中考數(shù)學(xué)試題分類匯編考點(diǎn)26正方形含解析-初中

2018中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：考點(diǎn)26正方形

一.選擇題（共4小題）

1.（2018?無錫）如圖，已知點(diǎn)E是矩形ABCD的對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，正方形EFGH的頂

點(diǎn)G、H都在邊AD上，若AB=3,BC=4,則tan/AFE的值（）

A.等于旦B.等于返

73

C.等于孑D.隨點(diǎn)E位置的變化而變化

4

【分析】根據(jù)題意推知EF〃AD,由該平行線的性質(zhì)推知△AEHSAACD,結(jié)合該相似三角形

的對(duì)應(yīng)邊成比例和銳角三角函數(shù)的定義解答.

【解答】解：；EF〃AD,

ZAFE=ZFAG,

.,?△AEH^AACD,

,EH_CD_3

AHADT

設(shè)EH=3x,AH=4x,

.\HG=GF=3x,

tanNAFE=tan/FAG=°F-―——=—.

AG3x+4x7

故選：A.

2.（2018?宜昌）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E,F分別是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，EG

±AB.EI1AD,FH1AB,FJ±AD,垂足分別為G,I,H,J,則圖中陰影部分的面積等于（）

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，解決問題即可；

【解答】解：?.?四邊形ABCI）是正方形，

直線AC是正方形ABCD的對(duì)稱軸，

VEG±AB.EI1AD,FH±AB,FJ1AD,垂足分別為G,I,H,J.

根據(jù)對(duì)稱性可知：四邊形EFIIG的面積與四邊形EFJI的面積相等，

=

s陰二正方彩ABCI>—,

故選：B.

3.（2018?湘西州）下列說法中，正確個(gè)數(shù)有（）

①對(duì)頂角相等；

②兩直線平行，同旁內(nèi)角相等；

③對(duì)角線互相垂直的四邊形為菱形；

④對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形為正方形.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)，菱形的判定，正方形的判定，平行線的性質(zhì)，可得答案.

【解答】解：①對(duì)頂角相等，故①正確；

②兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故②錯(cuò)誤；

③對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形為菱形，故③錯(cuò)誤；

④對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形為正方形，故④正確，

故選：B.

4.（2018?張家界）下列說法中，正確的是（）

A.兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等

B.對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形

C.相等的角是對(duì)頂角

D.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、正方形的判定、矩形的判定、對(duì)頂角的性質(zhì)、角平分線性質(zhì)逐

個(gè)判斷即可.

【解答】解：A、兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角才相等，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題

意；

B、對(duì)角線相等的四邊形是矩形，不一定是正方形，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意;

C、相等的角不一定是對(duì)頂角，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，正確，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

二.填空題（共7小題）

5.（2018?武漢）以正方形ABCD的邊AD作等邊AADE,則NBEC的度數(shù)是30°或150°

【分析】分等邊4ADE在正方形的內(nèi)部和外部?jī)煞N情況分別求解可得.

?.?四邊形ABCD為正方形，4ADE為等邊三角形,

.,.AB=BC=CD=AD=AE=DE,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,ZAED=ZADE=ZDAE=60°,

.,.ZBAE=ZCDE=150°,又AB=AE,DC=DE,

.,.ZAEB=ZCED=15°,

則NBEC=NAED-ZAEB-ZCED=300.

如圖2,

VAADE是等邊三角形,

；.AD=DE,

?.?四邊形ABCD是正方形,

???AD=DC,

???DE=DC,

.\ZCED=ZECD,

AZCDE=ZADC-ZADE=90°-60°=30°,

.,.ZCED=ZECD=—(180°-30°)=75°，

2

.".ZBEC=360°-75°X2-60°=150°.

故答案為：30°或150°.

6.（2018?呼和浩特）如圖，已知正方形ABCD,點(diǎn)M是邊BA延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重

合），且AM<AB,Z\CBE由aDAM平移得到.若過點(diǎn)E作EIUAC,H為垂足，則有以下結(jié)論:

①點(diǎn)M位置變化，使得/DHC=60°時(shí)，2BE=DM；②無論點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到何處，都有DM=揚(yáng)M；

③無論點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到何處，/CHM一定大于135°.其中正確結(jié)論的序號(hào)為①②③.

