2025《初中數(shù)學》專題突破專題74 圓中的新定義問題（含答案及解析）

例題精講例題精講【例1】．如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEF…叫做“正三角形的漸開線”，其中弧CD、弧DE、弧EF的圓心依次按A、B、C…循環(huán)，它們依次相連接．若AB＝1，則曲線CDEF的長是．變式訓練【變1-1】．對于平面圖形A，如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圓形A被這個圓“覆蓋”．例如圖中的三角形被一個圓“覆蓋”．如果邊長為1的正六邊形被一個半徑長為R的圓“覆蓋”，那么R的取值范圍為．

【變1-2】．在平面直角坐標系xOy中，對于點P（a，b）和正實數(shù)k，給出如下定義：當ka2+b＞0時，以點P為圓心，ka2+b為半徑的圓，稱為點P的“k倍雅圓”例如，在圖1中，點P（1，1）的“1倍雅圓”是以點P為圓心，2為半徑的圓．（1）在點P1（3，1），P2（1，﹣2）中，存在“1倍雅圓”的點是．該點的“1倍雅圓”的半徑為．（2）如圖2，點M是y軸正半軸上的一個動點，點N在第一象限內(nèi)，且滿足∠MON＝30°，試判斷直線ON與點M的“2倍雅圓”的位置關系，并證明；（3）如圖3，已知點A（0，3），B（﹣1，0），將直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l．①當點C在直線l上運動時，若始終存在點C的“k倍雅圓”，求k的取值范圍；②點D是直線AB上一點，點D的“倍雅圓”的半徑為R，是否存在以點D為圓心，為半徑的圓與直線l有且只有1個交點，若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

【例2】．我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，點A，B，C，D分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點D的坐標為（0，﹣3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為2．開動腦筋想一想，經(jīng)過點D的“蛋圓”切線的解析式為___________變式訓練【變2-1】．已知定點P（a，b），且動點Q（x，y）到點P的距離等于定長r，根據(jù)平面內(nèi)兩點間距離公式可得（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，這就是到定點P的距離等于定長r圓的方程．已知一次函數(shù)的y＝﹣2x+10的圖象交y軸于點A，交x軸于點B，C是線段AB上的一個動點，則當以OC為半徑的⊙C的面積最小時，⊙C的方程為．

【變2-2】．【定義】從一個已知圖形的外一點引兩條射線分別經(jīng)過該已知圖形的兩點，則這兩條射線所成的最大角稱為該點對已知圖形的視角，如圖①，∠APB是點P對線段AB的視角．【應用】（1）如圖②，在直角坐標系中，已知點A（2，），B（2，2），C（3，），則原點O對三角形ABC的視角為；（2）如圖③，在直角坐標系中，以原點O，半徑為2畫圓O1，以原點O，半徑為4畫圓O2，證明：圓O2上任意一點P對圓O1的視角是定值；【拓展應用】（3）很多攝影愛好者喜歡在天橋上對城市的標志性建筑拍照，如圖④．現(xiàn)在有一條筆直的天橋，標志性建筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對建筑視角為45°的位置拍攝．現(xiàn)以建筑的中心為原點建立如圖⑤的坐標系，此時天橋所在的直線的表達式為x＝﹣5，正方形建筑的邊長為4，請直接寫出直線上滿足條件的位置坐標．1．如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，其中，，，，，，…的圓心依次按點A，B，C，D，E，F(xiàn)循環(huán)，其弧長分別記為l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．當AB＝1時，l2011等于（）A． B． C． D．2．已知線段AB，⊙M經(jīng)過A、B兩點，若90°≤∠AMB≤120°，則稱點M是線段AB的“好心”；⊙M上的點稱作線段AB的“閃光點”．已知A（2，0），B（6，0）．①點M（4，2）是線段AB的“好心”；②若反比例函數(shù)y＝上存在線段AB的“好心”，則≤k≤8；③線段AB的“閃光點”組成的圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；④若直線y＝x+b上存在線段AB的“閃光點”，則﹣10≤b≤2．上述說法中正確的有（）A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①②3．我們知道沿直線前進的自行車車輪上的點既隨著自行車做向前的直線運動，又以車軸為圓心做圓周運動，如果我們仔細觀察這個點的運動軌跡，會發(fā)現(xiàn)這個點在我們眼前劃出了一道道優(yōu)美的弧線．其實，很早以前人們就對沿直線前進的馬車車輪上的點的軌跡產(chǎn)生了濃厚的研究興趣，有人認為這個軌跡是一段段周而復始的圓弧，也有人認為這個軌跡是一段段的拋物線．你認為呢？擺線（Cycloid）：當一個圓沿一條定直線做無滑動的滾動時，動圓圓周上一個定點的軌跡叫做擺線．定直線稱為基線，動圓稱為母圓，該定點稱為擺點：現(xiàn)做一個小實驗，取兩枚相同的硬幣并排排列，如果我們讓右側(cè)的硬幣繞左側(cè)硬幣做無滑動的滾動，那么：（1）當右側(cè)硬幣上接觸點A的運動軌跡大致是什么形狀？（2）當右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)到左側(cè)時，硬幣面上的圖案向還是向下？（3）當右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)回原地時，硬幣自身轉(zhuǎn)動了幾圈？（）A．一條圍繞于硬幣的封閉曲線；向上；1圈 B．一條擺線；向上；1圈 C．一條圍繞于硬幣的封閉曲線；向上；2圈 D．一條擺線；向下；2圈4．定義：如果P是圓O所在平面內(nèi)的一點，Q是射線OP上一點，且線段OP、OQ的比例中項等于圓O的半徑，那么我們稱點P與點Q為這個圓的一對反演點．已知點M、N為圓O的一對反演點，且點M、N到圓心O的距離分別為4和9，那么圓O上任意一點到點M、N的距離之比＝．5．如圖，在△ABC中，D，E分別是△ABC兩邊的中點，如果（可以是劣弧、優(yōu)弧或半圓）上的所有點都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱為△ABC的中內(nèi)弧，例如，圖中是△ABC其中的某一條中內(nèi)?。粼谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，已知點F（0，4），O（0，0），H（4，0），在△FOH中，M，N分別是FO，F(xiàn)H的中點，△FOH的中內(nèi)弧所在圓的圓心P的縱坐標m的取值范圍是．6．如圖（1），△ABC是正三角形，曲線DA1B1C1…叫做“正三角形ABC的漸開線”，其中，…依次連接，它們的圓心依次按A，B，C循環(huán)．則曲線CA1B1C1叫做正△ABC的1重漸開線，曲線CA1B1C1A2B2C2叫做正△ABC的2重漸開線，…，曲線CA1B1C1A2…AnBn?n叫做正△ABC的n重漸開線．如圖（2），四邊形ABCD是正方形，曲線CA1B1C1D1…叫做“正方形ABCD的漸開線”，其中…依次連接，它們的圓心依次按A，B，C，D循環(huán)．則曲線DA1B1C1D1叫做正方形ABCD的1重漸開線，…，曲線DA1B1C1D1A2…AnBn?nDn叫做正方形ABCD的n重漸開線．依次下去，可得正n形的n重漸開線（n≥3）．若AB＝1，則正方形的2重漸開線的長為18π；若正n邊形的邊長為1，則該正n邊形的n重漸開線的長為．7．一個玻璃球體近似半圓O，AB為直徑．半圓O上點C處有個吊燈EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中點為D，OA＝4．（1）如圖①，CM為一條拉線，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的長度．（2）如圖②，一個玻璃鏡與圓O相切，H為切點，M為OB上一點，MH為入射光線，NH為反射光線，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的長度．（3）如圖③，M是線段OB上的動點，MH為入射光線，∠HOM＝50°，HN為反射光線交圓O于點N，在M從O運動到B的過程中，求N點的運動路徑長．

8．我們不妨定義：有兩邊之比為1：的三角形叫敬“勤業(yè)三角形”．（1）下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是；（填序號）①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三角形．（2）如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC為直徑，D為AB上一點，且BD＝2AD，作DE⊥OA，交線段OA于點F，交⊙O于點E，連接BE交AC于點G．試判斷△AED和△ABE是否是“勤業(yè)三角形”？如果是，請給出證明，并求出的值；如果不是，請說明理由；（3）如圖2，在（2）的條件下，當AF：FG＝2：3時，求∠BED的余弦值．

