《簡單的線性規(guī)劃（第2課時）》教學設(shè)計

1/13.3.2簡單的線性規(guī)劃問題(第2課時)(名師：陳庚生)【核心素養(yǎng)】通過學習簡單的線性規(guī)劃問題，提升學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模與數(shù)據(jù)處理的能力．【學習目標】理解線性規(guī)劃問題中的某些幾何意義，進而解決相應的非線性問題及含參問題．【學習重點】簡單的二元線性規(guī)劃問題．【學習難點】準確而快速的得到線性規(guī)劃可行域，并進行最優(yōu)解的求解．二、教學設(shè)計（一）課前設(shè)計1．預習任務任務1思考：非線性目標函數(shù)如何求解？含參問題如何解決？2．預習自測1.若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是()A．(－∞，5)B．[7，＋∞)C．[5,7)D．(－∞，5)∪[7，＋∞)【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想;數(shù)形結(jié)合】解：C畫出可行域，知當直線y＝a在x－y＋5＝0與y軸的交點(0,5)和x－y＋5＝0與x＝2的交點(2,7)之間移動時平面區(qū)域是三角形．故5≤a<7.2.已知變量滿足約束條件若目標函數(shù)的最大值為1，則.【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想；數(shù)形結(jié)合】解：33.已知a>0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝()A．B．C．1D．2【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想;數(shù)形結(jié)合】解：A根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖，由圖可知當直線z＝2x＋y經(jīng)過點B時，z最小，由解得所以zmin＝2×1－2a＝1，解得a＝.故選A.（二）課堂設(shè)計1．知識回顧圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟(1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平行直線系中過原點的那一條直線；(2)平移——將l平行移動，以確定最優(yōu)解的對應點的位置；(3)求值——解方程組求出對應點坐標(即最優(yōu)解)，代入目標函數(shù)，即可求出最值．2．課堂講解一、直線的斜率型例1.已知實數(shù)x、y滿足不等式組,求函數(shù)的值域.【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：所給的不等式組表示圓的右半圓(含邊界)，-2-22Oxy（-1，-3）-2可理解為過定點，斜率為的直線族．則問題的幾何意義為：求過半圓域上任一點與點的直線斜率的最大、最小值．由圖知，過點和點的直線斜率最大，．過點所作半圓的切線的斜率最?。O(shè)切點為，則過B點的切線方程為．又B在半圓周上，P在切線上，則有解得因此.綜上可知函數(shù)的值域為.練習1：設(shè)實數(shù)滿足，則的最大值是__________.【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：畫出不等式組所確定的三角形區(qū)域ABC（如圖2），表示兩點確定的直線的斜率，求z的最大值，即求可行域內(nèi)的點與原點連線的斜率的最大值．由圖2可以看出直線OP的斜率最大，故P為與的交點，即A點．∴．故答案為．注：解決本題的關(guān)鍵是理解目標函數(shù)的幾何意義，當然本題也可設(shè)，則，即為求的斜率的最大值．由圖可知，過點A時，t最大．代入，求出，即得到的最大值是．練習2：若實數(shù)x，y滿足則不等式組表示區(qū)域的面積為________，的取值范圍是________．【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：如圖所示，不等式組表示區(qū)域面積為×1×3＝，理解為區(qū)域上的點P(x，y)與點Q(1，－2)連線所在直線斜率的變化范圍，kAQ＝＝1，kOQ＝＝－2，結(jié)合圖形分析知的取值范圍為(－∞，－2]∪[1，＋∞)．二、平面內(nèi)兩點間的距離型（或距離的平方型）例2.已知實數(shù)x、y滿足，則的最值為________.【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：目標函數(shù)，其含義是點(2,2)與可行域內(nèi)的點的距離的平方.由實數(shù)x、y所滿足的不等式組作可行域如圖所示：可行域為圖中內(nèi)部（包括邊界），易求B（-2，-1），結(jié)合圖形知，點(2,2)到點B的距離為其到可行域內(nèi)點的最大值，；點(2,2)到直線x+y-1=0的距離為其到可行域內(nèi)點的最小值，.例3.已知實數(shù)x、y滿足的最小值.【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：目標函數(shù)，其含義是點(-2,1)與可行域內(nèi)的點的最小距離的平方減5.由實數(shù)x、y所滿足的不等式組作可行域如圖所示（直線右上方）：點(-2,1)到可行域內(nèi)的點的最小距離為其到直線2x+y=1的距離，由點到直線的距離公式可求得，故練習3.已知，求的最小值．【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：作出可行域如圖3，并求出頂點的坐標A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．而表示可行域內(nèi)任一點（x，y）到定點M（0，5）的距離的平方，過M作直線AC的垂線，易知垂足Ｎ在線段上，故z的最小值是．注：充分理解目標函數(shù)的幾何意義，如兩點間的距離（或平方）、點到直線的距離等．三．變換問題研究目標函數(shù)（含參問題）例4.已知，且的最大值是最小值的3倍，則a等于（）A．或3B．C．或2D．【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：求解有關(guān)線性規(guī)劃的最大值和最小值問題，準確畫圖找到可行域是關(guān)鍵.如圖所示，點和B點分別取得最小值和最大值.由，由得B(1，1).∴.由題意得故答案B.四．求代數(shù)式范圍問題例5.已知函數(shù)f(x)＝ax2－c滿足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍．【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：這是一類流傳很廣的題目，其常見的錯誤解法是由f(1)、f(2)的范圍，去求a，c的范圍，連續(xù)多次運用同向不等式相加這一性質(zhì)，導致范圍擴大．實際上，可以看做關(guān)于a、c的線性規(guī)劃問題．由－4≤f(1)≤－1，得－4≤a－c≤－1.問題轉(zhuǎn)化為在約束條件(－4≤a－c≤－1，－1≤4a－c≤5)下目標函數(shù)z＝9a－c的最優(yōu)解，由圖可知，在A，解方程組及得A(0,1)，C(3,7)．∴zmax＝9×3－7＝20，zmin＝9×0－1＝－1.∴－1≤f(3)≤20.依題設(shè)條件，將問題視作典范的線性規(guī)劃問題，數(shù)形結(jié)合，簡化了解題過程．練習3:已知求z＝4x＋y的最值．【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】方法一：仿例5.方法二：∵4x＋y＝(x－y)＋(x＋y)，又1≤x－y≤2,2≤x＋y≤4，∴≤(x－y)＋(x＋y)≤13，即z∈[，13]．所以z的最大值為13，最小值為.3．課堂總結(jié)【知識梳理】1．求解目標函數(shù)不是直線形式的最值的思維程序是：2．