【分析】先判定△MEH絲△DAH（SAS）,即可得到△DHM是等腰直角三角形，進(jìn)而得出DM=J見M；

依據(jù)當(dāng)NDHC=60°時(shí)，ZADH=60°-45°=15°,即可得到RtZ\ADM中，DM=2AM,即可得到

DM=2BE；依據(jù)點(diǎn)M是邊BA延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），且AMVAB,可得NAHMVN

BAC=45",即可得出NCHM>135°.

【解答】解：由題可得，AM=BE,

.,.AB=EM=AD,

?.?四邊形ABCD是正方形,EH±AC,

；.EM=AH,ZAHE=90°,NMEH=/DAH=45°=/EAH,

；.EH=AH,

AAMEH^ADAH（SAS）,

AZMHE=ZDHA,MH=DH,

NMHD=/AHE=90°,△DHM是等腰直角三角形，

故②正確；

當(dāng)NDHC=60°時(shí)，ZADH=60°-45°=15°,

ZADM=45°-15°=30°,

.?.入△ADM中，DM=2AM,

即DM=2BE,故①正確；

???點(diǎn)M是邊BA延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，且AM<AB,

AZAHM<ZBAC=45°,

.".ZCHM>135°,故③正確；

故答案為：①②③.

7.（2018?青島）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)E、F分別在AD、DC上,AE=DF=2,

V34

BE與AF相交于點(diǎn)G,點(diǎn)H為BF的中點(diǎn)，連接GH,則GH的長(zhǎng)為.

~~2~

【分析】根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AB=AD,每一個(gè)角都是直角可得/BAE=ND=90°,

然后利用“邊角邊”證明△ABEgaDAF得NABE=/DAF,進(jìn)一步得NAGE=NBGF=90°,從而

知GH=/BF,利用勾股定理求出BF的長(zhǎng)即可得出答案.

【解答】解：；四邊形ABCD為正方形，

AZBAE=ZD=90°,AB=AD,

在AABE和4DAF中，

'AB=AD

?-,<NBAE=ND，

AE=DF

.".△ABE^ADAF(SAS),

???ZABE=ZDAF,

VZABE+ZBEA=90°,

AZDAF+ZBEA=90°,

AZAGE=ZBGF=90°,

丁點(diǎn)H為BF的中點(diǎn),

???GH二

2

???BC=5、CF=CD-DF=5-2=3,

???BE=VBC2+CF^V34?

???GH=4F二立4,

22

故答案為：運(yùn).

2

8.（2018?咸寧）如圖，將正方形OEFG放在平面直角坐標(biāo)系中，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E的坐

標(biāo)為（2,3）,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1,5）.

【分析】結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可以求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，再由正方形的中心對(duì)稱的性質(zhì)求得點(diǎn)

F的坐標(biāo).

【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作x軸的垂線EH,垂足為H.過點(diǎn)G作x軸的垂線EG,垂足為G,

連接GE、FO交于點(diǎn)0'.

?..四邊形0EFG是正方形，

；.0G=E0,ZGOM=ZOEH,ZOGM=ZEOH,

在△OGM與△EOH中，

'NOGM=NEOH

<OG=EO

ZGOM=ZOEH

/.△OGM^AEOH（ASA）

AGM=0H=2,0M=EH=3,

AG(-3,2).

.,.0,

22

?.?點(diǎn)F與點(diǎn)0關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,

...點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1,5）.

故答案是：（-1,5）.

9.（2018?江西）在正方形ABCD中，AB=6,連接AC,BD,P是正方形邊上或?qū)蔷€上一點(diǎn),

若PD=2AP,則AP的長(zhǎng)為2或2J1或.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AC1BD,AC=BD,0B=0A=0C=0D,AB=BC=AD=CD=6,ZABC=90°,

根據(jù)勾股定理求出AC、BD、求出0A、OB、0C、0D,畫出符合的三種情況，根據(jù)勾股定理求

出即可.

