1.4 空間向量的應(yīng)用(分層練習(xí))（解析版）

第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇若直線l的方向向量為μ=1,?2,3，平面α的法向量為n=A．l//α B．l⊥α C．l?α D．l與α相交【答案】B【分析】判斷μ與n的位置關(guān)系，進而可得出結(jié)論.【詳解】∵μ=1,?2,3∴由已知可得n=?2μ，則n//μ，因此，已知平面α的法向量n=(?1,2,0)，且點A∈α，AP=(12,1,?4)，則點P到平面α的距離為（A．5 B．25 C．24 【答案】B【分析】由向量法求點面距離.【詳解】由題意得，點P到平面α的距離為AP?nn若直線l的方向向量為μ=1,?2,3，平面α的法向量為n=A．l//α B．l⊥α C．l?α D．l與α相交【答案】B【分析】判斷μ與n的位置關(guān)系，進而可得出結(jié)論.【詳解】∵μ=1,?2,3，n=?2,4,?6，∴由已知可得n=?2μ，則已知直線l的方向向量為e=?1,2,12，平面α的法向量為n=?3,x,2，且A．1 B．2 C．?2 D．?1【答案】C【分析】由線面平行的向量表示可得e⊥【詳解】因為l//α，所以e⊥n，所以e?n=0已如點A1,1,0，B?1,0,2，C0,2,0者在平面α內(nèi)，則平面αA．1,1,?32 B．1,?1,12 C．【答案】C【分析】設(shè)出法向量n=x,y,z，利用向量垂直得到方程組，取x=2求出n=【詳解】由A1,1,0，B?1,0,2，C0,2,0，得AB設(shè)n=x,y,z是平面α的一個法向量，則n?取x=2，則y=2,z=3，故n=2,2,3，則與經(jīng)驗證，只有C正確.故選：C．在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E、F分別為棱BC、【答案】49【分析】利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)該正方體的棱長為2，A1A1異面直線A1F與D1E如圖，是正四棱柱ABCD?A1B1C1D1被平面EFGH所截得的幾何體，若AB=2，BF=DH=2，CG=3A．66 B．C．33 D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，平面EFGH的法向量為n1=1,?1,2，平面ABCD【詳解】如圖所示：以DA,DC,DH為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則F2,2,2，G0,2,3，H0,0,2，設(shè)平面EFGH則n1?HF=2x+2y=0n平面ABCD的一個法向量為n2=0,0,1故截面EFGH與底面ABCD所成銳二面角的余弦值是63如圖，二面角α?l?β等于120°，A、B是棱l上兩點，BD、AC分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=BD=2，則CD的長等于（

）A．23 B．13 C．4 【答案】C【分析】由二面角的平面角的定義可得<BD,AC【詳解】由二面角的平面角的定義知<BDBD?由AC⊥l，BD⊥l，得AC?BA=0DC=DC=2所以DC=4，即CD=4故選：C．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，(1)求證：AC∥平面BA(2)若AB⊥BC，求：①AA1與平面②直線AC與平面BA【答案】(1)證明見解析；(2)①33；②3【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，主要證明AC∥A1C(1)證明：在三棱柱ABC?A1B1所以AC∥A1C1，因為AC?平面BA1C1，解：因為BB1⊥平面ABC，AB,BC?平面ABC，所以BB1⊥又AB⊥BC，所以AB,BC,BB1兩兩互相垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系則A(1,0,0),B所以BA1=(1,1,0)，BC1=(0,1,1)，則{n?BA1=0n?BC1=0①設(shè)直線AA1與平面BA1C所以AA1與平面BA②因為AC∥面BA1C1，所以直線AC與平面BA設(shè)A到面BA1C1如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】建立空間坐標(biāo)系，計算AA1坐標(biāo)，計算平面【詳解】取AB的中點D，連接CD，以AD為x軸，以CD為y軸，以BB可得A1,0,0，A11,0B1?1,0,3,m?ABcos<m故AA1與平面AB如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2AD=4,PD=455,E是PA的中點，F(xiàn)B=2PF，則點A．3105 B．2105 C．