【吃透中考數(shù)學(xué)29個(gè)幾何模型】模型07 雙等腰旋轉(zhuǎn)模型

專題07雙等腰旋轉(zhuǎn)模型

一、單選題

1.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，ZBAF=ZCAG=90°,AB=AF,AC=AG.連接FG,交DA的

延長線于點(diǎn)E,連接BG,CF.則下列結(jié)論：?BG=CF；②BG_LCF；③NEAF二/ABC；?EF=EG,其中

正確的有（）

A.①②③B.①②④C.???D.①?③④

【答案】D

【分析】

由題意易得FAC^BAG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可進(jìn)行分析排除.

【詳解】

解：ZBAF=ZCAG=90°,ZBAG=ZBAC+ZGAC,NFAONFAB+NBAC,

/.ZBAG=ZFAC,AB=AF,AC=AG,/.FAC^BAG,

：.BG=FC,NAGB=NACF,故①正確；

ZAGC=ZAGB+ZBGC,NGCF=NACF+NGCA,ZGCA=ZAGC,

「?ZBGC+ZFCG=ZAGC-ZAGB+ZGCA+ZACF=90°,

BG1CF,故②正確；

ZFAE+ZBAD=90°,AD1BC,

???NBAD+NABD=90°,AZFAE=ZABD,故③正確;

如圖，設(shè)GH與FC交于H點(diǎn)，連接EH,由①②③易得NFHE=NEHF,所以EF=EH,

即EF=EH=EG,故④正確:

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角形全等的性質(zhì)與判定及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，AACD和△AE8都是等腰直角三角形，ZCAD=ZEAB=90，四邊形ABC。是平行四邊形,

F列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.△ACE以點(diǎn)4為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90后與△4）8重合

B.AACB以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)270。后與△DAC重合

C.沿AE所在直線折疊后，與A0E重合

D.沿AO所在直線折疊后，△4）8與4）七重合

【答案】B

【分析】

本題追過觀察全等三角形，找旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角，逐一判斷.

【詳解】

解：A.根據(jù)題意可知4c=40,/EAC=N84O=135。，△E4Cg△班D,旋轉(zhuǎn)角NE48=90。，正確：

B.因?yàn)槠叫兴倪呅问侵行膶?duì)稱圖形，要想使AACB和AOAC重合，AACB應(yīng)該以對(duì)角線的交點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中

心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。，即可與AOAC重合，錯(cuò)誤；

C.根據(jù)題意可NE4U135。，ZEAD=360°-ZEAC-ZCAD=135°,AE=AE,AC=AD,△EAC^/^EAD,正

確;

D.根據(jù)題意可知N8AZ）=135。，ZEAD=36O°-ABAD-ZB/1E=135O,AE=AB,AD=AD,△EAD^^BAD,

正確.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行四邊形的對(duì)稱性：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩對(duì)角線的交點(diǎn).

3.如圖，在等腰RA45C中，ZBAC=90°,AB=3,點(diǎn)。在3C上，以AO為邊向右作等腰用AADE,

ZDAE=90°,連接鹿，若NE3C=30。，則8。的長為（）

A.2B.2百C.瓜D.4

【答案】c

【分析】

連接CE,根據(jù)題意可證得ABD^ACE,所以3。=CE,NACE=NABC=45。，所以NEC8=90。，

在等腰RAABC,根據(jù)AB=3,可求UIBC=3五，在R7BCE中,ZEBC=30°，所以踮=2CE：,設(shè)

CE=x,則3E=2x，根據(jù)勾股定理可得出關(guān)于x的方程，解出即可得出答案.

【詳解】

解:如圖，連接CE,

ABAC=ZBAD+ZDAC=90°，

NDAE=ZC4E+ZDAC=90°，

.?.NBAD=NCAE,

在△ABQ與△ACE中，

AB=AC

-ZBAD=ZCAE

AD=AE

?.ABD^ACE(SAS),

..BD=CE,2LACE=ZABC=45°,

4C8=45。，

.-.ZECB=90°；

在等腰肋AA8C,

AB=AC=3,

BC=3&

在RNBCE中,NEBC=30。

:.BE=2CE,

設(shè)CE=x,則5￡=2x,

?.x2+（3>/2）2=（2x）2

解得：x=>/6，

BD=CE=>/6:

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形以及勾股定理解特殊直角三角形；題中如果出現(xiàn)兩個(gè)等腰三角形，頂角相等且重合，

則可以考慮手拉手證明全等三角形，題中如果出現(xiàn)等腰直角三角形或者含有30°的直角三角形，可利用這兩

種特殊三角形邊之間的關(guān)系，己知一邊長度，即可求出其他兩條邊的長度.

4.在RSABC中，AC=BC,點(diǎn)D為AB中點(diǎn).ZGDH=90°,NGDH繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DG,DH分別與邊AC,

zy]

BC交于E,F兩點(diǎn).下列結(jié)論：?AE+BF=—AB；②AEZ+BF^EF2；③S四邊彩CEDF=-SAABC；@ADEF

22

始終為等腰直角三角形.其中正確的是（）

C

G

ADB

A.①②④B.?@?