9．對于平面內(nèi)的兩點K、L，作出如下定義：若點Q是點L繞點K旋轉(zhuǎn)所得到的點，則稱點Q是點L關于點K的旋轉(zhuǎn)點；若旋轉(zhuǎn)角小于90°，則稱點Q是點L關于點K的銳角旋轉(zhuǎn)點．如圖1，點Q是點L關于點K的銳角旋轉(zhuǎn)點．（1）已知點A（4，0），在點Q1（0，4），Q2（2，），Q3（﹣2，），Q4（，﹣2）中，是點A關于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點的是．（2）已知點B（5，0），點C在直線y＝2x+b上，若點C是點B關于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點，求實數(shù)b的取值范圍．（3）點D是x軸上的動點，D（t，0），E（t﹣3，0），點F（m，n）是以D為圓心，3為半徑的圓上一個動點，且滿足n≥0．若直線y＝2x+6上存在點F關于點E的銳角旋轉(zhuǎn)點，請直接寫出t的取值范圍．

10．在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的頂點分別為A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0）．對于圖形M，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為正方形ABCD邊上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最大值，那么稱這個最大值為圖形M的“正方距”，記作d（M）．已知點E（3，0）．①直接寫出d（點E）的值；②過點E畫直線y＝kx﹣3k與y軸交于點F，當d（線段EF）取最小值時，求k的取值范圍；③設T是直線y＝﹣x+3上的一點，以T為圓心，長為半徑作⊙T．若d（⊙T）滿足d（⊙T）＞+，直接寫出圓心T的橫坐標x的取值范圍．

11．【概念認識】與矩形一邊相切（切點不是頂點）且經(jīng)過矩形的兩個頂點的圓叫做矩形的第Ⅰ類圓；與矩形兩邊相切（切點都不是頂點）且經(jīng)過矩形的一個頂點的圓叫做矩形的第Ⅱ類圓．【初步理解】（1）如圖①～③，四邊形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都與邊AD相切，⊙O2與邊AB相切，⊙O1和⊙O3都經(jīng)過點B，⊙O3經(jīng)過點D，3個圓都經(jīng)過點C．在這3個圓中，是矩形ABCD的第Ⅰ類圓的是，是矩形ABCD的第Ⅱ類圓的是．【計算求解】（2）已知一個矩形的相鄰兩邊的長分別為4和6，直接寫出它的第Ⅰ類圓和第Ⅱ類圓的半徑長．【深入研究】（3）如圖④，已知矩形ABCD，用直尺和圓規(guī)作圖．（保留作圖痕跡，并寫出必要的文字說明）①作它的1個第Ⅰ類圓；②作它的1個第Ⅱ類圓．

12．在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，已知點A，過點A作直線MN．對于點A和直線MN，給出如下定義：若將直線MN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，直線MN與⊙O有兩個交點時，則稱MN是⊙O的“雙關聯(lián)直線”，與⊙O有一個交點P時，則稱MN是⊙O的“單關聯(lián)直線”，AP是⊙O的“單關聯(lián)線段”．（1）如圖1，A（0，4），當MN與y軸重合時，設MN與⊙O交于C，D兩點．則MN是⊙O的“關聯(lián)直線”（填“雙”或“單”）；的值為；（2）如圖2，點A為直線y＝﹣3x+4上一動點，AP是⊙O的“單關聯(lián)線段”．①求OA的最小值；②直接寫出△APO面積的最小值．

13．在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，A為任意一點，B為⊙O上任意一點．給出如下定義：記A，B兩點間的距離的最小值為p（規(guī)定：點A在⊙O上時，p＝0），最大值為q，那么把的值稱為點A與⊙O的“關聯(lián)距離”，記作d（A，⊙O）．（1）如圖，點D，E，F(xiàn)的橫、縱坐標都是整數(shù)．①d（D，⊙O）＝；②若點M在線段EF上，求d（M，⊙O）的取值范圍；（2）若點N在直線y＝上，直接寫出d（N，⊙O）的取值范圍；（3）正方形的邊長為m，若點P在該正方形的邊上運動時，滿足d（P，⊙O）的最小值為1，最大值為，直接寫出m的最小值和最大值．

14．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A與點B的坐標分別是（1，0），（7，0）．（1）對于坐標平面內(nèi)的一點P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，那么稱點P為線段AB的“完美點”．①設A、B、P三點所在圓的圓心為C，則點C的坐標是，⊙C的半徑是；②y軸正半軸上是否有線段AB的“完美點”？如果有，求出“完美點”的坐標；如果沒有，請說明理由；（2）若點P在y軸負半軸上運動，則當∠APB的度數(shù)最大時，點P的坐標為．

15．定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線相切的圓稱為這個三角形的切圓，相切的邊稱為這個圓的切邊．（1）如圖1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，點O在AC邊上，以OC為半徑的⊙O恰好經(jīng)過點B，求證：⊙O是△ABC的切圓．（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圓，且另外兩條邊都是⊙O的切邊，求⊙O的半徑．（3）如圖3，△ABC中，以AB為直徑的⊙O恰好是△ABC的切圓，AC是⊙O的切邊，⊙O與BC交于點F，取弧BF的中點D，連接AD交BC于點E，過點E作EH⊥AB于點H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的長．

16．在平面直角坐標系xOy中，對于直線l：y＝kx+b，給出如下定義：若直線l與某個圓相交，則兩個交點之間的距離稱為直線l關于該圓的“圓截距”．（1）如圖1，⊙O的半徑為1，當k＝1，b＝1時，直接寫出直線l關于⊙O的“圓截距”；（2）點M的坐標為（1，0），①如圖2，若⊙M的半徑為1，當b＝1時，直線l關于⊙M的“圓截距”小于，求k的取值范圍；②如圖3，若⊙M的半徑為2，當k的取值在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，直線l關于⊙M的“圓截距”的最小值2，直接寫出b的值．

17．對于⊙C與⊙C上一點A，若平面內(nèi)的點P滿足：射線AP與⊙C交于點Q，且PA＝2QA，則稱點P為點A關于⊙C的“倍距點”．已知平面直角坐標系xOy中，點A的坐標是（﹣，0）．（1）如圖1，點O為坐標原點，⊙O的半徑是，點P是點A關于⊙O的“倍距點”．①若點P在x軸正半軸上，直接寫出點P的坐標是；②若點P在第一象限，且∠PAO＝30°，求點P的坐標；（2）設點T（t，0），以點T為圓心，TA長為半徑作⊙T，一次函數(shù)y＝x+4的圖象分別與x軸、y軸交于D、E，若一次函數(shù)y＝x+4的圖象上存在唯一一點P，使點P是點A關于⊙T的“倍距點”，求t的值．

18．類比學習：我們已經(jīng)知道，頂點在圓上，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如圖1，∠APB就是圓周角，弧AB是∠APB所夾的?。愃频?，我們可以把頂點在圓外，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓外角，如圖2，∠APB就是圓外角，弧AB和弧CD是∠APB所夾的弧，新知探索：圖（2）中，弧AB和弧CD度數(shù)分別為80°和30°，∠APB＝°，歸納總結：（1）圓周角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半；（2）圓外角的度數(shù)等于．新知應用：直線y＝﹣x+m與直線y＝x+2相交于y軸上的點C，與x軸分別交于點A、B．經(jīng)過A、B、C三點作⊙E，點P是第一象限內(nèi)⊙E外的一動點，且點P與圓心E在直線AC的同一側(cè)，直線PA、PC分別交⊙E于點M、N，設∠APC＝θ．①求A點坐標；②求⊙E的直徑；③連接MN，求線段MN的長度（可用含θ的三角函數(shù)式表示）．

