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文檔簡(jiǎn)介
魯教版八年級(jí)上第五章平行四邊形專題7利用平行四邊形的性質(zhì)與判定的四種常見(jiàn)題型題型1利用平行四邊形的性質(zhì)與判定方法判定平行四邊形
1.
[2024·濟(jì)南章丘區(qū)期末]如圖①，在?
ABCD
中，∠
BAD
的
平分線恰好經(jīng)過(guò)邊
CD
的中點(diǎn)
F
，且與邊
BC
的延長(zhǎng)線交
于點(diǎn)
E
.
12345678(1)若
AB
＝6，求
BE
的長(zhǎng)；【解】∵四邊形
ABCD
是平行四邊形，∴
AD
∥
BC
，∴∠
DAF
＝∠
E
.
∵
AE
是∠
BAD
的平分線，∴∠
DAF
＝∠
BAE
，∴∠
BAE
＝∠
E
，∴
BE
＝
AB
＝6.12345678(2)如圖②，連接
BF
，過(guò)點(diǎn)
D
作
DG
⊥
AE
，交
AE
于點(diǎn)
H
，交
AB
于點(diǎn)
G
.
求證：四邊形
BFDG
是平
行四邊形.12345678
123456782.
[2023·濟(jì)南章丘區(qū)期末]如圖，在?
ABCD
中，
E
，
F
分別
是
AD
，
BC
邊上的點(diǎn)，且∠
ABE
＝∠
CDF
.
(1)求證：四邊形
BEDF
是平行四邊形；【證明】∵四邊形
ABCD
是平行四邊形，∴
AD
∥
BC
，
AD
＝
BC
，∠
A
＝∠
DCF
，
AB
＝
CD
.
∵∠
ABE
＝∠
CDF
，∴△
ABE
≌△
CDF
(ASA)，∴
AE
＝
CF
，∴
AD
－
AE
＝
BC
－
CF
，即
DE
＝
BF
.
∵
DE
∥
BF
，∴四邊形
BEDF
是平行四邊形.12345678(2)連接
CE
，若
CE
平分∠
DCB
，
CF
＝3，
DE
＝5，求?
ABCD
的周長(zhǎng).【解】∵
AD
∥
BC
，∴∠
DEC
＝∠
ECB
.
∵
CE
平分∠
DCB
，∴∠
DCE
＝∠
ECB
，∴∠
DEC
＝∠
DCE
，∴
CD
＝
DE
＝5.∵四邊形
BEDF
是平行四邊形，
∴
BF
＝
DE
＝5，∴
BC
＝
BF
＋
CF
＝5＋3＝8，∴?
ABCD
的周長(zhǎng)＝2(
BC
＋
CD
)＝2×(8＋5)＝26.12345678題型2利用平行四邊形的性質(zhì)與判定探究線段的關(guān)系
3.
如圖，點(diǎn)
E
，
F
在
AC
上，
AD
∥
BC
，
DE
∥
BF
，
AE
＝
CF
.
(1)求證：四邊形
BEDF
是平行四邊形；【證明】∵
AD
∥
BC
，∴∠
A
＝∠
C
.
∵
DE
∥
BF
，∴∠
DEF
＝∠
BFE
，∴∠
AED
＝∠
CFB
.12345678
12345678(2)寫(xiě)出圖中所有相等的線段(
AE
＝
CF
除外).【解】由(1)可知△
ADE
≌△
CBF
，四邊形
BEDF
是平行四邊形，∴
AD
＝
CB
，
DE
＝
BF
，
BE
＝
DF
.
∵
AE
＝
CF
，∴
AE
＋
EF
＝
CF
＋
EF
，即
AF
＝
CE
，∴圖中所有相等的線段(
AE
＝
CF
除外)為
AD
＝
CB
，
DE
＝
BF
，
BE
＝
DF
，
AF
＝
CE
.
123456784.
在?
ABCD
中，∠
BAD
的平分線
AE
交
BC
于點(diǎn)
E
，∠
ADC
的平分線
DF
交
BC
于點(diǎn)
F
，
AE
與
DF
交于點(diǎn)
G
.
(1)如圖①，求證：
BF
＝
CE
；12345678【證明】∵四邊形
ABCD
是平行四邊形，∴
AB
＝
CD
，
AD
∥
BC
，∴∠
DAE
＝∠
AEB
.
∵
AE
平分∠
BAD
，∴∠
BAE
＝∠
DAE
，∴∠
BAE
＝∠
AEB
，∴
AB
＝
BE
.
同理
DC
＝
CF
.
又∵
AB
＝
CD
，∴
BE
＝
CF
，∴
BF
＝
CE
.
