2025《初中數(shù)學(xué)》專題突破專題51 一次函數(shù)的平行、垂直、面積問題（含答案及解析）

模型介紹模型介紹方法點(diǎn)撥知識點(diǎn)1兩直線平行如圖，直線b∥a，那么kb=ka，若已知ka及C的坐標(biāo)即可求出直線b的解析式.知識點(diǎn)2兩直線垂直如圖，直線c⊥a，那么kc*ka=-1，若已知ka及C或B的坐標(biāo)即可求出直線c的解析式.（針對這一性質(zhì)，初中不要求掌握，一般用全等、相似的方法求解）例題精講例題精講考點(diǎn)一：一次函數(shù)平行問題【例1】．一次函數(shù)y＝kx+b與y＝3x+1平行，且經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，4），則這個函數(shù)的表達(dá)式為．變式訓(xùn)練【變1-1】．一條直線平行于直線y＝2x﹣1，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是4，則直線的解析式是（）A．y＝2x+4 B．y＝2x﹣4 C．y＝2x±4 D．y＝x+2【變1-2】．一個一次函數(shù)圖象與直線y＝x+平行，與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，并且過點(diǎn)（﹣1，﹣20），則在線段AB上（包括端點(diǎn)A、B），橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有個．考點(diǎn)二：一次函數(shù)垂直問題【例2】．已知直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)A（3，8），并與直線y＝2x﹣3垂直，則k＝；b＝．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，直線CD與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣8），與直線AB交于點(diǎn)D，若△AOB∽△CDB，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【變2-2】．直線y＝kx+b與拋物線y＝x2交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，當(dāng)OA⊥OB時，直線AB恒過一個定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為．[提示：直線l1：y＝k1x+b1與直線l2：y＝k2x+b2互相垂直，則k1?k2＝﹣1]考點(diǎn)三：一次函數(shù)的面積問題【例3】．已知一次函數(shù)y＝mx+2的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則常數(shù)m＝．變式訓(xùn)練【變3-1】．已知直線y＝（n為正整數(shù)）與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為Sn．則S1+S2+S3+…+S2020的值為（）A． B． C． D．【變3-2】．如圖，正比例函數(shù)y＝﹣3x的圖象與一次函數(shù)y＝kx+b的圖象交于點(diǎn)P（m，3），一次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)B（1，1），與y軸的交點(diǎn)為D，與x軸的交點(diǎn)為C．（1）求一次函數(shù)表達(dá)式；（2）求△COP的面積．1．兩直線y1＝k1x+b1與y2＝k2x+b2相交于y軸，則（）A．k1≠k2，b1≠b2 B．k1≠k2，b1＝b2 C．k1＝k2，b1≠b2 D．k1＝k2，b1＝b22．若直線x+3y+1＝0與ax+y+1＝0互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．﹣3 B．﹣ C． D．33．已知一次函數(shù)y＝x+2與y＝﹣2+x，下面說法正確的是（）A．兩直線交于點(diǎn)（1，0） B．兩直線之間的距離為4個單位 C．兩直線與x軸的夾角都是30° D．兩條已知直線與直線y＝x都平行4．如圖，直線l1過原點(diǎn)，直線l2解析式為y＝﹣x+2，且直線l1和l2互相垂直，那么直線l1解析式為（）A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x5．已知直線y＝mx﹣1上有一點(diǎn)B（1，n），它到原點(diǎn)的距離是，則此直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）A． B．或 C．或 D．或6．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與正比例函數(shù)y＝2x的圖象平行且經(jīng)過點(diǎn)A（1，﹣2），則kb＝．7．若平行于直線y＝﹣2x的某直線y＝kx+b與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為5，則b＝．8．如圖，直線y＝﹣x+2與x，y軸交于A、B兩點(diǎn)，以AB為邊在第一象限作矩形ABCD，矩形的對稱中心為點(diǎn)M，若雙曲線y＝（x＞0）恰好過點(diǎn)C、M，則k＝．