2025《初中數(shù)學(xué)》專題突破專題74 圓中的新定義問題（含答案及解析）

例題精講例題精講【例1】．如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEF…叫做“正三角形的漸開線”，其中弧CD、弧DE、弧EF的圓心依次按A、B、C…循環(huán)，它們依次相連接．若AB＝1，則曲線CDEF的長是．變式訓(xùn)練【變1-1】．對于平面圖形A，如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圓形A被這個圓“覆蓋”．例如圖中的三角形被一個圓“覆蓋”．如果邊長為1的正六邊形被一個半徑長為R的圓“覆蓋”，那么R的取值范圍為．

【變1-2】．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P（a，b）和正實數(shù)k，給出如下定義：當(dāng)ka2+b＞0時，以點P為圓心，ka2+b為半徑的圓，稱為點P的“k倍雅圓”例如，在圖1中，點P（1，1）的“1倍雅圓”是以點P為圓心，2為半徑的圓．（1）在點P1（3，1），P2（1，﹣2）中，存在“1倍雅圓”的點是．該點的“1倍雅圓”的半徑為．（2）如圖2，點M是y軸正半軸上的一個動點，點N在第一象限內(nèi)，且滿足∠MON＝30°，試判斷直線ON與點M的“2倍雅圓”的位置關(guān)系，并證明；（3）如圖3，已知點A（0，3），B（﹣1，0），將直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l．①當(dāng)點C在直線l上運(yùn)動時，若始終存在點C的“k倍雅圓”，求k的取值范圍；②點D是直線AB上一點，點D的“倍雅圓”的半徑為R，是否存在以點D為圓心，為半徑的圓與直線l有且只有1個交點，若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【例2】．我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，點A，B，C，D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點，已知點D的坐標(biāo)為（0，﹣3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為2．開動腦筋想一想，經(jīng)過點D的“蛋圓”切線的解析式為___________變式訓(xùn)練【變2-1】．已知定點P（a，b），且動點Q（x，y）到點P的距離等于定長r，根據(jù)平面內(nèi)兩點間距離公式可得（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，這就是到定點P的距離等于定長r圓的方程．已知一次函數(shù)的y＝﹣2x+10的圖象交y軸于點A，交x軸于點B，C是線段AB上的一個動點，則當(dāng)以O(shè)C為半徑的⊙C的面積最小時，⊙C的方程為．

【變2-2】．【定義】從一個已知圖形的外一點引兩條射線分別經(jīng)過該已知圖形的兩點，則這兩條射線所成的最大角稱為該點對已知圖形的視角，如圖①，∠APB是點P對線段AB的視角．【應(yīng)用】（1）如圖②，在直角坐標(biāo)系中，已知點A（2，），B（2，2），C（3，），則原點O對三角形ABC的視角為；（2）如圖③，在直角坐標(biāo)系中，以原點O，半徑為2畫圓O1，以原點O，半徑為4畫圓O2，證明：圓O2上任意一點P對圓O1的視角是定值；【拓展應(yīng)用】（3）很多攝影愛好者喜歡在天橋上對城市的標(biāo)志性建筑拍照，如圖④．現(xiàn)在有一條筆直的天橋，標(biāo)志性建筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對建筑視角為45°的位置拍攝．現(xiàn)以建筑的中心為原點建立如圖⑤的坐標(biāo)系，此時天橋所在的直線的表達(dá)式為x＝﹣5，正方形建筑的邊長為4，請直接寫出直線上滿足條件的位置坐標(biāo)．1．如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，其中，，，，，，…的圓心依次按點A，B，C，D，E，F(xiàn)循環(huán)，其弧長分別記為l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．當(dāng)AB＝1時，l2011等于（）A． B． C． D．2．已知線段AB，⊙M經(jīng)過A、B兩點，若90°≤∠AMB≤120°，則稱點M是線段AB的“好心”；⊙M上的點稱作線段AB的“閃光點”．已知A（2，0），B（6，0）．①點M（4，2）是線段AB的“好心”；②若反比例函數(shù)y＝上存在線段AB的“好心”，則≤k≤8；③線段AB的“閃光點”組成的圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；④若直線y＝x+b上存在線段AB的“閃光點”，則﹣10≤b≤2．上述說法中正確的有（）A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①②3．我們知道沿直線前進(jìn)的自行車車輪上的點既隨著自行車做向前的直線運(yùn)動，又以車軸為圓心做圓周運(yùn)動，如果我們仔細(xì)觀察這個點的運(yùn)動軌跡，會發(fā)現(xiàn)這個點在我們眼前劃出了一道道優(yōu)美的弧線．其實，很早以前人們就對沿直線前進(jìn)的馬車車輪上的點的軌跡產(chǎn)生了濃厚的研究興趣，有人認(rèn)為這個軌跡是一段段周而復(fù)始的圓弧，也有人認(rèn)為這個軌跡是一段段的拋物線．你認(rèn)為呢？擺線（Cycloid）：當(dāng)一個圓沿一條定直線做無滑動的滾動時，動圓圓周上一個定點的軌跡叫做擺線．定直線稱為基線，動圓稱為母圓，該定點稱為擺點：現(xiàn)做一個小實驗，取兩枚相同的硬幣并排排列，如果我們讓右側(cè)的硬幣繞左側(cè)硬幣做無滑動的滾動，那么：（1）當(dāng)右側(cè)硬幣上接觸點A的運(yùn)動軌跡大致是什么形狀？（2）當(dāng)右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)到左側(cè)時，硬幣面上的圖案向還是向下？（3）當(dāng)右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)回原地時，硬幣自身轉(zhuǎn)動了幾圈？（）A．一條圍繞于硬幣的封閉曲線；向上；1圈 B．一條擺線；向上；1圈 C．一條圍繞于硬幣的封閉曲線；向上；2圈 D．一條擺線；向下；2圈4．定義：如果P是圓O所在平面內(nèi)的一點，Q是射線OP上一點，且線段OP、OQ的比例中項等于圓O的半徑，那么我們稱點P與點Q為這個圓的一對反演點．已知點M、N為圓O的一對反演點，且點M、N到圓心O的距離分別為4和9，那么圓O上任意一點到點M、N的距離之比＝．5．如圖，在△ABC中，D，E分別是△ABC兩邊的中點，如果（可以是劣弧、優(yōu)弧或半圓）上的所有點都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱為△ABC的中內(nèi)弧，例如，圖中是△ABC其中的某一條中內(nèi)?。粼谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知點F（0，4），O（0，0），H（4，0），在△FOH中，M，N分別是FO，F(xiàn)H的中點，△FOH的中內(nèi)弧所在圓的圓心P的縱坐標(biāo)m的取值范圍是．6．如圖（1），△ABC是正三角形，曲線DA1B1C1…叫做“正三角形ABC的漸開線”，其中，…依次連接，它們的圓心依次按A，B，C循環(huán)．則曲線CA1B1C1叫做正△ABC的1重漸開線，曲線CA1B1C1A2B2C2叫做正△ABC的2重漸開線，…，曲線CA1B1C1A2…AnBn?n叫做正△ABC的n重漸開線．如圖（2），四邊形ABCD是正方形，曲線CA1B1C1D1…叫做“正方形ABCD的漸開線”，其中…依次連接，它們的圓心依次按A，B，C，D循環(huán)．則曲線DA1B1C1D1叫做正方形ABCD的1重漸開線，…，曲線DA1B1C1D1A2…AnBn?nDn叫做正方形ABCD的n重漸開線．依次下去，可得正n形的n重漸開線（n≥3）．若AB＝1，則正方形的2重漸開線的長為18π；若正n邊形的邊長為1，則該正n邊形的n重漸開線的長為．7．一個玻璃球體近似半圓O，AB為直徑．半圓O上點C處有個吊燈EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中點為D，OA＝4．（1）如圖①，CM為一條拉線，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的長度．（2）如圖②，一個玻璃鏡與圓O相切，H為切點，M為OB上一點，MH為入射光線，NH為反射光線，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的長度．（3）如圖③，M是線段OB上的動點，MH為入射光線，∠HOM＝50°，HN為反射光線交圓O于點N，在M從O運(yùn)動到B的過程中，求N點的運(yùn)動路徑長．