C.①③④D.????

【答案】D

【分析】

連接CD根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出△ADEgZiCDF,就可以得出AE=CF,進(jìn)而得出CE=BF,

就有AE+BF=AC,由勾股定理就可以求出結(jié)論.

【詳解】

連接CD,〈AC=BC,點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，ZACB=90°,

AAD=CD=BD=—AB.ZA=ZB=ZACD=ZBCD=45°,ZADC=ZBDC=90c.

2

???ZADE+ZEDC=90°,

*/ZEDC+ZFDC=ZGDH=90°,

AZADE=ZCDF.

NA=NOCB

在△ADE和△CDF中，'AD=CD

ZADE=ZCDF

AAADE^ACDF(ASA),

AE=CF,DE=DF?SAADE=SACDF.

VAC=BC,

AAC-AE=BC-CF,

ACE=BF.

VAC=AE+CE,

AAC=AE+BF=—AB.

2

VDE=DF,ZGDH=90°,

???ZXDEF始終為等腰直角三角形.

VCE^CF^EF2,

.\AE2+BF2=EF2.

■:S四次莪CEDF=SAEDC+SAEDF?

S四過形CEDF=SAEDC+SAADE=--SAABC.

2

???正確的有①②③④.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解題關(guān)鍵

是證明△ADE^ACDF.

5.如圖，AB//C。，與NACO的平分線相交于點(diǎn)G,EG工AC于點(diǎn)、E，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，GH1CD

于“，/FGC=ZFCG.下列說法正碓的是（）

①AG_LCG；②NBAG=NCGE；③SMPG=5^^；④若NEGH:NECH=2:7,則ZAFG=150°.

A.①③④B.②③C.??③D.①②③④

【答案】C

【分析】

根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到NG4C+NGCA=900從而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到

ZAGC=90%即可判斷①正確性；根據(jù)等角的余角相等可知NCGK=NGAC,再由角平分線的定義與

等量代換可知ZBAG=ZCGE,即可判斷②正確性;通過面積的計(jì)算方法，由等底等高的三角形面積相等，

即可判斷③正確性；通過角度的和差計(jì)算先求出NEG”，NECH的度數(shù),再求出NEG尸=50。，再由三

角形內(nèi)角和定理及補(bǔ)角關(guān)系即可判斷④是否正確.

【詳解】

①中，VAB//CD,

???ZBAC+ZACD=180°,

???N班。與NDC4的平分線相交于點(diǎn)G,

???ZGAC+ZGCA=-NBAC+-ZACD=12x180°=90°,

22

,/NG4C+AGCA+ZAGC=180°,

???Z4GC=90°

?"G_LCG,

則①正確:

②中，由①得AG_LCG,

VEGVAC,4FGC=/FCG,

:.根據(jù)等角的余角相等得NCGE=NGAC,

,?，AG平分44C,

ZBAG=ZGAC,

???NBAG=NCGE,

則②正確；

③中，根據(jù)三角形的面積公式，???尸為AC中點(diǎn)，???AGC凡:AAR；與AGFC等底等高，，S^FC=S^FCf

則③正確：

④中，根據(jù)題意，得：在四邊形GEC”中，XEGH+XECH=180°,

又.：乙EGH:4ECH=2:7,

27

???4EGH=180°x-=40°,4ECH=180°x-=140°,

99

???CG平分NEC”，

???ZFCG=-ZECH=70°,

2

根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，得NEGC=20?.

??,/FGC=/FCG,

：.NFGC=NFCG=70°,

:.NEGF=4FGC-4ECG=50°,

VEG1AC，

???ZGFE=900-ZEGF=40°，

???ZAFG=1800-Z.GFE=180°-40°=140°,則④錯(cuò)誤.

故正確的有①②③，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用，涉及到三角形面積求解，三角形的內(nèi)角和定理，補(bǔ)角余角的計(jì)算，角

平分線的定義，平行線的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)以及等量代換等數(shù)學(xué)思想，熟練掌握相關(guān)角度的和差倍分計(jì)算

是解決本題的關(guān)鍵.

二、解答題

6.如圖，已知CA=C8,CF=CE,NACB=NFCE=90。,且A、RE三點(diǎn)共線，AE與CB交于點(diǎn)D.

(1)求證：A尸+4E2=AB2

(2)若AC=歷，BE=3,貝iJCE=.

【答案】(1)見解析；(2)O

【分析】

(1)如圖1中，欲證明A尸=8￡,只要證明△ACFgZkBCE即可.

(2)如圖1中，由推出NAFC=NCE3,由NCFE=NCEF=45。，推出NArC=NCEB

=135\推出NAE8=90。，由AC=8C=JF7，推出8C=拒八。=后，在RsAEB中，AE=

ylAB2-BE2=V34^9=5*推出曰^=2,由此即可解決問題?

【詳解】

(1)證明：如圖中，

VZACB=ZFCE=90°,

:.ZACF=NBCE,

在AACF和ABCE中，

CA=CB

?ZACF=NBCE,

CF=CE

：./\ACF^/\RCE(SAS}.