9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線AB與x軸交于點(diǎn)A（2，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，1）．（1）求直線AB的解析式；（2）若x軸上有一點(diǎn)C，且S△ABC＝2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．10．如圖，直線l1：y＝x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，直線l2：y＝kx+b與x軸交于點(diǎn)C（0.5，0），與y軸交于點(diǎn)D（0，2），直線l1，l2交于點(diǎn)E．（1）求直線l2的函數(shù)表達(dá)式．（2）試說明CD＝CE．（3）若P為直線l1上一點(diǎn)，當(dāng)∠POB＝∠BDE時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板△ABC放在第三象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，﹣4），直角頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣1，0），一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、C交x軸于點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）求直線AC與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．12．如圖，直線l1：y＝x+3分別與直線l2：y＝kx+b（k≠0）、直線l3：y＝k1x+b1（k1≠0）交于A、B兩點(diǎn)，直線l1交y軸于點(diǎn)E，直線l2與x軸和y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，B的橫坐標(biāo)為1，l2∥l3，OD＝1，連BD．（1）求直線l3的解析式；（2）求△ABD的面積．13．如圖，一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)B，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1．（1）求反比例函數(shù)y＝（x＞0）的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)A作x軸的垂線交反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點(diǎn)C，平移直線y＝x﹣2得到過點(diǎn)C的直線l，l的函數(shù)表達(dá)式為y＝mx+n，結(jié)合函數(shù)的圖象，求＞mx+n對應(yīng)x的取值范圍．14．已知拋物線y＝ax2﹣a（a＞0）．（1）求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)C為拋物線上的一定點(diǎn)，拋物線和x軸交點(diǎn)為E、F，直線l：y＝kx+2k+3與拋物線交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)B與點(diǎn)C不重合），與y軸交于點(diǎn)P，直線BD垂直于直線y＝﹣a，垂足為D，且△CEF為等腰直角三角形．①求點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線的解析式；②證明：對于每一個給定的實(shí)數(shù)k，都有DP∥AC．15．定義：已知直線l：y＝kx+b（k≠0），則k叫直線l的斜率．性質(zhì)：直線l1：y＝k1x+b1．l2：y＝k2x+b2（兩直線斜率存在且均不為0），若直線l1⊥l2，則k1k2＝﹣1（1）應(yīng)用：若直線y＝2x+1與y＝kx﹣1互相垂直，求斜率k的值；（2）探究：一直線過點(diǎn)A（2，3），且與直線y＝﹣x+3互相垂直，求該直線的解析式．16．在平面幾何中，我們學(xué)過兩條直線垂直的定義，下面就兩個一次函數(shù)的圖象所確定的兩條直線，給出它們垂直的定義：設(shè)一次函數(shù)y＝k1x+b（k1≠0）的圖象為直線l1，一次函數(shù)y＝k2x+b2（k≠0）的圖象為直線l2，若k1?k2＝﹣1，我們就稱直線l1與直線l2互相垂直，如直線y＝3x﹣1與直線y＝﹣x+1，因?yàn)?×（﹣）＝﹣1，所以相互垂直．根據(jù)以上定義內(nèi)容，解答下面的問題：（1）求過點(diǎn)P（1，2）且與已知直線y＝0.5x﹣2垂直的直線l的函數(shù)表達(dá)式，并在如圖所示的坐標(biāo)系中畫出直線l的圖象．（2）求（1）問中的兩條直線與y軸所圍的三角形的面積；（3）已知點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B，C分別是（1）問中直線l和x軸上的動點(diǎn)，求出△ABC周長的最小值．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，3），將點(diǎn)A向右平移2個單位長度，再向上平移a個單位長度得到點(diǎn)B，點(diǎn)B恰好落在該函數(shù)的圖象上，過A，B兩點(diǎn)的直線與y軸交于點(diǎn)C．