D.f(1)+f(2)+…+f(30)=?111.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)f(x)的圖象先向右平移π4個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的12(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)A.ω=2

B.f(x)=2sin(2x+π3)

C.g(x)的一個(gè)對(duì)稱中心是(π12,0)

D.若關(guān)于x的方程g(x)?m=0在(?π12,π6]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)12.已知函數(shù)f(x)=4x+log2x13.已知tanα=2，則sin2α=______．14.把一個(gè)三階魔方看成是棱長(zhǎng)為1的正方體(圖1)，若中間層旋轉(zhuǎn)角x(x為銳角，如圖2所示)，記表面積增加量為S=f(x)，則f(π6)=______，S四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC內(nèi)，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且bcosA?ccosB=(c?a)cosB．

(1)求角B的值；

(2)若△ABC的面積為33,b=16.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=1,PC=3．

(1)求證：BC⊥平面PAB；

(2)求二面角A?PC?B的大小．17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=sin(x+π6)+sin(x?π6)+cosx+a的最大值為1．

(1)求a的值；

(2)求f(x)圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸；

18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a?2)ex?x．

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)在x=0處的切線方程；

(2)討論f(x)的單調(diào)性；

(3)19.(本小題17分)

已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2∈D，都有12[f(x1)+f(x2)]≤f(x1+x22)成立(等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)成立)，則稱函數(shù)y=f(x)是D上的凸函數(shù)，并且凸函數(shù)具有以下性質(zhì)：

對(duì)任意的實(shí)數(shù)xi∈D(i=1,2,3,…,n)，都有12[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]≤f(x1+x2+…+xnn)(n∈N,n≥1)成立(等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x參考答案1.B

2.C

3.A

4.D

5.C

6.C

7.C

8.A

9.ABC

10.ABD

11.ACD

12.1

13.214.83315.解：(1)因?yàn)閎cosA?ccosB=(c?a)cosB，

由正弦定理得sinBcosA?sinCcosB=(sinC?sinA)cosB，

即sin(A+B)=2sinCcosB，

又A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC，

又0<C<π，所以sinC=2sinCcosB，

故1=2cosB，解得cosB=12，

又B∈(0,π)，所以B=π3；

(2)由(1)知B=π3，

由余弦定理得b2=a2+c2?ac，①

又S=12acsinB=34ac，

故34ac=33，則ac=12，②

又b=16.解：(1)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，

所以PA⊥BC，同理PA⊥AB，

所以△PAB為直角三角形，

又因?yàn)镻B=PA2+AB2=2，BC=1,PC=3，

所以PB2+BC2=PC2，則△PBC為直角三角形，故BC⊥PB，

又因?yàn)锽C⊥PA，PA?PB=P，

所以BC⊥平面PAB．

(2)由(1)BC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，則BC⊥AB，

以A為原點(diǎn)，AB為x軸，過(guò)A且與BC平行的直線為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則A(0,0,0)，P(0,0,1)，C(1,1,0)，B(1,0,0)，

所以AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),BC=(0,1,0),PC=(1,1,?1)，

設(shè)平面PAC的法向量為m=(x1,y1,z1)，則m?AP=0m?AC=0，即z117.解：(1)函數(shù)f(x)=sin(x+π6)+sin(x?π6)+cosx+a

=sinxcosπ6+cosxsinπ6+sinxcosπ6?cosxsinπ6+cosx+a

=3sinx+cosx+a

=2sin(x+π6)+a，

函數(shù)f(x)的最大值為1，

所以2+a=1，解得a=?1；

(2)令x+π6=kπ(k∈Z)，解得x=?π6+kπ,k∈Z，

故函數(shù)的對(duì)稱中心為(?π6+kπ,?1)，

令x+π6=kπ+π18.解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=2e2x?x，∴f′(x)=4e2x?1，

∴f′(0)=3，又f(0)=2，

∴f(x)在x=0處的切線方程為：y?2=3(x?0)，

即3x?y+2=0；

(2)f(x)的定義域?yàn)镽，f′(x)=2ae2x+(a?2)ex?1=(aex?1)(2ex+1)，

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，則由f′(x)=0得x=?lna，

當(dāng)x∈(?∞,?lna)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(?lna,+∞)時(shí)，f′(x)>0，

所以f(x)在(?∞,?lna)上單調(diào)遞減，(?lna,+∞)上單調(diào)遞增；

綜上所述：

當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(?∞,?lna)上單調(diào)遞減，(?lna,+∞)上單調(diào)遞增；

(3)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．

若a>0，由(1)知，當(dāng)x=?lna時(shí)，f(x)取得最小值，且最小值為f(?lna)=1?1a+lna，

要使f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則f(?lna)<0，

即求1?1a+lna<0的解集，

令g(a)=1?1a+lna，a>0，

則g′(x)=1a219.解：(1)函數(shù)y=?x2、y=cosx(x∈(0,π)都是為凸函數(shù)，證明如下：

證明：對(duì)于函數(shù)f(x)=?x2，x∈R，對(duì)任意的