2024-2025學(xué)年江蘇省南京市玄武區(qū)科利華中學(xué)九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江蘇省南京市玄武區(qū)科利華中學(xué)九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共6小題，每小題3分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖，這是一張海上日出照片，如果把太陽看作一個(gè)圓，把海平面看作一條直線，那么這個(gè)圓與這條直線的位置關(guān)系是(

)

A.相離 B.相切 C.相交 D.不確定2.一元二次方程x2?6x?1=0配方后可變形為(

)A.x+32=10 B.x+32=8 C.3.某社區(qū)為改善環(huán)境，決定加大綠化投入．四月份綠化投入25萬元，四至六月份的綠化總投入將達(dá)到109萬元，五月份和六月份綠化投入的月平均增長率相同．設(shè)五月份和六月份綠化投入的月平均增長率為x，根據(jù)題意所列方程為(

)A.251+x+251+2x=109 B.251?x24.如圖，過點(diǎn)A作⊙O的切線AB，AC，切點(diǎn)分別是B，C，連接BC.過BC?上一點(diǎn)D作⊙O的切線，交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn).若∠A=90°，?AEF的周長為4，則BC的長為A.2 B.2C.4 D.45.若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且滿足4a?2b+c=0.則A.b=a

B.c=2a

C.a(x+2)2=06.如圖，在⊙O中，直徑AB為8，弦CD經(jīng)過OA的中點(diǎn)P，則PC2+PD2的最小值為A.12 B.24 C.36 D.40二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。7.寫出以?1，2為根的一元二次方程

．8.已知x=1是方程x2?3x+c=0的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)c的值是

．9.如圖，⊙O的直徑AB平分弦CD(不是直徑).若∠D=35°，則∠C=

?°

10.已知AB是圓O的一條弦，且AB=OA，則弦AB所對的圓周角是

．11.若直角三角形的兩邊a、b是方程x2?7x+12=0的兩個(gè)根，則該直角三角形的內(nèi)切圓的半徑r?=

．12.“青山綠水，暢享生活”，人們經(jīng)常將圓柱形竹筒改造成生活用具，圖1所示是一個(gè)竹筒水容器，圖2為該竹筒水容器的截面．已知截面的半徑為10cm，開口AB寬為12cm，這個(gè)水容器所能裝水的最大深度是

cm．

13.如圖，?ABC中，∠C=90°,AC=5,AB=13,D為BC邊的中點(diǎn)，以AD上一點(diǎn)O為圓心的⊙O和AB、BC均相切，則⊙O的半徑為

．

14.關(guān)于x的方程x+m?12=b(m,b為常數(shù)，且b>0)的解是x1=?1，x2=4，則關(guān)于x的方程15.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，E為OB上一點(diǎn)，E、C關(guān)于BD對稱，∠ODE=30°，則∠C=

°.

16.我們知道任意三角形都存在內(nèi)切圓．同樣的，一些凸四邊形也存在內(nèi)切圓．我們規(guī)定：存在與凸四邊形的三條邊相切的圓叫四邊形的偽內(nèi)切圓．以下結(jié)論正確的是：

．①凸四邊形必存在偽內(nèi)切圓；②當(dāng)平行四邊形只存在1個(gè)偽內(nèi)切圓時(shí)，它的對角線一定相等；③矩形偽內(nèi)切圓個(gè)數(shù)可能為1、2、4；④當(dāng)且僅當(dāng)四邊形對角線互相垂直平分且相等時(shí)，該四邊形的偽內(nèi)切圓與內(nèi)切圓重合．三、計(jì)算題：本大題共1小題，共6分。17.用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼庀铝蟹匠蹋?1)x(2)2x(3)x(4)x?2四、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.(本小題8分)

已知關(guān)于x的一元二次方程(m+1)x2(1)求m的取值范圍；(2)當(dāng)m取滿足條件的最小奇數(shù)時(shí)，求方程的根．19.(本小題8分)小宇要對一幅書法作品進(jìn)行裝裱，裝裱后如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統(tǒng)稱為邊，已知原作品的長為60cm，寬為24cm，在裝裱后左右兩邊的邊寬相等，天頭長與地頭長也相等，且均為一邊寬的5倍，如果在裝裱后，原作品的面積恰好是裝裱后作品總面積的92020.(本小題8分)如圖，已知AB是⊙P的直徑，點(diǎn)C在⊙P上，D為⊙P外一點(diǎn)，且∠ADC=90°，直線CD為

