1.1.2 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算(分層練習(xí))（解析版）

第一章空間向量與立體幾何1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇化簡(jiǎn)：a?2【答案】b【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算律可得解.【詳解】a已知空間向量a,b的夾角為π3，|【答案】2【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算作答.【詳解】由空間向量a,b的夾角為π3，|所以|a已知空間向量a，b，c兩兩夾角均為60°，其模均為1，則a?【答案】5【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義可求得a?b=【詳解】因?yàn)閍=b=c=1，且a所以a?所以a?b+2c=已知a=4，e為空間單位向量，a,e=120°，則【答案】2【分析】利用向量投影的概念可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，a在e方向上投影的模為a若a、b、c是空間任意三個(gè)向量，λ∈R，下列關(guān)系中，不恒成立的是（

A．a(chǎn)?bcC．λa+b【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷A、B，根據(jù)向量數(shù)乘的運(yùn)算律判斷C，利用反例說(shuō)明D.【詳解】對(duì)于A：a?b=a?a?c=a?對(duì)于B：a+b?對(duì)于C：根據(jù)向量數(shù)乘的分配律知λa對(duì)于D：若a與b不共線時(shí)，不存在λ使得b=λ且當(dāng)a=0，b≠0時(shí)a與b共線，但是也不存在故選：ABD平行六面體ABCD?A1B1C1D1的各棱長(zhǎng)均為1，3 B．2+2 C．2 D．【答案】D【分析】分析得出AC1=【詳解】由已知可得AB?AA1=所以AC12故選：D．如圖，在四面體ABCD中，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，AB=AC=3.則BC?BD=（

A．32 B．52 C．92 【答案】C【分析】根據(jù)圖形，轉(zhuǎn)化向量，利用向量數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】BC==3×2×如圖，60°的二面角α?AB?β的棱上有A、B兩點(diǎn)，射線AC、BD分別在兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于棱AB．若AB=1，AC=1，BD=2．則CD

【答案】2【分析】由CD=CA+【詳解】∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴CA?AB=0，∵CD=CA+AB=12+1如圖，各棱長(zhǎng)都為2的四面體ABCD中CE=ED，AF=2FD，則向量BE?CF=A．?13 B．13 C．?12 【答案】A【分析】由向量的運(yùn)算可得BE=12【詳解】由題得BA,BC夾角，BD,BC夾角，∵CE=ED∴CF∴=故選：A.如圖，三棱錐A?BCD的各棱長(zhǎng)都是a，點(diǎn)E?F?G分別是AB?AD?CD的中點(diǎn)，則a2等于（

A．2BA?AC B．2AD?BD【答案】B【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算逐個(gè)分析判斷即可【詳解】由題意，三棱錐A?BCD為正四面體，∵點(diǎn)E?F?G分別是AB?AD?CD的中點(diǎn)，∴EF⊥FG，且EF=FG=1對(duì)于A，2BA?AC對(duì)于C，2FG?CA∴a2等于正四面體P﹣ABC的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)D是△PAB的重心，則PD?A．12 B．?12 C．2【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的定義計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D是△PAB的重心,∴正四面體P﹣ABC的棱長(zhǎng)為2∴PD提升篇提升篇（多選）下列四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．若空間中的O，A，B，C滿足OC=13OA+23B．空間中三個(gè)向量a，b，c，若a//b，則a，b，C．空間中任意向量a，b，c，都滿足aD．若a?b<0【答案】AB【分析】根據(jù)共線向量定理可判斷A，根據(jù)共面向量的概念可判斷B，根據(jù)向量數(shù)量積及向量數(shù)乘的概念可判斷C，根據(jù)向量數(shù)量積的定義可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)镺C=13OA+所以AC//CB，所以A，B，對(duì)于B，空間中三個(gè)向量a，b，c，若a,b共線，則a，b，對(duì)于C，(a?b)?c是與c而a與c方向不確定，故無(wú)法確定(a?b對(duì)于D，當(dāng)非零向量a,b方向相反時(shí)，a?故選：AB.三個(gè)平面兩兩垂直，它們交于一點(diǎn)O，空間一點(diǎn)P到三個(gè)面的距離分別為2,3和25，則【答案】5【分析】利用向量表達(dá)出OP=OA+OB+【詳解】構(gòu)造以O(shè)P為對(duì)角線的長(zhǎng)方體，則OP=OA+OB+故OP2=OA故答案為：5如圖所示，空間四邊形ABCD每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都為a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則EF

