湖南省2024年中考數(shù)學(xué)試卷

湖南省2024年中考數(shù)學(xué)試卷1．（2024·湖南）在日常生活中，若收入300元記作+300元，則支出180元應(yīng)記作（）A．+180元 B．+300元 C．?180元 D．?480元2．（2024·湖南）據(jù)《光明日報》2024年3月14日報道：截至2023年末，我國境內(nèi)有效發(fā)明專利量達(dá)到401.5萬件，高價值發(fā)明專利占比超過四成，成為世界上首個境內(nèi)有效發(fā)明專利數(shù)量突破400萬件的國家．將4015000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A．0.4015×107 B．4.015×13．（2024·湖南）如圖，該紙杯的主視圖是（）A． B．C． D．4．（2024·湖南）下列計算正確的是（）A．3a2?2C．a(chǎn)2?a5．（2024·湖南）計算2×A．27 B．72 C．14 6．（2024·湖南）下列命題中，正確的是（）A．兩點之間，線段最短 B．菱形的對角線相等C．正五邊形的外角和為720° D．直角三角形是軸對稱圖形7．（2024·湖南）如圖，AB，AC為⊙O的兩條弦，連接OB，OC，若∠A=45°，則∠BOCA．60° B．75° C．90° D．135°8．（2024·湖南）某班的5名同學(xué)1分鐘跳繩的成績（單位：次）分別為：179，130，192，158，141．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．130 B．158 C．160 D．1929．（2024·湖南）如圖，在ΔABC中，點D，E分別為邊AB，ACA．DE//BC C．BC=2DE D．S10．（2024·湖南）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P(x,y)，若x，y均為整數(shù)，則稱點P為“整點”，特別地，當(dāng)yx（其中A．a(chǎn)<?3B．若點P為“整點”，則點P的個數(shù)為3個C．若點P為“超整點”，則點P的個數(shù)為1個D．若點P為“超整點”，則點P到兩坐標(biāo)軸的距離之和大于1011．（2024·湖南）計算：?(?202412．（2024·湖南）有四枚材質(zhì)、大小、背面圖案完全相同的中國象棋棋子“”“”“”“”，將它們背面朝上任意放置，從中隨機翻開一枚，恰好翻到棋子“”的概率是．13．（2024·湖南）分式方程2x+1=1的解為14．（2024·湖南）若等腰三角形的一個底角的度數(shù)為40°，則它的頂角的度數(shù)為°．15．（2024·湖南）若關(guān)于x的一元二次方程x2?4x+2k=0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為16．（2024·湖南）在一定條件下，樂器中弦振動的頻率f與弦長l成反比例關(guān)系，即f=kl(k為常數(shù)，k≠0)．若某樂器的弦長l為0.9米，振動頻率f17．（2024·湖南）如圖，在銳角三角形ABC中，AD是邊BC上的高，在BA，BC上分別截取線段BE，BF，使BE=BF；分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，在∠ABC內(nèi)，兩弧交于點P，作射線BP，交AD于點M，過點M作MN⊥AB于點N．若MN=2，AD=4MD，則AM=18．（2024·湖南）如圖，圖1為《天工開物》記載的用于舂(chōng)搗谷物的工具——“碓(duì)”的結(jié)構(gòu)簡圖，圖2為其平面示意圖．已知AB⊥CD于點B，AB與水平線l相交于點O，OE⊥l．若BC=4分米，OB=12分米，∠BOE=60°，則點C到水平線l的距離CF為分米（結(jié)果用含根號的式子表示）．19．（2024·湖南）計算：|?320．（2024·湖南）先化簡，再求值：x2?4x21．（2024·湖南）某校為了解學(xué)生五月份參與家務(wù)勞動的情況，隨機抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．家務(wù)勞動的項目主要包括：掃地、拖地、洗碗、洗衣、做飯和簡單維修等．學(xué)校德育處根據(jù)調(diào)查結(jié)果制作了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：請根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）本次被抽取的學(xué)生人數(shù)為人：（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）在扇形統(tǒng)計圖中，“4項及以上”部分所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)是°；（4）若該校有學(xué)生1200人，請估計該校五月份參與家務(wù)勞動的項目數(shù)量達(dá)到3項及以上的學(xué)生人數(shù)．22．（2024·湖南）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，點E在邊AB上，請從“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上（填序號），再解決下列問題：（1）求證：四邊形BCDE為平行四邊形；（2）若AD⊥AB，AD=8，BC=10，求線段AE的長．23．（2024·湖南）某村決定種植臍橙和黃金貢柚，助推村民增收致富．已知購買1棵臍橙樹苗和2棵黃金貢柚樹苗共需110元；購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元．（1）求臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗的單價；（2）該村計劃購買臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗共1000棵，總費用不超過38000元，問最多可以購買臍橙樹苗多少棵？24．（2024·湖南）某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組在老師的指導(dǎo)下，利用課余時間進(jìn)行測量活動．活動主題測算某水池中雕塑底座的底面積測量工具皮尺、測角儀、計算器等活動過程模型抽象某休閑廣場的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形ABCD，其示意圖如下：測繪過程與數(shù)據(jù)信息①在水池外取一點E，使得點C，B，E在同一條直線上；②過點E作GH⊥CE，并沿EH方向前進(jìn)到點F，用皮尺測得EF的長為4米；③在點F處用測角儀測得∠CFG=60.3°，∠BFG=45°，④用計算器計算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.請根據(jù)表格中提供的信息，解決下列問題（結(jié)果保留整數(shù)）:（1）求線段CE和BC的長度；（2）求底座的底面ABCD的面積．25．（2024·湖南）已知二次函數(shù)y=?x2+c的圖象經(jīng)過點A(?2,5)，點（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，此二次函數(shù)的圖象與x軸的正半軸交于點B，點P在直線AB的上方，過點P作PC⊥x軸于點C，交AB于點D，連接AC，DQ，PQ．若x2=x（3）如圖2，點P在第二象限，x2=?2x1，若點M在直線PQ上，且橫坐標(biāo)為x1?1，過點M作26．（2024·湖南）【問題背景】已知點A是半徑為r的⊙O上的定點，連接OA，將線段OA繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)得到OE，連接AE，過點A作⊙O的切線l（1）【初步感知】如圖1，當(dāng)α=60°時，∠CAE=▲°（2）【問題探究】以線段AC為對角線作矩形ABCD，使得邊AD過點E，連接CE，對角線AC，BD相交于點F．①如圖2，當(dāng)AC=2r時，求證：無論α在給定的范圍內(nèi)如何變化，BC=CD+ED總成立：②如圖3，當(dāng)AC=43r，CEOE=

