大學(xué)物理課件：波動

波動教學(xué)基本要求一、掌握描述簡諧波的物理量及各量之間關(guān)系；二、理解機械波產(chǎn)生的條件及波函數(shù)的物理意義；四、了解波的能量傳播特征及能流、能流密度概念；三、掌握由諧振動方程求平面簡諧波波函數(shù)的方法；六、了解駐波、多普勒效應(yīng)；五、理解惠更斯原理、疊加原理及波的干涉現(xiàn)象；一、機械波的產(chǎn)生1.機械波：機械振動在彈性介質(zhì)中的傳播；注意：c.波動：運動狀態(tài)的傳播，介質(zhì)質(zhì)點不隨波傳播；2.振源：引起波動的初始振動物體；a.機械波的物質(zhì)基礎(chǔ)：波源、彈性介質(zhì)；b.波動：振動的傳播；振動：激發(fā)波動的波源；10.1機械波的產(chǎn)生機械振動在彈性介質(zhì)中的傳播機械波；交變電磁場在空間的傳播（無需介質(zhì)）電磁波；d.機械波與電磁波：1.兩類波的不同：2.波動的共同特征：傳播能量、反射、折射、干涉、衍射；1.橫波：介質(zhì)質(zhì)點振動方向與波傳播的方向垂直；特征：具有波峰、波谷區(qū)域，僅在固體中傳播；2.縱波：介質(zhì)質(zhì)點振動方向與波傳播的方向平行；特征：具有稀疏、稠密區(qū)域，氣、液、固體中傳播；例：水平繩子中的橫波；例：空氣中的聲波；二、橫波與縱波（機械波的分類）最基本的機械波：橫波，縱波；三、波線波面1.波線：沿波轉(zhuǎn)播方向的射線；2.波面：介質(zhì)中振動相位相同點的軌跡；3.波前：最前面的波面；對波動的幾何描述；注意：a.波線、波面等概念是對波動的幾何描述；

b.在各向同性介質(zhì)中，波線與波面正交；*球面波平面波波前波面波線OyAA-2.波長

：波動在一個周期內(nèi)前進的距離；3.周期

：波動前進一個波長距離所需時間；1.波速：波在介質(zhì)中的傳播速度

，大小由介質(zhì)決定；10.2波速波長波的周期b.周期決定于波源，波速決定于介質(zhì)！(1)a.兩個關(guān)系式：(2)4.頻率

：單位時間內(nèi)波動傳播完整波的數(shù)目；(3)5.波速與介質(zhì)的關(guān)系：液、氣體橫波固體縱波切變模量彈性模量體積模量其中為介質(zhì)密度；聲音的傳播速度：1.為何狗在夜間特別警覺？2.用耳朵貼近鐵軌發(fā)現(xiàn)敵火車的原因？問題與思考：空氣，常溫；左右，混凝土；左右，低碳鋼；例題

10.2.1

可聞聲波的頻率范圍為20～20000HZ，常溫下空氣中的聲速為

，試求可聞聲波的波長范圍。解：分析由

可得

，于是有：結(jié)論：1.同一介質(zhì)中，波長與頻率成反比；

2.常溫下空氣中可聞聲波波長范圍0.0167m～16.7m。一、平面簡諧波思路：首先導(dǎo)出簡諧波的波函數(shù)，然后詳細討論；注意導(dǎo)出過程：1.解決此類問題的一種途徑；

2.有益于波動問題的理解；1.簡諧波：諧振動在介質(zhì)中傳播形成的波，最簡單、最基本。復(fù)雜波動可由不同頻率簡諧波疊加而成；P*O2.設(shè)簡諧波以速度u沿x軸正向傳播，y軸表示x軸上各質(zhì)點的振動位移；10.3平面簡諧波的波函數(shù)各質(zhì)點相對平衡位置位移波線上各質(zhì)點平衡位置波函數(shù)：介質(zhì)中坐標(biāo)為x的質(zhì)點相對其平衡位置的位移y隨t的變化關(guān)系稱為波函數(shù)；沿x軸正向傳播簡諧波的表達式可寫為：(1)設(shè)：平面簡諧波以速度u沿x軸正向傳播；時間推遲法；波源：設(shè)位于原點O的質(zhì)點作初相為零的諧振動；問題：由于該質(zhì)點的振動及彈性介質(zhì)，使x軸上其它質(zhì)點產(chǎn)生振動，它們的振動方程如何？導(dǎo)出簡諧波的波函數(shù)：(2)振動方程：二、平面簡諧波波函數(shù)的建立即點P的振動相位落后O點：(3)(4)選擇x軸上距波源O點為x

