2024高考數(shù)學統(tǒng)考一輪復(fù)習第八章平面解析幾何第四節(jié)直線與圓圓與圓的位置關(guān)系教師文檔教案文北師大版

PAGE第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系授課提示：對應(yīng)學生用書第158頁[基礎(chǔ)梳理]1．直線與圓的位置關(guān)系與推斷方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系．①d<r?直線與圓相交；②d＝r?直線與圓相切；③d>r?直線與圓相離．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程，消去x(或y)得一元二次方程，計算Δ＝b2－4ac①Δ>0?直線與圓相交；②Δ＝0?直線與圓相切；③Δ<0?直線與圓相離．2．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)．方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的狀況外離d>r1＋r2無解外切d＝r1＋r2一組實數(shù)解續(xù)表相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無解3.兩圓公切線的條數(shù)位置關(guān)系內(nèi)含內(nèi)切相交外切外離公切線條數(shù)01234圓的方程兩種設(shè)法技巧：(1)經(jīng)過直線l：Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交點的圓的方程表示為(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＋λ(Ax＋By＋C)＝0.(2)經(jīng)過圓x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的兩個交點的圓的方程表示為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.[四基自測]1．(基礎(chǔ)點：直線與圓的位置關(guān)系)直線y＝x＋6與圓x2＋y2－2y－4＝0的位置關(guān)系為()A．相離 B．相切C．相交且不過圓心 D.相交過圓心答案：A2．(基礎(chǔ)點：圓與圓的位置關(guān)系)兩圓x2＋y2－2y＝0與x2＋y2－4＝0的位置關(guān)系是()A．相交 B．內(nèi)切C．外切 D.內(nèi)含答案：B3．(基礎(chǔ)點：圓的弦長)直線l：3x－y－6＝0與圓x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B兩點，則|AB|＝________．答案：eq\r(10)4．(易錯點：求圓的切線方程)已知直線l：y＝k(x＋eq\r(3))和圓C：x2＋(y－1)2＝1，若直線l與圓C相切，則k＝________．答案：0或eq\r(3)授課提示：對應(yīng)學生用書第158頁考點一直線與圓的位置關(guān)系挖掘1直線與圓位置關(guān)系的推斷/自主練透[例1](1)直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D.不確定[解析]法一：直線l：mx－y＋1－m＝0過定點(1，1)，因為點(1，1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，所以直線l與圓相交．法二：(幾何法)由題意知，圓心(0，1)到直線l的距離d＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))＜1＜eq\r(5)，故直線l與圓相交．法三：(代數(shù)法)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx－y＋1－m＝0，,x2＋（y－1）2＝5，))消去y，整理得：(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，Δ＝(－2m2)2－4(1＋m2)(m2－5)＝4(4m2＋5)＞0，故直線l與圓相交．[答案]A(2)(2024·湖北荊州二模)圓(x－1)2＋(y－1)2＝2關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，則k的值是()A．2 B．－2C．1 D.－1[解析]∵圓(x－1)2＋(y－1)2＝2關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，∴直線y＝kx＋3過圓心(1，1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.故選B.[答案]B(3)若直線kx－y＋2＝0與圓x2＋y2－2x－3＝0沒有公共點，則實數(shù)k的取值范圍是________．[解析]由題知，圓x2＋y2－2x－3＝0可寫成(x－1)2＋y2＝4，圓心(1，0)到直線kx－y＋2＝0的距離d＞2，即eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＞2，解得0＜k＜eq\f(4,3).[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))挖掘2直線與圓相切問題/互動探究[例2](1)(2024·洛陽三校聯(lián)考)已知圓C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1與x軸切于A點，與y軸切于B點，設(shè)劣弧AB的中點為M，則過點M的圓C的切線方程是()A．y＝x＋2－eq\r(2) B．y＝x＋1－eq\f(1,\r(2))C．y＝x－2＋eq\r(2) D.y＝x＋1－eq\r(2)[解析]由已知得A(－1，0)，B(0，1)，則易得kAB＝1，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－1，－\f(\r(2),2)＋1))，所以切線斜率為1，故切線方程為y＋eq\f(\r(2),2)－1＝x－eq\f(\r(2),2)＋1，即y＝x＋2－eq\r(2).