19．（1）【基礎鞏固】如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠C＝60°，弦AB＝2，則半徑r＝；（2）【問題探究】如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠ADC＝60°，AD＝DC，點B為弧AC上一動點（不與點A，點C重合）．求證：AB+BC＝BD；（3）【解決問題】如圖3，一塊空地由三條直路（線段AD、AB、BC）和一條道路劣弧圍成，已知CM＝DM＝千米，∠DMC＝60°，的半徑為1千米，市政府準備將這塊空地規(guī)劃為一個公園，主入口在點M處，另外三個入口分別在點C、D、P處，其中點P在上，并在公園中修四條慢跑道，即圖中的線段DM、MC、CP、PD，是否存在一種規(guī)劃方案，使得四條慢跑道總長度（即四邊形DMCP的周長）最大？若存在，求其最大值；若不存在，說明理由．

20.A，B是⊙C上的兩個點，點P在⊙C的內(nèi)部．若∠APB為直角，則稱∠APB為AB關于⊙C的內(nèi)直角，特別地，當圓心C在∠APB邊（含頂點）上時，稱∠APB為AB關于⊙C的最佳內(nèi)直角．如圖1，∠AMB是AB關于⊙C的內(nèi)直角，∠ANB是AB關于⊙C的最佳內(nèi)直角．在平面直角坐標系xOy中．（1）如圖2，⊙O的半徑為5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上兩點．①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B中，是AB關于⊙O的內(nèi)直角的是；②若在直線y＝2x+b上存在一點P，使得∠APB是AB關于⊙O的內(nèi)直角，求b的取值范圍．（2）點E是以T（t，0）為圓心，4為半徑的圓上一個動點，⊙T與x軸交于點D（點D在點T的右邊）．現(xiàn)有點M（1，0），N（0，n），對于線段MN上每一點H，都存在點T，使∠DHE是DE關于⊙T的最佳內(nèi)直角，請直接寫出n的最大值，以及n取得最大值時t的取值范圍．