的P點作為研究象，當(dāng)振動傳到P點時，該質(zhì)點以相同的振幅、頻率重復(fù)O點振動，但時間上落后：于是點P

的振動可表示為：P點是任選的，故上式對x軸上任意一點均成立：故得沿x軸正向傳播的平面簡諧波波函數(shù)：(5)(6)點O

振動方程：O若原點初相不為零：則對應(yīng)波函數(shù)：沿軸正向；

(7)沿

軸負(fù)向；(8)波動方程的其它形式：質(zhì)點的振動速度、加速度：(11)(9)(10)(12)例題10.3.1設(shè)平面簡諧波的波函數(shù)為：試求波的振幅、波長、周期及波速。解：分析將波函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)形式對比可得結(jié)果：

上式為所求波函數(shù)。例題

10.3.2設(shè)有平面簡諧波沿

軸正方向傳播，其波長為0.2m，原點處質(zhì)點振動方程為

試求此平面簡諧波的波函數(shù)。解：分析由時間推遲法=相位落后法可解，處質(zhì)點落后原點處質(zhì)點的振動相位是，故

點處的質(zhì)點振動方程為：三.波函數(shù)的物理意義1.令x

固定：波函數(shù)為y=y(t)，描述距原點x處質(zhì)點的諧振動，y為該質(zhì)點距其平衡位置的位移，此時y=y(t)是該質(zhì)點的諧振動方程，給出該點與O點振源振動的相位差：進一步討論波函數(shù)以加深理解：2.令一定：波函數(shù)y=y(x)，描述t時刻距原點不同處x軸上所有質(zhì)點諧振動的位移分布情況。表示t時刻波線上各質(zhì)點相對其平衡位置的位移，即此刻的波形圖：O例題

10.3.3設(shè)平面簡諧波沿

軸負(fù)方向傳播,波速，時的波形如圖所示，試求此平面簡諧波的波函數(shù)。解：分析可由標(biāo)準(zhǔn)波函數(shù)及圖示出發(fā)求解。由題意設(shè)所求為：由圖示可得：坐標(biāo)原點處置點振動的初相由旋轉(zhuǎn)矢量法可求：24故平面簡諧波的波函數(shù)為：由，即原點處質(zhì)點的位移為2，代入波函數(shù)得：由旋轉(zhuǎn)矢量法知，原點處質(zhì)點沿軸正向運動，故得到：例題10.3.4設(shè)平面簡諧波沿軸正方向傳播，波長，已知坐標(biāo)原點處質(zhì)點的振動曲線如圖10.7所示，試求：(1)原點處質(zhì)點的振動方程；(2)波函數(shù)的表達式；(3)畫出t=1s時刻的波形曲線。解:(1)設(shè)坐標(biāo)原點處質(zhì)點的振動方程為:

由圖10.7可知：(2)由相位落后法知，任意點處質(zhì)點的振動相位落后原點處質(zhì)點的相位，故波函數(shù)為：將初始條件代入振動方程可得：

由旋轉(zhuǎn)矢量法得，處質(zhì)點的速度大于零,既有：

0.2(3)將代入波函數(shù)得：

按照上式畫出t=1s時刻的波形圖如圖10.8所示。10.4波的能量10.4.1波動的能量密度振動動能:機械波傳播過程，介質(zhì)各質(zhì)點均在其平衡位置附近振動，因而具有振動動能；彈性勢能:機械波傳播過程，介質(zhì)發(fā)生彈性形變，因而具有彈性勢能。

