《簡單的三角恒等變換（第2課時）》教學設計

17/173.2.3簡單的三角恒等變換（第2課時）楊峻峰一、教學目標（一）核心素養(yǎng)通過本節(jié)課的學習，了解化簡三角函數(shù)式及證明三角恒等式的要求，掌握化簡三角函數(shù)式及證明三角恒等式的常規(guī)技巧和方法．從中體會、學習換元思想、方程思想及化歸思想．（二）學習目標能正確地運用三角函數(shù)的有關(guān)公式進行三角函數(shù)式的求值，化簡與恒等式的證明．（三）學習重點有關(guān)公式的靈活應用及一些常規(guī)技巧的運用．（四）學習難點認識三角變換的特點，并能運用數(shù)學思想方法指導變換過程的設計，有從整體上把握變換過程的能力.二、教學設計（一）課前設計1.預習任務讀一讀：（1）化簡三角函數(shù)式：化簡三角函數(shù)式的要求：①能求值的應求值；②使式子次數(shù)盡量低、項數(shù)盡量少；③使三角函數(shù)的種類盡量少；④盡量使分母及被開方數(shù)不含三角函數(shù)；⑤將高級運算表為低級運算.化簡三角函數(shù)式的方法：一些常規(guī)技巧：“1”的代換，切割化弦，和積互化，化非特殊角為特殊角，異角化同角，異名函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異次化為同次，切割化弦等．（2）三角恒等式的證明：三角恒等式的證明要求：利用已知三角公式通過恒等變形，論證所給等式左、右相等.三角恒等式包括有條件的恒等式和無條件的恒等式．①無條件的等式證明的基本方法是化繁為簡、左右歸一、變更命題等，使等式兩端的“異”化為“同”；②有條件的等式常用方法有：代入法、消去法、綜合法、分析法等．2.預習自測（1）化簡：__________.【知識點】兩角差的正、余弦公式．【解題過程】．【思路點撥】將所求式子通分后化簡，再逆用兩角差的正、余弦公式．【答案】．（2）若，，則__________.【知識點】兩角和與差的余弦函數(shù)公式．【解題過程】，即，兩邊平方，得，即，解得：或，由，得，所以．【思路點撥】將已知式子左邊利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式進行化簡，右邊利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系進行變形．【答案】．（3）已知，，則的值為__________.【知識點】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，誘導公式．【數(shù)學思想】【解題過程】因為，，所以．．【思路點撥】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求，再利用二倍角公式及誘導公式對所求式子進行化簡．【答案】．(二)課堂設計1．知識回顧 （1）半角公式：①；②；③（有理形式），（無理形式）. （2）積化和差與和差化積公式：①積化和差公式：；；；.②和差化積公式： ；；；.②輔助角公式：，其中.2．問題探究探究一三角函數(shù)的化簡●活動①例1已知為第四象限角，化簡：.【知識點】三角函數(shù)的有理化．【數(shù)學思想】【解題過程】因為為第四象限角，所以原式．【思路點撥】根式形式的三角函數(shù)式化簡常采用有理化或升冪公式．【答案】．同類訓練已知，化簡．【知識點】升冪公式．【數(shù)學思想】【解題過程】因為，所以．原式．【思路點撥】根式形式的三角函數(shù)式化簡常采用有理化或升冪公式．【答案】．●活動②例2已知，化簡：.【知識點】弦切互化，半角有理式的應用．【數(shù)學思想】化歸思想【解題過程】因為，所以.因為，.所以原式因為，所以，所以．原式．【思路點撥】涉及半角的正切式與弦函數(shù)的積時，應考慮半角的有理式的應用．【答案】．同類訓練化簡．【知識點】弦切互化、誘導公式、倍角公式．