2025《初中數(shù)學(xué)》專題突破專題66 反比例函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)最值問題（含答案及解析）

例題精講例題精講【例1】．如圖，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為OA上一動(dòng)點(diǎn)，PC+PD值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為________變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是x軸正半軸上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線y＝（x＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PB⊥y軸于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，四邊形OAPB的面積將會(huì)（）A．逐漸增大 B．不變 C．逐漸減小 D．先增大后減小【變1-2】．如圖，一次函數(shù)y＝2x與反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在以C（2，0）為圓心，半徑為1的⊙C上，N是AM的中點(diǎn)，已知ON長(zhǎng)的最大值為，則k的值是．【例2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與邊長(zhǎng)是6的正方形OABC的兩邊AB，BC分別相交于M，N兩點(diǎn)．△OMN的面積為10．若動(dòng)點(diǎn)P在x軸上，則PM+PN的最小值是．變式訓(xùn)練【變2-1】．已知在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A（0，1），B（﹣1，0），動(dòng)點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝的圖象上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段PA與線段PB之差的絕對(duì)值最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【變2-2】．如圖，一次函數(shù)y1＝mx+n（m≠0）的圖象與雙曲線y2＝（k≠0）相交于A（﹣1，2）和B（2，b）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．（1）求雙曲線的解析式；（2）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在y軸負(fù)半軸上存在若干個(gè)點(diǎn)P，使得△CPB為等腰三角形．請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)所有可能的坐標(biāo)．1．如圖，點(diǎn)N是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作MN∥x軸，交直線y＝﹣2x+4于點(diǎn)M，則△OMN面積的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在直線BC上運(yùn)動(dòng)，且始終保持∠PAQ＝99°．設(shè)BP＝x，CQ＝y(tǒng)，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為（）A． B． C． D．3．如圖，已知A、B是反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）圖象上的兩點(diǎn)，BC∥x軸，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，沿O→A→B→C勻速運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為C，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別為M、N．設(shè)四邊形OMPN的面積為S，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)A是雙曲線y＝在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為一邊作等邊△ABC．隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但始終在一個(gè)函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，則這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為．5．如圖，點(diǎn)P是雙曲線C：y＝（x＞0）上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB：y＝x﹣2于點(diǎn)Q，連接OP，OQ．當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P在Q的上方時(shí)，△POQ面積的最大值是．6．如圖，直線AB與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2），將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC，反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線AB距離最短時(shí)的坐標(biāo)為．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上運(yùn)動(dòng)，且始終保持線段AB＝4的長(zhǎng)度不變．M為線段AB的中點(diǎn)，連接OM．則線段OM長(zhǎng)度的最小值是（用含k的代數(shù)式表示）．8．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝在第一象限的圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B．連接AO，以點(diǎn)A為圓心，分別以AB，AO為半徑作直角扇形BAC和OAD，并連接CD，則陰影部分面積的最小值是．9．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝（k＞0）圖象第一象限上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于B點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好與y軸相切，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C，在AB的左側(cè)半圓上有一動(dòng)點(diǎn)D，連接CD交AB于點(diǎn)E．記△BDE的面積為S1，△ACE的面積為S2，連接BC，△ACB是等腰直角三角形，則若S1﹣S2的值最大為1，則k的值為．10．如圖，正比例函數(shù)y＝x的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知△OAM的面積為1．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，P為x軸上一點(diǎn)，求使PA+PB的值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．11．如圖，正比例函數(shù)y＝2x的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC垂直x軸于點(diǎn)C，連接BC，若△ABC面積為2．