【答案】?【分析】確定向量EF,【詳解】由題意知△BCD為正三角形，則∠DBC=60因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB,AD的中點(diǎn)，所以EF∥而BD，BC的夾角為60°，所以EF，BC的夾角為60°，則EF，CB的夾角為所以EF?CB如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為棱【答案】2【分析】設(shè)B1E=λB1C1(0≤λ≤1)，利用向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算法則可得【詳解】由已知E為棱B1C1因?yàn)锳E=所以AE=1×2所以向量AE在向量AC方向上投影數(shù)量為1+λ2又0≤λ≤1，∴1≤1+λ≤2，∴2所以向量AE在向量AC方向上投影的數(shù)量的取值范圍為2故答案為：2正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體?正六面體?正八面體?正十二面體?正二十面體.已知一個(gè)正八面體ABCDEF的棱長(zhǎng)都是2（如圖），M,N分別為棱AD,AC的中點(diǎn)，則FM?BN

【答案】52/【分析】根據(jù)題意得到BN=12【詳解】由題意，可得BN=AN?又由正八面體ABCDEF的棱長(zhǎng)都是2，且各個(gè)面都是等邊三角形，在△ABD中，由AB=AD=2,BD=22，可得AB2所以FM?=?=?1故答案為：52如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E,G分別是AB,CD的中點(diǎn)．設(shè)AB=a,

【答案】證明見(jiàn)解析【分析】先EG將用?12a【詳解】證明：因?yàn)榭臻g四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，所以△ABC,△ABD都為等邊三角形，所以∠BAC=∠BAD=πEG=AB=?故EG⊥AB.在三棱錐P?ABC中，BC⊥平面PAB，平面PAC⊥平面ABC.(1)證明：PA⊥平面ABC；(2)若PA=22AB=22BC,D為PC中點(diǎn)，求向量【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)2【分析】（1）由線面垂直和面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明即可；由BD=12BA+【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)B作BO⊥AC于點(diǎn)O，

∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC,BO?平面ABC，∴BO⊥平面PAC，又PA?平面PAC,∴BO⊥PA.∵BC⊥平面PAB,PA?平面PAB,∴BC⊥PA.∴BC∩BO=B,BC,BO?平面ABC,∴PA⊥平面ABC.（2）由（1）知BC⊥PA,BC⊥AB,PA⊥AB，設(shè)AB=1，則PA=22∵D為PC中點(diǎn)，∴BDBD∴AP∴cosAP∴AP與BD夾角的余弦值為2如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1DA．AB．AC．向量B1C與AD．向量BD1與AC【答案】CD【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析判斷，能求出結(jié)果.【詳解】∵在平行六面體ABCD?A1B1C∴A對(duì)于A，A=36+36+36+3×2×18=216，∴A對(duì)于B，A=AA1?AB對(duì)于C，連接A1D，由題意可知△AA∵B1C=A1D，且向量A1D與AA1對(duì)于D，∵BD∴=ADBD∴cos故選：CD（多選）已知空間單位向量PA，PB，PC兩兩夾角均為60°，PA=2PE，BCA．P、A、B、C四點(diǎn)可以共面B．PAC．EF=22【答案】BC【分析】根據(jù)向量共面即可判斷點(diǎn)共面，進(jìn)而可判斷A，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解B，根據(jù)模長(zhǎng)的計(jì)算公式即可判斷C，根據(jù)夾角公式即可