高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)答題模板：專(zhuān)題18 數(shù)列的通項(xiàng)與求和

專(zhuān)題十八數(shù)列的通項(xiàng)求和

---------知識(shí)尋源-----------

【一般數(shù)列的通項(xiàng)公式】

一般數(shù)列的定義：果數(shù)列｛a.｝的第n項(xiàng)a。與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成a.=f(n),那么這

個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

【通項(xiàng)公式的求法】

(1)構(gòu)造等比數(shù)列：凡是出現(xiàn)關(guān)于后項(xiàng)和前項(xiàng)的一次遞推式都可以構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式；(2)構(gòu)

造等差數(shù)列：遞推式不能構(gòu)造等比數(shù)列時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；(3)遞推：即按照后項(xiàng)和前項(xiàng)的對(duì)應(yīng)規(guī)律，

再往前項(xiàng)推寫(xiě)對(duì)應(yīng)式。

已知遞推公式求通項(xiàng)常見(jiàn)方法：

①已知a1=a,an+i=qa?+b,求a?時(shí)，利用待定系數(shù)法求解，其關(guān)鍵是確定待定系數(shù)入，使+X=q(a?+X)

進(jìn)而得到'。②已知ai=a,a?=a?T+f(n)(n，2),求a?時(shí)，利用累加法求解，即a?=ai+(a2-ai)+(a3-a2)+…+(a「a“i)

的方法。③已知a產(chǎn)a,a“=f(n)a,”i(nN2),求a“時(shí)，利用累乘法求解。

【等差數(shù)列的通項(xiàng)公式】

a?=ai+(n-1)d,nCN*。

a“=dn+a「d,d#OH寸，是關(guān)于n的一次函數(shù)，斜率為公差d：

a“=kn+b(kW)=>｛a,.｝為等差數(shù)列，反之不能。

【等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式】

~—MS,=na!-\dr^a

(1)2,(2),~,(3)',"<4)&z=%(2%一1)

【數(shù)列求和的常用方法】

1.裂項(xiàng)相加；2、錯(cuò)位相減；3、倒序相加法。4、分組轉(zhuǎn)化法。5、公式法求和

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式：

S*=二"二"S,=naa-^d\n

2

(1),(2).，,(3)，"(4)^s_1=aJ2?-l)

【等比數(shù)列的通項(xiàng)公式】

a?=aiqn!,qWO,nGN*。

【等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式】

na^q=li

I=<々J]_gX?_a1一以1g

等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的變形

一白a

q聲1時(shí),=q----=aq+3（a^—0b盧0,a+bR）;

\-q\-q

---------示范例題-----------

【2017年高考全國(guó)H卷，理15】

n1

等差數(shù)列｛aH｝的前n項(xiàng)和為S“，生=3,邑=10，貝I2一二____________-

A=ISk

■依一.2〃

【答案】——

H+1

%+2d=3r=1

【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為公差為乩由題意有」4x3，解得：，

4^+—</=10［d=l

數(shù)列的刖n項(xiàng)和Sn=nax+——d=nxl+——-—x1=――~~-,

裂項(xiàng)可得」_

Wk（k+T）

1111111?w

m2^=2［（1~2）+（2-3）+，"+（^_7H）］=2（1-^）=^I'

【考點(diǎn)】等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)求和.

【點(diǎn)撥】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前"項(xiàng)和公式,共涉及五個(gè)量a,a”,d,n,S,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體

現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前"項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而d和d是等

差數(shù)列的兩個(gè)基本量,用它們表示已知和未知是常用得方法.使用裂項(xiàng)法求和時(shí),要注意正、負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消

去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng),切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng),未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn).

答題思路

【命題意圖】數(shù)列的通項(xiàng)與求和高考必考內(nèi)容,重點(diǎn)考查方程思想求通項(xiàng),及等價(jià)轉(zhuǎn)換在求和中的應(yīng)用，同

時(shí)考查運(yùn)算求解能力.

【命題規(guī)律】高考試題對(duì)數(shù)列內(nèi)容考查的主要角度有兩種：一種是僅在客觀題中考查數(shù)列,一般有2道小

題,特點(diǎn)是小巧活：一種是僅在解答題中考查數(shù)列，一般在第17題的位置上,屬于基礎(chǔ)題,多以等差數(shù)列或

等比數(shù)列為載體,考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,求和?？脊角蠛汀⒘秧?xiàng)求和.