（1）求k的值及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）在y軸上有一點(diǎn)D（0，4），連接AD，BD，求△ABD的面積．18．如圖在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)C（0，6）的直線AC與直線OA相交于點(diǎn)A（4，2），動點(diǎn)M在線段OA和射線AC上運(yùn)動．（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；（2）求△OAB的面積；（3）是否存在點(diǎn)M，使△OMC的面積與△OAB的面積相等？若存在求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．19．如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x﹣2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，直線y＝﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)A，并與y軸交于點(diǎn)C．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及b的值；（2）如圖2，動點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向運(yùn)動．過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交直線AC，AB于點(diǎn)D，E．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t．點(diǎn)D的坐標(biāo)為．點(diǎn)E的坐標(biāo)為；（均用含t的式子表示）（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時，探究是否存在某一時刻，使DE＝OB？若存在，求出此時△ADE的面積；若不存在說明理由．20．如圖，已知一次函數(shù)y1＝kx+b的圖象與函數(shù)y2＝（x＞0）的圖象交于A（6，﹣），B（，n）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．將直線AB沿y軸向上平移t個單位長度得到直線DE，DE與y軸交于點(diǎn)F．（1）求y1與y2的解析式；（2）觀察圖象，直接寫出y1＜y2時x的取值范圍；（3）連接AD，CD，若△ACD的面積為6，則t的值為．21．如圖，拋物線y＝ax2+bx與直線l交于點(diǎn)A（1，5）、B（6，0），點(diǎn)C是l上方的拋物線上的一動點(diǎn)，過C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線l于點(diǎn)E．連接AC、BC．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為n，△ABC的面積為S，求出S的最大值；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB是直角三角形，且始終滿足AB邊為直角邊？若存在，求出所有符合條件的P的坐標(biāo)；若不存在，簡要說明理由．

模型介紹模型介紹方法點(diǎn)撥知識點(diǎn)1兩直線平行如圖，直線b∥a，那么kb=ka，若已知ka及C的坐標(biāo)即可求出直線b的解析式.知識點(diǎn)2兩直線垂直如圖，直線c⊥a，那么kc*ka=-1，若已知ka及C或B的坐標(biāo)即可求出直線c的解析式.（針對這一性質(zhì)，初中不要求掌握，一般用全等、相似的方法求解）例題精講例題精講考點(diǎn)一：一次函數(shù)平行問題【例1】．一次函數(shù)y＝kx+b與y＝3x+1平行，且經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，4），則這個函數(shù)的表達(dá)式為y＝3x+13．解：∵一次函數(shù)y＝kx+b與y＝3x+1平行，∴k＝3，把（﹣3，4）代入y＝3x+b得﹣9+b＝4，解得b＝13，∴所求一次函數(shù)解析式為y＝3x+13．故答案為y＝3x+13．變式訓(xùn)練【變1-1】．一條直線平行于直線y＝2x﹣1，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是4，則直線的解析式是（）A．y＝2x+4 B．y＝2x﹣4 C．y＝2x±4 D．y＝x+2解：∵所求直線與直線y＝2x﹣1平行∴可設(shè)所求直線的解析式為y＝2x+b令x＝0可得直線在y軸的截距為b令y＝0可得直線在x軸的截距為由題意可知：b××＝4∴b＝±4，故選：C．【變1-2】．一個一次函數(shù)圖象與直線y＝x+平行，與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，并且過點(diǎn)（﹣1，﹣20），則在線段AB上（包括端點(diǎn)A、B），橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有4個．