（1）求k的值（2）x軸上是否存在一點(diǎn)D，使△ABD是以AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．12．如圖，一次函數(shù)y＝x+2的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點(diǎn)A（1，a），B兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）在x軸上找一點(diǎn)C，使|CA﹣CB|的值最大，求滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)及△ABC的面積．13．如圖，一次函數(shù)y＝2x﹣3的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點(diǎn)A（﹣1，n），B兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式與點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）連接AO、BO，求△AOB的面積；（3）點(diǎn)D是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)∠BAD＝90°時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．14．如圖，直線y＝2x+3與y軸交于A點(diǎn)，與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，且C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)D（a，1）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得PB+PD最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．15．如圖，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F(xiàn)是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（F不與A，B重合），過點(diǎn)F的反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與BC邊交于點(diǎn)E．（1）當(dāng)F為AB的中點(diǎn)時(shí)，求該反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)E的坐標(biāo)．（2）設(shè)過（1）中的直線EF的解析式為y＝ax+b，直接寫出不等式ax+b＜的解集．（3）當(dāng)k為何值時(shí)，△AEF的面積最大，最大面積是多少？16．如圖，直線OA：y＝x的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作軸的垂線，垂足為M，已知△OAM的面積為1．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在x軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小．17．已知：如圖，一次函數(shù)y＝﹣2x+10的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A、B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)），點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4．（1）求反比例函數(shù)解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）觀察圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式﹣2x+10﹣＞0的解集；（3）反比例函數(shù)圖象的另一支上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．18．反比例函數(shù)（k為常數(shù)．且k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，3），B（3，m）．（1）求反比例函數(shù)的解析式及B點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，①求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；②求△PAB的面積．19．如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+4的圖象與反比例y＝（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）①在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；②在x軸上找一點(diǎn)M，使|MA﹣MB|的值為最大，直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)．20．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，﹣2），反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，兩函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)E的坐標(biāo)是（m，3）．（1）分別求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．（2）求出m的值，并根據(jù)圖象回答：當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值．（3）若點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，△AOP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，求點(diǎn)P坐標(biāo)．21．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)C；E是線段AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AC的垂線，與y軸和反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)B、D兩點(diǎn)；連接AB、BC、CD、DA．設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含有m的代數(shù)式表示）；（2）判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；（3）當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形ABCD是正方形？并求出此時(shí)AD所在直線的解析式．22．如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+2的圖象與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y＝交于點(diǎn)C、D，且點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣2，m）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)M在y軸正半軸上，且與點(diǎn)B，C構(gòu)成以BC為腰的等腰三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）點(diǎn)P在第二象限的反比例函數(shù)圖象上，若tan∠OCP＝3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