8．我們不妨定義：有兩邊之比為1：的三角形叫敬“勤業(yè)三角形”．（1）下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是；（填序號）①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三角形．（2）如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC為直徑，D為AB上一點，且BD＝2AD，作DE⊥OA，交線段OA于點F，交⊙O于點E，連接BE交AC于點G．試判斷△AED和△ABE是否是“勤業(yè)三角形”？如果是，請給出證明，并求出的值；如果不是，請說明理由；（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)AF：FG＝2：3時，求∠BED的余弦值．

9．對于平面內(nèi)的兩點K、L，作出如下定義：若點Q是點L繞點K旋轉(zhuǎn)所得到的點，則稱點Q是點L關(guān)于點K的旋轉(zhuǎn)點；若旋轉(zhuǎn)角小于90°，則稱點Q是點L關(guān)于點K的銳角旋轉(zhuǎn)點．如圖1，點Q是點L關(guān)于點K的銳角旋轉(zhuǎn)點．（1）已知點A（4，0），在點Q1（0，4），Q2（2，），Q3（﹣2，），Q4（，﹣2）中，是點A關(guān)于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點的是．（2）已知點B（5，0），點C在直線y＝2x+b上，若點C是點B關(guān)于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點，求實數(shù)b的取值范圍．（3）點D是x軸上的動點，D（t，0），E（t﹣3，0），點F（m，n）是以D為圓心，3為半徑的圓上一個動點，且滿足n≥0．若直線y＝2x+6上存在點F關(guān)于點E的銳角旋轉(zhuǎn)點，請直接寫出t的取值范圍．

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點分別為A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0）．對于圖形M，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為正方形ABCD邊上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最大值，那么稱這個最大值為圖形M的“正方距”，記作d（M）．已知點E（3，0）．①直接寫出d（點E）的值；②過點E畫直線y＝kx﹣3k與y軸交于點F，當(dāng)d（線段EF）取最小值時，求k的取值范圍；③設(shè)T是直線y＝﹣x+3上的一點，以T為圓心，長為半徑作⊙T．若d（⊙T）滿足d（⊙T）＞+，直接寫出圓心T的橫坐標(biāo)x的取值范圍．

11．【概念認(rèn)識】與矩形一邊相切（切點不是頂點）且經(jīng)過矩形的兩個頂點的圓叫做矩形的第Ⅰ類圓；與矩形兩邊相切（切點都不是頂點）且經(jīng)過矩形的一個頂點的圓叫做矩形的第Ⅱ類圓．【初步理解】（1）如圖①～③，四邊形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都與邊AD相切，⊙O2與邊AB相切，⊙O1和⊙O3都經(jīng)過點B，⊙O3經(jīng)過點D，3個圓都經(jīng)過點C．在這3個圓中，是矩形ABCD的第Ⅰ類圓的是，是矩形ABCD的第Ⅱ類圓的是．【計算求解】（2）已知一個矩形的相鄰兩邊的長分別為4和6，直接寫出它的第Ⅰ類圓和第Ⅱ類圓的半徑長．【深入研究】（3）如圖④，已知矩形ABCD，用直尺和圓規(guī)作圖．（保留作圖痕跡，并寫出必要的文字說明）①作它的1個第Ⅰ類圓；②作它的1個第Ⅱ類圓．

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，已知點A，過點A作直線MN．對于點A和直線MN，給出如下定義：若將直線MN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，直線MN與⊙O有兩個交點時，則稱MN是⊙O的“雙關(guān)聯(lián)直線”，與⊙O有一個交點P時，則稱MN是⊙O的“單關(guān)聯(lián)直線”，AP是⊙O的“單關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖1，A（0，4），當(dāng)MN與y軸重合時，設(shè)MN與⊙O交于C，D兩點．則MN是⊙O的“關(guān)聯(lián)直線”（填“雙”或“單”）；的值為；（2）如圖2，點A為直線y＝﹣3x+4上一動點，AP是⊙O的“單關(guān)聯(lián)線段”．①求OA的最小值；②直接寫出△APO面積的最小值．

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，A為任意一點，B為⊙O上任意一點．給出如下定義：記A，B兩點間的距離的最小值為p（規(guī)定：點A在⊙O上時，p＝0），最大值為q，那么把的值稱為點A與⊙O的“關(guān)聯(lián)距離”，記作d（A，⊙O）．（1）如圖，點D，E，F(xiàn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．①d（D，⊙O）＝；②若點M在線段EF上，求d（M，⊙O）的取值范圍；（2）若點N在直線y＝上，直接寫出d（N，⊙O）的取值范圍；（3）正方形的邊長為m，若點P在該正方形的邊上運(yùn)動時，滿足d（P，⊙O）的最小值為1，最大值為，直接寫出m的最小值和最大值．

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A與點B的坐標(biāo)分別是（1，0），（7，0）．（1）對于坐標(biāo)平面內(nèi)的一點P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，那么稱點P為線段AB的“完美點”．①設(shè)A、B、P三點所在圓的圓心為C，則點C的坐標(biāo)是，⊙C的半徑是；②y軸正半軸上是否有線段AB的“完美點”？如果有，求出“完美點”的坐標(biāo)；如果沒有，請說明理由；（2）若點P在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動，則當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時，點P的坐標(biāo)為．

15．定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線相切的圓稱為這個三角形的切圓，相切的邊稱為這個圓的切邊．（1）如圖1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，點O在AC邊上，以O(shè)C為半徑的⊙O恰好經(jīng)過點B，求證：⊙O是△ABC的切圓．（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圓，且另外兩條邊都是⊙O的切邊，求⊙O的半徑．（3）如圖3，△ABC中，以AB為直徑的⊙O恰好是△ABC的切圓，AC是⊙O的切邊，⊙O與BC交于點F，取弧BF的中點D，連接AD交BC于點E，過點E作EH⊥AB于點H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的長．

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于直線l：y＝kx+b，給出如下定義：若直線l與某個圓相交，則兩個交點之間的距離稱為直線l關(guān)于該圓的“圓截距”．（1）如圖1，⊙O的半徑為1，當(dāng)k＝1，b＝1時，直接寫出直線l關(guān)于⊙O的“圓截距”；（2）點M的坐標(biāo)為（1，0），①如圖2，若⊙M的半徑為1，當(dāng)b＝1時，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”小于，求k的取值范圍；②如圖3，若⊙M的半徑為2，當(dāng)k的取值在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值2，直接寫出b的值．

17．對于⊙C與⊙C上一點A，若平面內(nèi)的點P滿足：射線AP與⊙C交于點Q，且PA＝2QA，則稱點P為點A關(guān)于⊙C的“倍距點”．已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)是（﹣，0）．（1）如圖1，點O為坐標(biāo)原點，⊙O的半徑是，點P是點A關(guān)于⊙O的“倍距點”．①若點P在x軸正半軸上，直接寫出點P的坐標(biāo)是；②若點P在第一象限，且∠PAO＝30°，求點P的坐標(biāo)；（2）設(shè)點T（t，0），以點T為圓心，TA長為半徑作⊙T，一次函數(shù)y＝x+4的圖象分別與x軸、y軸交于D、E，若一次函數(shù)y＝x+4的圖象上存在唯一一點P，使點P是點A關(guān)于⊙T的“倍距點”，求t的值．

18．類比學(xué)習(xí)：我們已經(jīng)知道，頂點在圓上，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如圖1，∠APB就是圓周角，弧AB是∠APB所夾的?。愃频?，我們可以把頂點在圓外，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓外角，如圖2，∠APB就是圓外角，弧AB和弧CD是∠APB所夾的弧，新知探索：圖（2）中，弧AB和弧CD度數(shù)分別為80°和30°，∠APB＝°，歸納總結(jié)：（1）圓周角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半；（2）圓外角的度數(shù)等于．新知應(yīng)用：直線y＝﹣x+m與直線y＝x+2相交于y軸上的點C，與x軸分別交于點A、B．經(jīng)過A、B、C三點作⊙E，點P是第一象限內(nèi)⊙E外的一動點，且點P與圓心E在直線AC的同一側(cè)，直線PA、PC分別交⊙E于點M、N，設(shè)∠APC＝θ．①求A點坐標(biāo)；②求⊙E的直徑；③連接MN，求線段MN的長度（可用含θ的三角函數(shù)式表示）．

