2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第九章解三角形單元素養(yǎng)評價(jià)練習(xí)含解析新人教B版必修第四冊

PAGE單元素養(yǎng)評價(jià)(一)(第九章)(120分鐘150分)一、單選題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.在△ABC中,若a=QUOTEb,A=2B,則cosB等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以a=QUOTEb可化為QUOTE=QUOTE.又A=2B,所以QUOTE=QUOTE,所以cosB=QUOTE.2.(2024·唐山高一檢測)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若A=QUOTE,B=QUOTE,a=4,則b= ()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.2QUOTE【解析】選C.因?yàn)镼UOTE=QUOTE,所以b=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.3.在△ABC中,a=15,b=20,A=30°,則cosB= ()A.±QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)镼UOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得sinB=QUOTE.因?yàn)閎>a,所以B>A,故B有兩解,所以cosB=±QUOTE.4.(2024·聊城高一檢測)已知△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若c=4QUOTE,B=45°,S△ABC=2,則b等于 ()A.QUOTE B.5 C.QUOTE D.25【解析】選B.由題意可知,S△ABC=QUOTE×acsinB=QUOTE×4QUOTE×QUOTEa=2,解得a=1,由余弦定理知b2=a2+c2-2accosB,所以b2=1+32-2×4QUOTE×QUOTE=25,所以b=5.5.(2024·成都高一檢測)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b=ccosA,則△ABC的形態(tài)為 ()A.正三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形【解析】選B.因?yàn)閎=ccosA且cosA=QUOTE,所以b=ccosA=c×QUOTE=QUOTE,即有c2=a2+b2,所以可推斷△ABC為直角三角形.6.在△ABC中a,b,c分別是角A,B,C的對邊.已知abcos(A-B)=a2+b2-c2,tanA=2,a=2QUOTE,則b=()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE或QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由題得cos(A-B)=QUOTE=2cosC,因?yàn)閏osC=-cos(A+B),所以cosAcosB+sinAsinB=-2(cosAcosB-sinAsinB),化簡整理得3cosAcosB-sinAsinB=0,所以tanAtanB=3,又因?yàn)閠anA=2,所以tanB=QUOTE,sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,由正弦定理得b=QUOTE=QUOTE.7.已知一個(gè)三角形的三邊是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù),且最大角是最小角的2倍,則該三角形的最小角的余弦值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.設(shè)△ABC的最大角為B,最小角為C,可得出b=a+1,c=a-1,由題意得出B=2C,所以sinB=sin2C=2sinCcosC,所以b=2ccosC,即QUOTE=2cosC,即QUOTE=QUOTE,將b=a+1,c=a-1代入QUOTE=QUOTE得QUOTE=QUOTE,解得a=5,所以b=6,c=4,則cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE.8.(2024·襄陽高一檢測)某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上實(shí)行升旗儀式,在坡度為15°的看臺(tái)上,同一列上的第一排和最終一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°,第一排和最終一排的距離為10QUOTEm(如圖所示),則旗桿的高度為 ()A.10m B.30m C.10QUOTEm D.20QUOTEm【解析】選B.依題意知∠ABC=30°+15°=45°,∠ACB=180°-60°-15°=105°,所以∠BAC=180°-45°-105°=30°,由正弦定理知QUOTE=QUOTE,所以AC=QUOTE·sin∠ABC=QUOTE×QUOTE=20QUOTE(m),在Rt△ACD中AD=QUOTE·AC=QUOTE×20QUOTE=30(m)即旗桿的高度為30m.二、多選題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)是符合題目要求的,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.已知△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=k∶(k+1)∶2k,則k的值可以是 ()A.QUOTE B.1 C.2 D.3【解析】選BCD.由正弦定理得a=mk,b=m(k+1),c=2mk(m>0),因?yàn)镼UOTE即QUOTE所以k>QUOTE.故選BCD.10.在三角形ABC中,下列命題正確的有 ()A.若A=30°,b=4,a=5,則三角形ABC有兩解B.若0<tanA·tanB<1,則△ABC肯定是鈍角三角形C.若cosQUOTEcosQUOTEcosQUOTE=1,則△ABC肯定是等邊三角形D.若a-b=c·cosB-c·cosA,則△ABC的形態(tài)是等腰或直角三角形【解析】選BCD.因?yàn)锳=30°,b=4,a=5,所以由正弦定理得sinB=QUOTE=QUOTE,b<a,所以B只有一個(gè)解,故A錯(cuò)誤;由0<tanA·tanB<1,即0<QUOTE<1,所以cosAcosB-sinAsinB>0,即cos(A+B)>0,所以A+B<QUOTE,所以C=π-A-B>QUOTE,故△ABC肯定是鈍角三角形,故B正確;因?yàn)閏osQUOTEcosQUOTEcosQUOTE=1,所以cosQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTE=1,所以A=B=C=60°,故C正確;因?yàn)閍-b=c·cosB-c·cosA,所以sinA-sinB=sinCcosB-sinCcosA,所以sinA-sinCcosB=sinB-sinCcosA,因?yàn)閟inA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinBcosC=sinAcosC,所以cosC=0或sinA=sinB,所以C=QUOTE或A=B,所以△ABC的形態(tài)是等腰或直角三角形,故D正確.11.在△ABC中a,b,c分別是角A,B,C的對邊,C為鈍角,且c-b=2bcosA,則下列結(jié)論中正確的是 ()A.a2=b(b+c) B.A=2BC.0<cosA<QUOTE D.0<sinB<QUOTE【解析】選ABD.因?yàn)閏-b=2bcosA,所以由余弦定理得c-b=2b·QUOTE,因此c(c-b)=b2+c2-a2,整理得a2=b(b+c),故A選項(xiàng)正確;因?yàn)閏-b=2bcosA,所以由正弦定理得sinC-sinB=2sinBcosA,即sin(A+B)-sinB=2sinBcosA,所以sinAcosB+sinBcosA-2sinBcosA=sinB,所以sinAcosB-sinBcosA=sinB,所以sin(A-B)=sinB,由于C是鈍角,所以A-B=B,即A=2B,故B選項(xiàng)正確;由于A=2B,且C>90°,所以0°<A+B<90°,所以0°<B<30°,0°<A<60°,因此0<sinB<QUOTE,cosA>QUOTE,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤,D選項(xiàng)正確.12.(2024·棗莊高一檢測)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且QUOTE∶QUOTE∶QUOTE=9∶10∶11,則下列結(jié)論正確的是 ()A.sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6B.△ABC是鈍角三角形C.△ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍D.若c=6,則△ABC外接圓半徑為QUOTE【解析】選ACD.因?yàn)镼UOTE∶QUOTE∶QUOTE=9∶10∶11,所以可設(shè)QUOTE(其中x>0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=4∶5∶6,所以A正確;因?yàn)檫卌最長,所以三角形中角C最大,又cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE>0,所以角C為銳角,所以B錯(cuò)誤;因?yàn)檫卆最小,所以三角形中角A最小,又cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以cos2A=2cos2A-1=QUOTE,所以cos2A=cosC,由三角形中角C最大且角C為銳角可得:2A∈QUOTE,C∈QUOTE,所以2A=C,所以C正確;由正弦定理得2R=QUOTE,又sinC=QUOTE=QUOTE,所以2R=QUOTE,解得:R=QUOTE,所以D正確.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.在等腰三角形ABC中,已知sinA∶sinB=1∶2,底邊BC=10,則△ABC的周長是.