例題精講例題精講【例1】．如圖，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為OA上一動(dòng)點(diǎn)，PC+PD值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為________解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝×0+4＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）；當(dāng)y＝0時(shí)，x+4＝0，解得：x＝﹣6，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0）．∵點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，2），點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，2）．作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PD的值最小，如圖所示．∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，2），∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（﹣3，﹣2）．設(shè)直線C′D的解析式為y＝kx+b（k≠0），將C′（﹣3，﹣2），D（0，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴直線C′D的解析式為y＝x+2．當(dāng)y＝0時(shí)，x+2＝0，解得：x＝﹣，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，0），即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1.5，0）．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是x軸正半軸上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線y＝（x＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PB⊥y軸于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，四邊形OAPB的面積將會(huì)（）A．逐漸增大 B．不變 C．逐漸減小 D．先增大后減小解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，），∵PB⊥y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)A是x軸正半軸上的一個(gè)定點(diǎn)，∴四邊形OAPB是個(gè)直角梯形，∴四邊形OAPB的面積＝（PB+AO）?BO＝（x+AO）?＝+＝+?，∵AO是定值，∴四邊形OAPB的面積是個(gè)減函數(shù)，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)四邊形OAPB的面積逐漸減?。蔬x：C．【變1-2】．如圖，一次函數(shù)y＝2x與反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在以C（2，0）為圓心，半徑為1的⊙C上，N是AM的中點(diǎn)，已知ON長(zhǎng)的最大值為，則k的值是．解：方法一、聯(lián)立，∴，∴，∴A（），B（），∴A與B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴O是線段AB的中點(diǎn)，∵N是線段AM的中點(diǎn)，連接BM，則ON∥BM，且ON＝，∵ON的最大值為，∴BM的最大值為3，∵M(jìn)在⊙C上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)B，C，M三點(diǎn)共線時(shí)，BM最大，此時(shí)BC＝BM﹣CM＝2，∴（，∴k＝0或，∵k＞0，∴，方法二、設(shè)點(diǎn)B（a，2a），∵一次函數(shù)y＝2x與反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，∴A與B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴O是線段AB的中點(diǎn)，∵N是線段AM的中點(diǎn)，連接BM，則ON∥BM，且ON＝，∵ON的最大值為，∴BM的最大值為3，∵M(jìn)在⊙C上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)B，C，M三點(diǎn)共線時(shí)，BM最大，此時(shí)BC＝BM﹣CM＝2，∴＝2，∴a1＝或a2＝0（不合題意舍去），∴點(diǎn)B（，），∴k＝，故答案為：．【例2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與邊長(zhǎng)是6的正方形OABC的兩邊AB，BC分別相交于M，N兩點(diǎn)．△OMN的面積為10．若動(dòng)點(diǎn)P在x軸上，則PM+PN的最小值是2．解：∵正方形OABC的邊長(zhǎng)是6，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為6，∴M（6，），N（，6），∴BN＝6﹣，BM＝6﹣，∵△OMN的面積為10，∴6×6﹣×6×﹣×6×﹣×（6﹣）2＝10，∴k＝24，∴M（6，4），N（4，6），作M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接NM′交x軸于P，則NM′的長(zhǎng)＝PM+PN的最小值，∵AM＝AM′＝4，∴BM′＝10，BN＝2，∴NM′＝＝＝2，故答案為2．變式訓(xùn)練【變2-1】．已知在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A（0，1），B（﹣1，0），動(dòng)點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝的圖象上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段PA與線段PB之差的絕對(duì)值最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）或（﹣2，﹣1）．解：如圖，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，將A（0，1）、B（﹣1，0）代入，得：，解得：，∴直線AB的解析式為y＝x+1，直線AB與雙曲線y＝的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，此時(shí)|PA﹣PB|＝AB，即線段PA與線段PB之差的絕對(duì)值取得最大值，由可得或，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）或（﹣2，﹣1），故答案為：（1，2）或（﹣2，﹣1）．【變2-2】．如圖，一次函數(shù)y1＝mx+n（m≠0）的圖象與雙曲線y2＝（k≠0）相交于A（﹣1，2）和B（2，b）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．