例題精講例題精講【例1】．如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEF…叫做“正三角形的漸開線”，其中弧CD、弧DE、弧EF的圓心依次按A、B、C…循環(huán)，它們依次相連接．若AB＝1，則曲線CDEF的長是4π．解：∵△ABC是正三角形，∴∠CAD＝∠DBE＝∠ECF＝120°，又∵AB＝1，∴AC＝1，BD＝2，CE＝3，∴CD弧的長度＝＝；DE弧的長度＝＝；EF弧的長度＝＝2π；所以曲線CDEF的長為++2π＝4π．故答案為：4π．變式訓練【變1-1】．對于平面圖形A，如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圓形A被這個圓“覆蓋”．例如圖中的三角形被一個圓“覆蓋”．如果邊長為1的正六邊形被一個半徑長為R的圓“覆蓋”，那么R的取值范圍為R≥1．解：∵正六邊形的邊長等于它的外接圓半徑，∴邊長為1的正六邊形被一個半徑長為R的圓“覆蓋”，那么R的取值范圍為：R≥1．故答案為：R≥1．【變1-2】．在平面直角坐標系xOy中，對于點P（a，b）和正實數(shù)k，給出如下定義：當ka2+b＞0時，以點P為圓心，ka2+b為半徑的圓，稱為點P的“k倍雅圓”例如，在圖1中，點P（1，1）的“1倍雅圓”是以點P為圓心，2為半徑的圓．（1）在點P1（3，1），P2（1，﹣2）中，存在“1倍雅圓”的點是P1．該點的“1倍雅圓”的半徑為10．（2）如圖2，點M是y軸正半軸上的一個動點，點N在第一象限內(nèi)，且滿足∠MON＝30°，試判斷直線ON與點M的“2倍雅圓”的位置關系，并證明；（3）如圖3，已知點A（0，3），B（﹣1，0），將直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l．①當點C在直線l上運動時，若始終存在點C的“k倍雅圓”，求k的取值范圍；②點D是直線AB上一點，點D的“倍雅圓”的半徑為R，是否存在以點D為圓心，為半徑的圓與直線l有且只有1個交點，若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）對于P1（3，1），圓的半徑為ka2+b＝1×32+1＝10＞0，故符合題意；對于P2（1，﹣2），圓的半徑為ka2+b＝1×12﹣2＝﹣1＜0，故不符合題意；故答案為P1，10；（2）如圖1，過點M作MQ⊥ON于點Q，則點M（0，m）（m＞0），則圓的半徑r＝2×0+m＝m，則Rt△MQO中，∠MOQ＝∠MON＝30°，∴MQ＝OM＝m＜m，∴直線ON與點M的“2倍雅圓”的位置關系為相交；（3）①過點B作BE⊥直線l于點E，過點E作x軸的垂線交x軸于點G，交過點A與x軸的平行線于點F，設點E（x，y），將直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l，則∠EAB＝45°，故EA＝EB，∵∠FEA+∠FAE＝90°，∠GEB+∠FEA＝90°，∴∠FAE＝∠GEB，∵∠AFE＝∠EGB＝90°，EA＝EB，∴△AFE≌△EGB（AAS），∴EF＝BG，EG＝FA，即3﹣y＝﹣1﹣x，y＝﹣x，解得：x＝﹣2，y＝2，故點E（﹣2，2）；設直線l的表達式為y＝kx+b，則，解得，故直線l的表達式為y＝x+3，設點C（x，x+3），∵始終存在點C的“k倍雅圓”時，則圓的半徑r＝kx2+x+3＞0恒成立，∴k＞0且Δ＜0成立，即k＞0且△＝（）2﹣4×3k＜0，解得：k＞；②存在，理由：如圖2，過點D作DH⊥l于點H，由點A、B的坐標同理可得，直線AB的表達式為y＝3x+3，設點D（x，3x+3），由點A、D的坐標得，AD＝＝|x|，則HD＝AD＝|x|，則R＝ka2+b＝x2+3x+3＝（x+2）2，則＝|x+2|，假設存在以點D為圓心，為半徑的圓與直線l有且只有1個交點，則DH＝＝|x+2|＝|x|，解得：x＝﹣1，故點D的坐標為：（﹣1，0）．【例2】．我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，點A，B，C，D分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點D的坐標為（0，﹣3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為2．開動腦筋想一想，經(jīng)過點D的“蛋圓”切線的解析式為___________解：因為經(jīng)過點D的“蛋圓”切線過D（0，﹣3）點，所以設它的解析式為y＝kx﹣3，∵AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為2，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵拋物線過點A、B，∴設拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），又∵拋物線過點D（0，﹣3），∴﹣3＝a?1?（﹣3），即a＝1，∴y＝x2﹣2x﹣3．又∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與直線y＝kx﹣3相切，∴x2﹣2x﹣3＝kx﹣3，即x2﹣（2+k）x＝0只有一個解，∴△＝（2+k）2﹣4×0＝0，∴k＝﹣2即經(jīng)過點D的“蛋圓”切線的解析式為y＝﹣2x﹣3．變式訓練【變2-1】．已知定點P（a，b），且動點Q（x，y）到點P的距離等于定長r，根據(jù)平面內(nèi)兩點間距離公式可得（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，這就是到定點P的距離等于定長r圓的方程．已知一次函數(shù)的y＝﹣2x+10的圖象交y軸于點A，交x軸于點B，C是線段AB上的一個動點，則當以OC為半徑的⊙C的面積最小時，⊙C的方程為（x﹣4）2+（y﹣2）2＝（2）2．解：∵一次函數(shù)的y＝﹣2x+10的圖象交y軸于點A，交x軸于點B，∴A（0，10），B（5，0），∴OA＝10，OB＝5，∴AB＝＝＝5，∵以OC為半徑的⊙C的面積最小，∴OC⊥AB，∵S△ABO＝AB?OC＝OA?OB，∴OC＝＝＝2，設C（t，﹣2t+10），則OC2＝t2+（﹣2t+10）2＝（2）2，解得：t1＝t2＝4，∴C（4，2），∴以OC為半徑的⊙C的⊙C的方程為（x﹣4）2+（y﹣2）2＝（2）2，故答案為：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝（2）2．【變2-2】．【定義】從一個已知圖形的外一點引兩條射線分別經(jīng)過該已知圖形的兩點，則這兩條射線所成的最大角稱為該點對已知圖形的視角，如圖①，∠APB是點P對線段AB的視角．【應用】（1）如圖②，在直角坐標系中，已知點A（2，），B（2，2），C（3，），則原點O對三角形ABC的視角為30°；（2）如圖③，在直角坐標系中，以原點O，半徑為2畫圓O1，以原點O，半徑為4畫圓O2，證明：圓O2上任意一點P對圓O1的視角是定值；【拓展應用】（3）很多攝影愛好者喜歡在天橋上對城市的標志性建筑拍照，如圖④．現(xiàn)在有一條筆直的天橋，標志性建筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對建筑視角為45°的位置拍攝．現(xiàn)以建筑的中心為原點建立如圖⑤的坐標系，此時天橋所在的直線的表達式為x＝﹣5，正方形建筑的邊長為4，請直接寫出直線上滿足條件的位置坐標．解：（1）延長BA交x軸于點D，過點C作CE⊥x軸于點E，∵點，，，∴AB∥y軸，，OE＝3，∴AB⊥x軸，∴，OD＝2，∴，，∴∠BOD＝60°，∠COE＝30°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COE＝30°，即原點O對三角形ABC的視角為30°過答案為：30°（2）證明：如圖，過圓O2上任一點P作圓O1的兩條切線交圓O1于A，B，連接OA，OB，OP，則有OA⊥PA，OB⊥PB，在中，OA＝2，OP＝4，∴，∴∠OPA＝30°，同理可求得：∠OPB＝30°，∴∠APB＝60°，即圓O2上任意一點P對圓O1的視角是60°，∴圓O2上任意一點P對圓O1的視角是定值．（3）當在直線AB與直線CD之間時，視角是∠APD，此時以E（﹣4，0）為圓心，EA半徑畫圓，交直線于P3，P6，∵∠DP3B＞∠DP3A＝45°，∠AP6C＞∠DP6C＝45°，不符合視角的定義，P3，P6舍去．同理，當在直線AB上方時，視角是∠BPD，此時以A（﹣2，2）為圓心，AB半徑畫圓，交直線于P1，P5，P5不滿足；過點P1作P1M⊥AD交DA延長線于點M，則AP1＝4，P1M＝5﹣2＝3，∴，∴當在直線CD下方時，視角是∠APC，此時以D（﹣2，﹣2）為圓心，DC半徑畫圓，交直線于P2，P4，P4不滿足；同理得：；綜上所述，直線上滿足條件的位置坐標或．1．