煙臺(tái)市2023年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含答案及解析

2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平診斷高一數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題1.若集合，且，則m的值為（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或﹣12.命題“”的否定為（）A. B.C. D.3.已知，且，則（）A. B. C. D.4.某地民用燃?xì)鈭?zhí)行“階梯氣價(jià)”，按照用氣量收費(fèi)，具體計(jì)費(fèi)方法如下表所示．若某戶(hù)居民去年繳納的燃?xì)赓M(fèi)為868元，則該戶(hù)居民去年的用氣量為（）每戶(hù)每年用氣量單價(jià)不超過(guò)的部分超過(guò)但不超過(guò)的部分超過(guò)的部分A. B. C. D.5.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)和的圖象可能是（）A. B.C. D.6.若函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，則（）A. B. C. D.7.若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.8.已知是定義在上奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，則的解集是（）A. B.C. D.二、多項(xiàng)選擇題9.以下各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的有（）A.， B.，C.， D.，10.給定集合，定義且，若，，則（）A. B.C. D.11.已知，，則（）A.的最大值為 B.的最小值為6C.的最大值為0 D.的最小值為12.德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾是集合論的創(chuàng)立者，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn)．某數(shù)學(xué)小組類(lèi)比拓?fù)鋵W(xué)中的康托爾三等分集，定義了區(qū)間上的函數(shù)，且滿(mǎn)足：①任意，；②；③，則（）A.在上單調(diào)遞增 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，三、填空題13.已知為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____．14.若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．15.已知命題，為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．16.設(shè)，，用表示，中較小者，記為，則______；若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為_(kāi)_____.四、解答題17.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求在上的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，證明在區(qū)間上單調(diào)遞減．19.某工廠(chǎng)擬建造一個(gè)深為2.5米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，如果池底每平方米的造價(jià)為200元，池壁每平方米的造價(jià)為100元，總造價(jià)不超過(guò)3萬(wàn)元，怎樣設(shè)計(jì)水池，才能使其容積最大?最大容積是多少?20.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求的解析式；（2）若存在，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．21.已知函數(shù)滿(mǎn)足：，．令．（1）求值，并證明為偶函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，．(i)判斷在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；(ii)若，求不等式的解集．22.已知函數(shù)，，（1）解關(guān)于x的不等式；（2）從①，②]這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題的橫線(xiàn)處，并給出問(wèn)題的解答．問(wèn)題：是否存在正數(shù)t，使得?若存在，求出t的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平診斷高一數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，且，則m的值為（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或﹣1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的元素不重復(fù)可解得.【詳解】因?yàn)?，所以或，解得，或或，?dāng)時(shí)，，又集合中不能有相同的元素，所以故選：B2.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題即可判斷．【詳解】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，命題“”的否定為“”.故選：A.3.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用特值法及作差法判斷.【詳解】對(duì)于A(yíng)，取，則，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，則，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取，則，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵，且，∴，且，則，即，故D正確.故選：D.4.某地民用燃?xì)鈭?zhí)行“階梯氣價(jià)”，按照用氣量收費(fèi)，具體計(jì)費(fèi)方法如下表所示．若某戶(hù)居民去年繳納的燃?xì)赓M(fèi)為868元，則該戶(hù)居民去年的用氣量為（）每戶(hù)每年用氣量單價(jià)不超過(guò)的部分超過(guò)但不超過(guò)的部分超過(guò)的部分A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，分段討論列方程求解.【詳解】該戶(hù)居民去年的用氣量為，繳納的燃?xì)赓M(fèi)為元，當(dāng)時(shí)，，令，解得，不合題意；當(dāng)時(shí)，，令，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，，令，解得，不合題意，綜上，.故選：C.5.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)和的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用一次函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A(yíng)，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，相符，故B正確；對(duì)于C，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：B.6.若函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意，可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題來(lái)求解.【詳解】函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，則恒成立，即恒成立，因?yàn)?，所以，解得，故選：A.7.若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)是減函數(shù)，則由每一段是減函數(shù)，且左側(cè)的函數(shù)值不小于右側(cè)函數(shù)值求解.【詳解】由題意得在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸，當(dāng)時(shí)，，得，所以得：，解得：，故D項(xiàng)正確.故選：D.8.已知是定義在上奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，則的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題中條件結(jié)合函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)，判斷出的值的正負(fù)情況，所求不等式等價(jià)變形為或，求解即可.【詳解】是定義在上的奇函數(shù)，則，又在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞增，，，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可化為，可得或，即或，解得.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.以下各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的有（）A.， B.，C.， D.，【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)同一函數(shù)的概念判斷即可.【詳解】與的定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，是同一函數(shù)，故A正確；由解得，則的定義域?yàn)?