19．（1）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠C＝60°，弦AB＝2，則半徑r＝；（2）【問題探究】如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠ADC＝60°，AD＝DC，點B為弧AC上一動點（不與點A，點C重合）．求證：AB+BC＝BD；（3）【解決問題】如圖3，一塊空地由三條直路（線段AD、AB、BC）和一條道路劣弧圍成，已知CM＝DM＝千米，∠DMC＝60°，的半徑為1千米，市政府準(zhǔn)備將這塊空地規(guī)劃為一個公園，主入口在點M處，另外三個入口分別在點C、D、P處，其中點P在上，并在公園中修四條慢跑道，即圖中的線段DM、MC、CP、PD，是否存在一種規(guī)劃方案，使得四條慢跑道總長度（即四邊形DMCP的周長）最大？若存在，求其最大值；若不存在，說明理由．

20.A，B是⊙C上的兩個點，點P在⊙C的內(nèi)部．若∠APB為直角，則稱∠APB為AB關(guān)于⊙C的內(nèi)直角，特別地，當(dāng)圓心C在∠APB邊（含頂點）上時，稱∠APB為AB關(guān)于⊙C的最佳內(nèi)直角．如圖1，∠AMB是AB關(guān)于⊙C的內(nèi)直角，∠ANB是AB關(guān)于⊙C的最佳內(nèi)直角．在平面直角坐標(biāo)系xOy中．（1）如圖2，⊙O的半徑為5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上兩點．①已知P1（1，0），P2（0，3），P3（﹣2，1），在∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B中，是AB關(guān)于⊙O的內(nèi)直角的是；②若在直線y＝2x+b上存在一點P，使得∠APB是AB關(guān)于⊙O的內(nèi)直角，求b的取值范圍．（2）點E是以T（t，0）為圓心，4為半徑的圓上一個動點，⊙T與x軸交于點D（點D在點T的右邊）．現(xiàn)有點M（1，0），N（0，n），對于線段MN上每一點H，都存在點T，使∠DHE是DE關(guān)于⊙T的最佳內(nèi)直角，請直接寫出n的最大值，以及n取得最大值時t的取值范圍．