如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，其中，，，，，，…的圓心依次按點A，B，C，D，E，F(xiàn)循環(huán)，其弧長分別記為l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．當AB＝1時，l2011等于（）A． B． C． D．解：l1＝＝l2＝＝l3＝＝l4＝＝按照這種規(guī)律可以得到：ln＝∴l(xiāng)2011＝．故選：B．2．已知線段AB，⊙M經(jīng)過A、B兩點，若90°≤∠AMB≤120°，則稱點M是線段AB的“好心”；⊙M上的點稱作線段AB的“閃光點”．已知A（2，0），B（6，0）．①點M（4，2）是線段AB的“好心”；②若反比例函數(shù)y＝上存在線段AB的“好心”，則≤k≤8；③線段AB的“閃光點”組成的圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；④若直線y＝x+b上存在線段AB的“閃光點”，則﹣10≤b≤2．上述說法中正確的有（）A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①②解：①如圖1，∵A（2，0），B（6，0），點M（4，2），∴AM＝BM，AC＝CM＝BC＝2，∠ACM＝90°，∴圓M經(jīng)過A、B兩點，且∠AMB＝90°，∴點M（4，2）是線段AB的“好心”，故①正確；②若反比例函數(shù)y＝上存在線段AB的“好心”，∴90°≤∠AMB≤120°，i）點M在x軸上方時，當∠AMB＝90°時，如圖1，此時點M（4，2），即M在反比例函數(shù)y＝圖象上，∴k＝2×4＝8；當∠AMB＝120°時，如圖2，過點M作MC⊥AB于C，∵AM＝MB，∴∠BAM＝30°，∵AC＝2，∴CM＝＝，∴M（4，），∵M在反比例函數(shù)y＝圖象上，∴k＝4×＝，∴≤k≤8；ii）點M在x軸的下方時，同理可得﹣8≤k≤﹣，故②不正確；③線段AB的閃光點組成的圖形如圖3所示：所以線段AB的“閃光點”組成的圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；故③正確；④當直線y＝x+b與上述兩個大圓相切時屬于臨界狀態(tài)，在兩條切線范圍內(nèi)存在“閃光點”，如圖4，設直線y＝kx+b與圓M相切于點P，則MP與之垂直，且線段BM是直徑，∵B（6，0），M（4，2），∴P（2，4），代入y＝x+b得，2+b＝4，∴b＝2；設直線y＝kx+b與圓M′相切于點H，則M′H與之垂直，且線段AH是直徑，∵A（2，0），M′（4，﹣2），∴P（6，﹣4），代入y＝x+b′得，6+b′＝﹣4，∴b′＝﹣10；綜上可知，b的取值范圍是﹣10≤b≤2，故④正確；所以上述說法中正確的有①③④．故選：B．3．我們知道沿直線前進的自行車車輪上的點既隨著自行車做向前的直線運動，又以車軸為圓心做圓周運動，如果我們仔細觀察這個點的運動軌跡，會發(fā)現(xiàn)這個點在我們眼前劃出了一道道優(yōu)美的弧線．其實，很早以前人們就對沿直線前進的馬車車輪上的點的軌跡產(chǎn)生了濃厚的研究興趣，有人認為這個軌跡是一段段周而復始的圓弧，也有人認為這個軌跡是一段段的拋物線．你認為呢？擺線（Cycloid）：當一個圓沿一條定直線做無滑動的滾動時，動圓圓周上一個定點的軌跡叫做擺線．定直線稱為基線，動圓稱為母圓，該定點稱為擺點：現(xiàn)做一個小實驗，取兩枚相同的硬幣并排排列，如果我們讓右側(cè)的硬幣繞左側(cè)硬幣做無滑動的滾動，那么：（1）當右側(cè)硬幣上接觸點A的運動軌跡大致是什么形狀？（2）當右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)到左側(cè)時，硬幣面上的圖案向還是向下？（3）當右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)回原地時，硬幣自身轉(zhuǎn)動了幾圈？（）A．一條圍繞于硬幣的封閉曲線；向上；1圈 B．一條擺線；向上；1圈 C．一條圍繞于硬幣的封閉曲線；向上；2圈 D．一條擺線；向下；2圈解：（1）根據(jù)題意中的表述，可知其運動軌跡是一條圍繞于硬幣的封閉曲線；（2）當右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)到左側(cè)時，硬幣自身轉(zhuǎn)動了1圈，故硬幣面上的圖案向上；（3）分析可得：當右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)回原地時，硬幣自身轉(zhuǎn)動2圈．故選：C．4．定義：如果P是圓O所在平面內(nèi)的一點，Q是射線OP上一點，且線段OP、OQ的比例中項等于圓O的半徑，那么我們稱點P與點Q為這個圓的一對反演點．已知點M、N為圓O的一對反演點，且點M、N到圓心O的距離分別為4和9，那么圓O上任意一點到點M、N的距離之比＝．解：由題意⊙O的半徑r2＝4×9＝36，∵r＞0，∴r＝6，當點A在NO的延長線上時，AM＝6+4＝10，AN＝6+9＝15，∴＝＝，當點A″是ON與⊙O的交點時，A″M＝2，A″N＝3，∴＝，當點A′是⊙O上異與A，A″兩點時，易證△OA′M∽△ONA′，∴＝＝＝，綜上所述，＝．故答案為：．5．如圖，在△ABC中，D，E分別是△ABC兩邊的中點，如果（可以是劣弧、優(yōu)弧或半圓）上的所有點都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱為△ABC的中內(nèi)弧，例如，圖中是△ABC其中的某一條中內(nèi)?。粼谄矫嬷苯亲鴺讼抵校阎cF（0，4），O（0，0），H（4，0），在△FOH中，M，N分別是FO，F(xiàn)H的中點，△FOH的中內(nèi)弧所在圓的圓心P的縱坐標m的取值范圍是m≤1或m≥2．解：如圖，連接MN，由垂徑定理可知，圓心P一定在線段MN的垂直平分線上，作MN的垂直平分線QP，∵M，N分別是FO，F(xiàn)H的中點，且F（0，4），O（0，0），H（4，0），∴M（0，2），N（2，2），Q（1，2），若圓心在線段MN上方時，設P（1，m）由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心P在線段MN上方射線QP上均可，∴m≥2，當圓心在線段MN下方時，∵OF＝OH，∠FOH＝90°∴∠FHO＝45°，∵MN∥OH，∴∠FNM＝∠FHO＝45°，作NG⊥FH交直線QP于G，QG＝NQ＝1，根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點G的下方（含點G）的直線QP上時也符合要求；∴m≤1，綜上所述，m≤1或m≥2，故答案為m≤1或m≥2．6．如圖（1），△ABC是正三角形，曲線DA1B1C1…叫做“正三角形ABC的漸開線”，其中，…依次連接，它們的圓心依次按A，B，C循環(huán)．則曲線CA1B1C1叫做正△ABC的1重漸開線，曲線CA1B1C1A2B2C2叫做正△ABC的2重漸開線，…，曲線CA1B1C1A2…AnBn?n叫做正△ABC的n重漸開線．如圖（2），四邊形ABCD是正方形，曲線CA1B1C1D1…叫做“正方形ABCD的漸開線”，其中…依次連接，它們的圓心依次按A，B，C，D循環(huán)．則曲線DA1B1C1D1叫做正方形ABCD的1重漸開線，…，曲線DA1B1C1D1A2…AnBn?nDn叫做正方形ABCD的n重漸開線．依次下去，可得正n形的n重漸開線（n≥3）．若AB＝1，則正方形的2重漸開線的長為18π；若正n邊形的邊長為1，則該正n邊形的n重漸開線的長為n（n2+1）π．解：若正n邊形的邊長為1，則該正n邊形的第一重漸開線長＝，二重＝+，第n重漸開線的長++…+，這是四邊形，如果是n邊形，則內(nèi)角和是（n﹣2）×180÷n，所以正n邊形的邊長為1，則該正n邊形的n重漸開線的長為2π/n（1+2+…+n）+2π/n[（n+1）+（n+2）+…+（n+n）]+…+2π/n{[（n﹣1）n+1]+[（n﹣1）n+2]+…+[（n﹣1）n+n]＝n（n2+1）π．7．一個玻璃球體近似半圓O，AB為直徑．半圓O上點C處有個吊燈EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中點為D，OA＝4．（1）如圖①，CM為一條拉線，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的長度．（2）如圖②，一個玻璃鏡與圓O相切，H為切點，M為OB上一點，MH為入射光線，NH為反射光線，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的長度．（3）如圖③，M是線段OB上的動點，MH為入射光線，∠HOM＝50°，HN為反射光線交圓O于點N，在M從O運動到B的過程中，求N點的運動路徑長．