:?AF=BE,

：.4CAF=4CBE,

*：ZCAE+ZEAB+ZABC=90°,

，ZEAB+ZABC+ZCBE=90°,

：.NAE8=90。，

在Rt/MEB中，BE1+AE1=AB2

：.AF^-AE2=AB2,

(2),:△ACF/4BCE,

：.NAFC=NCEB,

?；NCFE=NCEF=45。,

JNAFC=NCEB=135°,

???ZAEB=90°,

?:AC=BC=后,

:,AB=y[iAC=H，

在R必4EB中，AE=AB2-BE2=>/34-9=5*

?；AF=BE=3,

：.EF=2t

萬

：.CE=^EF=y/2-

故答案為：、回.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰直角三角形的

性質(zhì)、勾股定理及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

7.如圖1,已知A8C和E尸C都是等邊三角形，且點(diǎn)E在線段AB上.

(1)過點(diǎn)E作EG〃8C交AC于點(diǎn)G,試判斷△AEG的形狀并說明理由；

(2)求證：BF/ZACx

(3)如圖2,若點(diǎn)D在射線CA上，且ED=EC,求證：AB=AD+BF.

D

A

圖1

【答案】（1）△AEG是等邊三角形，理由見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【分析】

（1）如圖（見解析），先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得NR4C=NA5C=4CB=60。，再根據(jù)平行線的

性質(zhì)可得ZAEG=ZABC=600,然后根據(jù)等邊三角形的判定即“I得:

（2）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=8C,CE=C￡NAC8=N￡b=60。，從而可得

ZACE=/BCF,再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得NCB/=NC4E=60。，從而可得

ZCBF=ZACB,然后根據(jù)平行線的判定即可得證:

（3）光根據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)可得=再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

可得ZD=ZACE，從而可得ZD=/BCF,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得NBEF=/BCF=Z.D，

最后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得據(jù)此根據(jù)線段的和差、等量代換即可得證.

【詳解】

（1）△AEG是等邊T角形，理由如下:

如圖，過點(diǎn)E作EG//BC交AC于點(diǎn)G,

ABC是等邊三角形,

...ZBAC=ZABC=ZACB=60°，

ZAEG=ZABC=60。，

AEG是等邊三角形:

A

(2)ABC和EFC是等邊三角形,

AC=BC,CE=CF,ZACB=/ECF=60°,

ZACB-/BCE=ZECF-/BCE,即ZACE=/BCF，

AC=BC

在XACE和4BCF中，?NACE=NBCF,

CE=CF

...ACE^BCF(SAS),

.1.ZCBF=ZC4E=60°,

/.NCBF=ZACB,

:.BF//AC-,

(3)由(2)知，BF//AC，ACE^BCF、

.?./DAE=/EBF，AE=BF，

ED=EC,

ND=ZACE,

由(2)已證：ZACE=/BCF,

:.ZD=ABCF,

ABC和EFC是等邊三角形,

ZABC=ZEFC=60°,

在BEF中,NBEF=180。一/EBC-/CBF-/BFE=12伊一NCBF-4BFE,

在LBCF中，/BCF=180°-/EFC-NCBF-/BFE=120°-NCBF-ABFE,

:"BEF=NBCF=/D,

NDAE=NEBF

在ADE和3EF中，?ND=/BEF,

AE=BF

ADE=BEF（AAS）,

:.AD=BE,

:.AB=BE+AE=AD+BF.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)

等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3）,正確找出兩個(gè)三角形全等的條件是解題關(guān)鍵.

8.△ABC中，NBAC=90。，AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B,C重合），以AD為邊在

AD右側(cè)作正方形ADEF,連接CF.

（1）觀察猜想：如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，AC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為；（將結(jié)論

直接寫在橫線上）

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，不需證明；若不成

立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論，并說明理由.

【答案】(1)CD+CF=V2AC；(2)不成立，CD-CF=72AC；理由見解析.

【分析】

(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得NDAF=90。，AD=AF,利用同角的余角相等可得NBAD二NCAF,利用SAS可

證明△BAD^ACAF,可得CF=BD,即可得出BC=CD+CF,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BC=0AC,

進(jìn)而可得答案；

(2)司(1)可證明△BADgZkCAF,可得BD二CF,即可得出CD=BC+CF,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可

得BC=&AC,可得CD-CF=&AC,即可得答案.

【詳解】

(1):四邊形ADEF是正方形，

AZDAF=90°,AD=AF,

/.ZCAF+ZDAC=90°,

VZBAC=90°,

:.ZBAD+ZDAC=90°,

AZBAD=ZCAF,

AB=AC

在ABAD和ACAF中，=

AD=AF

AABAD^ACAF,

，CF=BD,

，CD+CF=CD+BD=BC,

VZBAC=90°,AB=AC,

ABC=V2AC,

???CD+CF二&AC.

故答案為：CD+CF=V2AC

（2）不成立，CD-CF=72AC.理由如下：

同（1）可證ABADgACAF,

/.CF=BD,

/.CD=BC+BD=BC+CF,

VBC=V2AC,

JCD-CF二五AC.