例題精講例題精講【例1】．如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEF…叫做“正三角形的漸開線”，其中弧CD、弧DE、弧EF的圓心依次按A、B、C…循環(huán)，它們依次相連接．若AB＝1，則曲線CDEF的長是4π．解：∵△ABC是正三角形，∴∠CAD＝∠DBE＝∠ECF＝120°，又∵AB＝1，∴AC＝1，BD＝2，CE＝3，∴CD弧的長度＝＝；DE弧的長度＝＝；EF弧的長度＝＝2π；所以曲線CDEF的長為++2π＝4π．故答案為：4π．變式訓(xùn)練【變1-1】．對于平面圖形A，如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圓形A被這個圓“覆蓋”．例如圖中的三角形被一個圓“覆蓋”．如果邊長為1的正六邊形被一個半徑長為R的圓“覆蓋”，那么R的取值范圍為R≥1．解：∵正六邊形的邊長等于它的外接圓半徑，∴邊長為1的正六邊形被一個半徑長為R的圓“覆蓋”，那么R的取值范圍為：R≥1．故答案為：R≥1．【變1-2】．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P（a，b）和正實數(shù)k，給出如下定義：當(dāng)ka2+b＞0時，以點P為圓心，ka2+b為半徑的圓，稱為點P的“k倍雅圓”例如，在圖1中，點P（1，1）的“1倍雅圓”是以點P為圓心，2為半徑的圓．（1）在點P1（3，1），P2（1，﹣2）中，存在“1倍雅圓”的點是P1．該點的“1倍雅圓”的半徑為10．（2）如圖2，點M是y軸正半軸上的一個動點，點N在第一象限內(nèi)，且滿足∠MON＝30°，試判斷直線ON與點M的“2倍雅圓”的位置關(guān)系，并證明；（3）如圖3，已知點A（0，3），B（﹣1，0），將直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l．①當(dāng)點C在直線l上運(yùn)動時，若始終存在點C的“k倍雅圓”，求k的取值范圍；②點D是直線AB上一點，點D的“倍雅圓”的半徑為R，是否存在以點D為圓心，為半徑的圓與直線l有且只有1個交點，若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）對于P1（3，1），圓的半徑為ka2+b＝1×32+1＝10＞0，故符合題意；對于P2（1，﹣2），圓的半徑為ka2+b＝1×12﹣2＝﹣1＜0，故不符合題意；故答案為P1，10；（2）如圖1，過點M作MQ⊥ON于點Q，則點M（0，m）（m＞0），則圓的半徑r＝2×0+m＝m，則Rt△MQO中，∠MOQ＝∠MON＝30°，∴MQ＝OM＝m＜m，∴直線ON與點M的“2倍雅圓”的位置關(guān)系為相交；（3）①過點B作BE⊥直線l于點E，過點E作x軸的垂線交x軸于點G，交過點A與x軸的平行線于點F，設(shè)點E（x，y），將直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l，則∠EAB＝45°，故EA＝EB，∵∠FEA+∠FAE＝90°，∠GEB+∠FEA＝90°，∴∠FAE＝∠GEB，∵∠AFE＝∠EGB＝90°，EA＝EB，∴△AFE≌△EGB（AAS），∴EF＝BG，EG＝FA，即3﹣y＝﹣1﹣x，y＝﹣x，解得：x＝﹣2，y＝2，故點E（﹣2，2）；設(shè)直線l的表達(dá)式為y＝kx+b，則，解得，故直線l的表達(dá)式為y＝x+3，設(shè)點C（x，x+3），∵始終存在點C的“k倍雅圓”時，則圓的半徑r＝kx2+x+3＞0恒成立，∴k＞0且Δ＜0成立，即k＞0且△＝（）2﹣4×3k＜0，解得：k＞；②存在，理由：如圖2，過點D作DH⊥l于點H，由點A、B的坐標(biāo)同理可得，直線AB的表達(dá)式為y＝3x+3，設(shè)點D（x，3x+3），由點A、D的坐標(biāo)得，AD＝＝|x|，則HD＝AD＝|x|，則R＝ka2+b＝x2+3x+3＝（x+2）2，則＝|x+2|，假設(shè)存在以點D為圓心，為半徑的圓與直線l有且只有1個交點，則DH＝＝|x+2|＝|x|，解得：x＝﹣1，故點D的坐標(biāo)為：（﹣1，0）．【例2】．我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，點A，B，C，D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點，已知點D的坐標(biāo)為（0，﹣3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為2．開動腦筋想一想，經(jīng)過點D的“蛋圓”切線的解析式為___________解：因為經(jīng)過點D的“蛋圓”切線過D（0，﹣3）點，所以設(shè)它的解析式為y＝kx﹣3，∵AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為2，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵拋物線過點A、B，∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），又∵拋物線過點D（0，﹣3），∴﹣3＝a?1?（﹣3），即a＝1，∴y＝x2﹣2x﹣3．又∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與直線y＝kx﹣3相切，∴x2﹣2x﹣3＝kx﹣3，即x2﹣（2+k）x＝0只有一個解，∴△＝（2+k）2﹣4×0＝0，∴k＝﹣2即經(jīng)過點D的“蛋圓”切線的解析式為y＝﹣2x﹣3．變式訓(xùn)練【變2-1】．已知定點P（a，b），且動點Q（x，y）到點P的距離等于定長r，根據(jù)平面內(nèi)兩點間距離公式可得（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，這就是到定點P的距離等于定長r圓的方程．已知一次函數(shù)的y＝﹣2x+10的圖象交y軸于點A，交x軸于點B，C是線段AB上的一個動點，則當(dāng)以O(shè)C為半徑的⊙C的面積最小時，⊙C的方程為（x﹣4）2+（y﹣2）2＝（2）2．解：∵一次函數(shù)的y＝﹣2x+10的圖象交y軸于點A，交x軸于點B，∴A（0，10），B（5，0），∴OA＝10，OB＝5，∴AB＝＝＝5，∵以O(shè)C為半徑的⊙C的面積最小，∴OC⊥AB，∵S△ABO＝AB?OC＝OA?OB，∴OC＝＝＝2，設(shè)C（t，﹣2t+10），則OC2＝t2+（﹣2t+10）2＝（2）2，解得：t1＝t2＝4，∴C（4，2），∴以O(shè)C為半徑的⊙C的⊙C的方程為（x﹣4）2+（y﹣2）2＝（2）2，故答案為：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝（2）2．【變2-2】．【定義】從一個已知圖形的外一點引兩條射線分別經(jīng)過該已知圖形的兩點，則這兩條射線所成的最大角稱為該點對已知圖形的視角，如圖①，∠APB是點P對線段AB的視角．【應(yīng)用】（1）如圖②，在直角坐標(biāo)系中，已知點A（2，），B（2，2），C（3，），則原點O對三角形ABC的視角為30°；（2）如圖③，在直角坐標(biāo)系中，以原點O，半徑為2畫圓O1，以原點O，半徑為4畫圓O2，證明：圓O2上任意一點P對圓O1的視角是定值；【拓展應(yīng)用】（3）很多攝影愛好者喜歡在天橋上對城市的標(biāo)志性建筑拍照，如圖④．現(xiàn)在有一條筆直的天橋，標(biāo)志性建筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對建筑視角為45°的位置拍攝．現(xiàn)以建筑的中心為原點建立如圖⑤的坐標(biāo)系，此時天橋所在的直線的表達(dá)式為x＝﹣5，正方形建筑的邊長為4，請直接寫出直線上滿足條件的位置坐標(biāo)．解：（1）延長BA交x軸于點D，過點C作CE⊥x軸于點E，∵點，，，∴AB∥y軸，，OE＝3，∴AB⊥x軸，∴，OD＝2，∴，，∴∠BOD＝60°，∠COE＝30°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COE＝30°，即原點O對三角形ABC的視角為30°過答案為：30°（2）證明：如圖，過圓O2上任一點P作圓O1的兩條切線交圓O1于A，B，連接OA，OB，OP，則有OA⊥PA，OB⊥PB，在中，OA＝2，OP＝4，∴，∴∠OPA＝30°，同理可求得：∠OPB＝30°，∴∠APB＝60°，即圓O2上任意一點P對圓O1的視角是60°，∴圓O2上任意一點P對圓O1的視角是定值．（3）當(dāng)在直線AB與直線CD之間時，視角是∠APD，此時以E（﹣4，0）為圓心，EA半徑畫圓，交直線于P3，P6，∵∠DP3B＞∠DP3A＝45°，∠AP6C＞∠DP6C＝45°，不符合視角的定義，P3，P6舍去．同理，當(dāng)在直線AB上方時，視角是∠BPD，此時以A（﹣2，2）為圓心，AB半徑畫圓，交直線于P1，P5，P5不滿足；過點P1作P1M⊥AD交DA延長線于點M，則AP1＝4，P1M＝5﹣2＝3，∴，∴當(dāng)在直線CD下方時，視角是∠APC，此時以D（﹣2，﹣2）為圓心，DC半徑畫圓，交直線于P2，P4，P4不滿足；同理得：；綜上所述，直線上滿足條件的位置坐標(biāo)或．1．