答案解析部分1．【答案】C【知識點】用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示相反意義的量【解析】【解答】解：若收入為“+”，則支出為“?”，所以支出180元記作?180元．故答案為：C.【分析】由正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，根據(jù)題意，正數(shù)表示收入，那么負(fù)數(shù)表示支出，即可作答.2．【答案】B【知識點】科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)【解析】【解答】解：4015000用科學(xué)記數(shù)法表示為4.故答案為：B.

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n，其中1≤|3．【答案】A【知識點】簡單幾何體的三視圖【解析】【解答】解：該紙杯的主視圖是選項A，故答案為：A.【分析】主視圖是從幾何體的正面觀察，即可得出答案．4．【答案】B【知識點】同底數(shù)冪的乘法；同底數(shù)冪的除法；合并同類項法則及應(yīng)用；積的乘方運算【解析】【解答】解：A、∵3a2?2B、∵a3÷aC、∵a2?aD、∵(2a)3故答案為：B.

【分析】根據(jù)合并同類項法則，同底數(shù)冪的乘除法，積的乘方，分別對各個選項計算驗證，即可解答.5．【答案】D【知識點】二次根式的乘除法【解析】【解答】解：2×故答案為：D.

【分析】直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案即可．6．【答案】A【知識點】兩點之間線段最短；菱形的性質(zhì)；軸對稱圖形；多邊形的內(nèi)角和公式【解析】【解答】解：A、兩點之間，線段最短，該選項是真命題，符合題意；B、菱形的對角線互相垂直，但不一定相等，該選項是假命題，不符合題意；C、正五邊形的外角和為360°，該選項是假命題，不符合題意；D、直角三角形不一定是軸對稱圖形，只有等腰直角三角形是軸對稱圖形，該選項是假命題，不符合題意；故答案為：A.

【分析】根據(jù)多邊形外角和，菱形的性質(zhì)，軸對稱圖形的特點及兩點之間線段最短，逐一判斷即可作答.7．【答案】C【知識點】圓周角定理【解析】【解答】解：∠BOC=2∠A=2×45°=90°．故答案為：C.