【數(shù)學思想】化歸思想【解題過程】原式．【思路點撥】分子提取配方，分母利用誘導公式將變形為．【答案】．探究二三角恒等式的證明●活動①例3求證：.【知識點】弦切互化，積化和差、和差化積公式．【數(shù)學思想】化歸思想【解題過程】方法一：．方法二：．【思路點撥】從左往右證，可利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式切化弦，再利用積化和差進行轉(zhuǎn)化即可．【答案】見解答過程．同類訓練證明：．【知識點】弦切互化、三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式．【解題過程】．【思路點撥】左邊切化弦再通分，利用基本關(guān)系式、倍角公式推導．【答案】見解答過程．●活動②例4證明:.【知識點】左右歸一．【解題過程】左邊右邊所以左邊＝右邊，等式成立．【思路點撥】等式兩邊結(jié)構(gòu)都較為復雜，可左右同時化簡，采用左右歸一的途徑．【答案】見解答過程．同類訓練若，求證：．【知識點】“消元法”、兩角差的正切公式、倍角公式．【數(shù)學思想】【解題過程】∵，即，∴又∵∴．【思路點撥】等式左邊式子包含兩個角，右邊只有一個，考慮消去一個角，都用角進行表示．【答案】見解題過程．●活動③例5在△ABC中，，求證：.【知識點】降冪公式、兩角和正弦函數(shù)公式．【解題過程】因為，所以.即.所以，所以.【思路點撥】由降冪公式化簡已知等式，然后利用兩角和的正弦函數(shù)公式．【答案】見解題過程．同類訓練在△ABC中，若，求證：．【知識點】降次公式、和差化積、三角形內(nèi)角和定理．【解題過程】∵sin2+sin2+sin2=cos2，∴．∴2sin2=(cosA+cosC)又∵sin=cos，∴2cos2=cos·cos，∴2cos=cos．∴．∴故．【思路點撥】因結(jié)論等式中不含B．故需設法消去已知等式中的B角，可考慮使用三角形內(nèi)角和定理．【答案】見解題過程．3.課堂總結(jié)（1）化簡三角函數(shù)式的要求：①能求值的應求值；②使式子次數(shù)盡量低、項數(shù)盡量少；③使三角函數(shù)的種類盡量少；④盡量使分母及被開方數(shù)不含三角函數(shù)；⑤將高級運算表為低級運算.（2）化簡三角函數(shù)式的技巧：①變角：通過觀察不同三角函數(shù)式所包含的角的差異，借助于“拆湊角”（如用特殊角表示一般角，用已知角表示所求角等）、“消角”（如異角化同角，復角化單角等）來減少角的個數(shù)，消除角與角之間的差異.②變名（即式子中不同函數(shù)之間的變換）：通過觀察角的三角函數(shù)種類的差異，借助于“切化弦”、“弦切互化”等進行函數(shù)名稱的變換.③變式（即式子的結(jié)構(gòu)形式的變換）：通過觀察不同的三角函數(shù)結(jié)構(gòu)形式的差異，借助于一下幾種途徑進行變換：1）常值代換，如將“1”代換為“”或“”；2）升降冪公式，如；3）配方與平方，如；等（3）三角恒等式的證明證明要求：利用已知三角公式通過恒等變形，論證所給等式左、右相等；三角恒等式包括有條件的恒等式和無條件的恒等式．①無條件的等式證明的基本方法是化繁為簡、左右歸一、變更命題等，使等式兩端的“異”化為“同”；②有條件的等式常用方法有：代入法、消去法、綜合法、分析法等．（三）課后作業(yè)基礎型自主突破 1．已知，，則（） A． B． C． D． 【知識點】倍角公式． 【數(shù)學思想】 【解題過程】因為，所以．又因為，所以、同號．因為，所以，故選A． 【思路點撥】運用倍角公式，注意分析的正負． 【答案】A． 2．若，、，則（） A． B． C． D． 【知識點】和差化積． 【數(shù)學思想】 【解題過程】由已知等式得，因為，所以，所以，所以． 【思路點撥】利用和差化積變形等式，算出的值． 【答案】D． 3． 若，，則的值是（） A． B． C． D． 