【解析】由正弦定理得BC∶AC=sinA∶sinB=1∶2,又底邊BC=10,所以AC=20,所以AB=AC=20,所以△ABC的周長是10+20+20=50.答案:5014.(2024·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinA+acosB=0,則B=.

【解析】由正弦定理得sinBsinA+sinAcosB=0.因?yàn)锳∈(0,π),B∈(0,π),所以sinA≠0,所以sinB+cosB=0,即tanB=-1,所以B=QUOTE.答案:QUOTE15.(2024·浙江高考)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)D在線段AC上,若∠BDC=45°,則BD=,cos∠ABD=.

【解析】如圖,在△ABD中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,而AB=4,∠ADB=QUOTE,AC=QUOTE=5,sin∠BAC=QUOTE=QUOTE,cos∠BAC=QUOTE=QUOTE,所以BD=QUOTE.cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=cosQUOTEcos∠BAC+sinQUOTEsin∠BAC=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE16.我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在其《海島算經(jīng)》中給出了聞名的望海島問題及二次測望方法:今有望海島,立兩表,齊高三丈,前后相去千步,令后表與前表三相直.從前表卻行一百二十三步,人目著地取望島峰,與表末三合.從后表卻行一百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末三合.問島高及去表各幾何?這一方法領(lǐng)先印度500多年,領(lǐng)先歐洲1300多年.其大意為:測量望海島PQ的高度及海島離岸距離,在海岸邊立兩根等高的標(biāo)桿AB,CD(PQ,AB,CD共面,均垂直于地面),使目測點(diǎn)E與P,B共線,目測點(diǎn)F與P,D共線,測出AE,CF,AC即可求出島高和距離(如圖).若AB=CD=r,AE=a,CF=b,EF=d,則PQ=;EQ=.