【分析】根據(jù)圓周角定理可知∠A=18．【答案】B【知識點】中位數(shù)【解析】【解答】解：從小到大排序為130，141，158，179，192，最中間的數(shù)是158，∴中位數(shù)是158，故答案為：B.

【分析】先把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，即可解答.9．【答案】D【知識點】相似三角形的判定；三角形的中位線定理；相似三角形的性質(zhì)-對應(yīng)面積【解析】【解答】解：∵點D，E分別為邊∴DE∥BC，BC=2DE，故∵DE∥∴△ADE∽△ABC∵△ADE∴S△∴S△ADE=故答案為：D.

【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可判斷A、C正確，相似三角形的判定和性質(zhì)可判斷B、D，即可得出結(jié)果.10．【答案】C【知識點】解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解；點的坐標(biāo)與象限的關(guān)系【解析】【解答】解：∵點P(∴2a?4<0a+3>0∴?3<a<2，故選項A錯誤；∵點P(2a?4,∴整數(shù)a為?2，?1，0，1，∴“整點”點P的個數(shù)為4個，故選項B錯誤；∴“整點”P為(?8,1)，(?6∵1?8=?18，2∴“超整點”P為(?2∵點P(∴點P坐標(biāo)為(?2∴點P到兩坐標(biāo)軸的距離之和2+4=6，故選項D錯誤，故答案為：C.

【分析】根據(jù)象限點的特征，先判斷出a的取值范圍，再根據(jù)題中新定義，找到符合條件的“整點”“超整點”，再由點到坐標(biāo)軸的距離即可對四個選項逐一判斷.11．【答案】2024【知識點】化簡多重符號有理數(shù)【解析】【解答】解：?故答案為：2024.

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義，化簡多重符號即可.12．【答案】1【知識點】簡單事件概率的計算【解析】【解答】解：∵共有4枚棋子“”“”“”“”，∴從中隨機翻開一張，恰好翻到棋子“”的概率是14．故答案為：14【分析】根據(jù)概率公式“概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比”，即可作答．13．【答案】x=1【知識點】解分式方程【解析】【解答】解：最簡公分母為：x+1

方程的兩邊同乘（x+1），得2=x+1，解得x=1．檢驗：當(dāng)x=1時，x+1=2≠0．所以原方程的解為x=1．故答案為：x=1．【分析】根據(jù)解分式方程的一般步驟，先找到分式方程的最簡公分母，再去分母將分式方程化為整式方程求解，注意解后必須要檢驗.14．【答案】100【知識點】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)-等邊對等角【解析】【解答】解：等腰三角形兩個底角相等，都為40°所以其頂角=180°?40°×2=100°.

故答案為：100.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)（等邊對等角）及三角形內(nèi)角和定理即可解答.15．【答案】2【知識點】根據(jù)一元二次根的根的情況求參數(shù)【解析】【解答】解：∵a=1，b=-4，c=2k

∴Δ=b解得：k=2故答案為：2.

【分析】若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則判別式Δ=b216．【答案】180【知識點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式【解析】【解答】解：將l=0.9，f=200代入f=k解得k=180，故答案為：180．

【分析】利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，即可求解.17．【答案】6【知識點】角平分線的性質(zhì)；線段的和、差、倍、分的簡單計算；尺規(guī)作圖-作角的平分線【解析】【解答】解：由題意，BP是∠ABC的平分線

∵AD是邊BC上的高，MN⊥AB，

∴MD=MN=2，

∴AD=4MD=4×2=8

故答案為：6．【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟，判斷出BP是∠ABC18．【答案】(【知識點】解直角三角形的其他實際應(yīng)用【解析】【解答】解：∵∠BOE=60°，OE⊥l

∴∠BOH=90°?60°=30°

如圖，延長DC交l于點H，連接OC

在Rt△OBH中，OB=12dm∴BH=OB×tan30°=12×∴CH=BH-BC=43-4

在Rt△CFH故答案為：(6?2

【分析】根據(jù)已知條件，延長DC交l于點H，連接OC，構(gòu)造出Rt△OBH和Rt△19．【答案】解：原式=3+1+12【知識點】求特殊角的三角函數(shù)值；實數(shù)的混合運算（含開方）【解析】【分析】題目主要考查實數(shù)的混合運算，特殊角的三角函數(shù)、零次冪的運算等，先化簡絕對值、零次冪及特殊角的三角函數(shù)、算術(shù)平方根，然后計算加減法即可，熟練掌握各個運算法則是解題關(guān)鍵．20．【答案】解：原式===x+1當(dāng)x=3時，原式=3+1【知識點】分式的化簡求值-直接代入【解析】【分析】根據(jù)分式混合運算的法則，將原式先化簡再代入求值即可.21．【答案】（1）100（2）“3項”的人數(shù)為：100?3?30?42?10=15（人)，補全條形統(tǒng)計圖如下：（3）36（4）1200×15+10100=300答：估計該校五月份參與家務(wù)勞動的項目數(shù)量達(dá)到3項及以上的學(xué)生人數(shù)大約為300人．【知識點】用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖【解析】【解答】（1）解：根據(jù)題意得：30÷30%故答案為：100；（3）360°×10故答案為：36；