【知識點】兩角差的正切函數(shù)公式． 【數(shù)學思想】 【解題過程】因為，，所以，． 【思路點撥】把變?yōu)?，再利用兩角差的正切函?shù)公式． 【答案】B．4．已知，則的值為（）A． B． C． D． 【知識點】積化和差公式、倍角公式． 【數(shù)學思想】 【解題過程】因為，所以． 【思路點撥】利用積化和差和倍角公式，化出． 【答案】C．5．若，且、滿足關(guān)系式：則的值為（）A． B． C． D． 【知識點】兩角和的正切函數(shù)公式． 【數(shù)學思想】 【解題過程】由題，即，又因為，所以． 【思路點撥】由兩角和的正切函數(shù)公式得，聯(lián)立已知條件即得． 【答案】A． 6．化簡＝________． 【知識點】誘導公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系． 【數(shù)學思想】 【解題過程】因為，所以． 【思路點撥】利用誘導公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即得． 【答案】1．能力型師生共研 7．若，則______________． 【知識點】弦切互化、倍角公式． 【數(shù)學思想】 【解題過程】由，得，解得． 【思路點撥】利用弦切互化、倍角公式轉(zhuǎn)化成關(guān)于的式子． 【答案】． 8．求證：． 【知識點】降冪公式、倍角公式． 【數(shù)學思想】 【解題過程】，．所以等式成立． 【思路點撥】從右邊入手，根據(jù)降冪公式，再利用倍角公式得到左式． 【答案】見解答過程．探究型多維突破 9．求證：． 【知識點】弦切互化、兩角差的正弦公式、倍角公式． 【數(shù)學思想】 【解題過程】，． 【思路點撥】從左邊入手，先切化弦，再利用兩角差的正弦公式． 【答案】見解答過程． 10．在△ABC中，設，求證：． 【知識點】三角形內(nèi)角和定理、誘導公式、兩角和的正切公式變形、倍角公式． 【數(shù)學思想】轉(zhuǎn)化的思想． 【解題過程】由條件得而，，而cos(B+C-A)=． 【思路點撥】等式兩邊形式都較復雜，可考慮“左右歸一”．左邊利用兩角和的正切公式，結(jié)合已知條件化為含的式子，右邊利用弦化切化為含的式子． 【答案】見解答過程．自助餐 1．化簡：的結(jié)果是（） A． B． C． D． 【知識點】兩角和的正切公式． 【數(shù)學思想】 【解題過程】因為，所以，即，所以． 【思路點撥】利用兩角和的正切公式變形可得． 【答案】B． 2．已知，則的最大值為（） A． B． C． D． 【知識點】二倍角公式，三角函數(shù)最值． 【數(shù)學思想】 【解題過程】所以當時，函數(shù)取得最大值． 【思路點撥】利用二倍角公式與和差化積進行轉(zhuǎn)化，再帶入已知條件化簡函數(shù)． 【答案】B． 3．若，則可化簡為（） A． B． C． D． 【知識點】倍角公式． 【數(shù)學思想】 【解題過程】，由，得，所以，． 【思路點撥】利用倍角公式，結(jié)合的范圍． 【答案】D． 4．已知，則______________． 【知識點】兩角和正弦公式、倍角公式、弦切互化、特殊角的三角函數(shù)值． 【數(shù)學思想】 【解題過程】，． 【思路點撥】所求式子的分子一、三項結(jié)合，利用倍角公式化簡，分母用兩角和的正弦公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，最后同時除以． 【答案】． 5．求證：． 【知識點】切化弦、半角公式、倍角公式逆用． 【數(shù)學思想】 【解題過程】． 【思路點撥】利用半角公式變化分母，通分，逆用倍角公式即得． 【答案】見解答過程． 6．在△ABC中，、、成等差數(shù)列，求證：． 【知識點】和差化積、積化和差． 【數(shù)學思想】 【解題過程】由條件:2sinB=sin