解：（1）∵OM＝1.6，DF＝0.8，EF∥AB，∴DF是△COM的中位線，∴點D是OC的中點，∵OC＝OA＝4，∴CD＝2；（2）如圖②，過點N作ND⊥OH于點D，∵∠OHN＝45°，∴△NHD是等腰直角三角形，∴ND＝HD，∵tan∠COH＝，∠NDO＝90°，∴＝，設ND＝3x＝HD，則OD＝4x，∵OH＝OA＝4，∴OH＝3x+4x＝4，∴x＝，∴ND＝×3＝，OD＝×4＝，∴ON＝＝；（3）如圖，當點M與點O重合時，點N也與點O重合，當點M運動至點B時，點N運動至點T，故點N的運動路徑長為OA+的長，∵∠HOM＝50°，OH＝OB，∴∠OHB＝∠OBH＝65°，∵∠OHM＝∠OHT，OH＝OT，∴∠OTH＝∠OHT＝65°，∴∠TOH＝50°，∴∠AOT＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴的長＝＝π，∴點N的運動路徑長＝4+π．8．我們不妨定義：有兩邊之比為1：的三角形叫敬“勤業(yè)三角形”．（1）下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是③④；（填序號）①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三角形．（2）如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC為直徑，D為AB上一點，且BD＝2AD，作DE⊥OA，交線段OA于點F，交⊙O于點E，連接BE交AC于點G．試判斷△AED和△ABE是否是“勤業(yè)三角形”？如果是，請給出證明，并求出的值；如果不是，請說明理由；（3）如圖2，在（2）的條件下，當AF：FG＝2：3時，求∠BED的余弦值．解：①等邊三角形各邊的比值為1，故等邊三角形不是“勤業(yè)三角形“；②等腰直角三角形兩直角邊的比值為1，直角邊與斜邊的比為1：，故等腰直角三角形不是“勤業(yè)三角形”；③設含30角的直角三角形的最短邊長為a，則斜邊長為2a，另一條直角邊長為a，a：a＝1：，故含30°角的直角三角形是“勤業(yè)三角形“；④如圖：△ABC中，AB＝AC，∠a＝120°，過點A作AD⊥BC于點D，∴∠B＝∠C＝30°，設AD＝a，則AB＝AC＝2a，BD＝DC＝a，∴BC＝2a，∴AB：BC＝AC：BC＝1：，∴含120°角的等腰三角形是“勤業(yè)三角形”，故答案為：③④；（2）解：△AED和△ABE都是“勤業(yè)三角形”，證明如下：如圖：連接OE，設∠ABE＝α，∴∠AOE＝2∠ABE＝2α，∵OA＝OE，∴∠OAE＝（180°﹣∠AOE）＝（180°﹣2a）＝90°﹣α，又∵DE⊥AC，∴∠AED+∠OAE＝90°，即∠AED+90°﹣α＝90°，∴∠AED＝∠ABE＝α，又∵∠EAD＝∠BAE，∴△ADE∽△AEB，∴，AE2＝AD?AB，∵BD＝2AD，∴AD＝AB，∴，AE2＝3AD2，∴，，∴△AED和△ABE都是“勤業(yè)三角形“，∴；（3）解：如圖：過點G作GI∥AB交DE于點I，∴△FGI∽△FAD，△EIG∽△EDB，∴，，∴GI＝AD，∵BD＝2AD，∴，∴，設EG＝3a，EB＝4a，由（2）知，，∴ED＝a，∴E1＝ED＝a，DI＝ED﹣E1＝，∴IF＝，∴EF＝EI+IF＝a+＝，在Rt△EFG中，cos∠FEG＝，即cos∠BED＝．9．對于平面內(nèi)的兩點K、L，作出如下定義：若點Q是點L繞點K旋轉(zhuǎn)所得到的點，則稱點Q是點L關于點K的旋轉(zhuǎn)點；若旋轉(zhuǎn)角小于90°，則稱點Q是點L關于點K的銳角旋轉(zhuǎn)點．如圖1，點Q是點L關于點K的銳角旋轉(zhuǎn)點．（1）已知點A（4，0），在點Q1（0，4），Q2（2，），Q3（﹣2，），Q4（，﹣2）中，是點A關于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點的是Q2，Q4．（2）已知點B（5，0），點C在直線y＝2x+b上，若點C是點B關于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點，求實數(shù)b的取值范圍．（3）點D是x軸上的動點，D（t，0），E（t﹣3，0），點F（m，n）是以D為圓心，3為半徑的圓上一個動點，且滿足n≥0．若直線y＝2x+6上存在點F關于點E的銳角旋轉(zhuǎn)點，請直接寫出t的取值范圍．解：（1）如圖，∵A（4，0），Q1（0，4），∴OA＝OQ1＝4，∠AOQ1＝90°，∴點Q1不是點A關于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點；∵Q2（2，），作Q2F⊥x軸于點F，∴OQ2＝＝＝4＝OA，∵tan∠Q2OF＝＝，∴∠Q2OF＝60°，∴點Q2是點A關于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點；∵Q3（﹣2，），作Q3G⊥x軸于點G，則tan∠Q3OG＝＝＝，∴∠Q3OG＝60°，∴OQ3＝＝＝4＝OA，∵∠AOQ3＝180°﹣60°＝120°，∴Q3不是點A關于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點；∵Q4（，﹣2），作Q4H⊥x軸于點H，則tan∠Q4OH＝＝＝1，∴∠Q4OH＝45°，∵OQ4＝＝＝4＝OA，∴Q4是點A關于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點；綜上所述，在點Q1，Q2，Q3，Q4中，是點A關于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點的是Q2，Q4，故答案為：Q2，Q4．（2）在y軸上取點P（0，5），當直線y＝2x+b經(jīng)過點P時，可得b＝5，當直線y＝2x+b經(jīng)過點B時，則2×5+b＝0，解得：b＝﹣10，∴當﹣10＜b＜5時，OB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)銳角時，點C一定可以落在某條直線y＝2x+b上，過點O作OG⊥直線y＝2x+b，垂足G在第四象限時，如圖，則OT＝﹣b，OS＝﹣b，∴ST＝＝＝﹣b，當OG＝5時，b取得最小值，∵5×（﹣b）＝﹣b×（﹣b），∴b＝﹣5，∴﹣5≤b＜5．（3）根據(jù)題意，點F關于點E的銳角旋轉(zhuǎn)點在半圓E上，設點P在半圓S上，點Q在半圓T上（將半圓D繞點E旋轉(zhuǎn)），如圖3（1），半圓掃過的區(qū)域為圖3（1）中陰影部分，如圖3（2）中，陰影部分與直線y＝2x+6相切于點G，tan∠EMG＝2，SG＝3，過點G作GI⊥x軸于點I，過點S作SJ⊥GI于點J，∴∠SGJ＝∠EMG，∴tan∠SGJ＝tan∠EMG＝2，∴GJ＝，SJ＝，∴GI＝GJ+JI＝3+，∴MI＝GI＝+，∴OE＝IE+MI﹣OM＝﹣，即xE＝t﹣3＝﹣，解得t＝+，如圖3（3）中，陰影部分與HK相切于點G，tan∠OMK＝tan∠EMH＝2，EH＝6，則MH＝3，EM＝3，∴xE＝t﹣3＝﹣3﹣3，解得t＝﹣3，觀察圖象可知，﹣3≤t＜3++．10．在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的頂點分別為A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0）．對于圖形M，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為正方形ABCD邊上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最大值，那么稱這個最大值為圖形M的“正方距”，記作d（M）．已知點E（3，0）．①直接寫出d（點E）的值；②過點E畫直線y＝kx﹣3k與y軸交于點F，當d（線段EF）取最小值時，求k的取值范圍；③設T是直線y＝﹣x+3上的一點，以T為圓心，長為半徑作⊙T．若d（⊙T）滿足d（⊙T）＞+，直接寫出圓心T的橫坐標x的取值范圍．解：①∵E（3，0），B（﹣1，0），∴d（點E）＝BE＝4；②∵d（線段EF）取最小值，∴d（線段EF）的最小值＝d（點E）＝4，∴d（點F）≤4，當d（點F）＝4時，F(xiàn)（0，3）或（0，﹣3），當F（0，3）時，k＝﹣1，當F（0，﹣3）時，k＝1，∴﹣1≤k≤1；③由②可知，d（點E）＝d（點F）＝4＜，∴D點T在第二象限或第四象限，設T（x，﹣x+3），當T點在第二象限時，TC＝時，x2+（﹣x+3+1）2＝，解得x＝2﹣或x＝2+（舍）；當T點在第四象限時，TB＝時，（x+1）2+（﹣x+3）2＝，解得x＝1+或x＝1﹣（舍）；∵d（⊙T）＞+，∴x＞1+或x＜2﹣．11．【概念認識】與矩形一邊相切（切點不是頂點）且經(jīng)過矩形的兩個頂點的圓叫做矩形的第Ⅰ類圓；與矩形兩邊相切（切點都不是頂點）且經(jīng)過矩形的一個頂點的圓叫做矩形的第Ⅱ類圓．【初步理解】（1）如圖①～③，四邊形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都與邊AD相切，⊙O2與邊AB相切，⊙O1和⊙O3都經(jīng)過點B，⊙O3經(jīng)過點D，3個圓都經(jīng)過點C．