12345678(2)如圖②，若
AD
＝3
FE
，在不添加任何輔助線的情況
下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖②中的四條線段，使寫(xiě)出的每條線
段的長(zhǎng)都等于線段
EF
長(zhǎng)的2倍.【解】等于線段
EF
長(zhǎng)的2倍的線段有
BE
，
AB
，
CD
，
CF
.
12345678【點(diǎn)撥】∵四邊形
ABCD
是平行四邊形，∴
AD
＝
BC
.
∵
AD
＝3
FE
，∴
BC
＝3
EF
，∴
BF
＋
CE
＝2
EF
.
∵
BF
＝
CE
，∴
BF
＝
EF
＝
CE
，∴
BE
＝
CF
＝2
EF
，由(1)可知
BE
＝
AB
＝
CF
＝
CD
，∴等于線段
EF
長(zhǎng)的2倍的線段有
BE
，
AB
，
CD
，
CF
.
123456785.
[2024·濟(jì)寧高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開(kāi)發(fā)區(qū)期末]如圖，在?
ABCD
中，
AF
平分∠
BAD
交
BC
于點(diǎn)
F
，
CE
平分∠
BCD
交
AD
于點(diǎn)
E
.
(1)若
AD
＝12，
AB
＝8，求
CF
的長(zhǎng)；12345678【解】∵四邊形
ABCD
是平行四邊形，∴
AD
∥
BC
，
BC
＝
AD
＝12，∴∠
DAF
＝∠
AFB
.
∵
AF
平分∠
BAD
，∴∠
BAF
＝∠
DAF
，∴∠
AFB
＝∠
BAF
，∴
BF
＝
AB
＝8，∴
CF
＝
BC
－
BF
＝12－8＝4.12345678(2)連接
BE
，
DF
，
BE
和
AF
相交于點(diǎn)
G
，
DF
和
CE
相
交于點(diǎn)
H
，連接
GH
，求證：
EF
和
GH
互相平分.【證明】∵四邊形
ABCD
是平行四邊形，∴∠
BAD
＝∠
BCD
.
∵
AF
平分∠
BAD
，
CE
平分∠
BCD
，∴∠
DAF
＝∠
FCE
.
∵∠
DAF
＝∠
AFB
，∴∠
AFB
＝∠
FCE
，∴
AF
∥
CE
.
∵
AE
∥
CF
，∴四邊形
AFCE
是平行四邊形，∴
AE
＝
CF
.
12345678∵
AD
＝
BC
，∴
DE
＝
BF
.
∵
DE
∥
BF
，∴四邊形
BFDE
是平行四邊形，∴
BE
∥
DF
.
∵
AF
∥
CE
，∴四邊形
EGFH
是平行四邊形，∴
EF
和
GH
互相平分.12345678題型3利用平行四邊形的性質(zhì)與判定解決翻折問(wèn)題
6.
如圖，在長(zhǎng)方形紙片
ABCD
中，翻折∠
B
，∠
D
，使
BC
，
AD
都恰好落在
AC
上，
F
，
H
分別是
B
，
D
落在
AC
上的兩點(diǎn)，
E
，
G
分別是折痕
CE
，
AG
與
AB
，
CD
的交點(diǎn).(1)求證：四邊形
AECG
是平行四邊形；12345678
∴四邊形
AECG
是平行四邊形.12345678(2)若
AB
＝4
cm，
BC
＝3
cm，求線段
EF
的長(zhǎng).
123456787.
(1)如圖①，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
AD
是∠
BAC
的平
分線，過(guò)點(diǎn)
B
作
BE
∥
AC
，交
AD
的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
E
.
求
證：
AB
＝
BE
.
【證明】∵
AD
是∠
BAC
的平分線，∴∠
BAD
＝∠
CAD
.
∵
BE
∥
AC
，∴∠
CAD
＝∠
E
.
∴∠
BAD
＝∠
E
.
∴
AB
＝
BE
.
12345678(2)如圖②，將平行四邊形紙片
ABCD
折疊，使得點(diǎn)
C
落
在點(diǎn)
A
的位置，點(diǎn)
D
落在點(diǎn)
G
的位置，折痕為
EF
，連
接
CF
.
求證：四邊形
AECF
是平行四邊形.12345678【證明】根據(jù)折疊可得
AE
＝
CE
，∠
AEF
＝∠
CEF
.
∵四邊形
ABCD
是平行四邊形，∴
AD
∥
CB
.
∴∠
AFE
＝∠
CEF
.
∴∠
AEF
＝∠
AFE
.
∴
AE
＝
AF
.
∵
AE
＝
CE
，∴
AF
＝
CE
.
又∵
AF
∥
CE
，∴四邊形
AECF
是平行四邊形.12345678題型4利用平行四邊形的性質(zhì)解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
8.
如圖，在四邊形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AD
＝6
cm，
BC
＝1
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