【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定

理是解題關(guān)鍵.

9.（1）問題發(fā)現(xiàn)：

如圖①，A6c與ADE是等邊三角形,且點(diǎn)4,D，E在同一直線上，連接CE,求NBEC的度數(shù),

并確定線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系.

（2）拓展探究：

如圖②，A6C與ADE都是等腰直角三角形，NB4C=ND4E=90。，且點(diǎn)8,D，E在同一直線上,

A尸于點(diǎn)/，連接CE，求N8EC的度數(shù)，并確定線段A/，BF，CE之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）/BEC的度數(shù)為60。，線段8力與CO之間的數(shù)量關(guān)系是8O=CE；（2）BF=CE+AF.

【分析】

（1）首先根據(jù)A6C和ADE均為等邊三角形，可得A3=AC，AD=AE^ABAC=ZDAE=60°

ZADE=ZAED=600^據(jù)此判斷出4AD=NC4E.然后根據(jù)全等三角形的判定方法,判斷出△A5D

名△ACE,即可判斷出B3=CE，ZDBA=ZCEA.進(jìn)而判斷出N8EC的度數(shù)為60。即可；

（2）首先根據(jù)ABC和AOE均為等腰直角三角形，可得AB=AC，AD=AE^

ZBAC=ZDAE=9Q°,ZADE=ZAED=450^據(jù)此判斷出NB4￡）=NC4E.然后根據(jù)全等三角形

的判定方法，判斷出/\ABD2/XACE,即可判斷出BD=CE,ZADB=ZAEC.進(jìn)而判斷出NBEC的度

數(shù)為90。即可；最后根據(jù)NZME=90。，AD=AE>AF1QE，得到p=￡F于是得到結(jié)論.

【詳解】

解：（1）因?yàn)锳8C和A0E均為等邊三角形，

所以AB=AC,AD=AE^NBAC=NZME=60。，ZADE=ZAED=60°

所以ZBAC—ZDAC=NZM￡—NDAC，

即NBAO=NC4E.

AB=AC

在AARD和△ACE中，</BAO=/CAE，

AD=AE

所以△ABOgZXACE，

所以BZ)=C石，/DBA=ZCEA.

因?yàn)辄c(diǎn)8，。，E在同一直線上,

所以ZAD6=180°-60°=120。，

所以NAEC=120。，

所以NBEC=ZAEC-ZAED=120°-60°=60°.

綜上可得，N8EC的度數(shù)為60。，線段5。與CO之間的數(shù)量關(guān)系是BO=C石.

（2）因?yàn)锳6C和AT近均為等腰直角三角形，

所以AB=AC，AD=AE^NBA。=ZDAE=90。，ZADE=ZAED=^5°，

所以ZBAC-ZDAC=NDAE-N￡HC，

即NBW=NC4E.

在△ABO和△ACE中，

AB=AC

<ABAD=ZCAE,

AD=AE

所以△AB。g△ACE，

所以BO=CE,ZADB=ZAEC.

因?yàn)辄c(diǎn)3，D，E在同一直線上，

所以4。8=180。-45。=135。，

所以NAEC=135。，

所以NBEC=ZAEC—ZAED=135。-45。=90。.

因?yàn)樾?￡=90。，AD=AE^4尸IDE，

易證"=。尸=所，所以/=CE+A/<

10.如圖，已知AM=CN,8在MN的垂直平分線上，/AMB=/CNB,/MBN=90。.證明：△ABC為等

腰直角三角形.

【答案】見解析

【分析】

由題意先證明△ABMg/XCBNISAS)的長AB=CB,ZABM=ZCBN,則NCBN+NABN=NABM+NABN

=ZMBN=90°,即NABC=90。，即可得出結(jié)論.

【詳解】

證明：???點(diǎn)B在MN的垂直平分線上，

???BM=BN,

AM=CN

在^ABM和aCBN中，=

BM=BN

AAABM^ACBN(SAS),

/.AB=CB,ZABM=ZCBN,

ZCBN+ZABN=ZABM+ZABN=ZMBN=90°,

即NABC=90°,

/.△ABC為等腰直角三角形.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的判定以及線段垂直平分線的性質(zhì)，由題意先證明三

角形全等是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，A6C是等腰直角三角形，NACB=90。,分別以4氏AC為直角邊向外作等腰直角△A3。和

等腰直角VACE,G為3。的中點(diǎn)，連接CG,BE,CD,BE與CD交于點(diǎn)F.

（1）證明：四邊形ACG￡）是平行四邊形；

（2）線段破和線段C。有什么數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說明理由;

（3）已知BC=J5,求EF的長度（結(jié)果用含根號(hào)的式子表示）.

【答案】（1）見解析；（2）BE二CD,理由見解析；（3）EF=

【分析】

（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)易得BD=2BC,因?yàn)镚為BD的中點(diǎn)，可得BG=BC,由NCGB=45。，

NADB=45得AD〃CG,由/CBD+NACB=180。，得AC〃BD,得出四邊形ACGD為平行四邊形；

（2）利用全等三角形的判定證得ADAC絲ZXBAE,由全等三角形的性質(zhì)得BE=CD；首先證得四邊形ABCE

為平行四邊形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE94CAD,易得NCBE=NACD,由NACB=90。，易

得NCFB=90。，得出結(jié)論.