【答題模板】解答本類(lèi)題目，以2017年試題為例,一般考慮如下三步：

第一步：利用方程思想求基本量列出關(guān)于基本量的方程組，解方程組求4，";

第二步：根據(jù)公式求，借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出-L；

\s.

1?11

第三步：裂項(xiàng)求和通過(guò)一=-------=2(------------)求和.

Skk(k+l)k攵+1

【方法總結(jié)】

1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式

⑴如果等差數(shù)列｛aj的首項(xiàng)為國(guó),公差為d那么它的通項(xiàng)公式是a尸團(tuán)+(n-1)d.

n(a,+a)n(n-\\

⑵設(shè)等差數(shù)列｛&｝的公差為d其前n項(xiàng)和S尸?一以或$=〃&+△一2d.

22

(3)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系&=&十(&—胃〃數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列oS,=4〃2+加(4、B為

常數(shù)).

2.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項(xiàng)公式的推廣：a”=a”+(n一而d(n,mGN*).

⑵若｛a,,｝為等差數(shù)列，且k+l—m+n(k,1,m,/?eN*),則a?+a/=&+a,.

(3)若｛a,,｝是等差數(shù)列,公差為d,則｛能〃｝也是等差數(shù)列,公差為2d.

(4)若｛a?｝，｛4｝是等差數(shù)列，則｛pa.+qb)也是等差數(shù)列.

⑸若｛&｝是等差數(shù)列,公差為d則a,a—&+2g…(k,zz/SN,)是公差為/位的等差數(shù)列.

3.等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)所和公差d然后由通項(xiàng)公式或前〃項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)

求解.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式,共涉及五個(gè)量a,a“,d,n,S?,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)

了方程的思想.

4.等差數(shù)列的四個(gè)判定方法

(1)定義法：證明對(duì)任意正整數(shù)〃都有a〃+i-a〃等于同一個(gè)常數(shù).

⑵等差中項(xiàng)法：證明對(duì)任意正整數(shù)〃都有2azi+尸&+&+2后，可遞推得出Sn+2—a?+i—a?+)—a?—a,—a^i—

a?-,-a?-2=-=a2-a?根據(jù)定義得出數(shù)列｛a,J為等差數(shù)列.

⑶通項(xiàng)公式法：得出a后,得如+「④=0對(duì)任意正整數(shù)〃恒成立,根據(jù)定義判定數(shù)列｛a｝為等差數(shù)

列.

(4)前n項(xiàng)和公式法：得出S?=Aif+Bn后,根據(jù)S“a,,的關(guān)系,得出&,再使用定義法證明數(shù)列｛a,,｝為等差數(shù)

列.

5.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式

(1)設(shè)等比數(shù)列｛a｝的首項(xiàng)為國(guó),公比為q,則它的通項(xiàng)a尸國(guó)-q-'.

(2)等比數(shù)列｛a｝的公比為q(q#O),其前"項(xiàng)和為S",

當(dāng)Q—1時(shí),S?—na；；

當(dāng)*1肝<4(IT)a\—a“q

當(dāng)*1時(shí),￡————-］一.

6.等比數(shù)列的常用性質(zhì)

⑴通項(xiàng)公式的推廣：&=&?/6般N*).

⑵若｛a｝為等比數(shù)歹!],且(氐/，%〃CN*),則ak?a尸ara?.

閉若｛&｝,伉｝(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則｛/&｝(4#0),｛4，｛成｝,｛a-4｝,檐)仍是等比數(shù)列.

7.證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明

某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.(2)利用遞推關(guān)系時(shí)要注意對(duì)n=\時(shí)

的情況進(jìn)行驗(yàn)證.

8.在等比數(shù)列的基本運(yùn)算問(wèn)題中，一般利用通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式,建立方程組求解，但如果能靈活運(yùn)用

等比數(shù)列的性質(zhì)“若m+n=p+q,則有aa產(chǎn),可以減少運(yùn)算量.(2)等比數(shù)列的項(xiàng)經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕M合后

構(gòu)成的新數(shù)列也具有某種性質(zhì),例如等比數(shù)列&,&k-Sk,必一S,,…成等比數(shù)列，公比為.

7.由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式

⑴利用“累力口法”和“累乘法”求通項(xiàng)公式

此解法來(lái)源與等差數(shù)列和等比數(shù)列求通項(xiàng)的方法,遞推關(guān)系為。，用-4=/(〃)用累加法；遞推關(guān)系為

也=/(〃)用累乘法.解題時(shí)需要分析給定的遞推式,使之變形為巴-4、%旦結(jié)構(gòu),然后求解.要特別

注意累加或累乘時(shí),應(yīng)該為(〃-1)個(gè)式子,不要誤認(rèn)為〃個(gè).