（1）求雙曲線的解析式；（2）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在y軸負(fù)半軸上存在若干個(gè)點(diǎn)P，使得△CPB為等腰三角形．請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)所有可能的坐標(biāo)．解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，2）在雙曲線y2＝（k≠0）上，∴k＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函數(shù)解析式為y2＝﹣，（2）∵點(diǎn)B在雙曲線y2＝﹣上，∴2b＝﹣2，∴b＝﹣1，∴B（2，﹣1），將點(diǎn)A（﹣1，2），B（2，1）代入一次函數(shù)y1＝mx+n（m≠0）中，得，∴，∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+1；令x＝0，則y＝1，∴C（0，1），設(shè)P（0，p）（p＜0），∵B（2，﹣1），∴BC＝＝2，BP＝，CP＝1﹣p，∵△CPB為等腰三角形，∴①當(dāng)BC＝BP時(shí)，2＝，∴p＝1（舍）或p＝﹣3，∴P（0，﹣3），②當(dāng)BC＝CP時(shí)，2＝1﹣p，∴p＝1﹣2，∴P（0，1﹣2），③當(dāng)BP＝CP時(shí)，＝1﹣p，∴p＝﹣1，∴P（0，﹣1），故滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣3）或（0，1﹣2）或（0，﹣1）．1．如圖，點(diǎn)N是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作MN∥x軸，交直線y＝﹣2x+4于點(diǎn)M，則△OMN面積的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，m），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2﹣m，m）（m＞0），∴MN＝﹣（2﹣m）＝m+﹣2，∴S△OMN＝MN?m＝m2﹣m+3＝（m﹣2）2+2，∴當(dāng)m＝2時(shí)，△OMN面積最小，最小值為2．故選：B．2．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在直線BC上運(yùn)動(dòng)，且始終保持∠PAQ＝99°．設(shè)BP＝x，CQ＝y(tǒng)，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為（）A． B． C． D．解：∵AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣18°）＝81°，∴∠ABC＝∠APB+∠PAB＝81°，∵∠PAQ＝99°，∠BAC＝18°，∴∠PAB+∠QAC＝99°﹣18°＝81°，∴∠APB＝∠QAC，同理可得∠PAB＝∠AQC，∴△APB∽△QAC，∴＝，即＝，整理得，y＝，∵x、y都是邊的長(zhǎng)度，是正數(shù)，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示是反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的部分，縱觀各選項(xiàng)，只有A符合．故選：A．3．如圖，已知A、B是反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）圖象上的兩點(diǎn)，BC∥x軸，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，沿O→A→B→C勻速運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為C，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別為M、N．設(shè)四邊形OMPN的面積為S，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．解：①點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)四邊形OMPN的面積S＝K，保持不變，故排除B、D；②點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)路線O→A→B→C的總路程為l，點(diǎn)P的速度為a，則S＝OC×CP＝OC×（l﹣at），因?yàn)閘，OC，a均是常數(shù)，所以S與t成一次函數(shù)關(guān)系．故排除C．故選：A．4．已知點(diǎn)A是雙曲線y＝在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為一邊作等邊△ABC．隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但始終在一個(gè)函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，則這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣．解：設(shè)A（a，），∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴OA＝OB，∵△ABC為等邊三角形，∴AB⊥OC，OC＝AO，∵AO＝，∴CO＝，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則可得∠AOD＝∠OCD（都是∠COD的余角），設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），則tan∠AOD＝tan∠OCD，即＝，解得：y＝﹣a2x，在Rt△COD中，CD2+OD2＝OC2，即y2+x2＝3a2+，將y＝﹣a2x代入，（a4+1）x2＝3×可得：x2＝，故x＝，y＝﹣a2x＝﹣a，則xy＝﹣3，故可得：y＝﹣（x＞0）．故答案為：y＝﹣（x＞0）．5．如圖，點(diǎn)P是雙曲線C：y＝（x＞0）上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB：y＝x﹣2于點(diǎn)Q，連接OP，OQ．當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P在Q的上方時(shí)，△POQ面積的最大值是3．解：∵PQ⊥x軸，∴設(shè)P（x，），則Q（x，x﹣2），∴PQ＝﹣x+2，∴S△POQ＝（﹣+2）?x＝﹣（x﹣2）2+3，∵﹣＜0，∴△POQ面積有最大值，最大值是3，故答案為3．6．如圖，直線AB與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2），將線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC，反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)y＝（k≠0，x＞0）圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線AB距離最短時(shí)的坐標(biāo)為（，）．解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y＝ax+b，將點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，2）代入得，解得，∴直線AB為y＝﹣2x+2；∵過點(diǎn)C作CD⊥x軸，∵線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝1，∴C（3，1），∴k＝3，∴y＝；設(shè)與AB平行的直線y＝﹣2x+h，聯(lián)立﹣2x+h＝，∴﹣2x2+hx﹣3＝0，當(dāng)△＝h2﹣24＝0時(shí)，h＝2或﹣2（舍棄），此時(shí)點(diǎn)P到直線AB距離最短，解方程﹣2x2+2x﹣3＝0得x＝＝，∴P（，），故答案為P（，）．