（3）先證明△DBF是直角三角形，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可求出答案.

【詳解】

解：（1）??.△ABC和△A8D都是等腰直隹三角形

ZCAB=ZABD=45°,BD=拒AB=&?應(yīng)BC=2BC=2AC

：.AC//BD

又???G為8。的中點(diǎn)，

：?BD=2DG,

：.AC=DG,AC//DG

???四邊形ACGD為平行四邊形；

(2)BE-CD,理由如下

???△4￡。和4A3。都是等腰直角三角形AE=AC,AB=AD

ZEAB=ZEAC+ZC4fi=900+45°=135°,

ZCAD=ZDAB+ZBAC=90°+45°=135°,

：.ZEAB=ZCAD,

在4。4。與4BAE中,

AD=AB

<NCAD=NEAB,

AC=AE

.)△DAdBAE,

：.BE=CD；

(3)VADAC^ABAE

AZAEB=ZACD

XVZEAC=90°

AZEFC=ZDFB=90°

???ADBF是直角三角形

VBC=y/2，

：.BD=2y/2，

根據(jù)勾股定理得。

：.-CD-BF=-BC-BD

22

，7XMB吟x>/2，2亞

.,.BF=-|V10

23

：.EF=BE-BF=CD-BF=J10一一VlO=一W.

55

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形和全等三角形的判定及性質(zhì)定理，綜合運(yùn)用各種定理

是解答此題的關(guān)鍵.

12.如圖，班是。O的直徑，弦AC交BE于點(diǎn)、D,連接A5，AE，若NB4C=45。，求證：

AB+AE=>f2AC-

C

【答案】見解析

【分析】

根據(jù)題意，連接OC，BC,CE,過點(diǎn)C作4。的垂線交AE的延長線于點(diǎn)G,通過圓周角，圓心角，

弧，弦之間的關(guān)系求證ABC^GEC,進(jìn)而得到ACG為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形邊的性

質(zhì)即可得解.

【詳解】

證明：如圖，連接OC，BC,CE,過點(diǎn)C作4c的垂線交AE的延長線于點(diǎn)G,

?：NBOC=2/BAC,/班。=45。，

J4OC=90"，

?：BE是。的直徑，

/.ZCOE=90°，/BCE=90。,

C=&，

???BC=CE,

ZBCA+ZACE=90°，NECG+4CE=90。，

???ZRCA=/ECG,

在ABC和GEOF,

ZBCA=/ECG

<BC=CE,

/ABC=NGEC

???ABC學(xué)GEC(ASA),

：.AB=EG,NG=NB4C=45。，

???NC4G=NG=45。，

???ACG為等腰直角三角形,

?*-AG=&C，

?*-AB+AE=GE+AE=AG=>/2AC

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了圓周角定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的

性質(zhì)等，熟練掌握?qǐng)A與三角形的綜合求證方法是解決本題的關(guān)鍵.

13.已知Rl/kOAB和RtAOCD的直角頂點(diǎn)0重合，ZAOB=ZCOD=90°,且OA=OB,OC=OD.

(1)如圖1,當(dāng)C、D分別在OA、OB上時(shí)，AC與BD的數(shù)量關(guān)系是ACBD(填“>”，"v”或“=")AC

與BD的位置關(guān)系是ACBD(填“〃”或“_L")；

(2)將RSOCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D在OA上，如圖2,連接AC,BD,求證：AC=BD；

(3)現(xiàn)將RSOCD繞點(diǎn)O順時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，如圖3,連接AC,BD,猜想AC與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)

系，并給出證明.

BD00CB

【答案】(1)=；±(2)見解析(3)AC=BDfiAC±BD；證明見解析

【分析】

(1)根據(jù)等式的性質(zhì)可得AC與BD的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)NAOB=NCOD=90。，可證AC與BD的位置關(guān)系;

(2)證明△OCAg△ODB,即可得到AC=BD；

(3)證明△OCAg/\ODB,可得AC=BD,ZBDO=ZACO,進(jìn)而可證/DEF=90°.

【詳解】

解：⑴VOA=OB,OC=OD

.\OAOC=OB-OD,

AAC=BD.

VZAOB=ZCOD=90°,

AAOIBO,

VC.D分別在OA、OB±,

AAC1BD；

(2)在aOCA和aODB中，

OC=OD

,ZCOA=BOD=90,

AO=BO

/.△OCA^AODB,

.\AC=BD；

(3)AC=BD,AC1BD.

理由:

VZAOB=ZCOD=90°,

/.ZAOB+ZAOD=ZCOD+ZAOD,

.\ZAOC=ZBOD,

在^(^人和^ODB中，

OC=OD

?ZCOA=BOD,

AO=BO

???△OCAg△ODB,

.*.AC=BD./BDO=/ACO.