如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，其中，，，，，，…的圓心依次按點A，B，C，D，E，F(xiàn)循環(huán)，其弧長分別記為l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．當(dāng)AB＝1時，l2011等于（）A． B． C． D．解：l1＝＝l2＝＝l3＝＝l4＝＝按照這種規(guī)律可以得到：ln＝∴l(xiāng)2011＝．故選：B．2．已知線段AB，⊙M經(jīng)過A、B兩點，若90°≤∠AMB≤120°，則稱點M是線段AB的“好心”；⊙M上的點稱作線段AB的“閃光點”．已知A（2，0），B（6，0）．①點M（4，2）是線段AB的“好心”；②若反比例函數(shù)y＝上存在線段AB的“好心”，則≤k≤8；③線段AB的“閃光點”組成的圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；④若直線y＝x+b上存在線段AB的“閃光點”，則﹣10≤b≤2．上述說法中正確的有（）A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①②解：①如圖1，∵A（2，0），B（6，0），點M（4，2），∴AM＝BM，AC＝CM＝BC＝2，∠ACM＝90°，∴圓M經(jīng)過A、B兩點，且∠AMB＝90°，∴點M（4，2）是線段AB的“好心”，故①正確；②若反比例函數(shù)y＝上存在線段AB的“好心”，∴90°≤∠AMB≤120°，i）點M在x軸上方時，當(dāng)∠AMB＝90°時，如圖1，此時點M（4，2），即M在反比例函數(shù)y＝圖象上，∴k＝2×4＝8；當(dāng)∠AMB＝120°時，如圖2，過點M作MC⊥AB于C，∵AM＝MB，∴∠BAM＝30°，∵AC＝2，∴CM＝＝，∴M（4，），∵M(jìn)在反比例函數(shù)y＝圖象上，∴k＝4×＝，∴≤k≤8；ii）點M在x軸的下方時，同理可得﹣8≤k≤﹣，故②不正確；③線段AB的閃光點組成的圖形如圖3所示：所以線段AB的“閃光點”組成的圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；故③正確；④當(dāng)直線y＝x+b與上述兩個大圓相切時屬于臨界狀態(tài)，在兩條切線范圍內(nèi)存在“閃光點”，如圖4，設(shè)直線y＝kx+b與圓M相切于點P，則MP與之垂直，且線段BM是直徑，∵B（6，0），M（4，2），∴P（2，4），代入y＝x+b得，2+b＝4，∴b＝2；設(shè)直線y＝kx+b與圓M′相切于點H，則M′H與之垂直，且線段AH是直徑，∵A（2，0），M′（4，﹣2），∴P（6，﹣4），代入y＝x+b′得，6+b′＝﹣4，∴b′＝﹣10；綜上可知，b的取值范圍是﹣10≤b≤2，故④正確；所以上述說法中正確的有①③④．故選：B．3．我們知道沿直線前進(jìn)的自行車車輪上的點既隨著自行車做向前的直線運(yùn)動，又以車軸為圓心做圓周運(yùn)動，如果我們仔細(xì)觀察這個點的運(yùn)動軌跡，會發(fā)現(xiàn)這個點在我們眼前劃出了一道道優(yōu)美的弧線．其實，很早以前人們就對沿直線前進(jìn)的馬車車輪上的點的軌跡產(chǎn)生了濃厚的研究興趣，有人認(rèn)為這個軌跡是一段段周而復(fù)始的圓弧，也有人認(rèn)為這個軌跡是一段段的拋物線．你認(rèn)為呢？擺線（Cycloid）：當(dāng)一個圓沿一條定直線做無滑動的滾動時，動圓圓周上一個定點的軌跡叫做擺線．定直線稱為基線，動圓稱為母圓，該定點稱為擺點：現(xiàn)做一個小實驗，取兩枚相同的硬幣并排排列，如果我們讓右側(cè)的硬幣繞左側(cè)硬幣做無滑動的滾動，那么：（1）當(dāng)右側(cè)硬幣上接觸點A的運(yùn)動軌跡大致是什么形狀？（2）當(dāng)右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)到左側(cè)時，硬幣面上的圖案向還是向下？（3）當(dāng)右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)回原地時，硬幣自身轉(zhuǎn)動了幾圈？（）A．一條圍繞于硬幣的封閉曲線；向上；1圈 B．一條擺線；向上；1圈 C．一條圍繞于硬幣的封閉曲線；向上；2圈 D．一條擺線；向下；2圈解：（1）根據(jù)題意中的表述，可知其運(yùn)動軌跡是一條圍繞于硬幣的封閉曲線；（2）當(dāng)右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)到左側(cè)時，硬幣自身轉(zhuǎn)動了1圈，故硬幣面上的圖案向上；（3）分析可得：當(dāng)右側(cè)硬幣轉(zhuǎn)回原地時，硬幣自身轉(zhuǎn)動2圈．故選：C．4．定義：如果P是圓O所在平面內(nèi)的一點，Q是射線OP上一點，且線段OP、OQ的比例中項等于圓O的半徑，那么我們稱點P與點Q為這個圓的一對反演點．已知點M、N為圓O的一對反演點，且點M、N到圓心O的距離分別為4和9，那么圓O上任意一點到點M、N的距離之比＝．解：由題意⊙O的半徑r2＝4×9＝36，∵r＞0，∴r＝6，當(dāng)點A在NO的延長線上時，AM＝6+4＝10，AN＝6+9＝15，∴＝＝，當(dāng)點A″是ON與⊙O的交點時，A″M＝2，A″N＝3，∴＝，當(dāng)點A′是⊙O上異與A，A″兩點時，易證△OA′M∽△ONA′，∴＝＝＝，綜上所述，＝．故答案為：．5．如圖，在△ABC中，D，E分別是△ABC兩邊的中點，如果（可以是劣弧、優(yōu)弧或半圓）上的所有點都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱為△ABC的中內(nèi)弧，例如，圖中是△ABC其中的某一條中內(nèi)弧．若在平面直角坐標(biāo)系中，已知點F（0，4），O（0，0），H（4，0），在△FOH中，M，N分別是FO，F(xiàn)H的中點，△FOH的中內(nèi)弧所在圓的圓心P的縱坐標(biāo)m的取值范圍是m≤1或m≥2．解：如圖，連接MN，由垂徑定理可知，圓心P一定在線段MN的垂直平分線上，作MN的垂直平分線QP，∵M(jìn)，N分別是FO，F(xiàn)H的中點，且F（0，4），O（0，0），H（4，0），∴M（0，2），N（2，2），Q（1，2），若圓心在線段MN上方時，設(shè)P（1，m）由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心P在線段MN上方射線QP上均可，∴m≥2，當(dāng)圓心在線段MN下方時，∵OF＝OH，∠FOH＝90°∴∠FHO＝45°，∵M(jìn)N∥OH，∴∠FNM＝∠FHO＝45°，作NG⊥FH交直線QP于G，QG＝NQ＝1，根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點G的下方（含點G）的直線QP上時也符合要求；∴m≤1，綜上所述，m≤1或m≥2，故答案為m≤1或m≥2．6．如圖（1），△ABC是正三角形，曲線DA1B1C1…叫做“正三角形ABC的漸開線”，其中，…依次連接，它們的圓心依次按A，B，C循環(huán)．則曲線CA1B1C1叫做正△ABC的1重漸開線，曲線CA1B1C1A2B2C2叫做正△ABC的2重漸開線，…，曲線CA1B1C1A2…AnBn?n叫做正△ABC的n重漸開線．如圖（2），四邊形ABCD是正方形，曲線CA1B1C1D1…叫做“正方形ABCD的漸開線”，其中…依次連接，它們的圓心依次按A，B，C，D循環(huán)．則曲線DA1B1C1D1叫做正方形ABCD的1重漸開線，…，曲線DA1B1C1D1A2…AnBn?nDn叫做正方形ABCD的n重漸開線．依次下去，可得正n形的n重漸開線（n≥3）．若AB＝1，則正方形的2重漸開線的長為18π；若正n邊形的邊長為1，則該正n邊形的n重漸開線的長為n（n2+1）π．解：若正n邊形的邊長為1，則該正n邊形的第一重漸開線長＝，二重＝+，第n重漸開線的長++…+，這是四邊形，如果是n邊形，則內(nèi)角和是（n﹣2）×180÷n，所以正n邊形的邊長為1，則該正n邊形的n重漸開線的長為2π/n（1+2+…+n）+2π/n[（n+1）+（n+2）+…+（n+n）]+…+2π/n{[（n﹣1）n+1]+[（n﹣1）n+2]+…+[（n﹣1）n+n]＝n（n2+1）π．7．一個玻璃球體近似半圓O，AB為直徑．半圓O上點C處有個吊燈EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中點為D，OA＝4．（1）如圖①，CM為一條拉線，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的長度．（2）如圖②，一個玻璃鏡與圓O相切，H為切點，M為OB上一點，MH為入射光線，NH為反射光線，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的長度．（3）如圖③，M是線段OB上的動點，MH為入射光線，∠HOM＝50°，HN為反射光線交圓O于點N，在M從O運(yùn)動到B的過程中，求N點的運(yùn)動路徑長．