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上運(yùn)動(dòng)，且始終保持線段AB＝4的長(zhǎng)度不變．M為線段AB的中點(diǎn)，連接OM．則線段OM長(zhǎng)度的最小值是（用含k的代數(shù)式表示）．解：如圖，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，觀察圖象可知：當(dāng)線段AB與直線y＝x垂直時(shí)，垂足為M，此時(shí)AM＝BM，OM的值最小，∵M(jìn)為線段AB的中點(diǎn)，∴OA＝OB，∵點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，∵AB＝4，∴可以假設(shè)A（m，），則B（m+4，﹣4），∴（m+4）（﹣4）＝k，整理得k＝m2+4m，∴A（m，m+4），B（m+4，m），∴M（m+2，m+2），∴OM＝＝＝，∴OM的最小值為．故答案為．8．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝在第一象限的圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B．連接AO，以點(diǎn)A為圓心，分別以AB，AO為半徑作直角扇形BAC和OAD，并連接CD，則陰影部分面積的最小值是2π+2．解：如圖，過點(diǎn)D作DE垂直于CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠AED＝90°，由題意可知，AB＝AC，AO＝AD，∠BAC＝∠DAO＝90°，∵AB⊥y軸，∴∠ABO＝90°，∴∠BAO+∠OAE＝90°，∠DAE+∠OAE＝90°，∴∠BAO＝∠DAE，∴△BAO≌△EAD（AAS），∴DE＝OB．∵點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝在第一象限的圖象上的一點(diǎn)，∴OB?AB＝4，∴S△AOB＝OB?AB＝2，∴S△ACD＝AC?DE＝OB?AB＝2，∴S陰影＝S△ACD+S扇形OAD＝2+＝2+∵（AB﹣OB）2≥0，∴AB2﹣2AB?OB+OB2≥0，∴AB2+OB2≥2AB?OB，∴S陰影≥2+×2AB?OB＝2+2π．故答案為：2+2π．9．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y＝（k＞0）圖象第一象限上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于B點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好與y軸相切，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C，在AB的左側(cè)半圓上有一動(dòng)點(diǎn)D，連接CD交AB于點(diǎn)E．記△BDE的面積為S1，△ACE的面積為S2，連接BC，△ACB是等腰直角三角形，則若S1﹣S2的值最大為1，則k的值為4+4．解：如圖連接BC、O′C，作CH⊥x軸于H．由題意⊙O′與反比例函數(shù)圖象均關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，∴點(diǎn)A、C關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，設(shè)A（m，2m）則C（2m，m），∴BO′＝CH＝m，BO′∥CH，∴四邊形BHCO′是平行四邊形，∵BH＝CH，∠BHC＝90°，∴四邊形BHCO′是正方形．∴∠ABC＝45°，∴△ACB是等腰直角三角形，∵S1﹣S2＝S△DBC﹣S△ACB，△ABC的面積是定值，∴△DBC的面積最大時(shí)，S1﹣S2的值最大，∴當(dāng)DO′⊥BC時(shí)，△DBC的面積最大，∴m?（m+m）﹣?2m?m＝1，∴m2＝2（+1），∵k＝2m2，∴k＝4+4，故答案為：等腰直角三角形，4+4．10．如圖，正比例函數(shù)y＝x的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M，已知△OAM的面積為1．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，P為x軸上一點(diǎn)，求使PA+PB的值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：（1）設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），則由，得ab＝2＝k，∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）由條件知：兩函數(shù)的交點(diǎn)為，解得：，，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，1），作出A點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)C點(diǎn)，連接BC，P點(diǎn)即是所求則點(diǎn)C（2，﹣1），∵B（1，2），設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+b，，解得：，∴直線BC的解析式為：y＝﹣3x+5，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝，∴點(diǎn)P（，0）．11．如圖，正比例函數(shù)y＝2x的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC垂直x軸于點(diǎn)C，連接BC，若△ABC面積為2．（1）求k的值（2）x軸上是否存在一點(diǎn)D，使△ABD是以AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．解：（1）∵反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴OA＝OB，∴△BOC的面積＝△AOC的面積＝2÷2＝1，又∵A是反比例函數(shù)y＝圖象上的點(diǎn)，且AC⊥x軸于點(diǎn)C，∴△AOC的面積＝|k|，∴|k|＝1，∵k＞0，∴k＝2．故這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為y＝；（2）x軸上存在一點(diǎn)D，使△ABD為直角三角形．將y＝2x與y＝聯(lián)立成方程組得：，解得：，，∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），∵△ABD是以AB為斜邊的直角三角形∴∠ADB＝90°，如圖3，∵O為線段AB的中點(diǎn)，∴OD＝AB＝OA，∵A（1，2），∴OC＝1，AC＝2，由勾股定理得：OA＝＝，∴OD＝，∴D（，0）．根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)D為直角頂點(diǎn)，且D在x軸負(fù)半軸時(shí)，D（﹣，0）．故x軸上存在一點(diǎn)D，使△ABD以AB為斜邊的直角三角形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）或（﹣，0）．12．如圖，一次函數(shù)y＝x+2的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點(diǎn)A（1，a），B兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）在x軸上找一點(diǎn)C，使|CA﹣CB|的值最大，求滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)及△ABC的面積．