VZACO+ZCFO=90°,ZCFO=ZDFE

:.ZBDO+ZDFE=90°,

工ZDEF=180°-90°=90°,

AAC1BD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握全等三角形的判

定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相

等）是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，。是小鉆。的外接圓，AC是。的直徑，點(diǎn)8是半圓A8C的中點(diǎn)，點(diǎn)。是AOC上一動(dòng)

點(diǎn)(不與點(diǎn)A、C重合)，連接30交AC于點(diǎn)G.

圖I圖2

(1)如圖1,過點(diǎn)B作3/〃AC,交QA延長線于點(diǎn)尸，求證：BF與。相切；

(2)若AC=10,AD=6,求CG的長；

(3)如圖2,把△麻沿直線BC翻折得到AEBC,連接AE，當(dāng)點(diǎn)。在ADC運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究線段AE、BD、

CO之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

4()

【答案】(1)詳見解析；(2)y：(3)AE2=2DB2+CD2詳見解析.

【分析】

(1)連接08,求出QB_LAC，根據(jù)5/〃AC得到N咫0=90°,問題得證；

(2)作G”JLC0交廣點(diǎn)X，證明DH=GH,求出CD=8,根據(jù)tan44c￡)=g,

4

3224

在RfACGH中,設(shè)G4=3a,則。"=3a,CH=4a,求出"=亍，G”=亍,根據(jù)勾股定理即可

求出CG；

(3)作BM工BE，使得BM=BE，連接EM，CM.證明八43七生△C8M，得到AE=CM,證明

NCEW=90。，得到?！?而2+2。2,根據(jù)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行代換即可得到入序=2032+⑺?

【詳解】

證明：（1）連接08,

0是A3c的外接圓，AC是。的直徑，點(diǎn)6是半圓48C的中點(diǎn)，

.?./BAC=/ACB=45。,OBA.AC

ZAB。=45。

BF//AC

ZABF=45°

:.ZFBO=90°

..BF與。相切；

解：（2）作GH±CD交CD于點(diǎn)H，

點(diǎn)B是半圓周A8C的中點(diǎn)，

:.ZADB=/CDB

AC是。的直徑

/.ZAPC=90°

:.NCDB=45。

DH=GH

在R/AACD中，AC=10，AD=6,

...CQ=8

tanZ.ACD=—

4

在R/ACG”中，設(shè)G”=3a,則O"=3a,CH=4a

r，c8

」.3a+46f=8,a=一,

7

在R/ACG”中，設(shè)G"=3〃，則?！?3a,CH=4a

3224

??

?，CH=—fGH=—

(3)結(jié)論：AE2=2DB2+CD2

作8M_LBE，使得3M=BE，連接七“，CM.

ZABC=NEBM=90。,

;.ZABE=NCBM,

BA=BC，BE=BM,

/.Z^ABE三ACBM(SAS),

AE=CM,

ZBEC=ZBDC=4BEM=45°

...NCEM=900,

:.CM2=EM2+EC2^

:.EM2=2BE2=2BD2^EC=CD，

AEr=2DB2-^-CD2

.U

【點(diǎn)睛】

本題為圓的綜合題目，考查了圓的性質(zhì)，切線的判定，利用三角函數(shù)求線段的長，勾股定理等知識(shí)，綜合

性較強(qiáng).解第（2）步關(guān)鍵是添加適當(dāng)輔囪線GH,構(gòu)造了等腰直角三角形DHG和三邊比為3:4:5的直角三角

形CGH；解（3）步關(guān)鍵是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等，將三條線段轉(zhuǎn)化在同一直角三角形CEM中，得出數(shù)量關(guān)系后再

進(jìn)行線段的代換.

15.在RtAABC中,AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B,C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)計(jì)旋轉(zhuǎn)90。得到AE.

（1）連接EC,如圖①，試探索線段BC,CD,CE之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）連接DE,如圖②，求證：BD2+CD2=2AD2

（3）如圖③，在四邊形ABCD中，ZABC=ZACB=ZADC=45°,若BD=而，CD=1,則AD的長為（直

接寫出答案）

【答案】（1）BC=DC+EC,理由見解析；（2）見解析；（3）任

【分析】

（1）根據(jù)本題中的條件證出ABADgZXCAE（SAS）,得到BD=CE,再根據(jù)條件即可證出結(jié)果.

（2）由（1）中的條件可得NDCE=NACE+NACB=90。，所以CE?+CD2=ED?,可推出BD?+CD2=瓦爐,再根據(jù)

勾股定理可得出結(jié)果.

（3）作AE_LAD,使AE=AD,連接CE,DE,可推出△BADgZ\CAE（SAS）,所以BD=CE=,再根據(jù)勾股

定理求得DE.

【詳解】

解：（1）結(jié)論：BC=DC+EC

理由：如圖①中，

ZBAC=ZDAE=90°,

:.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即NBAD二NCAE,

在^BAD和△CAE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

AABAD^ACAE（SAS）;

ABD=CE,

/.BC=BD+CD=EC+CD,

即：BC=DC+EC.