(2)利用待定系數(shù)法,構(gòu)造等差、等比數(shù)列求通項(xiàng)公式

求數(shù)列通項(xiàng)公式方法靈活多樣，特別是對(duì)于給定的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，觀察、分析、推理能力要求較高.

通?？蓪?duì)遞推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列(等差或等比數(shù)列)來(lái)求解，這種方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化未知為已知的

化歸思想，而運(yùn)用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法.遞推公式為用=pan+q

(其中P,q均為常數(shù)，(pq(p-l)NO)).把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：《用—1=p(%—。，其中，=一"，再利

1-P

用換元法轉(zhuǎn)化

8.求數(shù)列的前〃項(xiàng)和的方法

(1)公式法

(2)分組轉(zhuǎn)化法

把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.

(3)裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和,正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng).

用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變換,如:忑高肅4g7認(rèn)七裂項(xiàng)

后可以產(chǎn)生連續(xù)可以相互抵消的項(xiàng).抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面

也剩兩項(xiàng).

(4)倒序相加法

把數(shù)列分別正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣.

(5)錯(cuò)位相減法

主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的

推廣.用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：

(1)要善于識(shí)別題目類(lèi)型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；

(2)在寫(xiě)出“S”與“qS”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“S“~~qS；的

表達(dá)式；

(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.

(6)并項(xiàng)求和法

一個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解,則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和.形如a尸(一類(lèi)型,可采用兩項(xiàng)合并求

解.

例如,S,=1002-992+982-972+-+22-12=(100+99)+(98+97)4---F(2+1)=5050.

9.易錯(cuò)警示

(1)公差不為0的等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式是〃的二次函數(shù),且常數(shù)項(xiàng)為0.若某數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式是常數(shù)

項(xiàng)不為0的二次函數(shù),則該數(shù)列不是等差數(shù)列,它從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列.

(2)分類(lèi)討論思想在等比數(shù)列中應(yīng)用較多，常見(jiàn)的分類(lèi)討論有

①已知$與&的關(guān)系,要分0=1,兩種情況.

②等比數(shù)列中遇到求和問(wèn)題要分公比g=l,討論.

③項(xiàng)數(shù)的奇、偶數(shù)討論.

④等比數(shù)列的單調(diào)性的判斷注意與為,<?的取值的討論.

(3)注意等比數(shù)列的任意一項(xiàng)及公比都不為零

①由“產(chǎn)腦,°#0,并不能立即斷言｛aj為等比數(shù)列,還要驗(yàn)證團(tuán)W0.

②a+c=2b是a,b,c成等差數(shù)列的充要條件,而敬=廿是a,b,c成等比數(shù)列的既不充分也不必要條件.

③等比數(shù)列性質(zhì)中S“,必一$,必一必不一定成等比數(shù)列，因?yàn)楫T一$,S"一醞可能為零.

(4)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法時(shí),注意觀察未合并項(xiàng)的正負(fù)號(hào)；結(jié)論中形如a,的式子應(yīng)進(jìn)行合并.

(5)在應(yīng)用裂項(xiàng)相消法時(shí),要注意消項(xiàng)的規(guī)律具有對(duì)稱(chēng)性,即前剩多少項(xiàng)則后剩多少項(xiàng).

真題練習(xí)

1.【2017年高考全國(guó)m卷，理9］等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為1,公差不為0.若火,“3,4成等比數(shù)列,

則｛""｝前6項(xiàng)的和為()

A.-24B.-3C.31).8

【答案】A

【解析】：｛為｝為等差數(shù)列，且%,四，4成等比數(shù)列，設(shè)公差為小

則即(4+21)2=(q+〃)(q+54)

又代入上式可得/+2d=0

又?.”工0,則d=-2

6x56x5

S6=64H—--d=1x6H---x(―2)=—24,故選A.

2.【2017年高考江蘇卷，理9】

等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)的和為S,,已知星=(,$6=￥，則久=▲.

【答案】32

【解析】當(dāng)4=1時(shí)，顯然不符合題意；

4(1"=7

a'4>則/=1x2,=32.