[答案]A(2)一條光線從點(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D.－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)[解析]由已知，得點(－2，－3)關(guān)于y軸的對稱點為(2，－3)，由入射光線與反射光線的對稱性，知反射光線肯定過點(2，－3)．設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光線與圓相切，則有d＝eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4).[答案]D(3)若圓心在x軸上，半徑為eq\r(5)的圓O′位于y軸左側(cè)，且與直線x＋2y＝0相切，則圓O′的方程是()A．(x－5)2＋y2＝5或(x＋5)2＋y2＝5B．(x＋eq\r(5))2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5D．(x＋5)2＋y2＝5[解析]設(shè)圓心坐標為(a，0)(a＜0)，因為圓與直線x＋2y＝0相切，所以eq\r(5)＝eq\f(|a＋2×0|,\r(5))，解得a＝－5，因此圓的方程為(x＋5)2＋y2＝5.[答案]D挖掘3直線與圓相交問題/互動探究[例3](1)過點(1，1)的直線與圓(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為()A．2eq\r(3) B．4C．2eq\r(5) D.5[解析]由圓的幾何性質(zhì)可知，當點(1，1)為弦AB的中點時，|AB|的值最小，此時|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(9－5)＝4.[答案]B(2)若圓Ω過點(0，－1)，(0，5)，且被直線x－y＝0截得的弦長為2eq\r(7)，則圓Ω的方程為()A．x2＋(y－2)2＝9或(x＋4)2＋(y－2)2＝25B．x2＋(y－2)2＝9或(x－1)2＋(y－2)2＝10C．(x＋4)2＋(y－2)2＝25或(x＋4)2＋(y－2)2＝17D．(x＋4)2＋(y－2)2＝25或(x－4)2＋(y－1)2＝16[解析]由于圓Ω過點(0，－1)，(0，5)，所以圓心在直線y＝2上，設(shè)圓心坐標為(a，2)，由題意得eq\f(|a－2|,\r(2))＝eq\r(a2＋（5－2）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(7),2)))\s\up12(2))，解得a＝0或a＝－4.當a＝0時，圓心坐標為(0，2)，半徑為3；當a＝－4時，圓心坐標為(－4，2)，半徑為5，所以圓Ω的方程為x2＋(y－2)2＝9或(x＋4)2＋(y－2)2＝25.故選A.[答案]A(3)已知過點P(t，0)(t>0)的直線l被圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0截得弦AB長為4，若直線l唯一，則該直線的方程為________．[解析]將圓C的方程化為標準方程(x－1)2＋(y＋2)2＝9，∴圓心C(1，－2)，半徑r＝3.又由題意可知，圓心C到直線l的距離為eq\r(32－22)＝eq\r(5)，∴全部滿意題意的直線l為圓D：(x－1)2＋(y＋2)2＝5的切線．又∵直線l唯一，∴點P在圓D上．∴(t－1)2＋4＝5.∴t＝2或t＝0(舍去)．該切線方程為(2－1)(x－1)＋(y＋2)(0＋2)＝5，即直線l的方程為x＋2y－2＝0.[答案]x＋2y－2＝0(4)在平面直角坐標系xOy中，A為直線l：y＝2x上在第一象限內(nèi)的點，B(5，0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，則點A的橫坐標為________．[解析]因為eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，所以AB⊥CD，又點C為AB的中點，所以∠BAD＝45°.設(shè)直線l的傾斜角為θ，直線AB的斜率為k，則tanθ＝2，k＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝－3，又B(5，0)，所以直線AB的方程為y＝－3(x－5)，又A為直線l：y＝2x上在第一象限內(nèi)的點，聯(lián)立直線AB與直線l的方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－3（x－5），,y＝2x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝6))，所以點A的橫坐標為3.[答案]3[破題技法]直線與圓位置關(guān)系的求解方法問題解題技巧圖例直線與圓位置關(guān)系推斷利用圓心到直線的距離d與半徑r比較進行推斷求弦長巧借垂徑定理，利用|AB|＝2eq\r(r2－d2)(d為弦心距，r為圓的半徑)求解直線與圓相交所得弦長求切線方程(1)若點(x0，y0)在圓上，斜率存在時，先求點與圓心連線的斜率k，由切線與過切點、圓心的直線垂直的關(guān)系知切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點斜式方程可求出切線方程(2)若點(x0，y0)在圓外，當斜率k存在時，設(shè)直線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑求出斜率，即可得出切線方程考點二圓與圓的位置關(guān)系挖掘利用圓與圓的關(guān)系求解/自主練透[例](1)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0相切，則m＝()A．－11 B．9C．19 D.9或－11[解析]依題意可得C1(0，0)，C2(3，4)，則|C1C2|＝eq\r(32＋42)＝5.