（2）BD2+CD2=2AD2,

理由如下：連接CE,

圖②

由（1）得，△BAD^ACAE,

ABD=CE,ZACE=ZB,

，ZDCE=ZACE+ZACB=90°,

/.CE^CD^ED2,

即：BD2+CD2=ED2:

在RtAADE中,AD2+AE2=ED1又AD=AE,

AED2=2AD2-

.*.BD2+CD2=2AD2;

（3）AD的長為（學(xué)生直接寫出答案）.

作AEJ_AD,使AE=AD,連接CE,DE,

?IZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

BPZBAD=ZCAE,

在^BAD^ACAE中，

AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE.

/.△BAD^ACAE(SAS),

.*.BD=CE=V13，

???ZADC=45°,ZEDA=45°,

JZEDC=90°,

ADE2=CE2-CD2=(713)產(chǎn)=12,

???DE=2技

ZDAE=90°,AD2+AE2=DE2

AD=a.

【點(diǎn)睛】

本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定

理等知識(shí)，解題的關(guān)犍是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題,屬于中考?jí)狠S題.

16.如圖，尸為等腰直角三角形，點(diǎn)8為直角頂點(diǎn)，四邊形A5CO是正方形.

（1）求證：△ABEgACBF；

⑵C尸與AE有什么特殊的位置關(guān)系？請(qǐng)記明你的結(jié)論.

【答案】（1）見解析；（2）CFJ_AE,理由見解析

【分析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出BE=BF,/EBF=90。,再根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC,ZABC=90°,

根據(jù)余角的性質(zhì)得到NEBA=NCBF,最后根據(jù)SAS證明結(jié)果：

（2）延長CF,交AE于點(diǎn)G,根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)得出NAEB+NBFG=180。，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出

ZEGF+ZEBF=180°,從而可得NEGF=90。，即可得到結(jié)果.

【詳解】

解：（1）尸為等腰直角三角形，

ABE=BF,ZEBF=90°,

貝|JNEBA+NFBA=9O。，

???四邊形ABCD為正方形，

/.AB=BC,ZABC=90°,則NABF+NCBF=90°,

AZEBA=ZCBF,

又?.?BE=BF,AB=BC,

/.△ABE^ACBF(SAS)；

(2)延長CF,交AE于點(diǎn)G,

由(1)得：NCFB=NAEB,

VZCFB+ZBFG=180°,

/.ZAEB+ZBFG=180°,

.\ZEGF+ZEBF=180°,

VZEBF=90°,

AZEGF=90°,

ACF1AE.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意證明

△ABE/4CBF.

17.如圖，△AOB和△COO均為等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=90°,點(diǎn)C、。分別在邊。4、0B上的

點(diǎn).連接4D,BC,點(diǎn)”為8c中點(diǎn)，連接0”.

(1)如圖1,求證：OH」AD,OHA.AD；

2

(2)將△CO。繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時(shí)，⑴中結(jié)論是否仍成立？若成立，證明你的結(jié)論；若不成立,

請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)成立，證明見解析

【分析】

(1)只要證明△AODgZXBOC(SAS),即可解決問題；

(2)如圖2中，結(jié)論：0H=—AD,OH1AD.延長OH至ljE,使得HE=OH,連接BE,證明△BEH絲△CHO

2

(SAS),可得OE=2OH,ZEBC=ZBCO,證明△BEOgZXODA(SAS)即可解決問題；

【詳解】

(1)???△0A8與△OCQ為等腰直角三角形，NAOB=NCOD=900.

：,OC=OD,OA=OB

在△40。與480C中

OA=OB

<NAOD=ZBOC

OD=OC

/.AAOD^ABOC(SAS)

：.4AD0=NBC0,NOAD=/OBC,BC=AD

???點(diǎn)，是3C的中點(diǎn)，ZAOB=900

：.OH=HB=-BC

2

AZOBH=ZHOB=ZOAD,OH=-AD

2

???NOAO+NAOO=90。

/.NADO+NBOH=90。

：.OHLAD

(2)U)中結(jié)論成立；如圖，延長。，到E,使得“七=?！?，連接BE,CE

*：CH=BH

???四邊形80CE是平行四邊形

,BE=OC,EB//OC,0H=—OE

2

???NEBO+NCOB=180°

???NC08+N800=90。，ZBOD+Z1=90°

???N1=NCO8

VZAOD+Z1=180°

:.NAOD=NEBO

???△BEO/AODA

：.ZEOB=ZDAO,OE=AD

：.OH=-AD

2

/.ZDAO+NAOH=NEOB+ZAOH=9C°

：.OHLAD

【點(diǎn)晴】

本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形

三邊美系等知識(shí)，構(gòu)造全等三角形解決問題是解題的關(guān)鍵.

18.如圖1,在等腰直角三角形A6C中，動(dòng)點(diǎn)。在直線A3(點(diǎn)A與點(diǎn)8重合除外)上時(shí)，以CO為一

腰在CO上方作等腰百角三角形ECD,ZECD=90°,連接A￡

(1)判斷4E與8。的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；并說明理由.