在這3個圓中，是矩形ABCD的第Ⅰ類圓的是①，是矩形ABCD的第Ⅱ類圓的是②．【計算求解】（2）已知一個矩形的相鄰兩邊的長分別為4和6，直接寫出它的第Ⅰ類圓和第Ⅱ類圓的半徑長．【深入研究】（3）如圖④，已知矩形ABCD，用直尺和圓規(guī)作圖．（保留作圖痕跡，并寫出必要的文字說明）①作它的1個第Ⅰ類圓；②作它的1個第Ⅱ類圓．解：（1）由定義可得，①的矩形有一條邊AD與⊙O1相切，點B、C在圓上，∴①是第Ⅰ類圓；②的矩形有兩條邊AD、AB與⊙O2相切，點C在圓上，∴②是第Ⅱ類圓；故答案為：①，②；（2）如圖1，設AD＝6，AB＝4，切點為E，過點O作EF⊥BC交BC于F，交AD于E，連接BO，設BO＝r，則OE＝r，OF＝4﹣r，由垂徑定理可得，BF＝CF＝3，在Rt△BOF中，r2＝（4﹣r）2+32，解得r＝；如圖2，設AD＝4，BC＝6，切點為E，過點O作EF⊥BC交BC于F，交AD于E，連接BO，設BO＝r，則OE＝r，OF＝6﹣r，由垂徑定理可得，BF＝CF＝2，在Rt△BOF中，r2＝（6﹣r）2+22，解得r＝；綜上所述：第Ⅰ類圓的半徑是或；如圖3，AD＝6，AB＝4，過點O作MN⊥AD交于點M，交BC于點N，連接OC，設AB邊與⊙O的切點為G，連接OG，∴GO⊥AB，設OM＝r，則OC＝r，則ON＝4﹣r，∵OG＝r，∴BN＝r，∴NC＝6﹣r，在Rt△OCN中，r2＝（4﹣r）2+（6﹣r）2，解得r＝10﹣4，∴第Ⅱ類圓的半徑是10﹣4；（3）①如圖4，第一步，作線段AD的垂直平分線交AD于點E，第二步，連接EC，第三步，作EC的垂直平分線交EF于點O，第四步，以O為圓心，EO為半徑作圓，∴⊙O即為所求第Ⅰ類圓；②如圖5，第一步：作∠BAD的平分線；第二步：在角平分線上任取點E，過點E作EF⊥AD，垂足為點F；第三步：以點E為圓心，EF為半徑作圓E，交AC于點G，連接FG；第四步：過點C作CH∥FG，CH交AD于點H；第五步：過點H作AD的垂線，交∠BAD的平分線于點O；第六步：以點O為圓心，OH為半徑的圓，⊙O即為所求第Ⅱ類圓．12．在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，已知點A，過點A作直線MN．對于點A和直線MN，給出如下定義：若將直線MN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，直線MN與⊙O有兩個交點時，則稱MN是⊙O的“雙關聯(lián)直線”，與⊙O有一個交點P時，則稱MN是⊙O的“單關聯(lián)直線”，AP是⊙O的“單關聯(lián)線段”．（1）如圖1，A（0，4），當MN與y軸重合時，設MN與⊙O交于C，D兩點．則MN是⊙O的“雙關聯(lián)直線”（填“雙”或“單”）；的值為或；（2）如圖2，點A為直線y＝﹣3x+4上一動點，AP是⊙O的“單關聯(lián)線段”．①求OA的最小值；②直接寫出△APO面積的最小值．解：（1）當MN與y軸重合時，∵MN與⊙O交于C，D兩點，∴根據(jù)⊙O的“雙關聯(lián)直線”的定義可知：MN是⊙O的“雙關聯(lián)直線”；當點C在y軸的正半軸時，AC＝3，AD＝5，∴＝；當點D在y軸的正半軸時，AD＝3，AC＝5，∴，綜上，的值為：或，故答案為：雙；或；（2）①過點O作OA垂直于直線y＝﹣3x+4于點A，如圖，因為垂線段最短，則此時OA最小，設直線y＝﹣3x+4與y軸交于點M，與x軸交于點N，令x＝0，則y＝4，∴M（0，4），∴OM＝4，令y＝0，則﹣3x+4＝0，∴x＝，∴N（，0），∴ON＝，∴MN＝＝．∵OM?ON＝OA?MN，∴4×＝×OA，∴OA＝．②△APO的面積最小值為．理由：∵AP是⊙O的“單關聯(lián)線段”，∴AP與⊙O相切于點P，則OP⊥OA，即△APO為直角三角形，由于△APO的一個直角邊為1，當OA最小時，△APO的面積最小，∴當OA垂直于直線y＝﹣3x+4于點A時，△APO的面積最小．連接OP，如圖，由題意：AP為⊙O的切線，∴AP⊥OP，∴AP＝＝，∴△APO的面積最小值為×1＝．13．在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，A為任意一點，B為⊙O上任意一點．給出如下定義：記A，B兩點間的距離的最小值為p（規(guī)定：點A在⊙O上時，p＝0），最大值為q，那么把的值稱為點A與⊙O的“關聯(lián)距離”，記作d（A，⊙O）．（1）如圖，點D，E，F(xiàn)的橫、縱坐標都是整數(shù)．①d（D，⊙O）＝2；②若點M在線段EF上，求d（M，⊙O）的取值范圍；（2）若點N在直線y＝上，直接寫出d（N，⊙O）的取值范圍；（3）正方形的邊長為m，若點P在該正方形的邊上運動時，滿足d（P，⊙O）的最小值為1，最大值為，直接寫出m的最小值和最大值．解：（1）①∵D（0，2）到⊙O的距離的最小值p＝1，最大值q＝3，∴d（D，⊙O）＝＝2，故答案為：2；②當M在點E處，d（E，⊙O）＝2，當M在點F處，d（F，⊙O）＝＝3，∴2≤d（M，⊙O）≤3；（2）設ON＝d，∴p＝d﹣r＝d﹣1，q＝d+r＝d+1，∴d（N，⊙O）＝＝＝d，∵點N在直線y＝上，設直線交x軸于點B，交y軸于點A，如圖1，則x＝0時，y＝2，y＝0時，x＝﹣2，∴A（0，2），B（﹣2，0），∴OA＝2，OB＝2，∴AB＝＝4，當ON⊥AB時，d（N，⊙O）最小，∴S△AOB＝OA?OB＝AB?ON，即×2×2＝×4ON，∴ON＝，∵ON無最大值，∴d（N，⊙O）≥；（3）如圖2，∵d（P，⊙O）的最小值為1，最大值為，∴兩個同心圓中，小圓的半徑為1，大圓的半徑為，∵KL＝﹣1，∴m的最小值是＝﹣，在Rt△OMH中，OM＝，OH＝m﹣1，MH＝m，∴（m﹣1）2+（m）2＝（）2，解得：m＝﹣2（舍去）或m＝；∴m的最小值為﹣，最大值為．14．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A與點B的坐標分別是（1，0），（7，0）．（1）對于坐標平面內(nèi)的一點P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，那么稱點P為線段AB的“完美點”．①設A、B、P三點所在圓的圓心為C，則點C的坐標是（4，3），⊙C的半徑是3；②y軸正半軸上是否有線段AB的“完美點”？如果有，求出“完美點”的坐標；如果沒有，請說明理由；（2）若點P在y軸負半軸上運動，則當∠APB的度數(shù)最大時，點P的坐標為（0，﹣）．解：（1）①∵點A與點B的坐標分別是（1，0），（7，0），∴OA＝1，OB＝7．∴AB＝6．過點C作CD⊥AB于點D，如圖，則AD＝BD＝AB＝3．∴OD＝AO+AD＝4．∵∠APB＝45°，∴∠ACB＝2∠APB＝90°，．∵CD⊥AB，CA＝CB，∴CD＝AB＝3．∴C（4，3）．∴AC＝，∴⊙C的半徑是3．故答案為：（4，3）；3；②y軸正半軸上有線段AB的“完美點”，理由：設⊙C交y軸于點D，E，連接CD，CE，過點C作CG⊥CD于點G，CF⊥AB于點F，如圖，則∠AEB＝∠ADB＝∠APB＝45°．∴D，E為y軸正半軸上線段AB的“完美點”．則EG＝DG＝DE，CD＝CE＝3．∵CG⊥DE，CF⊥AB，∠O＝90°，∴四邊形OFCG為矩形．∴CG＝OF＝4，OG＝CF＝3．在Rt△CGE中，∵EG2＝CE2﹣CG2，∴EG＝＝．∴GE＝DG＝．∴OE＝OG﹣GE＝3﹣，OD＝OG+DG＝3+．∴E（0，3﹣），D（0，3+）．∴y軸正半軸上有線段AB的“完美點”，“完美點”的坐標為（0，3+）或（0，3﹣）；（2）設⊙C與y軸負半軸切于點P，在y軸負半軸上任取一點Q（與點P不重合），連接BQ，AQ，BQ與⊙C交于點D，連接AD，如圖，則∠APB＝∠ADB，∵∠ADB＞∠AQB，∴∠APB＞∠AQB．∴當P運動到⊙C與y軸相切時，∠APB的度數(shù)最大．連接PC并延長交⊙C于點E，連接AE，如圖，∵OP是⊙C的切線，∴CP⊥OP，∴∠OPA+∠ABE＝90°．∵PE為⊙C的直徑，∴∠PAE＝90°，∴∠APE+∠E＝90°，∴∠OPA＝∠E，∴∠E＝∠OBP，∴∠OPA＝∠OPB，∵∠AOP＝∠POB＝90°，∴△OAP∽△OPB，∴，∴OP2＝OA?OB．∴OP＝．∴P（0，﹣）．故答案為（0，﹣）．15．定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線相切的圓稱為這個三角形的切圓，相切的邊稱為這個圓的切邊．（1）如圖1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，點O在AC邊上，以OC為半徑的⊙O恰好經(jīng)過點B，求證：⊙O是△ABC的切圓．（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圓，且另外兩條邊都是⊙O的切邊，求⊙O的半徑．