【解答】解::四邊形ABCD是正方形，AB=6,

.\AC±BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,AB=BC=AD=CD=6,ZABC=ZDAB=90°,

在RtaABC中，由勾股定理得：AC=^AB2+BC^62+62=672-

.,.0A=0B=0C=0D=3A/2-

AD

有三種情況：①點(diǎn)P在AD上時(shí),

VAD=6,PD=2AP,

，AP=2；

設(shè)AP=x,則DP=2x,

在RtZXDPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2,

（2x）2=（3&）、（3&-x）,，

解得：X=414-JE（負(fù)數(shù)舍去）,

即AP=V14-&：

設(shè)AP=y,則DP=2y,

在RtzMPD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2,

y2+62-（2y）I

解得：y=2百（負(fù)數(shù)舍去），

即AP=2仃

故答案為：2或2JjN--\/2-

10.（2018?濰坊）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，點(diǎn)B在y軸的正半軸

上，點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上，將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°至正方形AB'C'D'的

則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1,但）

【分析】連接AM,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知AD=AB'=1、NBAB'=30°、ZB/AD=60°,證Rt^ADM絲

RtZXAB'M得/DAM=L/B'AD=30°,由DM=ADtanNDAM可得答案.

2

?.?將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形AB'C'D',

.\AD=AB,=1,/BAB'=30°,

AD=60°，

在RtZ\ADM和RSAB'M中,

.JAD二AB'

.".RtAADM^RtAAB1M（HL）,

/.ZDAM=ZB;AM=—ZBZAD=30°,

2

DM=ADtan/DAM=lXF-遍,

33

.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1,返），

3

故答案為：（-1,返）.

3

11.（2018?臺(tái)州）如圖，在正方形ABCD中,AB=3,點(diǎn)E,F分別在CD,AD上，CE=DF,BE,

CF相交于點(diǎn)G.若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3,則aBCG的周長(zhǎng)

為JT^+3.

【分析】根據(jù)面積之比得出△BGC的面積等于正方形面積的g,進(jìn)而依據(jù)ABCG的面積以及

6

勾股定理，得出BG+CG的長(zhǎng)，進(jìn)而得出其周長(zhǎng).

【解答】解：???陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3,

陰影部分的面積為會(huì)9=6,

二空白部分的面積為9-6=3,

由CE=DF,BC=CD,ZBCE=ZCDF=90°,可得4BCEgZXCDF,

/.ABCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為裊3造

22

設(shè)BG=a,CG=b,則京=會(huì)

XVa2+b2=32,

.".a2+2ab+b2=9+6=15,

即(a+b)2=15,

.,.a+b=V15，即BG+CG=V15-

.二△BCG的周長(zhǎng)=任+3,

故答案為：V15+3.

三.解答題（共6小題）

12.（2018?鹽城）在正方形ABCD中，對(duì)角線BD所在的直線上有兩點(diǎn)E、F滿足BE=DF,連

接AE、AF、CE、CF,如圖所示.

（1）求證：AABE絲ZiADF；

(2)試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由.

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可；

(2)四邊形AECF是菱形，根據(jù)對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形即可判斷;

【解答】證明：(1)：正方形ABCD,

.\AB=AD,

ZABD=ZADB,

.,.ZABE=ZADF,

在aABE與AADF中

'AB=AD

?ZABE=ZADF-

BE=DF

.,.△ABE^AADF(SAS)；

四邊形AECF是菱形.

理由：???正方形ABCD,

.\OA=OC,OB=OD,AC±EF,

...OB+BE=OD+DF,

即OE=OF,

VOA=OC,OE=OF,

，四邊形AECF是平行四邊形,

VAC±EF,

四邊形AECF是菱形.

13.（2018?吉林）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,CD上，且BE=CF,求證:

△ABE^ABCF.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用SAS即可證明;

【解答】證明：?.?四邊形ABCD是正方形，

；.AB=BC,ZABE=ZBCF=90°,

在AABE和ABCF中，

rAB=BC

<NABE=NBCF，

,BE=CF

.,.△ABE^ABCF.

14.（2018?白銀）已知矩形ABCD中，E是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F,G,H分別是BC,BE,

CE的中點(diǎn).

（1）求證：△BGF絲△FHC；

【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理和全等三角形的判定證明即可;

（2）利用正方形的性質(zhì)和矩形的面積公式解答即可.