當(dāng)4*1時(shí)，，

4=2'

1-<74

【考點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)

【點(diǎn)撥】在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，有兩個(gè)處理思路，一是利用基本量，將多元問(wèn)題簡(jiǎn)化為一元

問(wèn)題，雖有一定量的運(yùn)算,但思路簡(jiǎn)潔，目標(biāo)明確;二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)

律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要

注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用“巧用性

質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.

3.【2017年高考山東卷，理191

已知｛荀｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且升+衍3,x「xH

(I)求數(shù)列｛荀｝的通項(xiàng)公式；

(II)如圖，在平面直角坐標(biāo)系x火中，依次連接點(diǎn)月(必，1),PAxs,2)…只n+1)得到折線月

求由該折線與直線片0,x=x”x=x?+1所圍成的區(qū)域的面積Tn.

【答案】(Dx“=2"T.(II)Z,J2〃7；2"+1.

【解析】試題分析：(D依題意布列內(nèi)和公比g的方程組.

(ID利用梯形的面積公式，記梯形的面積為勾.

求得以=("+[Dx2-=(2〃+l)x2=,

應(yīng)用錯(cuò)位相減法計(jì)算得到7；=史二詈二.

試題解析：(D設(shè)數(shù)列｛xj的公比為4,由已知q>0.

由題意得《\?、，所以3,-5”2=0,

再g-.g=2

因?yàn)閝>0,所以夕=2,%=1,

因此數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為x,=2"-'.

(II)過(guò)幾6,號(hào)……匕M向x軸作垂線，垂足分別為Q,0,03,……。田，

由⑴得為用一X“=2"—2"T=2'T.

記梯形"山或◎的面積為

由題意bn=("；+?x2"T=(In+l)x2"-2,

所以

Tn=bl+b2+bi+……+b?

=3x2-i+5x2°+7x2/……+(2rt-l)x2n-3+(2n+l)x2n-2①

X27；=3X2°+5X2'+7X22+……+(2n-1)x2n-2+(2n+1)x2"-1②

①-②得

-7；=3x2-1+(2+2:+……+2.)—(2〃+1)x2宜

二十北空?

21-2

所以『生苧止

【考點(diǎn)】1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.等比數(shù)列的求和；3.“錯(cuò)位相減法”.

【點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式、數(shù)列求和的“錯(cuò)位相減法”.此類(lèi)題目是數(shù)列問(wèn)

題中的常見(jiàn)題型.本題覆蓋面廣，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高.解答本題，布列方程組，確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ),

準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是在“錯(cuò)位”之后求和時(shí)，弄錯(cuò)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù).本題將數(shù)列與解析幾何結(jié)

合起來(lái)，適當(dāng)增大了難度，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等.

4.[2017重慶一中5月模擬】已知等差數(shù)列｛/｝中，其前〃項(xiàng)和為S”，若/+4+%=42,則S[=

A.98B.49C.14D.147

【答案】A

【解析】2+%+%=3包=42,解得：=14,S-j=-~=7。4=98,故選A.

5.12017寧夏六盤(pán)山三?！恳阎獢?shù)列是等差數(shù)列，且用=2,45=30,則4)=

A.12B.24C.16D.32

【答案】A

【解析】令％=冬：由題意可知："===￡%=等=2,

n3J15

則等差數(shù)列也｝的公差"=缶?=!:

據(jù)此可得：勾=與+(9-3)d=:=%=9"=12.

3

本題選擇A選項(xiàng).

6.[2017陜西渭南市二?！砍傻炔顢?shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于12,并且這三個(gè)數(shù)分別加上1,4,11后成為等比

數(shù)列出｝中的打也也，則數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式為

A.b?=TB.b?=3"C.b"=2"TD.2=3"T

【答案】A

【解析】設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)為“-4,a,a+4,

即有3a=12,計(jì)算得出。=4,

根據(jù)題意可得4—d+l,4+4,4+d+ll成等比數(shù)列，

即為5-乩8,15+d成等比數(shù)列，

即有（5—d）（15+d）=64,

計(jì)算得出d=1（—11舍去），

即有4,8,16成等比數(shù)列,可得公比為2,

22

則數(shù)列｛b?｝的通項(xiàng)公式為b?=b22'-=4X2"-=2".

所以A選項(xiàng)是正確的.