【答案】B【分析】如圖，以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,則D0,0,0因為E是PA的中點，F(xiàn)B=2PF所以E1,0,所以DE=1,0,2設(shè)n=x,y,z是平面則n?DE=x+25故點C到平面DEF的距離為DC?提升篇提升篇已知正三棱柱ABC?A'B'C'的所有棱長均相等，D、E在BB'上，且A．720 B．33020 C．3【答案】C【解析】設(shè)AD=3，取BC的中點O，以點O為坐標(biāo)原點，OA、OB所在直線分別為x、y軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，設(shè)AD=3，取BC的中點O，B'C'的中點M，連接OA在正三棱柱ABC?A'B'C則四邊形BB'C'C由于O、M分別為BC、B'C'的中點，則OB所以，四邊形OBB'M為平行四邊形，則OM∵BB'⊥平面ABC，則OM⊥∵△ABC為等邊三角形，且O為BC的中點，則OA⊥BC，以點O為坐標(biāo)原點，OA、OB、OM所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A332,0,0、D0,32,1、Ecos<sin<因此，異面直線AD與EC'所成角的正弦值為339如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為線段A1BA．66 B．C．63 D．【答案】A【分析】以點D1為坐標(biāo)原點，D1A1、D1C1、D1D所在直線分別為x【詳解】以點D1為坐標(biāo)原點，D1A1、D1C1、D則點A1,0,1、C0,1,1、C10,1,0、C1E=1,?12,0因為C1E?平面AC1E，CF?平面A設(shè)平面AC1E的法向量為n=x,y,z則n?C1E=x?C1C=0,0,1，所以，直線FC到平面AEC如圖，已知菱形ABCD中，邊長為2,∠ABC=60°，沿對角線AC折疊之后，使得平面BAC⊥平面DAC，則二面角B?CD?A的余弦值為【答案】5【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角余弦值的空間向量求解方法進行計算即可.【詳解】設(shè)菱形ABCD的邊長為2，取AC的中點O，連接BO，DO，所以BO⊥AC，因為平面BAC⊥平面DAC，平面BAC∩平面DAC=AC，BO?平面BAC，所以BO⊥平面DAC，又因為OD?平面DAC，所以BO⊥OD.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則C1,0,0，B0,0,3，D0,3設(shè)平面BCD的一個法向量為n=x,y,z，則令z=1，則n=易知，平面CDA的一個法向量為m=所以cosm設(shè)二面角B?CD?A為θ，由圖可知二面角B?CD?A為銳角，即0＜所以cosθ=cosm,n=如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，Pπ2，π3 B．π2C．π3，π4 D．π【答案】D【分析】設(shè)正方體的棱長為1，AD1與BP所成的角為θ，以D為坐標(biāo)原點，直線DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，【詳解】設(shè)正方體的棱長為1，AD1與BP所成的角為以D為坐標(biāo)原點，直線DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系則A1,0,0，B1,1,0，C0,1,0，A1所以CA1=1,?1,1，設(shè)CP=λCA所以AD1?BP=1所以cosθ=因為0≤λ≤1，所以23≤3λ又θ∈0,π2，所以π6≤θ≤π3，故A在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，P是側(cè)面A．332 B．322 C．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Pa,2,c，0≤a≤2，0≤c≤2，則A1P=a?2,2,c?2【詳解】解：如圖，以D為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z建立空間直角坐標(biāo)系，A2,0,0，E1,2,0，F(xiàn)0,2,1所以AE=設(shè)平面AEF的法向量n=則n?AE=0n?設(shè)Pa,2,c，0≤a≤2，0≤c≤2，則A因為A1P平行于平面所以A1P?∴線段A1P長度當(dāng)且僅當(dāng)a=c=32時，線段A1P長度取最小值在正方體ABCD?A1B1C1D1中，若MP//平面A1BC1，則異面直線MP與A．0,π3 B．π6,π3【答案】C【分析】取AD中點E，DC中點F，連接ME，MF，EF，取EF中點O，連接MO，推導(dǎo)出平面A1BC1//平面EFM，從而P【詳解】解：取AD中點E，DC中點F，連接ME，MF，EF，取EF中點O，連接MO，∵在正方體ABCD?A1B1C∴ME//BC1，MF//A∵ME∩MF=M，BC∴平面A1BC∵P是底面ABCD內(nèi)（包括邊界）的一個動點，MP//平面A1∴P的軌跡是線段EF，如圖，以D為原點，DA,DC,DD1為設(shè)正方體棱長為2，則A1(2,0,2)，C1(0,2,2)，E(1,0,0)由于P在線段EF上，設(shè)EP=λEF所以EP=λ(?1,1,0)=(?