又r1＝1，r2＝eq\r(25－m)，25－m＞0，當兩圓外切時，r1＋r2＝eq\r(25－m)＋1＝5，解得m＝9，當兩圓內(nèi)切時，|r2－r1|＝5，即|eq\r(25－m)－1|＝5，得eq\r(25－m)＝6，解得m＝－11.[答案]D(2)若圓O1：x2＋y2＝5與圓O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線相互垂直，則線段AB的長度是()A．3 B．4C．2eq\r(3) D.8[解析]如圖，連接O1A、O2A，由于⊙O1與⊙O2在點A處的切線相互垂直，因此O1A⊥O2A，所以O(shè)1Oeq\o\al(2,2)＝O1A2＋O2A2，即m2＝5＋20＝25，設(shè)AB交x軸于點C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝eq\f(\r(5),5)，∴在Rt△ACO2中，AC＝AO2·sin∠AO2O1＝2eq\r(5)×eq\f(\r(5),5)＝2，∴AB＝2AC[答案]B(3)已知圓C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圓C2：x2＋(y－b)2＝1只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值為()A．2 B．4C．8 D．9[解析]由題意可知，圓C1的圓心為(－2a，0)，半徑為2，圓C2的圓心為(0，b)，半徑為1，因為兩圓只有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，所以eq\r(（－2a－0）2＋（0－b）2)＝2－1，即4a2＋b2＝1.所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))·(4a2＋b2)＝5＋eq\f(b2,a2)＋eq\f(4a2,b2)≥5＋2eq\r(\f(b2,a2)·\f(4a2,b2))＝9，當且僅當eq\f(b2,a2)＝eq\f(4a2,b2)，且4a2＋b2＝1，即a2＝eq\f(1,6)，b2＝eq\f(1,3)時等號成立，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)的最小值為9.故選D.[答案]D[破題技法]1.推斷兩圓位置關(guān)系的方法幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的肯定值的關(guān)系，一般不用代數(shù)法．2．兩圓公共弦長的求法求兩圓公共弦長，先求出公共弦所在直線的方程，在其中一圓中，由弦心距d，半弦長eq\f(l,2)，半徑r所在線段構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解．而兩圓公共弦的方程就是將兩圓方程相減，消去x2，y2后的方程．考點三圓的綜合問題挖掘1與圓有關(guān)的最值問題/自主練透[例1]已知實數(shù)x、y滿意x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求eq\f(y,x)的最大值與最小值；(2)求y－x的最大值、最小值；(3)求x2＋y2的最大值、最小值．[解析](1)原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.如圖所示，當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，如圖所示，當直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6).所以y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6).(3)如圖所示，x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何學問知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值．又圓心到原點的距離為eq\r(（2－0）2＋（0－0）2)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).[破題技法]與圓有關(guān)的最值問題的幾何轉(zhuǎn)化法(1)形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題．(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題．挖掘2直線與圓的綜合問題/互動探究[例2]已知圓C經(jīng)過點(2，4)，(1，3)，圓心C在直線x－y＋1＝0上，過點A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C相交于M，N兩點．(1)求圓C的方程；(2)請問eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))是否為定值，若是，懇求出該定值，若不是，請說明理由；(3)若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12(O為坐標原點)，求直線l的方程．[解析](1)設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－a）2＋（4－b）2＝r2，,（1－a）2＋（3－b）2＝r2，,a－b＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3，,r＝1，))∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－3)2＝1.(2)eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))為定值．過點A(0，1)作直線AT與圓C相切，切點為T，易得|AT|2＝7，∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝|eq\o(AM,\s\up6(→))|·|eq\o(AN,\s\up6(→))|co