解：（1）∵OM＝1.6，DF＝0.8，EF∥AB，∴DF是△COM的中位線，∴點D是OC的中點，∵OC＝OA＝4，∴CD＝2；（2）如圖②，過點N作ND⊥OH于點D，∵∠OHN＝45°，∴△NHD是等腰直角三角形，∴ND＝HD，∵tan∠COH＝，∠NDO＝90°，∴＝，設(shè)ND＝3x＝HD，則OD＝4x，∵OH＝OA＝4，∴OH＝3x+4x＝4，∴x＝，∴ND＝×3＝，OD＝×4＝，∴ON＝＝；（3）如圖，當(dāng)點M與點O重合時，點N也與點O重合，當(dāng)點M運(yùn)動至點B時，點N運(yùn)動至點T，故點N的運(yùn)動路徑長為OA+的長，∵∠HOM＝50°，OH＝OB，∴∠OHB＝∠OBH＝65°，∵∠OHM＝∠OHT，OH＝OT，∴∠OTH＝∠OHT＝65°，∴∠TOH＝50°，∴∠AOT＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴的長＝＝π，∴點N的運(yùn)動路徑長＝4+π．8．我們不妨定義：有兩邊之比為1：的三角形叫敬“勤業(yè)三角形”．（1）下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是③④；（填序號）①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三角形．（2）如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC為直徑，D為AB上一點，且BD＝2AD，作DE⊥OA，交線段OA于點F，交⊙O于點E，連接BE交AC于點G．試判斷△AED和△ABE是否是“勤業(yè)三角形”？如果是，請給出證明，并求出的值；如果不是，請說明理由；（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)AF：FG＝2：3時，求∠BED的余弦值．解：①等邊三角形各邊的比值為1，故等邊三角形不是“勤業(yè)三角形“；②等腰直角三角形兩直角邊的比值為1，直角邊與斜邊的比為1：，故等腰直角三角形不是“勤業(yè)三角形”；③設(shè)含30角的直角三角形的最短邊長為a，則斜邊長為2a，另一條直角邊長為a，a：a＝1：，故含30°角的直角三角形是“勤業(yè)三角形“；④如圖：△ABC中，AB＝AC，∠a＝120°，過點A作AD⊥BC于點D，∴∠B＝∠C＝30°，設(shè)AD＝a，則AB＝AC＝2a，BD＝DC＝a，∴BC＝2a，∴AB：BC＝AC：BC＝1：，∴含120°角的等腰三角形是“勤業(yè)三角形”，故答案為：③④；（2）解：△AED和△ABE都是“勤業(yè)三角形”，證明如下：如圖：連接OE，設(shè)∠ABE＝α，∴∠AOE＝2∠ABE＝2α，∵OA＝OE，∴∠OAE＝（180°﹣∠AOE）＝（180°﹣2a）＝90°﹣α，又∵DE⊥AC，∴∠AED+∠OAE＝90°，即∠AED+90°﹣α＝90°，∴∠AED＝∠ABE＝α，又∵∠EAD＝∠BAE，∴△ADE∽△AEB，∴，AE2＝AD?AB，∵BD＝2AD，∴AD＝AB，∴，AE2＝3AD2，∴，，∴△AED和△ABE都是“勤業(yè)三角形“，∴；（3）解：如圖：過點G作GI∥AB交DE于點I，∴△FGI∽△FAD，△EIG∽△EDB，∴，，∴GI＝AD，∵BD＝2AD，∴，∴，設(shè)EG＝3a，EB＝4a，由（2）知，，∴ED＝a，∴E1＝ED＝a，DI＝ED﹣E1＝，∴IF＝，∴EF＝EI+IF＝a+＝，在Rt△EFG中，cos∠FEG＝，即cos∠BED＝．9．對于平面內(nèi)的兩點K、L，作出如下定義：若點Q是點L繞點K旋轉(zhuǎn)所得到的點，則稱點Q是點L關(guān)于點K的旋轉(zhuǎn)點；若旋轉(zhuǎn)角小于90°，則稱點Q是點L關(guān)于點K的銳角旋轉(zhuǎn)點．如圖1，點Q是點L關(guān)于點K的銳角旋轉(zhuǎn)點．（1）已知點A（4，0），在點Q1（0，4），Q2（2，），Q3（﹣2，），Q4（，﹣2）中，是點A關(guān)于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點的是Q2，Q4．（2）已知點B（5，0），點C在直線y＝2x+b上，若點C是點B關(guān)于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點，求實數(shù)b的取值范圍．（3）點D是x軸上的動點，D（t，0），E（t﹣3，0），點F（m，n）是以D為圓心，3為半徑的圓上一個動點，且滿足n≥0．若直線y＝2x+6上存在點F關(guān)于點E的銳角旋轉(zhuǎn)點，請直接寫出t的取值范圍．解：（1）如圖，∵A（4，0），Q1（0，4），∴OA＝OQ1＝4，∠AOQ1＝90°，∴點Q1不是點A關(guān)于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點；∵Q2（2，），作Q2F⊥x軸于點F，∴OQ2＝＝＝4＝OA，∵tan∠Q2OF＝＝，∴∠Q2OF＝60°，∴點Q2是點A關(guān)于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點；∵Q3（﹣2，），作Q3G⊥x軸于點G，則tan∠Q3OG＝＝＝，∴∠Q3OG＝60°，∴OQ3＝＝＝4＝OA，∵∠AOQ3＝180°﹣60°＝120°，∴Q3不是點A關(guān)于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點；∵Q4（，﹣2），作Q4H⊥x軸于點H，則tan∠Q4OH＝＝＝1，∴∠Q4OH＝45°，∵OQ4＝＝＝4＝OA，∴Q4是點A關(guān)于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點；綜上所述，在點Q1，Q2，Q3，Q4中，是點A關(guān)于點O的銳角旋轉(zhuǎn)點的是Q2，Q4，故答案為：Q2，Q4．（2）在y軸上取點P（0，5），當(dāng)直線y＝2x+b經(jīng)過點P時，可得b＝5，當(dāng)直線y＝2x+b經(jīng)過點B時，則2×5+b＝0，解得：b＝﹣10，∴當(dāng)﹣10＜b＜5時，OB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)銳角時，點C一定可以落在某條直線y＝2x+b上，過點O作OG⊥直線y＝2x+b，垂足G在第四象限時，如圖，則OT＝﹣b，OS＝﹣b，∴ST＝＝＝﹣b，當(dāng)OG＝5時，b取得最小值，∵5×（﹣b）＝﹣b×（﹣b），∴b＝﹣5，∴﹣5≤b＜5．（3）根據(jù)題意，點F關(guān)于點E的銳角旋轉(zhuǎn)點在半圓E上，設(shè)點P在半圓S上，點Q在半圓T上（將半圓D繞點E旋轉(zhuǎn)），如圖3（1），半圓掃過的區(qū)域為圖3（1）中陰影部分，如圖3（2）中，陰影部分與直線y＝2x+6相切于點G，tan∠EMG＝2，SG＝3，過點G作GI⊥x軸于點I，過點S作SJ⊥GI于點J，∴∠SGJ＝∠EMG，∴tan∠SGJ＝tan∠EMG＝2，∴GJ＝，SJ＝，∴GI＝GJ+JI＝3+，∴MI＝GI＝+，∴OE＝IE+MI﹣OM＝﹣，即xE＝t﹣3＝﹣，解得t＝+，如圖3（3）中，陰影部分與HK相切于點G，tan∠OMK＝tan∠EMH＝2，EH＝6，則MH＝3，EM＝3，∴xE＝t﹣3＝﹣3﹣3，解得t＝﹣3，觀察圖象可知，﹣3≤t＜3++．10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的頂點分別為A（0，1），B（﹣1，0），C（0，﹣1），D（1，0）．對于圖形M，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為正方形ABCD邊上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最大值，那么稱這個最大值為圖形M的“正方距”，記作d（M）．已知點E（3，0）．①直接寫出d（點E）的值；②過點E畫直線y＝kx﹣3k與y軸交于點F，當(dāng)d（線段EF）取最小值時，求k的取值范圍；③設(shè)T是直線y＝﹣x+3上的一點，以T為圓心，長為半徑作⊙T．若d（⊙T）滿足d（⊙T）＞+，直接寫出圓心T的橫坐標(biāo)x的取值范圍．解：①∵E（3，0），B（﹣1，0），∴d（點E）＝BE＝4；②∵d（線段EF）取最小值，∴d（線段EF）的最小值＝d（點E）＝4，∴d（點F）≤4，當(dāng)d（點F）＝4時，F(xiàn)（0，3）或（0，﹣3），當(dāng)F（0，3）時，k＝﹣1，當(dāng)F（0，﹣3）時，k＝1，∴﹣1≤k≤1；③由②可知，d（點E）＝d（點F）＝4＜，∴D點T在第二象限或第四象限，設(shè)T（x，﹣x+3），當(dāng)T點在第二象限時，TC＝時，x2+（﹣x+3+1）2＝，解得x＝2﹣或x＝2+（舍）；當(dāng)T點在第四象限時，TB＝時，（x+1）2+（﹣x+3）2＝，解得x＝1+或x＝1﹣（舍）；∵d（⊙T）＞+，∴x＞1+或x＜2﹣．11．【概念認(rèn)識】與矩形一邊相切（切點不是頂點）且經(jīng)過矩形的兩個頂點的圓叫做矩形的第Ⅰ類圓；與矩形兩邊相切（切點都不是頂點）且經(jīng)過矩形的一個頂點的圓叫做矩形的第Ⅱ類圓．【初步理解】（1）如圖①～③，四邊形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都與邊AD相切，⊙O2與邊AB相切，⊙O1和⊙O3都經(jīng)過點B，⊙O3經(jīng)過點D，3個圓都經(jīng)過點C．在這3個圓中，是矩形ABCD的第Ⅰ類圓的是①，是矩形ABCD的第Ⅱ類圓的是②．【計算求解】（2）已知一個矩形的相鄰兩邊的長分別為4和6，直接寫出它的第Ⅰ類圓和第Ⅱ類圓的半徑長．【深入研究】（3）如圖④，已知矩形ABCD，用直尺和圓規(guī)作圖．（保留作圖痕跡，并寫出必要的文字說明）①作它的1個第Ⅰ類圓；②作它的1個第Ⅱ類圓．