【分析】（1）用參與1項家務(wù)勞動的人數(shù)除以其所占的比例即可得出結(jié)果；（2）先根據(jù)（1）求出的總?cè)藬?shù)即可算出3項家務(wù)勞動的學(xué)生人數(shù)，然后補全統(tǒng)計圖即可；（3）用360度乘以4項及以上所占的比例即可；（4）總?cè)藬?shù)1200乘以參與家務(wù)勞動的項目數(shù)量達(dá)到3項及以上的比例，用樣本數(shù)據(jù)估計總體．22．【答案】（1）選擇①或②，證明如下：選擇①，∵∠B=∠AED∴BC//∵AB∴四邊形BCDE為平行四邊形；選擇②，∵AE=BE，AE=CD∴BE=CD，∵AB∴四邊形BCDE為平行四邊形；故答案為：①或②；（2）由（1）可知，四邊形BCDE為平行四邊形，∴DE=BC=10，∵AD⊥AB∴∠A=90°，∴AE=D即線段AE的長為6．【知識點】勾股定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)【解析】【分析】（1）若選擇①，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可證明；若選擇②，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DE=BC=10，再由勾股定理即可求解．23．【答案】（1）解：設(shè)臍橙樹苗的單價為x元，黃金貢柚樹苗的單價為y元，由題意得：x+2y=1102x+3y=190解得：x=50y=30答：臍橙樹苗的單價為50元，黃金貢柚樹苗的單價為30元；（2）解：設(shè)可以購買臍橙樹苗m棵，則購買黃金貢柚樹苗(1000?m由題意得：50m+30(解得：m?答：最多可以購買臍橙樹苗400棵．【知識點】二元一次方程組的其他應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用【解析】【分析】（1）設(shè)臍橙樹苗的單價為x元，黃金貢柚樹苗的單價為y元，根據(jù)“購買1棵臍橙樹苗和2棵黃金貢柚樹苗共需110元；購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元”列二元一次方程組求解即可；

（2）設(shè)可以購買臍橙樹苗m棵，則購買黃金貢柚樹苗(1000?m24．【答案】（1）∵GH⊥CE，EF的長為4米，∠CFG=60∴tan∠CFE=∴CE=7（米)；∵∠BFG=45°∴BE=EF=4米，∴CB=CE?BE=3（米)；（2）過點A作AM⊥GH于點M，如圖所示：∵∠AFG=21∴tan∠AFG=∵AM=BE=4∴MF=10米，∴AB=ME=10?4=6米，∴底座的底面ABCD的面積為：3×6=18（平方米）．【知識點】矩形的判定與性質(zhì)；解直角三角形的其他實際應(yīng)用；等腰直角三角形【解析】【分析】（1）在Rt△CFE中，tan∠CFE=tan60.3°=CEEF≈1.75，即可解出CE的長度，再由∠BFG=45°判斷出三角形BEF是等腰直角三角形，即可算出BC的長.

（2）過點25．【答案】（1）解：將點A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：5=?4+c，則c=9，即拋物線的表達(dá)式為：y=?x（2）證明：為定值，理由：令y=?x2+9，則x=±3由點A、B的坐標(biāo)得，直線AB的表達(dá)式為：y=?x+3，設(shè)點P、Q、D的表達(dá)式分別為：(x1，?x12+9)、(則SΔ同理可得：SΔ則SΔ（3）解：點P、Q的表達(dá)式分別為：(x1，?x12由點P、Q的坐標(biāo)得，直線PQ的表達(dá)式為：y=x則MN=y故MN的最大值為：374【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)-面積問題【解析】【分析】（1）將A點代入二次函數(shù)解析式用待定系數(shù)法求解即可；（2）先根據(jù)A、B兩點坐標(biāo)，求出直線AB的解析式，表示出P(x1,?x12+9)，Q(（3）根