機械波傳播過程：彈性介質(zhì)產(chǎn)生振動、形變，獲得振動動能和彈性勢能。對某部分介質(zhì)來說，能量不斷傳進、傳出，波的傳播過程為能量的傳播過程。思路與方法：以固體棒傳播縱波為例，分析波動能量的傳播，得出波動能量的普遍規(guī)律。微元的機械能：設(shè)密度的細棒沿X軸放置，縱波在其中以u沿x軸正向傳播，微元dx不斷受到壓縮、拉伸，

xOxO縱波波函數(shù)為：xOxO微元質(zhì)量：振動速度：振動動能：(1)彈性勢能：(2)微元總機械能：(4)(3)xOxO

2.任一質(zhì)元總機械不守恒，為時間的周期函數(shù)；討論：1.任意時刻介質(zhì)質(zhì)元的動能＝勢能，為周期函數(shù)；3.波源＝能量的來源，能量沿波速方向傳播；4.質(zhì)元不斷接收、放出能量=不斷傳播能量，波動是能量傳遞的一種方式，質(zhì)元是傳播能量的載體；微元的總機械能：(4)能量密度：單位體積介質(zhì)中的波動能量；平均能量密度：能量密度在一個周期內(nèi)的平均值；(5)(6)10.4.2

波動的能流密度能流:介質(zhì)中任意質(zhì)元均不斷接收前面質(zhì)元傳播的能量，又將此能量傳遞給后面質(zhì)元，介質(zhì)中任何垂直于波速的截面都有能量通過，從而引出能流等概念：能流：單位時間內(nèi)垂直通過某一面積的能量為過該面的能流；平均能流：

能流密度：通過垂直于波傳播方向的單位面積的平均

能流。

udtS(4)能流密度是矢量：例題10.4.1試證明球面簡諧波的強度，與波面距波源距離的平方成反比，球面簡諧波的振幅與波面距波源的距離成反比。證明：通過兩個球面的平均能流相等；即有：整理得：結(jié)論：球面簡諧波的振幅與波面距波源的距離成反比。球面波的強度隨距波源距離的增加而衰減。原理的實用價值：由某時刻一種波的波前，通過幾何作圖法可確定此后t時刻的波前，可證明反、折射定律。。

惠更斯原理：介質(zhì)中波前上的每一點均可看作產(chǎn)生球面次波的波源，而在此后任意時刻新的波前，為這些次波的包跡。10.5波的衍射10.5.1惠更斯原理及其應(yīng)用實驗表明：波在各向同性介質(zhì)中傳播，波面不改變其形狀、波線保持其直線。但遇到障礙時，波面變形、波線變向；。

球面波O由惠更斯原理，通過幾何作圖法可確定下一時刻的波前，平面波

1.平面波：t時刻對應(yīng)波前，球面次波半徑：；

2.球面波：以O(shè)為中心以傳播的球面波；t時刻；從而確定波傳播的方向。1.聲波的衍射＝隔墻有耳；

波的衍射：波在傳播過程中遇到障礙物，波線發(fā)生彎曲繞過障礙物的現(xiàn)象，稱為波的衍射；2.電磁波的衍射＝電子信號繞過障礙被儀器接收；10.5.2波的衍射由惠更斯原理可以解釋波的衍射現(xiàn)象：波的衍射水波通過狹縫后的衍射平面波在狹縫邊緣處：波前彎曲、波線偏折；惠更斯原理：介質(zhì)中波前上每一點均可看作產(chǎn)生球面次波的波源，此后

t時刻新的波前為這些次波的包跡。實驗表明：不同波源產(chǎn)生的波在同種介質(zhì)中傳播時，無論相遇與否將各自獨立保持原有特征不變，并按各自原傳播方向前進；在相遇區(qū)域任一點的振動，為各列波單獨存在時在該點引起振動位移的矢量和。10.6波的疊加原理波的干涉10.6.1波的疊加原理*疊加原理：兩個以上的波在同一區(qū)域傳播時，介質(zhì)中質(zhì)點的振動位移是每一波動單獨傳播時引起波的干涉現(xiàn)象：頻率相同、振動方向平行、相位相同或相位差恒定的兩列波相遇時，使某些地方振動始終加強，而使另一些地方振動始終減弱的現(xiàn)象，稱為波的干涉現(xiàn)象。。

10.6.2波的干涉的振動位移矢量和，這是波的疊加原理所指出的規(guī)律；1.兩波源頻率相同；2.兩波振動方向平行；3.兩波源相位差恒定；

波的相干條件：1.滿足相干條件的波稱為相干波；2.產(chǎn)生相干波的波源稱為相干波源；注意：4.兩波源振幅相同；水波干涉到達點P的兩個分振動：波的干涉現(xiàn)象：滿足相干條件的兩列波相遇時，使某些地方振動始終加強，某些地方振動始終減弱的現(xiàn)象。。