，由解得或，則的定義域?yàn)榛騽t與的定義域不同，不是同一函數(shù)，故B錯(cuò)誤；與的定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，是同一函數(shù)，故C正確；的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，定義域不同，不是同一函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.給定集合，定義且，若，，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式求得集合，根據(jù)新定義進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，故A正確；∵，，由新定義可知，，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：ABD.11.已知，，則（）A.的最大值為 B.的最小值為6C.的最大值為0 D.的最小值為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)均值不等式和不等式的性質(zhì)判斷AB，消元思想和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用判斷CD即可.【詳解】對(duì)于A(yíng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，A正確；對(duì)于B：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)取到等號(hào)，C正確；對(duì)于D：，由函數(shù)性質(zhì)易知在單調(diào)遞增，所以，所以，故D錯(cuò)誤，故選：AC12.德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾是集合論的創(chuàng)立者，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn)．某數(shù)學(xué)小組類(lèi)比拓?fù)鋵W(xué)中的康托爾三等分集，定義了區(qū)間上的函數(shù)，且滿(mǎn)足：①任意，；②；③，則（）A.在上單調(diào)遞增 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】【分析】利用賦值法，求得，由單調(diào)性定義可判斷A；由③得，利用對(duì)稱(chēng)性性質(zhì)可判斷B；求得，，進(jìn)而得，可判斷C；求得，進(jìn)而得，即，即可判斷D.【詳解】由②得，即，得，而，得，∴，故A錯(cuò)誤；由③可知，，即，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；由②得，則，由③得，即，由，得，故C正確；由，得，則，∵任意，，∴當(dāng)時(shí)，，即，∴，即，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____．【答案】1【解析】【分析】由列等式求解即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，得，得，得.故答案為：114.若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，以及充分不必要條件的定義即可得到結(jié)論.【詳解】不等式的解集記為，不等式，解得或，解集記為或，若“”是“”的充分不必要條件，則，所以.故答案：.15.已知命題，為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知，需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，并結(jié)合判別式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】由題意得：當(dāng)時(shí)，，不符題意；當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱(chēng)軸為，所以，只需，解得：，當(dāng)時(shí)，顯然滿(mǎn)足題意，綜上，的取值范圍為，故答案為：16.設(shè)，，用表示，中較小者，記為，則______；若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】①.2②.【解析】【分析】計(jì)算與，比較大小可得；結(jié)合解不等式，得出的解析式，作出圖象，將方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得答案.【詳解】，，則；由，解得，由，解得或，則，作出圖象，如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為.故答案為：2；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】17.18.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，然后利用集合的并集運(yùn)算求解；（2）先求出，然后利用并集運(yùn)算，求出的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以，解得?故的取值范圍為：.18.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求在上的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，證明在區(qū)間上單調(diào)遞減．【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，又為奇函數(shù)，所以，即．綜上，，，【小問(wèn)2詳解】任取，且，，因?yàn)?，且所以，，且，所以，即，所以，函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．19.某工廠(chǎng)擬建造一個(gè)深為2.5米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，如果池底每平方米的造價(jià)為200元，池壁每平方米的造價(jià)為100元，總造價(jià)不超過(guò)3萬(wàn)元，怎樣設(shè)計(jì)水池，才能使其容積最大?最大容積是多少?【答案】當(dāng)池底的長(zhǎng)和寬均為10米時(shí)，其容積最大，最大容積為立方米【解析】【分析】設(shè)池底的長(zhǎng)為x米，寬為y米，則水池的容積為，由題意得，結(jié)合基本不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化整理，解不等式即可得出結(jié)果．【詳解】設(shè)池底長(zhǎng)為x米，寬為y米，則水池的容積為，由題意得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”，所以，即，解得，即．所以，當(dāng)，即池底的長(zhǎng)和寬均為10米時(shí)，其容積最大．此時(shí)，最大容積為立方米.20.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求的解析式；（2）若存在，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，由條件可得，得到的值即可；（2）令，由條件得，且．令，，由題意可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的解析式為，則，解得，因此．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以．令，則，且．令，，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以．因?yàn)榇嬖冢沟?，所以．所以．又因?yàn)?，所以的取值范圍?21.已知函數(shù)滿(mǎn)足：，．令．（1）求值，并證明為偶函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，．(i)判斷在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；(ii)若，求不等式的解集．【答案】（1），證明見(jiàn)解析；（2）(i)在上單調(diào)遞增，理由見(jiàn)解析；(ii)或【解析】【分析】（1）利用賦值法，根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義證明即可；（2）（i）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可；(ii)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式，解出即可．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋远x域?yàn)?，因?yàn)?，令，則，所以．令，則，所以．令，則，所以，，所以為偶函數(shù).【小問(wèn)2詳解】(i)因?yàn)?，兩邊同除以得，即．任取，且，則，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增．(ii)因?yàn)?，所以，所以原不等式可化為．又為偶函?shù)，且在上單調(diào)遞增，所以，解得或，所以原不等式的解集為或．22.已知函數(shù)，，（1）解關(guān)于x的不等式；（2）從①，②]這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題的橫線(xiàn)處，并給出問(wèn)題的解答．問(wèn)題：是否存在正數(shù)t，使得?若存在，求出t的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）先代入，再進(jìn)行因式分解，最后根據(jù)參數(shù)的取值不同分別得到解集即可；（2）先將題目意思理解為定義域和值域問(wèn)題，然后對(duì)二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的分布分類(lèi)討論，根據(jù)不同情況分別求出和的值，再逐一驗(yàn)證是否符合要求即可.【小問(wèn)1詳解】由，則，即，①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，不等式解集為；③當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，綜上，當(dāng)