解：因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象與直線y＝x+平行，所以所求直線的斜率為，又因?yàn)樗笾本€過點(diǎn)（﹣1，﹣20），所以所求直線為5x﹣4y﹣75＝0，所以此直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A（15，0）、B（0，﹣），設(shè)在直線AB上并且橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x＝﹣1+4N，縱坐標(biāo)是y＝﹣20+5N，（N是整數(shù)）．因?yàn)樵诰€段AB上這樣的點(diǎn)應(yīng)滿足0≤x＝﹣1+4N≤15，且﹣＜y＝﹣20+5N≤0，解得：≤N≤4，所以N＝1，2，3，4，故答案為：4．考點(diǎn)二：一次函數(shù)垂直問題【例2】．已知直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)A（3，8），并與直線y＝2x﹣3垂直，則k＝﹣；b＝．解：∵已知直線y＝kx+b與直線y＝2x﹣3垂直，則k＝﹣，∴y＝x+b，將A（3，8）代入，8＝+b，解得b＝，故答案為﹣，．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，直線CD與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣8），與直線AB交于點(diǎn)D，若△AOB∽△CDB，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）．解：∵△AOB∽△CDB，∴∠CDB＝∠AOB＝90°，設(shè)直線CD的解析式為：y＝2x+b，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣8），∴b＝﹣8，，解得，，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（，），故答案為：（，）．【變2-2】．直線y＝kx+b與拋物線y＝x2交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，當(dāng)OA⊥OB時，直線AB恒過一個定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）．[提示：直線l1：y＝k1x+b1與直線l2：y＝k2x+b2互相垂直，則k1?k2＝﹣1]解：∵直線y＝kx+b與拋物線y＝x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，∴kx+b＝x2，化簡，得x2﹣4kx﹣4b＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，又∵OA⊥OB，∴×＝＝＝＝＝﹣1，解得，b＝4，即直線y＝kx+4，故直線恒過頂點(diǎn)（0，4），故答案為：（0，4）．考點(diǎn)三：一次函數(shù)的面積問題【例3】．已知一次函數(shù)y＝mx+2的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則常數(shù)m＝±2．解：令x＝0，則y＝2，令y＝0，則x＝﹣，∵一次函數(shù)y＝mx+2的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，∴×2×|﹣|＝1，解得m＝±2．故答案為：±2．變式訓(xùn)練【變3-1】．已知直線y＝（n為正整數(shù)）與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為Sn．則S1+S2+S3+…+S2020的值為（）A． B． C． D．解：令x＝0，則y＝，令y＝0，則＝0，解得x＝，所以，Sn＝??＝（﹣），所以，S1+S2+S3+…+S2020＝（+﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．故選：B．【變3-2】．如圖，正比例函數(shù)y＝﹣3x的圖象與一次函數(shù)y＝kx+b的圖象交于點(diǎn)P（m，3），一次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)B（1，1），與y軸的交點(diǎn)為D，與x軸的交點(diǎn)為C．（1）求一次函數(shù)表達(dá)式；（2）求△COP的面積．解：（1）∵正比例函數(shù)y＝﹣3x的圖象過點(diǎn)P（m，3），∴3＝﹣3m，解得：m＝﹣1，∴P（﹣1，3），∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象過點(diǎn)P（﹣1，3），B（1，1），∴，解得：，∴一次函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+2；（2）由（1）知，一次函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+2，令y＝0，﹣x+2＝0，解得：x＝2，∴C（2，0），∴OC＝2，∴＝3．1．兩直線y1＝k1x+b1與y2＝k2x+b2相交于y軸，則（）A．k1≠k2，b1≠b2 B．k1≠k2，b1＝b2 C．k1＝k2，b1≠b2 D．