波源振動：(1)(2)討論兩相干波產(chǎn)生的干涉圖樣：**點P的合振動：(3)(4)(5)由于是任意選取的空間一點，故討論結(jié)果對空間任意點均成立，由上述結(jié)果可知：。

振動始終加強a.(6)振動始終減弱b.(7)其他c.(8)于是有結(jié)論：A.(6)式為空間振動始終加強的條件；B.(7)式為空間振動始終減弱的條件；注意：(6)、(7)式也稱為相干波的干涉加強、減弱條件。只要相干波滿足該條件，則空間就會出現(xiàn)振動始終加強、減弱的干涉現(xiàn)象；

.

b.(7)(6)a.特例：兩相干波源的初相相同，則，令為相干波源各自到P點的波程差，則干涉條件可簡化為：

.

(8)(10)(9)故有：故干涉條件簡化為：振動始終減弱振動始終加強于是有結(jié)論：當(dāng)兩相干波在空間相遇，其干涉結(jié)果是加強還是減弱，取決于兩波源初相差和兩波源至該點的波程差；即取決于兩個因素：

.

(10)(9)波程差若則振動始終減弱振動始終加強其他討論：例題10.6.1如圖所示，兩相干波源分別在P,Q兩點，它們振幅相同皆為2cm，頻率為100HZ，兩波源初相位相同，P、Q之間的距離為15cm，設(shè)波速為，R為PQ連線上的一點，求：兩波在R處質(zhì)點振動的合振幅.解：分析P、Q是兩相干波源，在R處發(fā)生相干疊加，R處的振幅由干涉加強、干涉減弱關(guān)系式可得：其中：由題意知：可得：所以：結(jié)論：即R處質(zhì)點因干涉而靜止！一.駐波的產(chǎn)生駐波：振幅、波速均相同的兩相干波，在一直線上沿相反方向傳播，疊加形成的干涉現(xiàn)象。日常生活中的駐波：樂器中的管、弦、膜、板的振動形成駐波；駐波理論在聲學(xué)、光學(xué)等學(xué)科中都有重要應(yīng)用；10.6.3駐波(StandingWaves)1.駐波方程思路與方法：利用振動合成，導(dǎo)出駐波方程，

設(shè)兩相干波的波函數(shù)為：(1)(2)兩波相遇處質(zhì)點的合振動：然后詳細討論；(3)駐波的振幅與位置有關(guān)各質(zhì)點均作同頻率諧振動注意：上式即為駐波方程；

1.駐波振幅：討論：(3)若x確定則(3)描述：坐標(biāo)為x的質(zhì)點作振幅A(x)、頻率的諧振動，此時(3)為質(zhì)點的振動方程；故(3)描述的是細弦上所有質(zhì)點作同頻率、相位的振動，但質(zhì)點的振幅因其位置不同而異！駐波的振幅隨x

而變但與時間無關(guān)；對確定的x振幅是常量；.

c.不滿足a、b的點，其振幅介于2A、0之間；d.波腹、波節(jié)的位置不隨時間變化，波形不傳播，故

b.凡是滿足的點，其振幅最大為2A，這

些點振動最強，稱其為波腹；a.凡是滿足的點，其振幅為零而不振動，稱其為波節(jié)；

此特殊的波稱為駐波；又可得相鄰兩波節(jié)的間距為：(5)

2.波腹、波節(jié)的位置：a.波節(jié)坐標(biāo)滿足的條件：令：(4)b.波腹坐標(biāo)滿足的條件：令：又可得相鄰兩波腹的間距為：(6)(7)總之：10(a)相鄰波腹（節(jié)）間距

相鄰波腹和波節(jié)間距(c)波腹波節(jié)(b)c.一種測量波長的方法：相鄰波節(jié)之間質(zhì)點振動同相位，任一波節(jié)兩側(cè)質(zhì)點振動反相位，在波節(jié)處產(chǎn)生的相位躍變；。