解：（1）由定義可得，①的矩形有一條邊AD與⊙O1相切，點B、C在圓上，∴①是第Ⅰ類圓；②的矩形有兩條邊AD、AB與⊙O2相切，點C在圓上，∴②是第Ⅱ類圓；故答案為：①，②；（2）如圖1，設(shè)AD＝6，AB＝4，切點為E，過點O作EF⊥BC交BC于F，交AD于E，連接BO，設(shè)BO＝r，則OE＝r，OF＝4﹣r，由垂徑定理可得，BF＝CF＝3，在Rt△BOF中，r2＝（4﹣r）2+32，解得r＝；如圖2，設(shè)AD＝4，BC＝6，切點為E，過點O作EF⊥BC交BC于F，交AD于E，連接BO，設(shè)BO＝r，則OE＝r，OF＝6﹣r，由垂徑定理可得，BF＝CF＝2，在Rt△BOF中，r2＝（6﹣r）2+22，解得r＝；綜上所述：第Ⅰ類圓的半徑是或；如圖3，AD＝6，AB＝4，過點O作MN⊥AD交于點M，交BC于點N，連接OC，設(shè)AB邊與⊙O的切點為G，連接OG，∴GO⊥AB，設(shè)OM＝r，則OC＝r，則ON＝4﹣r，∵OG＝r，∴BN＝r，∴NC＝6﹣r，在Rt△OCN中，r2＝（4﹣r）2+（6﹣r）2，解得r＝10﹣4，∴第Ⅱ類圓的半徑是10﹣4；（3）①如圖4，第一步，作線段AD的垂直平分線交AD于點E，第二步，連接EC，第三步，作EC的垂直平分線交EF于點O，第四步，以O(shè)為圓心，EO為半徑作圓，∴⊙O即為所求第Ⅰ類圓；②如圖5，第一步：作∠BAD的平分線；第二步：在角平分線上任取點E，過點E作EF⊥AD，垂足為點F；第三步：以點E為圓心，EF為半徑作圓E，交AC于點G，連接FG；第四步：過點C作CH∥FG，CH交AD于點H；第五步：過點H作AD的垂線，交∠BAD的平分線于點O；第六步：以點O為圓心，OH為半徑的圓，⊙O即為所求第Ⅱ類圓．12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，已知點A，過點A作直線MN．對于點A和直線MN，給出如下定義：若將直線MN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，直線MN與⊙O有兩個交點時，則稱MN是⊙O的“雙關(guān)聯(lián)直線”，與⊙O有一個交點P時，則稱MN是⊙O的“單關(guān)聯(lián)直線”，AP是⊙O的“單關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖1，A（0，4），當(dāng)MN與y軸重合時，設(shè)MN與⊙O交于C，D兩點．則MN是⊙O的“雙關(guān)聯(lián)直線”（填“雙”或“單”）；的值為或；（2）如圖2，點A為直線y＝﹣3x+4上一動點，AP是⊙O的“單關(guān)聯(lián)線段”．①求OA的最小值；②直接寫出△APO面積的最小值．解：（1）當(dāng)MN與y軸重合時，∵M(jìn)N與⊙O交于C，D兩點，∴根據(jù)⊙O的“雙關(guān)聯(lián)直線”的定義可知：MN是⊙O的“雙關(guān)聯(lián)直線”；當(dāng)點C在y軸的正半軸時，AC＝3，AD＝5，∴＝；當(dāng)點D在y軸的正半軸時，AD＝3，AC＝5，∴，綜上，的值為：或，故答案為：雙；或；（2）①過點O作OA垂直于直線y＝﹣3x+4于點A，如圖，因為垂線段最短，則此時OA最小，設(shè)直線y＝﹣3x+4與y軸交于點M，與x軸交于點N，令x＝0，則y＝4，∴M（0，4），∴OM＝4，令y＝0，則﹣3x+4＝0，∴x＝，∴N（，0），∴ON＝，∴MN＝＝．∵OM?ON＝OA?MN，∴4×＝×OA，∴OA＝．②△APO的面積最小值為．理由：∵AP是⊙O的“單關(guān)聯(lián)線段”，∴AP與⊙O相切于點P，則OP⊥OA，即△APO為直角三角形，由于△APO的一個直角邊為1，當(dāng)OA最小時，△APO的面積最小，∴當(dāng)OA垂直于直線y＝﹣3x+4于點A時，△APO的面積最?。B接OP，如圖，由題意：AP為⊙O的切線，∴AP⊥OP，∴AP＝＝，∴△APO的面積最小值為×1＝．13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，A為任意一點，B為⊙O上任意一點．給出如下定義：記A，B兩點間的距離的最小值為p（規(guī)定：點A在⊙O上時，p＝0），最大值為q，那么把的值稱為點A與⊙O的“關(guān)聯(lián)距離”，記作d（A，⊙O）．（1）如圖，點D，E，F(xiàn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．①d（D，⊙O）＝2；②若點M在線段EF上，求d（M，⊙O）的取值范圍；（2）若點N在直線y＝上，直接寫出d（N，⊙O）的取值范圍；（3）正方形的邊長為m，若點P在該正方形的邊上運(yùn)動時，滿足d（P，⊙O）的最小值為1，最大值為，直接寫出m的最小值和最大值．解：（1）①∵D（0，2）到⊙O的距離的最小值p＝1，最大值q＝3，∴d（D，⊙O）＝＝2，故答案為：2；②當(dāng)M在點E處，d（E，⊙O）＝2，當(dāng)M在點F處，d（F，⊙O）＝＝3，∴2≤d（M，⊙O）≤3；（2）設(shè)ON＝d，∴p＝d﹣r＝d﹣1，q＝d+r＝d+1，∴d（N，⊙O）＝＝＝d，∵點N在直線y＝上，設(shè)直線交x軸于點B，交y軸于點A，如圖1，則x＝0時，y＝2，y＝0時，x＝﹣2，∴A（0，2），B（﹣2，0），∴OA＝2，OB＝2，∴AB＝＝4，當(dāng)ON⊥AB時，d（N，⊙O）最小，∴S△AOB＝OA?OB＝AB?ON，即×2×2＝×4ON，∴ON＝，∵ON無最大值，∴d（N，⊙O）≥；（3）如圖2，∵d（P，⊙O）的最小值為1，最大值為，∴兩個同心圓中，小圓的半徑為1，大圓的半徑為，∵KL＝﹣1，∴m的最小值是＝﹣，在Rt△OMH中，OM＝，OH＝m﹣1，MH＝m，∴（m﹣1）2+（m）2＝（）2，解得：m＝﹣2（舍去）或m＝；∴m的最小值為﹣，最大值為．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A與點B的坐標(biāo)分別是（1，0），（7，0）．（1）對于坐標(biāo)平面內(nèi)的一點P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，那么稱點P為線段AB的“完美點”．①設(shè)A、B、P三點所在圓的圓心為C，則點C的坐標(biāo)是（4，3），⊙C的半徑是3；②y軸正半軸上是否有線段AB的“完美點”？如果有，求出“完美點”的坐標(biāo)；如果沒有，請說明理由；（2）若點P在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動，則當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時，點P的坐標(biāo)為（0，﹣）．解：（1）①∵點A與點B的坐標(biāo)分別是（1，0），（7，0），∴OA＝1，OB＝7．∴AB＝6．過點C作CD⊥AB于點D，如圖，則AD＝BD＝AB＝3．∴OD＝AO+AD＝4．∵∠APB＝45°，∴∠ACB＝2∠APB＝90°，．∵CD⊥AB，CA＝CB，∴CD＝AB＝3．∴C（4，3）．∴AC＝，∴⊙C的半徑是3．故答案為：（4，3）；3；②y軸正半軸上有線段AB的“完美點”，理由：設(shè)⊙C交y軸于點D，E，連接CD，CE，過點C作CG⊥CD于點G，CF⊥AB于點F，如圖，則∠AEB＝∠ADB＝∠APB＝45°．∴D，E為y軸正半軸上線段AB的“完美點”．則EG＝DG＝DE，CD＝CE＝3．∵CG⊥DE，CF⊥AB，∠O＝90°，∴四邊形OFCG為矩形．∴CG＝OF＝4，OG＝CF＝3．在Rt△CGE中，∵EG2＝CE2﹣CG2，∴EG＝＝．∴GE＝DG＝．∴OE＝OG﹣GE＝3﹣，OD＝OG+DG＝3+．∴E（0，3﹣），D（0，3+）．∴y軸正半軸上有線段AB的“完美點”，“完美點”的坐標(biāo)為（0，3+）或（0，3﹣）；（2）設(shè)⊙C與y軸負(fù)半軸切于點P，在y軸負(fù)半軸上任取一點Q（與點P不重合），連接BQ，AQ，BQ與⊙C交于點D，連接AD，如圖，則∠APB＝∠ADB，∵∠ADB＞∠AQB，∴∠APB＞∠AQB．∴當(dāng)P運(yùn)動到⊙C與y軸相切時，∠APB的度數(shù)最大．連接PC并延長交⊙C于點E，連接AE，如圖，∵OP是⊙C的切線，∴CP⊥OP，∴∠OPA+∠ABE＝90°．∵PE為⊙C的直徑，∴∠PAE＝90°，∴∠APE+∠E＝90°，∴∠OPA＝∠E，∴∠E＝∠OBP，∴∠OPA＝∠OPB，∵∠AOP＝∠POB＝90°，∴△OAP∽△OPB，∴，∴OP2＝OA?OB．∴OP＝．∴P（0，﹣）．故答案為（0，﹣）．15．定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線相切的圓稱為這個三角形的切圓，相切的邊稱為這個圓的切邊．（1）如圖1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，點O在AC邊上，以O(shè)C為半徑的⊙O恰好經(jīng)過點B，求證：⊙O是△ABC的切圓．（2）如圖2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的切圓，且另外兩條邊都是⊙O的切邊，求⊙O的半徑．（3）如圖3，△ABC中，以AB為直徑的⊙O恰好是△ABC的切圓，AC是⊙O的切邊，⊙O與BC交于點F，取弧BF的中點D，連接AD交BC于點E，過點E作EH⊥AB于點H，若CF＝8，BF＝10，求AC和EH的長．