（3）如圖3，△ABC中，以AB為直徑的⊙O恰好是△ABC的切圓，AC是⊙O的切邊，⊙O與BC交于點F，取弧BF的中點D，連接AD交BC于點E，過點E作EH⊥AB于點H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的長．（1）證明：連接OB，如圖，∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠A＝∠C＝30°．∴∠CAB＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C＝30°．∴∠OBA＝∠CBA﹣∠OBC＝90°．即OB⊥BA．∵OB是圓的半徑，∴AB與⊙O相切．∵圓心O在AC邊上，∴⊙O是△ABC的切圓；（2）解：①當圓心O在BC邊上，⊙O與AB，AC邊相切于點M，N時，連接OA，OM，ON，如圖，∵AB，AC是⊙O的切線，∴OM⊥AB，ON⊥AC，AO平分∠BAC．∵AB＝AC，∴AO⊥BC，OB＝OC＝BC＝3．∵AO⊥BO，OM⊥AB，∴△BOM∽△BAO．∴．∴．∴BM＝．∴OM＝＝；②當圓心O在AC邊上，⊙O與AB，BC邊相切于點M，N時，連接OM，ON，BO，過點A作AH⊥BC于點H，如圖，設OM＝ON＝r，∵AB，BC是⊙O的切線，∴OM⊥AB，ON⊥BC．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝3，∴AH＝＝4．∴×BC?AH＝×6×4＝12．∵S△ABC＝S△ABO+S△CBO，∴×AB?r+×BC?r＝12．∴＝12．∴r＝．綜上，⊙O的半徑為或；（3）解：連接AF，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴AF⊥BC．∵⊙O是△ABC的切圓，AC是⊙O的切邊，∴AB⊥AC．∴△ACF∽△BAF．∴．∴．∴AF＝4．∴AC＝＝12，AB＝＝6．∵D是弧BF的中點，∴∠FAD＝∠BAD．∴＝．設FE＝2k，則BE＝3k，∵BF＝FE+BE＝10，∴2k+3k＝10．∴k＝2．∴EF＝4，BE＝6．∵EH⊥AB，AC⊥AB，∴EH∥AC．∴．∴．∴EH＝4．16．在平面直角坐標系xOy中，對于直線l：y＝kx+b，給出如下定義：若直線l與某個圓相交，則兩個交點之間的距離稱為直線l關于該圓的“圓截距”．（1）如圖1，⊙O的半徑為1，當k＝1，b＝1時，直接寫出直線l關于⊙O的“圓截距”；（2）點M的坐標為（1，0），①如圖2，若⊙M的半徑為1，當b＝1時，直線l關于⊙M的“圓截距”小于，求k的取值范圍；②如圖3，若⊙M的半徑為2，當k的取值在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，直線l關于⊙M的“圓截距”的最小值2，直接寫出b的值．解：（1）∵k＝1，b＝1，∴直線l的解析式為y＝x+1，設直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，則A（﹣1，0），B（0，1），∴AB＝＝，即直線l關于⊙O的“圓截距”為；（2）①如圖2，設直線與y正半軸交點為P，且P（0，1），∵點M的坐標為（1，0），⊙M的半徑為1，∴圓與x軸正半軸交點為Q（2，0），當b＝1時，直線l的解析式為y＝kx+1，當直線經(jīng)過點Q時，2k+1＝0，解得k＝﹣；過點M作MF⊥PQ，垂足為F，∵OP＝1，OQ＝2，∴PQ＝，∴sin∠PQO＝，∵MQ＝1，sin∠PQO＝，∴MF＝，QF＝，設直線PQ與圓M的另一個交點為C，則QC＝2QF＝，∵關于⊙M的“圓截距”小于，∴k的取值范圍是﹣＜k＜0；設直線PM與圓的交點為N，∵點P（0，1），點M的坐標為（1，0），∴OP＝OM，∴∠PMO＝45°，∴∠QMN＝45°，根據(jù)圓的對稱性，直線PQ和直線PD關于直線PN對稱，此時ED＝CB，∴∠DMN＝45°，∴∠DMQ＝90°，∴D的坐標為（1，﹣1），∴k+1＝﹣1，解得k＝﹣2，∴直線PD的解析式為y＝﹣2x+1，關于⊙M的“圓截距”小于，k的取值范圍是k＜﹣2；綜上，k的取值范圍是k＜﹣2或﹣＜k＜0．②當k的取值在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，直線l關于⊙M的“圓截距”的最小值2，設直線與y軸交點為Q（0，m），則過Q點的“圓截距”的最小值2，如下圖，即RT＝2，MQ⊥RT，由題知，△RMT為等邊三角形，∴∠MRQ＝60°，∴QM＝2×sin60°＝，由勾股定理得，OQ＝＝，根據(jù)圖形的對稱性可知，b的值為．17．對于⊙C與⊙C上一點A，若平面內(nèi)的點P滿足：射線AP與⊙C交于點Q，且PA＝2QA，則稱點P為點A關于⊙C的“倍距點”．已知平面直角坐標系xOy中，點A的坐標是（﹣，0）．（1）如圖1，點O為坐標原點，⊙O的半徑是，點P是點A關于⊙O的“倍距點”．①若點P在x軸正半軸上，直接寫出點P的坐標是（3，0）；②若點P在第一象限，且∠PAO＝30°，求點P的坐標；（2）設點T（t，0），以點T為圓心，TA長為半徑作⊙T，一次函數(shù)y＝x+4的圖象分別與x軸、y軸交于D、E，若一次函數(shù)y＝x+4的圖象上存在唯一一點P，使點P是點A關于⊙T的“倍距點”，求t的值．解：（1）①P在x軸正半軸時，如圖1，設點Q為⊙O與x軸正半軸的交點，∵點O為坐標原點，⊙O的半徑是，點P是點A關于⊙O的“倍距點”，∴AQ＝2，PA＝2QA＝4，∴點P離開原點O的距離＝4＝3，∴點P的坐標是（3，0），故答案為：（3，0）；②若∠PAO＝30°時，如圖2，作QM⊥x軸于M，PN⊥x軸于N，連接OQ，∴∠QMA＝∠PNA＝90°，∵∠PAO＝∠PAO，∴△AQM∽△APN，∴，∵點O為坐標原點，⊙O的半徑是，點P是點A關于⊙O的“倍距點”，PA＝2QA，∴OA＝OQ＝，，∴∠AQO＝∠PAO＝30°，∴∠QOM＝60°，∴∠OQM＝30°，在Rt△OQM中，OQ＝，∠OQM＝30°，∴QM＝OQ?cos∠OQM＝?cos30°＝，OM＝OQ?sin∠OQM＝?sin30°＝，∴AM＝OA+OM＝，∴由比例式得：AN＝3，PN＝3，∴ON＝AN﹣AO＝3﹣＝2，∴P（2，3）；（2）存在符合條件的點P．如圖3，∵一次函數(shù)y＝x+4的圖象分別與x軸、y軸交于D、E，∴令y＝0，則x+4＝0，令x＝0，則y＝4，解得x＝﹣4，∴D（﹣4，0），E（0，4），∴OD＝4，OE＝4，∵y軸⊥x軸，∴∠EOD＝90°，∴tan∠EDO＝＝＝，∴∠EDO＝30°，取AD的中點G（，0），過點G作GH∥DE交y軸于點H，則直線GH的解析式為y＝x+，當⊙T與直線GH相切時，一次函數(shù)y＝x+4的圖象上存在唯一一點P，使點P是點A關于⊙T的“倍距點”，設切點為L1或L2，連接T1L1，T2L2，則∠GL1T1＝∠GL2T2＝90°，∵GH∥DE，∴∠OGH＝∠EDO＝30°，∴AT1＝L1T1＝GT1，L2T2＝GT2，AT2＝L2T2，∵AT1＝﹣﹣t，AT2＝t+，GT1＝t+，GT2＝t+，∴﹣﹣t＝×（t+）或t+＝×（t+），解得：t＝﹣或．18．類比學習：我們已經(jīng)知道，頂點在圓上，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如圖1，∠APB就是圓周角，弧AB是∠APB所夾的弧．類似的，我們可以把頂點在圓外，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓外角，如圖2，∠APB就是圓外角，弧AB和弧CD是∠APB所夾的弧，新知探索：圖（2）中，弧AB和弧CD度數(shù)分別為80°和30°，∠APB＝25°，歸納總結：（1）圓周角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半；（2）圓外角的度數(shù)等于所夾兩弧的度數(shù)差的一半．新知應用：直線y＝﹣x+m與直線y＝x+2相交于y軸上的點C，與x軸分別交于點A、B．經(jīng)過A、B、C三點作⊙E，點P是第一象限內(nèi)⊙E外的一動點，且點P與圓心E在直線AC的同一側(cè)，直線PA、PC分別交⊙E于點M、N，設∠APC＝θ．①求A點坐標；②求⊙E的直徑；③連接MN，求線段MN的長度（可用含θ的三角函數(shù)式表示）．解：新知探索：∵弧AB和弧CD度數(shù)分別為80°和30°，∴∠BDA＝40°，∠DAC＝15°，∴∠APB＝∠BDA﹣∠DAC＝15°，故答案為：25；歸納總結：（2）根據(jù)上面所求可以得出：圓外角的度數(shù)等于所夾兩弧的度數(shù)差的一半，故答案為：所夾兩弧的度數(shù)差的一半；新知應用：①直線y＝﹣x+2中令x＝0，解得y＝2，因而C點的坐標是（0，2），把（0，2）代入直線y＝﹣x+m，解得m＝2，∴解析式是y＝﹣x+2，令y＝0，解得x＝2，則A點的坐標是（2，0），②在y＝﹣x+2中令y＝0，解得x＝2，則B的坐標是（2，0）；根據(jù)A、B、C的坐標得到OC＝2，OA＝2，OB＝2，根據(jù)三角函數(shù)得到：tan∠CBO＝＝