(2)如圖2,若B￡)=4,P,。兩點(diǎn)在直線AB上且EP=EQ=5,試求PQ的長.

(3)在第(2)小題的條件下，當(dāng)點(diǎn)。在線段的延長線(或反向延長線)上時(shí)，判斷PQ的長是否為定

值.分別畫出圖形，若是請(qǐng)直接寫出P。的長；若不是請(qǐng)簡單說明理由.

【答案】(1)AE二BD且AE_LBD；(2)6；(3)PQ為定值6,圖形見解析

【分析】

(1)由“SAS”可證△ACE且ABCD,可得AE=BD,ZEAC=ZDBC=45°,可得AE_LBD；

(2)由等腰三角形的性質(zhì)可得PA二AQ,由勾股定理可求PA的長，即可求PQ的長；

(3)分兩種情況討論，由“SAS”可證△ACE^^BCD,可得AE=BD,ZEAC=ZDBC,可得AE_LBD,由

等腰三角形的性質(zhì)可得PA=AQ,由勾股定理可求PA的長，即可求PQ的長.

【詳解】

解：⑴AE=BD,AE±BD,

理由如下：;△ABC,ZiECD都是等腰直角三角形，

AAC=BC,CE=CD,ZACB=ZECD=90c,ZABC=ZCAB=45°,

AZACE=ZDCB,且AC=BC,CE=CD,

AAACE^ABCD(SAS)

???AE=BD,ZEAC=ZDBC=45°,

.?.ZEAC+ZCAB=90°,

AAE1BD；

(2)VPE=EQ,AE1BD,

APA=AQ,

VEP=EQ=5,AE=BD=4,

???AQ=yjE^-AE2=725-16=3，

APQ=2AQ=6；

(3)如圖3,若點(diǎn)D在AB的延長線上，

VAABC,△ECD都是等腰直角三角形,

/.AC=BC,CE=CD,ZACB=ZECD=90c,ZABC=ZCAB=45°,

AZACE=ZDCB,且AC二BC.CE=CD.

/.△ACE^ABCD(SAS)

AAE=BD,ZCBD=ZCAE=135°,且NCAB=45。,

:.ZEAB=90°,

VPE=EQ,AE±BD,

APA=AQ,

VEP=EQ=5,AE=BD=4,

，AQ=ylEQ2-AE2=j25-\6=3，

APQ=2AQ=6；

???△ABC,△ECD都是等腰直角三角形，

AAC=BC,CE=CD,ZACB=ZECD=90c,ZABC=ZCAB=45°,

AZACE=ZDCB,且AC=BC,CE=CD,

AAACE^ABCD(SAS)

/.AE=BD,ZCBD=ZCAE=45°,且NCAB=45。，

/.ZEAB=90°,

VPE=EQ,AE_LBD,

???PA;AQ,

VEP=EQ=5,AE=BD=4,

???AQ={EQ?-AE2425-16=3，

APQ=2AQ=6.

【點(diǎn)睛】

本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，證明AE1BD

是本題的關(guān)鍵.

19.如圖，已知RNABC中，AB=AC=2,點(diǎn)。為直線8c上的動(dòng)點(diǎn)（不與3、C重合），以4為直角頂點(diǎn)作

等腰直角三角形4OE（點(diǎn)A,D,E按逆時(shí)針順序排列），連結(jié)CE.

（1）當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

①求證：BD二CE；

②請(qǐng)?zhí)接懰倪呅蜛OCE的面積是否有變化；

（2）當(dāng)點(diǎn)。在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出CD,CB與CE之間的數(shù)量關(guān)系.

EA

凡-

BDC■用圖

【答案】（1）①見解析：②四邊形AOCE的面積不變；（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，CB=CE+CD；當(dāng)點(diǎn)D

在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，CB=CE-CD：當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，CB=CD-CE

【分析】

（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB二AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°,從而得出NBAD二NCAE,

然后利用SAS即可證出^BAD^ACAE,從而得出BD=CE：

②根據(jù)直角三角形的面積公式即可求出SAABC，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得SABAD=SACAE，然后根據(jù)S

四邊形ADCE=SACAE+SAADC和等量代換即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)點(diǎn)D的位置分類討論，分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形，根據(jù)（1）①中證全等的方法和全等三角形的性質(zhì)

即可推出結(jié)論.

【詳解】

解：（1）①???△ABC和4ADE都是等腰直角三角形

AAB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90>

??.ZBAD+ZDAC=90°,ZCAE+ZDAC=90°

???/BAD二NCAE

在ABADfilACAE中

AB=AC

<^BAD=ZCAE

AD=AE

AABAD^ACAE

ABD=CE；

②：已知RIAABC中，AB=AC=2t

1

??SAABC二一AB,AC=2

2

VABAD^ACAE

：?SABAD=SACAE

:.S四邊形ADCE=SACAE+SAADC=SABAD+SAADC=SAABC=2

:.四邊形ADCE的面積不變；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如下圖所示

由（1）①的結(jié)論知BD=CE

.*.CB=BD+CD=CE+CD；

當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，如下圖所示

VAABC和^ADE都是等腰直角三角形

AAB=AC