k1＝k2，b1＝b2解：兩直線y1＝k1x+b1與y2＝k2x+b2相交于y軸，則兩直線與y軸的交點(diǎn)是同一點(diǎn)，在直線y1＝k1x+b1中，令x＝0，解得y＝b1，與y軸的交點(diǎn)是（0，b1），同理直線y2＝k2x+b2與y軸的交點(diǎn)是（0，b2），則b1＝b2，若k1＝k2，則兩直線重合，因而k1≠k2．故選：B．2．若直線x+3y+1＝0與ax+y+1＝0互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．﹣3 B．﹣ C． D．3解：直線x+3y+1＝0的斜率為：﹣，直線ax+y+1的斜率為：﹣a，∵兩直線垂直，∴﹣×（﹣a）＝﹣1，∴a＝﹣3，故選：A．3．已知一次函數(shù)y＝x+2與y＝﹣2+x，下面說法正確的是（）A．兩直線交于點(diǎn)（1，0） B．兩直線之間的距離為4個單位 C．兩直線與x軸的夾角都是30° D．兩條已知直線與直線y＝x都平行解：根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)y＝x+2與y＝﹣2+x，分別與y軸相交于（0，2）和（0，﹣2）兩點(diǎn)，因?yàn)閤的系數(shù)，都為1，因此直線的方向是一樣的，都與直線y＝x平行．故選：D．4．如圖，直線l1過原點(diǎn)，直線l2解析式為y＝﹣x+2，且直線l1和l2互相垂直，那么直線l1解析式為（）A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x解：∵一次函數(shù)經(jīng)過原點(diǎn)，∴設(shè)所求的一次函數(shù)為y＝kx，∵一次函數(shù)的圖象與直線y＝﹣x+2垂直，∴k＝，則直線l1解析式為y＝x，故選：D．5．已知直線y＝mx﹣1上有一點(diǎn)B（1，n），它到原點(diǎn)的距離是，則此直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）A． B．或 C．或 D．或解：∵點(diǎn)B（1，n）到原點(diǎn)的距離是，∴n2+1＝10，即n＝±3．則B（1，±3），代入一次函數(shù)解析式得y＝4x﹣1或y＝﹣2x﹣1．（1）y＝4x﹣1與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為：××1＝；（2）y＝﹣2x﹣1與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為：××1＝．故選：C．6．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與正比例函數(shù)y＝2x的圖象平行且經(jīng)過點(diǎn)A（1，﹣2），則kb＝﹣8．解：∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與正比例函數(shù)y＝2x的圖象平行，∴k＝2，∴y＝2x+b，把點(diǎn)A（1，﹣2）代入y＝2x+b得2+b＝﹣2，解得b＝﹣4，∴kb＝2×（﹣4）＝﹣8．故答案為﹣8．7．若平行于直線y＝﹣2x的某直線y＝kx+b與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為5，則b＝．解：直線y＝kx+b與直線y＝﹣2x平行，因而k＝﹣2，直線y＝﹣2x+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，b），∴||?|b|＝5，即＝5，解得：b＝±2．8．如圖，直線y＝﹣x+2與x，y軸交于A、B兩點(diǎn)，以AB為邊在第一象限作矩形ABCD，矩形的對稱中心為點(diǎn)M，若雙曲線y＝（x＞0）恰好過點(diǎn)C、M，則k＝．解：∵y＝﹣x+2，∴x＝0時，y＝2；y＝0時，﹣x+2＝0，解得x＝4，∴A（4，0），B（0，2）．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°．設(shè)直線BC的解析式為y＝2x+b，將B（0，2）代入得，b＝2，∴直線BC的解析式為y＝2x+2，設(shè)C（a，2a+2），∵矩形ABCD的對稱中心為點(diǎn)M，∴M為AC的中點(diǎn)，∴M（，a+1）．∵雙曲線y＝（x＞0）過點(diǎn)C、M，∴a（2a+2）＝（a+1），解得a1＝，a2＝﹣1（不合題意舍去），∴k＝a（2a+2）＝（2×+2）＝．故答案為．9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線AB與x軸交于點(diǎn)A（2，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，1）．（1）求直線AB的解析式；（2）若x軸上有一點(diǎn)C，且S△ABC＝2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b（k≠0），將點(diǎn)A（2，0），B（0，1）代入，可得，解得，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+1；（2）∵x軸上有一點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)C（x，0），∴AC＝|2﹣x|，∵S△ABC＝2，∴×|2﹣x|×1＝2，∴x＝﹣2或x＝6，∴C（﹣2，0）或C（6，0）．10．