7.12017甘肅省蘭州沖刺模擬】已知數(shù)列｛4｝、也｝滿足仇=log24，〃€N*,其中｛a｝是等差數(shù)列，且

%。2009=4,則向+4+&++Z?2OI7=-

【答案】2017

【解析】由于a=log：q：所以4=log：a；+log：ax?=log：?32KJJ=2：因?yàn)椋?｝是等差數(shù)列:故

4+么+與+…+/ITJ-+2017=2+：空x2017=2017:故答案為2017

22

8.【2017重慶巴蜀中學(xué)三診】設(shè)數(shù)列｛”“｝中,〃wN*,則數(shù)列{4}

的通項(xiàng)公式為2=

nln+i

【答案】bn=bi-2-=2

【解析】因?yàn)閶?+2

=2，所以數(shù)列也｝為以々=4為首項(xiàng),2

b.

,,+1

為公比的等比數(shù)列，即bn="-2小=2

9.12017遼寧莊河市四?！恳阎獢?shù)列｛4｝滿足a“+i-勺=4”+1(〃eN)，且4=1.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若勺=(—I)”+?("+l)(〃eN*)，求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和S“.

【解析】(1)由于4,+]_C,=4〃+1(〃€[<*),.?.。“=(??-an_i)+(??_,-an_2)+...+

(%-%)+(-4)+4=4〃—3+(4〃—7)+.??+5+1=*"一〃

⑵由a*=2"，一〃，可得

=(T"_______J5+1),_______=(_1?_4,_=(_])"fj_+_J_

(2n2-n)2(M+1)2-J7-1；(2w-l)(2?+l)12”-12n+l

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

0(nrin.(ii'；(ii：,iin

『為+遙+可…+m+g+罰=一次

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，

°(，nnn『1n「1】；，i2?+2

"I3j<K35j<51)l2〃-l2>i+l；2n+l2〃+l

10.12017遼寧葫蘆島市二?！恳阎獢?shù)列｛為｝滿足：4+24++〃%=4—]k，〃eN*.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若a=（3〃—2）%,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S,.

2

【解析】（1）當(dāng)n=l時(shí),ai=4-2#=l.

當(dāng)n22時(shí),

n+2

rr

ai+2a2+―+na?=4-2......................................................①

2

ai+2a2+…+(n-1)an=4-2"....................................②

n+1n+2_1_n

①-②得：naF產(chǎn)-^1'至77(2n+2-n-2)=T1

1

an=戶

1

當(dāng)n=l時(shí),ai也適合上式，，a?=2"'(nN,).

1

(2)b?=(3n-2)*

_LWZ_L_L

S?=25+?+?+―+(3n-5)*+(311-2)戶......................①

!J_WZJ_1

5s“=?+牙+T+…+(3n-5)戶+(3n-2)了.......................②

和衰)

￡j_-J_1

1-

①-②得:5s產(chǎn)牙+3(牙+牙+牙+…+戶)-(3n-2)2*=1+2-(3n-2)2"

3n+4

解得:Sn=8-5k.

11.(2017青海西寧市二?！恳阎?xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和5?,且滿足45?-1=%：+2a?,neN*.

(I)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

1

(H)設(shè)〃廣1"一；，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和&證明：-<Tn<-.

4(4+2)32

t解析】(I)當(dāng)”=1時(shí)，4ai=45i=a「+2q+l.

解得q=L

當(dāng)”N2時(shí)，4S?=a；++1:4sAi=「+2a—+1：

兩式相減得4a“=a；+24-(4_:+2ali_J

即=2(%+/-J

又a“>0,所以a“+a“_]>0

則%—a,i=2,

所以數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1,公差2的等差數(shù)列，

則a“=1+(〃-1)x2=2〃-1.

,…11If11

(11)b=------------=-------------------=------------------

"?！??！?2)(2〃-1)(2〃+1)212〃-12n+l

所以數(shù)列｛2｝的前幾項(xiàng)和

1、

4-------------------------

2n-l2n+\)

而（"戶弓1-J_、

2x1+1,3

所畛]_

2

12.12017吉林吉林市第三次調(diào)研】已知等差數(shù)列｛凡｝的前〃和為S,,,公差dHO.且

%+S5=42,4，%，43成等比數(shù)列-

（I）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（H）設(shè)數(shù)列bn=」一，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；.

【解析】

（I）設(shè)數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)用：因?yàn)榈炔顢?shù)列｛4｝的前”和為黑，生+羽=42,成等比數(shù)列?

5x4

q+2d+5q+——d=42

所以｛?12

(Q=q(q+12d)

又公差dwO

所以用=3,d=2

所以4=q+("1)4=2〃+1

1