《5.5 一元一次方程的應用》講義

《5.5一元一次方程的應用》講義同學們，咱們現(xiàn)在已經(jīng)到了浙教版七年級上冊的第五章啦，這5.5節(jié)要講一元一次方程的應用呢。一元一次方程就像一把超級鑰匙，可以幫咱們解開好多生活中的小謎團哦。我先給大家講個我自己經(jīng)歷的事兒。有一次我去逛商場，看到一家服裝店在搞促銷。一件衣服標價是x元，然后它打八折出售，再加上我有一張10元的優(yōu)惠券，最后我花了90元就買到了這件衣服。那這里面就藏著一元一次方程呢。咱們來分析一下啊。衣服標價是x元，打八折后的價格就是0.8x元，再減去10元的優(yōu)惠券，就等于我實際花的90元。這個關系用方程寫出來就是0.8x10＝90。這就是一元一次方程在生活中的一個小例子啦。那到底什么是一元一次方程的應用呢？簡單來說，就是我們用一元一次方程來解決生活中的各種數(shù)量關系問題。一、一元一次方程應用的基本步驟1、設未知數(shù)就像我們剛才的例子，設衣服的標價為x元。這個未知數(shù)設得要有意義，要根據(jù)問題來設。比如說，如果是關于年齡的問題，我們可以設某個人的年齡為x歲。在設未知數(shù)的時候，我們要明確這個未知數(shù)代表的是什么量。再給大家舉個例子，有一個班級，男生比女生多5人，我們設女生的人數(shù)為x人，那男生的人數(shù)就是x＋5人。這樣設未知數(shù)就方便我們根據(jù)其他條件來列方程啦。2、找等量關系這可是很關鍵的一步哦。還是回到我們買衣服的例子，“打八折后的價格減去10元優(yōu)惠券等于實際花費的90元”，這就是等量關系。我再給大家說個例子。我去超市買蘋果和香蕉。蘋果每千克a元，香蕉每千克b元。我買了3千克蘋果和2千克香蕉，一共花了20元。那這里的等量關系就是“3千克蘋果的錢加上2千克香蕉的錢等于20元”，用方程表示就是3a+2b＝20。不過這里有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程。那我再改一下這個例子。假如蘋果每千克5元，我買了x千克蘋果，又買了2千克香蕉，每千克香蕉3元，一共花了21元。那等量關系就是“蘋果的總價加上香蕉的總價等于總花費”，方程就是5x+2×3＝21，這個就是一元一次方程啦。3、列方程根據(jù)找到的等量關系，把未知數(shù)代入，就可以列出方程了。像前面的0.8x10＝90和5x+2×3＝21都是這樣列出來的。再比如，一個長方形的長比寬多3厘米，設寬為x厘米，長就是x＋3厘米。如果長方形的周長是20厘米，根據(jù)長方形周長公式“周長等于2倍的（長＋寬）”，那等量關系就是2(x+（x＋3)）＝20，這就是根據(jù)題意列出的一元一次方程。4、解方程那對于方程0.8x10＝90，我們來解一下。首先，方程兩邊同時加10，得到0.8x10+10＝90+10，也就是0.8x＝100。然后方程兩邊同時除以0.8，得到0.8x÷0.8＝100÷0.8，解得x＝125。這就是這個方程的解，也就是說衣服的標價是125元。再解一下方程5x+2×3＝21。先計算2×3＝6，方程就變成5x+6＝21。方程兩邊同時減6，得到5x+66＝216，也就是5x＝15。最后方程兩邊同時除以5，得到5x÷5＝15÷5，解得x＝3。這就是說我買了3千克蘋果。5、檢驗并作答我們把解得的x的值代入原方程進行檢驗。對于方程0.8x10＝90，把x＝125代入方程左邊，得到0.8×12510＝10010＝90，方程右邊也是90，左邊等于右邊，所以x＝125是方程的解。那我們就可以回答：這件衣服的標價是125元。對于方程5x+2×3＝21，把x＝3代入方程左邊，得到5×3+2×3＝15＋6＝21，方程右邊也是21，所以x＝3是方程的解。我們就可以回答：我買了3千克蘋果。二、常見的一元一次方程應用類型1、行程問題這是很常見的一種類型哦。行程問題里面有三個重要的量，路程、速度和時間，它們之間的關系是路程等于速度乘以時間，用字母表示就是s＝vt。我給大家講個我和朋友跑步的事兒。我和朋友在操場跑步，我每秒跑5米，朋友每秒跑4米。操場一圈是400米。如果我們同時同地同向出發(fā)，設x秒后我比朋友多跑一圈。那這里的等量關系就是“我的路程減去朋友的路程等于一圈的長度”。