常見代數(shù)式的幾何意義主要有以下幾點：(1)表示點(x，y)與原點(0,0)的距離；表示點(x，y)與點(a，b)的距離．(2)表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率；表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率．4．隨堂檢測1.已知不等式組，則目標函數(shù)z=2y﹣x的最大值是（）A．1B．﹣1C．﹣5D．4【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：A2.若滿足約束條件，QUOTEx-1?0,x-y≤0,x+y-4≤0,則QUOTExy的最大值為（）A．1B．C．3D．4【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：C3.若x，y滿足且z＝y(tǒng)－x的最小值為－4，則k的值為()A．2B．－2C．D．－【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：D4.實數(shù)滿足，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.A．B．C．D．【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：A5.已知a>0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝()A．B．C．1D．2【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：A根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖，由圖可知當直線z＝2x＋y經(jīng)過點B時，z最小，由解得所以zmin＝2×1－2a＝1，解得a＝.故選A.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.已知變量x,y滿足約束條件則的取值范圍是()A．B．C．D．(3,6]【知識點：簡單的線性規(guī)劃，直線的斜率；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：A提示：可理解為可行域中一點到原點的直線的斜率2.已知滿足，的最大值為，若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A.3B.C.2D.【知識點：簡單的線性規(guī)劃，基本不等式；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：B3.若實數(shù)滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為.【知識點：簡單的線性規(guī)劃，直線的斜率；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：4.已知變量滿足約束條件若目標函數(shù)的最大值為1，則.【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：35.已知當取何值時，取得最大值是，最小值是.【知識點：簡單的線性規(guī)劃，兩點間距離公式；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：當x=2,y=3時，最大值為13；當x=45,y=25時，提示：可表示可行域內(nèi)的點到原點距離的平方6.已知是坐標原點，點，若點為平面區(qū)域上的一個動點，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【知識點：簡單的線性規(guī)劃，向量的數(shù)量積；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：B提示：=-2x+y.能力型師生共研7．實數(shù)滿足，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：A8.在約束條件下，當時，目標函數(shù)的最大值的變化范圍是（）A．B．C．D．【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：D9.設(shè)滿足不等式組，若的最大值為，最小值為，則實數(shù)的取值范圍為()A．B．C．D．【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：B探究型多維突破11．已知點在由不等式確定的平面區(qū)域內(nèi)，則點所在的平面區(qū)域面積是.【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：412.定義，設(shè)實數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合，函數(shù)思想】解：B由條件，當4x＋3y≥3x－y，即x＋2y≥0時，問題等價于在下求目標函數(shù)z＝4x＋y的值域，可得z∈[－7，10]，同理當x＋2y＜0時，z∈(－7，8]，綜上，z∈[－7，10]．自助餐1.已知a>0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝()A．B．C．1D．2【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：B由題意作出所表示的區(qū)域如圖陰影部分所示，作直線2x＋y＝1，因為直線2x＋y＝1與直線x＝1的交點坐標為(1，－1)，結(jié)合題意知直線y＝a(x－3)過點(1，－1)，代入得a＝，所以a＝.2.若實數(shù)x，y滿足不等式組且x＋y的最大值為9，則實數(shù)m＝()A．－2B．－1C．1D．2【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：C如圖，設(shè)x＋y＝9，顯然只有在x＋y＝9與直線2x－y－3＝0的交點處滿足要求，解得此時x＝4，y＝5，即點(4,5)在直線x－my＋1＝0上，代入得m＝1.3.若實數(shù)x、y滿足則的取值范圍是()A．(0,1)B．(0,1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)【知識點：簡單的線性規(guī)劃，直線的斜率；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：C在平面內(nèi)作出x、y滿足的可行域，設(shè)P(x，y)為可行域內(nèi)任一點，則直線PO的斜率kPO＝，由數(shù)形結(jié)合得，kPO>1，故的取值范圍是(1，＋∞).4.已知x、y滿足則的最值是()A．最大值是2，最小值是1B．最大值是1，最小值是0C．最大值是2，最小值是0D．有最大值無最小值【知識點：簡單的線性規(guī)劃，直線的斜率；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：C5．若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是A.B.C.D.【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：A6.實數(shù)x，y滿足若目標函數(shù)z＝x＋y取得最大值4，則實數(shù)a的值為()A．4B．3C．2D．【知識點：簡單的線性規(guī)劃；數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合】解：C作出可行域，由題意可知可行域為△ABC內(nèi)部及邊界，y＝－x＋z，則z的幾何意義為直線在y軸上的截距，將目標函數(shù)平移可知當直線經(jīng)過點A時，目標函數(shù)取得最大值4，此時A點坐標為(a，a)，代入得4＝a＋a＝2a，所以a7.設(shè)變量x，y滿足若直線kx－y＋2＝0經(jīng)過該可行域，則k的最大值為_______．【知識點：簡單的線性規(guī)劃；