如圖，直線l1：y＝x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，直線l2：y＝kx+b與x軸交于點(diǎn)C（0.5，0），與y軸交于點(diǎn)D（0，2），直線l1，l2交于點(diǎn)E．（1）求直線l2的函數(shù)表達(dá)式．（2）試說明CD＝CE．（3）若P為直線l1上一點(diǎn)，當(dāng)∠POB＝∠BDE時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：（1）將C（0.5，0）．D（0，2）代入y＝kx+b得，，解得，∴直線l2的函數(shù)解析式為y＝﹣4x+2；（2）當(dāng)﹣4x+2＝x﹣3時，∴x＝1，∴E（1，﹣2），過點(diǎn)E作EF⊥x軸于F，∴EF＝OD＝2，∵∠ODC＝∠CEF，∠DCO＝∠ECF，∴△DOC≌△EFC（AAS），∴CD＝CE；（3）∵∠POB＝∠BDE，∴點(diǎn)P在l1上有兩個位置，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B上方時，如圖，∴OP∥DE，∴直線OP的函數(shù)解析式為y＝﹣4x，∴﹣4x＝x﹣3，∴x＝，當(dāng)x＝時，y＝﹣，∴P（，﹣），當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的下方時，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為Q，連接OQ交l1為點(diǎn)P'，∴Q（﹣），則直線OQ的函數(shù)解析式為y＝4x，∴直線OQ與l1的交點(diǎn)為P'（﹣1，﹣4），綜上所述：P（，﹣）或（﹣1，﹣4）．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板△ABC放在第三象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，﹣4），直角頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣1，0），一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、C交x軸于點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）求直線AC與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．解：（1）作AE⊥x軸，垂足為E．∵∠AEB＝90°，∴∠ABE+∠CBO＝90°．在Rt△AEB中，∵∠ABE+∠EAB＝90°，∴∠CBO＝∠EAB，在△AEB和△BOC中，，∴△AEB≌△BOC（AAS）．∴AE＝BO＝1，BE＝OC＝4，∴OE＝OB+BE＝1+4＝5，∴A（﹣5，﹣1）．（2）把A（﹣5，﹣1），C（0，﹣4）代入y＝kx+b，得，解得，函數(shù)解析式為：y＝﹣x﹣4，當(dāng)y＝0時，x＝﹣，D（﹣，0）．S△COD＝××4＝．12．如圖，直線l1：y＝x+3分別與直線l2：y＝kx+b（k≠0）、直線l3：y＝k1x+b1（k1≠0）交于A、B兩點(diǎn)，直線l1交y軸于點(diǎn)E，直線l2與x軸和y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，B的橫坐標(biāo)為1，l2∥l3，OD＝1，連BD．（1）求直線l3的解析式；（2）求△ABD的面積．解：（1）在y＝x+3中，令y＝，則x＝﹣，∴A（﹣，），∵OD＝1，∴D（0，﹣1），把點(diǎn)A，D的坐標(biāo)代入l2：y＝kx+b，可得，解得，∴l(xiāng)2：y＝﹣x﹣1，在y＝x+3中，令x＝1，則y＝4，∴B（1，4），∵l2∥l3，∴k1＝﹣，把B（1，4）代入y＝﹣x+b1可得，4＝﹣+b1，∴b1＝，∴直線l3的解析式為y＝﹣x+；（2）在y＝x+3中，令x＝0，則y＝3，∴E（0，3），∴DE＝3+1＝4，∴S△ABD＝DE（|xA|+|xB|）＝（+1）＝5．13．如圖，一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)B，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1．（1）求反比例函數(shù)y＝（x＞0）的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)A作x軸的垂線交反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點(diǎn)C，平移直線y＝x﹣2得到過點(diǎn)C的直線l，l的函數(shù)表達(dá)式為y＝mx+n，結(jié)合函數(shù)的圖象，求＞mx+n對應(yīng)x的取值范圍．解：（1）∵點(diǎn)B在一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象上，且B的縱坐標(biāo)為1，∴1＝，∴x＝6，∴B（6，1），∵反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象過點(diǎn)B，∴，∴k＝6，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為（x＞0）；（2）∵一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，∴令y＝0得，，∴x＝4，∴A（4，0），∵CA⊥x軸，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，結(jié)合函數(shù)圖象可知，要求＞mx+n，即反比例函數(shù)y＝的圖象在一次函數(shù)y＝mx+n的圖象的上方，∴0＜x＜4．