我的路程是5x米，朋友的路程是4x米，方程就是5x4x＝400，解得x＝400。這就是說400秒后我比朋友多跑一圈。還有一種情況是相向而行。比如說我和朋友相距200米，我每秒走3米，朋友每秒走2米，設x秒后我們相遇。那等量關系就是“我的路程加上朋友的路程等于兩人相距的距離”，方程就是3x+2x＝200，也就是5x＝200，解得x＝40。這就表示40秒后我們相遇了。2、工程問題在工程問題里，我們通常把工作總量看成單位“1”。工作效率乘以工作時間等于工作總量。我家裝修房子的時候就有這樣的情況。有一項工程，如果甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成?，F(xiàn)在兩隊合作，設需要x天完成。甲隊的工作效率就是1/10，乙隊的工作效率就是1/15，兩隊合作的工作效率就是1/10+1/15。那等量關系就是“（甲隊工作效率＋乙隊工作效率）乘以工作時間等于工作總量”，方程就是(1/10＋1/15)x＝1。先算括號里的，1/10+1/15＝3/30+2/30＝5/30＝1/6。方程就變成1/6x＝1。方程兩邊同時乘以6，得到x＝6。這就是說兩隊合作需要6天完成這項工程。3、銷售問題就像我們前面講的買衣服的例子一樣。這里面有進價、售價、利潤這些量。利潤等于售價減去進價，利潤率等于利潤除以進價乘以100%。我再給大家說個例子。一個小商販進了一批文具，進價是每個5元，他想獲得20%的利潤率，設售價為x元。那利潤就是x5元，根據(jù)利潤率的公式，（x5)／5×100%＝20%。先把百分數(shù)化成小數(shù)，20%就是0.2。方程就變成(x5)／5＝0.2。方程兩邊同時乘以5，得到x5＝1。方程兩邊同時加5，得到x＝6。這就是說小商販要把文具的售價定為6元才能獲得20%的利潤率。4、調配問題比如說一個車間有工人若干名，把一部分工人調到另一個車間。有個工廠的甲車間有30名工人，乙車間有20名工人?，F(xiàn)在要從甲車間調x名工人到乙車間，使得乙車間的人數(shù)是甲車間人數(shù)的2倍。那調動后甲車間的人數(shù)是30x人，乙車間的人數(shù)是20＋x人。等量關系就是“乙車間人數(shù)等于甲車間人數(shù)的2倍”，方程就是20＋x＝2(30x)。先展開括號，得到20＋x＝602x。方程兩邊同時加2x，得到20＋x+2x＝602x+2x，也就是20＋3x＝60。方程兩邊同時減20，得到3x＝40。解得x＝40/3。不過在實際情況中，人數(shù)應該是整數(shù)，所以這里我們可能要根據(jù)具體情況進行調整，比如取x＝13（因為40/3≈13.33，取最接近的整數(shù)）。5、數(shù)字問題比如說一個兩位數(shù)，十位數(shù)字是a，個位數(shù)字是b，那這個兩位數(shù)就可以表示為10a＋b。有一個兩位數(shù)，它的個位數(shù)字比十位數(shù)字大3，如果把個位數(shù)字和十位數(shù)字對調，得到的新兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27。設原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，那個位數(shù)字就是x＋3。原兩位數(shù)就是10x+（x＋3)＝11x＋3，新兩位數(shù)就是10(x＋3)＋x＝10x+30+x＝11x+30。等量關系就是“新兩位數(shù)減去原兩位數(shù)等于27”，方程就是(11x＋30)（11x＋3)＝27。展開括號得到11x＋3011x3＝27?；喌玫?7＝27，這個方程恒成立。這說明只要滿足個位數(shù)字比十位數(shù)字大3的兩位數(shù)都符合這個條件，比如14和41，25和52等。三、一元一次方程應用的注意事項1、單位要統(tǒng)一在列方程的時候，如果涉及到不同的單位，一定要先把單位統(tǒng)一。就像我們在行程問題里，如果速度是米/秒，路程是千米，那就要把千米換算成米。比如說速度是5米/秒，路程是3千米，那3千米＝3000米，這樣才能正確列方程。2、理解題意要準確要仔細讀題，把題目中的條件和要求都弄清楚。有時候一個小細節(jié)沒注意到，方程就列錯了。就像我們前面的調配問題，如果把甲車間和乙車間的人數(shù)關系弄