《平面向量的正交分解及坐標表示、運算》參考課件

2.3.2～2.3.3平面向量的正交分解及坐標表示、運算1、平面向量的坐標表示與平面向量基本定理的關系。2、平面向量的坐標是如何定義的？3、平面向量的運算有何特點？平面向量的正交分解

類似地，由平面向量的基本定理，對于平面上的任意向量，均可以分解為不共線的兩個向量和使得

在不共線的兩個向量中，垂直是一種重要是情形，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。思考：

我們知道，在平面直角坐標系，每一個點都可用一對有序實數(shù)（即它的坐標）表示，對直角坐標平面內(nèi)的每一個向量，如何表示？

在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底時，會為我們研究問題帶來方便。

我們把（x,y)叫做向量a的（直角）坐標，記作

a=(x，y),

其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，（x,y）叫做向量的坐標ayjiO圖1xxiyj平面向量的坐標表示（1，0）（0，1）（0，0）

a=xi+yjayjiO圖1xxiyjyxOyxjA（x,y）a如圖，在直角坐標平面內(nèi)，以原點O為起點作OA=a，則點A的位置由a唯一確定。設OA=xi+yj，則向量OA的坐標（x,y)就是點A的坐標；反過來，點A的坐標（x,y)也就是向量OA的坐標。因此，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一對實數(shù)唯一表示。i例1如圖，用基底i，j分別表示向量a、b、c、d,并求出它們的坐標。jyxOiaA1AA2bcd解：由圖3可知a=AA1+AA2=2i+3j,

∴a=(2,3)

同理，b=-2i+3j=(-2,3)

c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)平面向量的坐標運算思考：已知，你能得出，，的坐標嗎？已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則

a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j即

a+b=(x1+x2,y1+y2)同理可得

a-b=(x1-x2,y1-y2)這就是說，兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差。結論：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標。yxOB(x2,y2)A(x1,y1)如圖，已知A(x1,y1),B(x2,y2),則

AB=OB-OA=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)yxOB(x2,y2)A(x1,y1)你能在圖中標出坐標為的P點嗎？P已知a=(x,y)和實數(shù)λ，那么

λa=λ(x,y)

即

λa=(λx,λy)這就是說，實數(shù)與向量的積的坐標等用這個實數(shù)乘以原來向量的相應坐標。例4已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求a+b，a－b，3a+4b例5已知平行四邊形ABCD的三個定點A、B、C的坐標分別為（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求頂點D的坐標練習

平行四邊形ABCD的對角線交于點O,且知道AD=（3，7），AB=（-2，1），求OB坐標。練習：下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底，正確的有（）（1）e