解：（1）∵直線y＝x+2經(jīng)過點(diǎn)A（1，a），∴a＝3，∵反比例函數(shù)y＝經(jīng)過A（1，3），∴k＝3，∴y＝，由，解得或，∴B（﹣3，﹣1）．（2）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，延長(zhǎng)AB′交x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為所求；∵A（1，3），B′（﹣3，1），∴直線AB′的解析式為y＝x+，∴C（﹣5，0），∴S△ABC＝S△CBB′+S△BB′A＝×2×2+×2×4＝6．13．如圖，一次函數(shù)y＝2x﹣3的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點(diǎn)A（﹣1，n），B兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式與點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）連接AO、BO，求△AOB的面積；（3）點(diǎn)D是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)∠BAD＝90°時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，n）在一次函數(shù)y＝2x﹣3的圖象上，∴n＝﹣5，∴點(diǎn)A（﹣1，﹣5），∵點(diǎn)A（﹣1，﹣5）在反比例函數(shù)的圖象上，∴k＝﹣1×（﹣5）＝5，∴；聯(lián)立，解得：，，∴點(diǎn)；（2）設(shè)y＝2x﹣3與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)E，則點(diǎn)E（0，﹣3），∴OE＝3，∴S△AOB＝S△AOE+S△BOE＝×3×1+×3×＝；（3）設(shè)點(diǎn)，如圖，分別過點(diǎn)D，B作y軸的平行線DM，BN，過點(diǎn)A作MN⊥DM于M，交BN于N，則MN⊥BN，∴∠M＝∠N＝90°，∴∠DAM+∠ADM＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAN+∠DAM＝90°，∴∠BAN＝∠ADM，∴△BAN∽△ADM，∴＝，即＝，解得：a1＝﹣10，a2＝﹣1（舍），∴．14．如圖，直線y＝2x+3與y軸交于A點(diǎn)，與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，且C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)D（a，1）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得PB+PD最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）∵BC⊥x軸于點(diǎn)C，且C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），∴在直線y＝2x+3中，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2+3＝5，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5），又∵點(diǎn)B（1，5）在反比例函數(shù)y＝上，∴k＝1×5＝5，∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝；（2）將點(diǎn)D（a，1）代入y＝，得：a＝5，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（5，1）設(shè)點(diǎn)D（5，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D′（5，﹣1），過點(diǎn)B（1，5）、點(diǎn)D′（5，﹣1）的直線解析式為：y＝kx+b，可得：，解得：，∴直線BD′的解析式為：y＝﹣x+，根據(jù)題意知，直線BD′與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，當(dāng)y＝0時(shí)，得：﹣x+＝0，解得：x＝，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）．15．如圖，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F(xiàn)是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（F不與A，B重合），過點(diǎn)F的反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與BC邊交于點(diǎn)E．（1）當(dāng)F為AB的中點(diǎn)時(shí)，求該反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)E的坐標(biāo)．（2）設(shè)過（1）中的直線EF的解析式為y＝ax+b，直接寫出不等式ax+b＜的解集．（3）當(dāng)k為何值時(shí)，△AEF的面積最大，最大面積是多少？解：（1）∵四邊形OABC為矩形，OA＝3，OC＝2，∴AB＝2，BC＝3，∵F為AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（3，1），∵點(diǎn)F在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴k＝3×1＝3，∴反比例函數(shù)解析式為y＝，∵點(diǎn)E在BC上，∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，在y＝中，令y＝2，可求x＝，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）；（2）不等式ax+b＜的解集即直線在反比例函數(shù)下方時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍，由（1）可知點(diǎn)E、F兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、3，∴不等式ax+b＜的解集為：0＜x＜或x＞3；（3）由題意可知點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為為2，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為3，且E、F在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴可設(shè)E（，2），F(xiàn)（3，），∴AF＝，CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝3﹣，∴S△AEF＝AF?BE＝??（3﹣）＝﹣k2+＝﹣（k﹣3）2+，∵﹣＜0，∴S△AEF是關(guān)于k的開口向下的拋物線，∴當(dāng)k＝3時(shí)，S△AEF有最大值，最大值為，即當(dāng)k的值為3時(shí)，△AEF的面積最大，最大面積為．16．如圖，直線OA：y＝x的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作軸的垂線，垂足為M，已知△OAM的面積為1．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)（點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合），且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在x軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB最?。