由(5)、(7)式知：兩相鄰波節(jié)的間距＝兩相鄰波腹的間距故只要測量任意兩相鄰波節(jié)的間距，就可確定相干波的波長；。

3.駐波中各點的相位：4.相位躍變(a)波從波疏介質(zhì)垂直入射波密介質(zhì)，被反射到波疏介質(zhì)時形成波節(jié)，入射波與反射波在此處的相位相反，即反射波在分界處產(chǎn)生的相位躍變，相當(dāng)于出現(xiàn)了半個波長的波程差，稱為半波損失；5.的能量(b)波從波密介質(zhì)垂直入射到波疏介質(zhì)，被反射到波密介質(zhì)時形成波腹。入射波與反射波在此處的相位相同，即反射波在分界處不產(chǎn)生相位躍變。注意：駐波能量在相鄰波腹、節(jié)間往復(fù)變化，在相鄰波節(jié)間發(fā)生動、勢能間的轉(zhuǎn)換：動能主要集中在波腹，勢能主要集中在波節(jié)，但無長距離傳播.

.

6.弦線上的駐波形成駐波的條件：線長等于半波長的整數(shù)倍；即應(yīng)滿足：其中：兩端固定的弦線線長；波速：；波長；頻率；波腹個數(shù)：；2nl=例題10.6.2

平面簡諧波波動方程為，波在固定端處發(fā)生全反射，到原點的距離為試求（1）反射波的波動方程；（2）駐波方程；（3）原點與點間波節(jié)、波腹的坐標(biāo)；解：設(shè)反射波方程為：為反射波在原點的初相位則反射波在A處激起的振動方程為：而入射波在A點處激起的振動方程為：在固定端發(fā)生反射，反射波與入射波在反射處相位相差即有：解得：所以：（2）駐波方程為：（3）令：得波節(jié)坐標(biāo)為：根據(jù)題意得：發(fā)射頻率接收頻率問題：人耳所聽聲音頻率與聲源頻率相同嗎？

接收頻率：單位時間內(nèi)觀測者接收到的振動次數(shù)或完整波數(shù)；多普勒效應(yīng)：當(dāng)波源與觀察者相對介質(zhì)有運動時，觀察者接收到的波頻與波源發(fā)出的頻率有所不同，該物理現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)；、

三個頻率及其關(guān)系：1.波源振動頻率；2.波的傳播頻率；

3.觀者的接收頻率；限制條件：波源與觀察者沿兩者連線，相對介質(zhì)的一維運動情況，選介質(zhì)為參考系；分三種情況討論；10.7多普勒效應(yīng)(DopplerEffect)觀察者接收到的頻率：觀察者靠近波源運動：(1)觀察者遠離波源運動：(2)10.7.1波源不動觀察者相對介質(zhì)運動A觀察者接收到的頻率：波源遠離觀察者運動：(4)波源靠近觀察者運動：(3)10.7.2觀察者不動，波源相對介質(zhì)運動觀察者向波源運動+，遠離

;波源向觀察者運動

，遠離+;觀察者接收到的頻率：(5)注意：10.7.3波源與觀察者同時相對介質(zhì)運動深入思考：a.若波源與觀察者不沿二者連線運動；b.當(dāng)時，又如何？所有波前將聚集在一個圓錐面上，波的能量高度集中形成沖擊波或激波，如核爆炸、超音速飛行等.1.多普勒測速雷達：測量車速；2.多普勒血流計：醫(yī)學(xué)上測量血流速度；多普勒效應(yīng)的應(yīng)用3.多普勒聲納：航海導(dǎo)航系統(tǒng)；4.衛(wèi)星跟蹤系統(tǒng)等；明確三個頻率的概念：（1）波源的頻率，是波源在單位時間內(nèi)振動的次數(shù)，或單位時間內(nèi)發(fā)出的完整波的數(shù)目；（2）波的頻率，是介質(zhì)內(nèi)質(zhì)點在單位時間內(nèi)振動的次數(shù)，或單位時間內(nèi)通過介質(zhì)中某點的完整波數(shù)（3）觀察者接收到的頻率，是觀察者在單位時間內(nèi)接收到的振動次數(shù)或完整波數(shù)。當(dāng)波源向著觀察者運動的速度大于波速（）時式將失去意義在這種情況下，急速運動著的波源的前方不可能有任何波動產(chǎn)生，所有的波前將被擠壓而聚集在一個圓錐面上在這個圓錐面