14．已知拋物線y＝ax2﹣a（a＞0）．（1）求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)C為拋物線上的一定點(diǎn)，拋物線和x軸交點(diǎn)為E、F，直線l：y＝kx+2k+3與拋物線交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)B與點(diǎn)C不重合），與y軸交于點(diǎn)P，直線BD垂直于直線y＝﹣a，垂足為D，且△CEF為等腰直角三角形．①求點(diǎn)C的坐標(biāo)和拋物線的解析式；②證明：對于每一個給定的實(shí)數(shù)k，都有DP∥AC．解：（1）在y＝ax2﹣a中，令y＝0，得ax2﹣a＝0，∵a＞0，∴x2﹣1＝0，解得：x＝﹣1或x＝1，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）和（1，0）；（2）①∵y＝ax2﹣a，∴E（﹣1，0），F(xiàn)（1，0），∵△CEF為等腰直角三角形，∴CE＝CF，∠ECF＝90°，∠CEF＝∠CFE＝45°，∵∠EOC＝∠FOC＝90°，OE＝OF＝1，∴OC＝OE＝1，∴C（0，﹣1），將C（0，﹣1）代入y＝ax2﹣a中，則﹣a＝﹣1，∴a＝1，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣1；②由題意得：，解得：或，∴A（﹣2，3），B（k+2，k2+4k+3），且k+2≠0，∵直線BD垂直于直線y＝﹣1，垂足為D，∴D（k+2，﹣1），在y＝kx+2k+3中，令x＝0，得y＝2k+3，∴P（0，2k+3），設(shè)直線AC解析式為y＝mx+n，則，解得：，∴直線AC解析式為y＝﹣2x﹣1，設(shè)直線DP的解析式為y＝m′x+n′，則，解得：，∴直線DP的解析式為y＝﹣2x+2k+3，∴AC∥DP．15．定義：已知直線l：y＝kx+b（k≠0），則k叫直線l的斜率．性質(zhì)：直線l1：y＝k1x+b1．l2：y＝k2x+b2（兩直線斜率存在且均不為0），若直線l1⊥l2，則k1k2＝﹣1（1）應(yīng)用：若直線y＝2x+1與y＝kx﹣1互相垂直，求斜率k的值；（2）探究：一直線過點(diǎn)A（2，3），且與直線y＝﹣x+3互相垂直，求該直線的解析式．解：（1）∵直線y＝2x+1與y＝kx﹣1互相垂直，∴2?k＝﹣1，∴k＝﹣；（2）設(shè)該直線的解析式為y＝kx+b，∵直線y＝kx+b與直線y＝﹣x+3互相垂直，∴﹣k＝﹣1，解得k＝3，把A（2，3）代入y＝3x+b得6+b＝3，解得b＝﹣3，∴該直線的解析式為y＝3x﹣3．16．在平面幾何中，我們學(xué)過兩條直線垂直的定義，下面就兩個一次函數(shù)的圖象所確定的兩條直線，給出它們垂直的定義：設(shè)一次函數(shù)y＝k1x+b（k1≠0）的圖象為直線l1，一次函數(shù)y＝k2x+b2（k≠0）的圖象為直線l2，若k1?k2＝﹣1，我們就稱直線l1與直線l2互相垂直，如直線y＝3x﹣1與直線y＝﹣x+1，因?yàn)?×（﹣）＝﹣1，所以相互垂直．根據(jù)以上定義內(nèi)容，解答下面的問題：（1）求過點(diǎn)P（1，2）且與已知直線y＝0.5x﹣2垂直的直線l的函數(shù)表達(dá)式，并在如圖所示的坐標(biāo)系中畫出直線l的圖象．（2）求（1）問中的兩條直線與y軸所圍的三角形的面積；（3）已知點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B，C分別是（1）問中直線l和x軸上的動點(diǎn)，求出△ABC周長的最小值．解：（1）設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，∵直線l與直線y＝0.5x﹣2垂直，∴k＝﹣2，∵直線l過點(diǎn)P（1，2），∴﹣2×1+b＝2，∴b＝4．∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣2x+4；直線l的圖象如圖；（2）解方程組得，，∵直線y＝0.5x﹣2與y軸的交點(diǎn)為（0，﹣2），直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣2x+4與y軸的交點(diǎn)為（0，4），∴兩條直線與y軸所圍的三角形的面積＝×6×＝；（3）∵點(diǎn)A（0，2）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為E（0，﹣2），關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)D（，），連接DE交直線l于B，交x軸于C，則此時，△ABC周長的值最小，△ABC周長的最小值＝DE＝＝．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，3），將點(diǎn)A向右平移2個單位長度，再向上平移a個單位長度得到點(diǎn)B，點(diǎn)B恰好落在該函數(shù)的圖象上，過A，B兩點(diǎn)的直線與y軸交于點(diǎn)C．