【解析】設(shè)∠AEB=α,∠CFD=β,則tanα=QUOTE,tanβ=QUOTE,在△PEF中,QUOTE=QUOTE,得PE=QUOTE=QUOTE,所以PQ=PE·sinα=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,EQ=PE·cosα=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE四、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(10分)(2024·新高考全國Ⅰ卷)在①ac=QUOTE,②csinA=3,③c=QUOTEb這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求c的值;若問題中的三角形不存在,說明理由.問題:是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinA=QUOTEsinB,C=QUOTE,?

注:假如選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】方案一:選條件①.由C=QUOTE和余弦定理得QUOTE=QUOTE.由sinA=QUOTEsinB及正弦定理得a=QUOTEb.于是QUOTE=QUOTE,由此可得b=c.由①ac=QUOTE,解得a=QUOTE,b=c=1.因此,選條件①時(shí)問題中的三角形存在,此時(shí)c=1.方案二:選條件②.由C=QUOTE和余弦定理得QUOTE=QUOTE.由sinA=QUOTEsinB及正弦定理得a=QUOTEb.于是QUOTE=QUOTE,由此可得b=c,B=C=QUOTE,A=QUOTE.由②csinA=3,所以c=b=2QUOTE,a=6.因此,選條件②時(shí)問題中的三角形存在,此時(shí)c=2QUOTE.方案三:選條件③.由C=QUOTE和余弦定理得QUOTE=QUOTE.由sinA=QUOTEsinB及正弦定理得a=QUOTEb.于是QUOTE=QUOTE,由此可得b=c.由③c=QUOTEb與b=c沖突.因此,選條件③時(shí)問題中的三角形不存在.18.(12分)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-QUOTE.(1)求A.(2)求AC邊上的高.【解析】(1)在△ABC中,因?yàn)閏osB=-QUOTE,所以sinB=QUOTE=QUOTE.由正弦定理得sinA=QUOTE=QUOTE.由題設(shè)知QUOTE<B<π,所以0<A<QUOTE,所以A=QUOTE.(2)在△ABC中,因?yàn)閟inC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=QUOTE,所以AC邊上的高為asinC=7×QUOTE=QUOTE.19.(12分)(2024·廣州高一檢測)在△ABC中,邊a,b,c所對的角分別為A,B,C,已知a>c,△ABC的面積為2QUOTE,sin(A-B)+sinC=QUOTEsinA,b=3.(1)求sinB的值;(2)求邊a,c的值.【解析】(1)由sin(A-B)+sinC=QUOTEsinA,C=π-(A+B),得sinAcosB-cosAsinB+sin(A+B)=QUOTEsinA,即2sinAcosB=QUOTEsinA,因?yàn)?<A<π,所以sinA≠0,所以cosB=QUOTE.因?yàn)?<B<π,所以sinB=QUOTE.(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-QUOTEac得a2+c2-QUOTEac=9①,又因?yàn)镾△ABC=QUOTEacsinB=2QUOTE,所以ac=6②,由①②解得QUOTE或QUOTE因?yàn)閍>c所以a=3,c=2.20.(12分)(2024·合肥高一檢測)在四邊形ABCD中,∠ABC=QUOTE,AB⊥AD,AB=1,△ABC的面積為QUOTE.(1)求sin∠CAB;(2)若∠ADC=QUOTE,求CD的長.【解析】(1)△ABC的面積為QUOTEAB·BC·sin∠ABC=QUOTE×1×BC×QUOTE=QUOTE,所以BC=QUOTE.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,即AC2=1+2-2×1×QUOTE×QUOTE=5,得AC=QUOTE.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以sin∠CAB=QUOTE.(2)由(1)知sin∠CAB=QUOTE,所以cos∠CAB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因?yàn)锳B⊥AD,所以∠DAC+∠CAB=90°,sin∠DAC=cos∠CAB=QUOTE.在△ACD中,由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得CD=4.21.(12分)(2024·上海高一檢測)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50m/min.在甲動(dòng)身2min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1min后,再從B勻速步行到C,假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min,山路AC長為1260m,經(jīng)測量cosA=QUOTE,cosC=QUOTE.(1)求索道AB的長;(2)乙動(dòng)身多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?(3)為使兩位游客在C處相互等待的時(shí)間不超過3min,乙步行的速度應(yīng)限制在什么范圍內(nèi)?【解析】(1)在△ABC中,因?yàn)閏osA=QUOTE,cosC=QUOTE,所以sinA=QUOTE,sinC=QUOTE,從而sinB=sinQUOTE=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,由正弦定理QUOTE=QUOTE得,AB=QUOTE×sinC=QUOTE×QUOTE=10