λ,λ,0)則MP=ME+所以cos由于λ∈[0,1]，所以1?所以異面直線MP與A1C1所成角的取值范圍如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段A．1 B．2 C．55 D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求出點Р到直線CC【詳解】以D為原點，DA,DC,DD1分別為則E1,2,0，D10,0,2，所以ED1=(?1,因點P在線段D1E上，則λ∈[0,1]CP=所以向量CP在向量CC1上投影長為而CP=則點Р到直線CC1的距離?=所以點Р到直線CC1的距離的最小值為在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P為線段D1B上的動點，M，N分別為棱A．15 B．14 C．12【答案】A【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的運算，求解法向量即可由DP?n=0，解得λ【詳解】方法1：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD?A可得D(0,0,0)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，設(shè)D1PD可得D1P=λD1B=(2λ,2λ,?2λ)，可得P(2λ,2λ,2?2λ)B1設(shè)平面B1MN法向量為n=(x，y，z)，可得B1M?n由于DP//平面B1MN，則DP?解得λ=15，即方法2：連接BD,交MN于點H,則BH=14BD,連接B1H,延長DP交B由于DP//平面B1MN，DP?平面DBB1D1,且平面DB設(shè)正方體的棱長為1，則BH=14BD=24,故直角三角形BHB1由DH//GB1,DG//B1H,所以四邊形故選：A（多選）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面ABCD所成的角為π4，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=π2,AD=2,PA=BC=1，點E為棱PD上一點，滿足PEA．平面PAC⊥平面PCD；B．點P到直線CD的距離3；C．若二面角E?AC?D的平面角的余弦值為33，則λ=D．點A到平面PCD的距離為52【答案】D【分析】A選項，作出輔助線，證明出AC⊥BC，結(jié)合PA⊥平面ABCD可得線線垂直，從而證明線面垂直，最后證明出面面垂直；B選項，求出點P到直線CD的距離即為PC的長度，利用勾股定理求出答案；C選項，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進行求解；D選項，過點A作AH⊥PC于點H，證明AH的長即為點A到平面PCD的距離，求出AH的長.【詳解】A選項，因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，故∠PBA即為PB與底面ABCD所成的角，∠PBA=π4因為∠ABC=∠BAD=π2，所以PA=因為AD=2,PA=BC=1，取AD中點F，連接CF，則AF=DF=AB=CF=BC，則四邊形ABCF為正方形，∠FCD=∠FCA=45°，所以AC⊥CD，又因為AP∩AC=A，所以CD⊥平面PAC，因為CD?平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD，A正確；由A選項的證明過程可知：CD⊥平面PAC，因為PC?平面PAC，所以CD⊥PC，故點P到直線CD的距離即為PC的長度，其中PA=AB=BC=1，由勾股定理得：AC=2以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，C1,1,0，P0,0,1其中平面ACD的法向量為m=0,0,1，設(shè)平面ACE的法向量為則n?AE=2λy+1?λz=0n?設(shè)二面角E?AC?D的平面角為θ，顯然cosθ=33其中cosm,n=0,0,1因為0≤λ≤1，所以λ=1過點A作AH⊥PC于點H，由于CD⊥平面APC，AH?平面APC，所以AH⊥CD，因為PC∩CD=C，所以AH⊥平面PCD，故AH即為點A到平面PCD的距離，因為PA⊥AC，所以AH=AP?AC故選：D如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，AB=2，點P在底面ABCD內(nèi)的投影恰為AC中點，且BM=MC.(1)若2PC=3DC，求證：PM⊥面(2)若平面PAB與平面PCD所成的銳二面角為π3，求直線PM與平面PCD【答案】(1)見詳解；(2)3【