【解答】解：（1）;點(diǎn)F,G,H分別是BC,BE,CE的中點(diǎn)，

；.FH〃BE,FH=ZE,FH=BG,

2

ZCFH=ZCBG,

VBF=CF,

.,.△BGF^AFHC,

(2)當(dāng)四邊形EGFH是正方形時(shí)，可得：EFLGH且EF=GH,

?.?在ABEC中，點(diǎn),H分別是BE,CE的中點(diǎn)，

?*-GH=-^-AD^^-a，且GH〃BC,

AEFIBC,

：AD〃BC,AB±BC,

.,.AB=EF=GH=—a,

2

矩形ABCD的面積=AB，AD=_^_a"a=_^_a、

15.(2018?濰坊)如圖，點(diǎn)M是正方形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AM,作DELAM于點(diǎn)E,BF

J_AM于點(diǎn)F,連接BE.

(1)求證：AE=BF；

(2)已知AF=2,四邊形ABED的面積為24,求NEBF的正弦值.

【分析】(1)通過證明△ABFgZ\DEA得到BF=AE；

(2)設(shè)AE=x,則BF=x,DE=AF=2,利用四邊形ABED的面積等于aABE的面積與aADE的面

積之和得到?^?x?x+t?x?2=24,解方程求出x得到AE=BF=6,則EF=x-2=4,然后利用勾股

定理計(jì)算出BE,最后利用正弦的定義求解.

【解答】(1)證明：?.?四邊形ABCD為正方形，

；.BA=AD,ZBAD=90°,

；DE_LAM于點(diǎn)E,BF_LAM于點(diǎn)F,

AZAFB=90°,ZDEA=90°,

VZABF+ZBAF=90°,ZEAD+ZBAF=90°,

.,.ZABF=ZEAD,

在aABF和ADEA中

，ZBFA=ZDEA

<NABF=NEAD，

AB=DA

.,.△ABF^ADEA(AAS),

.\BF=AE；

(2)解：設(shè)AE=x,則BF=x,DE=AF=2,

,四邊形ABED的面積為24,

A—?x?2=24,解得XF6,X2=-8(舍去)，

22

；.EF=x-2=4,

22=2

在RSBEF中，BE=>/4+6VT3>

EF_4

；.sin/EBF=

BE2A/1313

16.（2018?湘潭）如圖，在正方形ABCD中,AF=BE,AE與DF相交于點(diǎn)0.

（1）求證：ZXDAF絲Z\ABE；

（2）求NA0D的度數(shù).

【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得出AD=AB,ZDAB=ZABC=90°,即可得出結(jié)論;

（2）利用（1）的結(jié)論得出/ADF=NBAE,進(jìn)而求出NADF+NDA0=90°,最后用三角形的內(nèi)

角和定理即可得出結(jié)論.

【解答】（1）證明：???四邊形ABCD是正方形,

ZDAB=ZABC=90°,AD=AB,

'AD二AB

在ADAF和aABE中，NDAF=NABE=9O°

AF=BE

AADAF^AABE(SAS),

(2)由(1)知，△DAFZZXABE,

ZADF=ZBAE,

,/ZADF+ZDAO=ZBAE+ZDAO=ZDAB=90°,

...NA0D=180°-(ZADF+DAO)=90°.

17.(2018?遵義)如圖，正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)0,點(diǎn)E、F分別在AB、BC上(AE<

BE),且NE0F=90°,OE、DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,OF、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,連接MN.

(1)求證：OM=ON.

(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為0M的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).

【分析】(1)證aOAM0ZXOBN即可得；

(2)作0H1AD,由正方形的邊長(zhǎng)為4且E為0M的中點(diǎn)知0H=HA=2、HM=4,再根據(jù)勾股定理

得0加2旄，由直角三角形性質(zhì)知MN=加0M.

【解答】解：(1)??,四邊形ABCD是正方形，

/.OA=OB,ZDA0=45°,Z0BA=45°,

/.Z0AM=Z0BN=135°,

VZE0F=90°,ZA0B=90o,

.??ZA0M=ZB0N,

.,.△OAM^AOBN(ASA),

A0M=0N；

(2)如圖，過點(diǎn)0作OHJ_AD于點(diǎn)H,

???正方形的邊長(zhǎng)為4,

r.0H=HA=2,

：E為OM的中點(diǎn),

，HM=4,

則OM=^22+42=2V5,

.?.MN=&M=2近3