猓海?）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），則，解得：k＝2．∴反比例函數(shù)的解析式為y＝．（2）聯(lián)立直線OA和反比例函數(shù)解析式得：，解得：．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1）．設(shè)A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣1），連接BC較x軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．如圖所示．設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，由題意可得：B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），∴，解得：．∴BC的解析式為y＝﹣3x+5．當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣3x+5，解得：x＝．∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）．17．已知：如圖，一次函數(shù)y＝﹣2x+10的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A、B兩點(diǎn)（A在B的右側(cè)），點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4．（1）求反比例函數(shù)解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）觀察圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式﹣2x+10﹣＞0的解集；（3）反比例函數(shù)圖象的另一支上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）把x＝4代入y＝﹣2x+10得y＝2，∴A（4，2），把A（4，2）代入y＝，得k＝4×2＝8．∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，解方程組，得，或，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，8）；（2）觀察圖象得，關(guān)于x的不等式﹣2x+10﹣＞0的解集為：1＜x＜4或x＜0；（3）存在，理由：①若∠BAP＝90°，過點(diǎn)A作AH⊥OE于H，設(shè)AP與x軸的交點(diǎn)為M，如圖1，對(duì)于y＝﹣2x+10，當(dāng)y＝0時(shí)，﹣2x+10＝0，解得x＝5，∴點(diǎn)E（5，0），OE＝5．∵A（4，2），∴OH＝4，AH＝2，∴HE＝5﹣4＝1．∵AH⊥OE，∴∠AHM＝∠AHE＝90°．又∵∠BAP＝90°，∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°，∴∠MAH＝∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴，即，∴MH＝4，∴M（0，0），可設(shè)直線AP的解析式為y＝mx，則有4m＝2，解得m＝，∴直線AP的解析式為y＝x，解方程組，得，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）．②若∠ABP＝90°，同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣16，﹣）．綜上所述：符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2）、（﹣16，﹣）．18．反比例函數(shù)（k為常數(shù)．且k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，3），B（3，m）．（1）求反比例函數(shù)的解析式及B點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，①求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；②求△PAB的面積．解：（1）把A（1，3）代入y＝得，k＝3，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y＝；把B（3，m）代入y＝得，m＝1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）；（2）①如圖所示，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，則B′（3，﹣1），連接AB′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB最?。O(shè)直線AB′的關(guān)系式為y＝kx+b，把A（1，3），B′（3，﹣1）代入得，，解得，，∴直線AB′的關(guān)系式為y＝﹣2x+5，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝，即：P（，0），也就是，OP＝，②S△PAB＝S梯形ABNM﹣S△AMP﹣S△BPN＝（1+3）×2﹣（﹣1）×3﹣（3﹣）×1＝．19．如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+4的圖象與反比例y＝（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）①在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；②在x軸上找一點(diǎn)M，使|MA﹣MB|的值為最大，直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）把點(diǎn)A（1，a）代入一次函數(shù)y＝﹣x+4，得a＝3，∴A（1，3），把點(diǎn)A（1，3）代入反比例y＝，得k＝3，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝，解得或，故B（3，1）．（2）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小∴D（3，﹣1）設(shè)直線AD的解析式為y＝mx+n，則，解得，∴直線AD的解析式為y＝﹣2x+5，令y＝0，則x＝，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；（3）直線y＝﹣x+4與x軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn)，此時(shí)|MA﹣MB|的值為最大，令y＝0，則x＝4，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）．20．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，﹣2），反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，兩函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)E的坐標(biāo)是（m，3）．（1）分別求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．（2）求出m的值，并根據(jù)圖象回答：當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于