（1）證明：連接OB，如圖，∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠A＝∠C＝30°．∴∠CAB＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C＝30°．∴∠OBA＝∠CBA﹣∠OBC＝90°．即OB⊥BA．∵OB是圓的半徑，∴AB與⊙O相切．∵圓心O在AC邊上，∴⊙O是△ABC的切圓；（2）解：①當(dāng)圓心O在BC邊上，⊙O與AB，AC邊相切于點M，N時，連接OA，OM，ON，如圖，∵AB，AC是⊙O的切線，∴OM⊥AB，ON⊥AC，AO平分∠BAC．∵AB＝AC，∴AO⊥BC，OB＝OC＝BC＝3．∵AO⊥BO，OM⊥AB，∴△BOM∽△BAO．∴．∴．∴BM＝．∴OM＝＝；②當(dāng)圓心O在AC邊上，⊙O與AB，BC邊相切于點M，N時，連接OM，ON，BO，過點A作AH⊥BC于點H，如圖，設(shè)OM＝ON＝r，∵AB，BC是⊙O的切線，∴OM⊥AB，ON⊥BC．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝3，∴AH＝＝4．∴×BC?AH＝×6×4＝12．∵S△ABC＝S△ABO+S△CBO，∴×AB?r+×BC?r＝12．∴＝12．∴r＝．綜上，⊙O的半徑為或；（3）解：連接AF，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴AF⊥BC．∵⊙O是△ABC的切圓，AC是⊙O的切邊，∴AB⊥AC．∴△ACF∽△BAF．∴．∴．∴AF＝4．∴AC＝＝12，AB＝＝6．∵D是弧BF的中點，∴∠FAD＝∠BAD．∴＝．設(shè)FE＝2k，則BE＝3k，∵BF＝FE+BE＝10，∴2k+3k＝10．∴k＝2．∴EF＝4，BE＝6．∵EH⊥AB，AC⊥AB，∴EH∥AC．∴．∴．∴EH＝4．16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于直線l：y＝kx+b，給出如下定義：若直線l與某個圓相交，則兩個交點之間的距離稱為直線l關(guān)于該圓的“圓截距”．（1）如圖1，⊙O的半徑為1，當(dāng)k＝1，b＝1時，直接寫出直線l關(guān)于⊙O的“圓截距”；（2）點M的坐標(biāo)為（1，0），①如圖2，若⊙M的半徑為1，當(dāng)b＝1時，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”小于，求k的取值范圍；②如圖3，若⊙M的半徑為2，當(dāng)k的取值在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值2，直接寫出b的值．解：（1）∵k＝1，b＝1，∴直線l的解析式為y＝x+1，設(shè)直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，則A（﹣1，0），B（0，1），∴AB＝＝，即直線l關(guān)于⊙O的“圓截距”為；（2）①如圖2，設(shè)直線與y正半軸交點為P，且P（0，1），∵點M的坐標(biāo)為（1，0），⊙M的半徑為1，∴圓與x軸正半軸交點為Q（2，0），當(dāng)b＝1時，直線l的解析式為y＝kx+1，當(dāng)直線經(jīng)過點Q時，2k+1＝0，解得k＝﹣；過點M作MF⊥PQ，垂足為F，∵OP＝1，OQ＝2，∴PQ＝，∴sin∠PQO＝，∵M(jìn)Q＝1，sin∠PQO＝，∴MF＝，QF＝，設(shè)直線PQ與圓M的另一個交點為C，則QC＝2QF＝，∵關(guān)于⊙M的“圓截距”小于，∴k的取值范圍是﹣＜k＜0；設(shè)直線PM與圓的交點為N，∵點P（0，1），點M的坐標(biāo)為（1，0），∴OP＝OM，∴∠PMO＝45°，∴∠QMN＝45°，根據(jù)圓的對稱性，直線PQ和直線PD關(guān)于直線PN對稱，此時ED＝CB，∴∠DMN＝45°，∴∠DMQ＝90°，∴D的坐標(biāo)為（1，﹣1），∴k+1＝﹣1，解得k＝﹣2，∴直線PD的解析式為y＝﹣2x+1，關(guān)于⊙M的“圓截距”小于，k的取值范圍是k＜﹣2；綜上，k的取值范圍是k＜﹣2或﹣＜k＜0．②當(dāng)k的取值在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值2，設(shè)直線與y軸交點為Q（0，m），則過Q點的“圓截距”的最小值2，如下圖，即RT＝2，MQ⊥RT，由題知，△RMT為等邊三角形，∴∠MRQ＝60°，∴QM＝2×sin60°＝，由勾股定理得，OQ＝＝，根據(jù)圖形的對稱性可知，b的值為．17．對于⊙C與⊙C上一點A，若平面內(nèi)的點P滿足：射線AP與⊙C交于點Q，且PA＝2QA，則稱點P為點A關(guān)于⊙C的“倍距點”．已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)是（﹣，0）．（1）如圖1，點O為坐標(biāo)原點，⊙O的半徑是，點P是點A關(guān)于⊙O的“倍距點”．①若點P在x軸正半軸上，直接寫出點P的坐標(biāo)是（3，0）；②若點P在第一象限，且∠PAO＝30°，求點P的坐標(biāo)；（2）設(shè)點T（t，0），以點T為圓心，TA長為半徑作⊙T，一次函數(shù)y＝x+4的圖象分別與x軸、y軸交于D、E，若一次函數(shù)y＝x+4的圖象上存在唯一一點P，使點P是點A關(guān)于⊙T的“倍距點”，求t的值．解：（1）①P在x軸正半軸時，如圖1，設(shè)點Q為⊙O與x軸正半軸的交點，∵點O為坐標(biāo)原點，⊙O的半徑是，點P是點A關(guān)于⊙O的“倍距點”，∴AQ＝2，PA＝2QA＝4，∴點P離開原點O的距離＝4＝3，∴點P的坐標(biāo)是（3，0），故答案為：（3，0）；②若∠PAO＝30°時，如圖2，作QM⊥x軸于M，PN⊥x軸于N，連接OQ，∴∠QMA＝∠PNA＝90°，∵∠PAO＝∠PAO，∴△AQM∽△APN，∴，∵點O為坐標(biāo)原點，⊙O的半徑是，點P是點A關(guān)于⊙O的“倍距點”，PA＝2QA，∴OA＝OQ＝，，∴∠AQO＝∠PAO＝30°，∴∠QOM＝60°，∴∠OQM＝30°，在Rt△OQM中，OQ＝，∠OQM＝30°，∴QM＝OQ?cos∠OQM＝?cos30°＝，OM＝OQ?sin∠OQM＝?sin30°＝，∴AM＝OA+OM＝，∴由比例式得：AN＝3，PN＝3，∴ON＝AN﹣AO＝3﹣＝2，∴P（2，3）；（2）存在符合條件的點P．如圖3，∵一次函數(shù)y＝x+4的圖象分別與x軸、y軸交于D、E，∴令y＝0，則x+4＝0，令x＝0，則y＝4，解得x＝﹣4，∴D（﹣4，0），E（0，4），∴OD＝4，OE＝4，∵y軸⊥x軸，∴∠EOD＝90°，∴tan∠EDO＝＝＝，∴∠EDO＝30°，取AD的中點G（，0），過點G作GH∥DE交y軸于點H，則直線GH的解析式為y＝x+，當(dāng)⊙T與直線GH相切時，一次函數(shù)y＝x+4的圖象上存在唯一一點P，使點P是點A關(guān)于⊙T的“倍距點”，設(shè)切點為L1或L2，連接T1L1，T2L2，則∠GL1T1＝∠GL2T2＝90°，∵GH∥DE，∴∠OGH＝∠EDO＝30°，∴AT1＝L1T1＝GT1，L2T2＝GT2，AT2＝L2T2，∵AT1＝﹣﹣t，AT2＝t+，GT1＝t+，GT2＝t+，∴﹣﹣t＝×（t+）或t+＝×（t+），解得：t＝﹣或．18．類比學(xué)習(xí)：我們已經(jīng)知道，頂點在圓上，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如圖1，∠APB就是圓周角，弧AB是∠APB所夾的?。愃频模覀兛梢园秧旤c在圓外，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓外角，如圖2，∠APB就是圓外角，弧AB和弧CD是∠APB所夾的弧，新知探索：圖（2）中，弧AB和弧CD度數(shù)分別為80°和30°，∠APB＝25°，歸納總結(jié)：（1）圓周角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半；（2）圓外角的度數(shù)等于所夾兩弧的度數(shù)差的一半．新知應(yīng)用：直線y＝﹣x+m與直線y＝x+2相交于y軸上的點C，與x軸分別交于點A、B．經(jīng)過A、B、C三點作⊙E，點P是第一象限內(nèi)⊙E外的一動點，且點P與圓心E在直線AC的同一側(cè)，直線PA、PC分別交⊙E于點M、N，設(shè)∠APC＝θ．①求A點坐標(biāo)；②求⊙E的直徑；③連接MN，求線段MN的長度（可用含θ的三角函數(shù)式表示）．解：新知探索：∵弧AB和弧CD度數(shù)分別為80°和30°，∴∠BDA＝40°，∠DAC＝15°，∴∠APB＝∠BDA﹣∠DAC＝15°，故答案為：25；歸納總結(jié)：（2）根據(jù)上面所求可以得出：圓外角的度數(shù)等于所夾兩弧的度數(shù)差的一半，故答案為：所夾兩弧的度數(shù)差的一半；新知應(yīng)用：①直線y＝﹣x+2中令x＝0，解得y＝2，因而C點的坐標(biāo)是（0，2），把（0，2）代入直線y＝﹣x+m，解得m＝2，∴解析式是y＝﹣x+2，令y＝0，解得x＝2，則A點的坐標(biāo)是（2，0），②在y＝﹣x+2中令y＝0，解得x＝2，則B的坐標(biāo)是（2，0）；根據(jù)A、B、C的坐標(biāo)得到OC＝2，OA＝2，OB＝2，根據(jù)三角函數(shù)得到：tan∠CBO＝＝