（1）求k的值及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）在y軸上有一點(diǎn)D（0，4），連接AD，BD，求△ABD的面積．解：（1）設(shè)反比例函數(shù)表達(dá)式為，把A（﹣4，3）代入得，3＝，解得k＝﹣4×3＝﹣12．∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為．∵將點(diǎn)A向右平移2個單位長度，再向上平移a個單位長度得到點(diǎn)B，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，y）．當(dāng)x＝﹣2時，．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，6）．設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b．由題意，得，解得．∴．∵當(dāng)x＝0時，y＝9，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，9）．（2）由（1）知CD＝OC﹣OD＝9﹣4＝5．∴|xA|﹣＝．18．如圖在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)C（0，6）的直線AC與直線OA相交于點(diǎn)A（4，2），動點(diǎn)M在線段OA和射線AC上運(yùn)動．（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；（2）求△OAB的面積；（3）是否存在點(diǎn)M，使△OMC的面積與△OAB的面積相等？若存在求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．解：（1）設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，根據(jù)題意得：，解得：．則直線的解析式是：y＝﹣x+6；（2）∵y＝﹣x+6，當(dāng)y＝0時，x＝6，∴B（0，6），∴OB＝6，∴△OAB的面積＝×6×2＝6；（3）存在點(diǎn)M，使△OMC的面積與△OAB的面積相等，理由如下：如圖所示：設(shè)OA的解析式是y＝mx，則4m＝2，解得：m＝．則直線OA的解析式是：y＝x，∵點(diǎn)C（0，6），∴OC＝6，∴OB＝OC＝6，∵△OMC的面積與△OAB的面積相等，∴M到y(tǒng)軸的距離＝點(diǎn)A的縱坐標(biāo)2，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2或﹣2；當(dāng)M的橫坐標(biāo)為2時，在y＝x中，當(dāng)x＝2時，y＝1，則M的坐標(biāo)是（2，1）；在y＝﹣x+6中，當(dāng)x＝2則y＝4，則M的坐標(biāo)是（2，4）．則M的坐標(biāo)為（2，1）或（2，4）．當(dāng)M的橫坐標(biāo)為﹣2時，在y＝﹣x+6中，當(dāng)x＝﹣2時，y＝8，則M的坐標(biāo)是（﹣2，8）．綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1）或（2，4）或（﹣2，8）．19．如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x﹣2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，直線y＝﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)A，并與y軸交于點(diǎn)C．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及b的值；（2）如圖2，動點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向運(yùn)動．過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交直線AC，AB于點(diǎn)D，E．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t．點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t，﹣t+4）．點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，t﹣2）；（均用含t的式子表示）（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時，探究是否存在某一時刻，使DE＝OB？若存在，求出此時△ADE的面積；若不存在說明理由．解：（1）令y＝0，則x＝4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），令x＝0，則y＝﹣2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣2），將A（4，0）代入y＝﹣x+b，得0＝﹣4+b，解得b＝4；（2）由（1）知，直線AC的表達(dá)式為y＝﹣x+4，∵點(diǎn)P（t，0），∵PD⊥x軸，∴D（t，﹣t+4），E（t，t﹣2），故答案為（t，﹣t+4），（t，t﹣2