(1)若∠B=30°,AC=2(2)試說明：2∠B+∠DAB=18021.(本小題8分)如圖，AB為⊙O的直徑，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，D為OB上一點(diǎn)，延長CD交⊙O于點(diǎn)E，延長OB至F，使DF=EF，連接EF．

(1)求證：EF為⊙O的切線；(2)若OD=1且BD=BF，求⊙O的半徑．22.(本小題8分)如圖，AB是⊙O的直徑，過⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的兩條切線PC,PD，切點(diǎn)分別為C，D，連接OP,CD．

(1)求證：OP⊥CD；(2)連接AD,BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，23.(本小題8分)

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P在⊙O上，PD恰好經(jīng)過圓心O，連接PB．

(1)若CD=8，BE=2，求⊙O的周長；(2)若∠P=∠D，點(diǎn)E是AB的一個(gè)四等分點(diǎn)嗎？為什么？24.(本小題8分)請閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：人類對一元二次方程的研究經(jīng)歷了漫長的歲月．一元二次方程及其解法最早出現(xiàn)在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中．到了中世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米在他的代表作《代數(shù)學(xué)》中給出了一元二次方程的一般解法，并用幾何法進(jìn)行了證明．我國古代三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽也給出了類似的幾何解法．趙爽在其所著的《公股圓方圖注》中記載了解方程x2+5x?14=0，即x(x+5)=14的方法．首先構(gòu)造了如圖1所示的圖形，圖中的大正方形面積是(x+x+5)2，其中四個(gè)全等的小矩形面積分別為x(x+5)=14，中間的小正方形面積為52任務(wù)：(1)參照上述圖解一元二次方程的方法，請?jiān)谌齻€(gè)構(gòu)圖中選擇能夠說明方程x2?3x?10=0解法的正確構(gòu)圖是

(從序號(hào)①②③中選擇)．(2)請你通過上述問題的學(xué)習(xí)，在圖2的網(wǎng)格中設(shè)計(jì)正確的構(gòu)圖，用幾何法求方程x2+2x?15=0的正數(shù)解(25.(本小題8分)在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于點(diǎn)D，連接CD．

(1)如圖1，若點(diǎn)D與圓心O重合，AC=3，求⊙O的半徑；(2)如圖2，若點(diǎn)D與圓心O不重合，∠BAC=26°，請求出(3)如圖2，如果AD=6，DB=4，那么AC的長為

.(直接寫出答案)26.(本小題8分)【操作體驗(yàn)】如圖①，已知線段AB和直線l，用直尺和圓規(guī)在l上作出所有的點(diǎn)P，使得∠APB=30°，如圖②，小明的作圖方法如下：

第一步：分別以點(diǎn)A，B為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧在AB上方交于點(diǎn)O；第二步：連接OA，OB；第三步：以O(shè)為圓心，OA長為半徑作⊙O，交l于P1所以圖中P1,(1)在圖②中，連接P1A,(2)【方法遷移】如圖③，用直尺和圓規(guī)在矩形ABCD內(nèi)作出所有的點(diǎn)P，使得∠BPC=45°，(不寫做法，保留作圖痕跡)．(3)【深入探究】已知矩形ABCD，BC=2.AB=m，P為AD邊上的點(diǎn)，若滿足∠BPC=45°的點(diǎn)P恰有兩個(gè)，則m的取值范圍為

．(4)已知矩形ABCD，AB=3，BC=2，P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠BPC=135°，若點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)Q，則PQ的最小值為

．

參考答案1.C

2.C

3.D

4.B

5.C

6.B

7.x2?x?2=0(答案不唯一8.2

9.55

10.30°或15011.1或7?1212.18

13.301914.x115.130

16.①

17.【小題1】解：∵∴(x?3)(x+1)=0，∴x?3=0或x+1=0，∴x【小題2】解：2x∵a=2,b=3,c=?1，∴Δ=3∴x=?3±∴x=?3±∴x【小題3】解：∵x∴x∴x∴x?3∴x?3=±2∴x【小題4】解：∵x?2∴x?2∴x?2∴x?2=0或x?2?3=0，∴x

18.【小題1】∵關(guān)于x的一元二次方程(m+1)x∴m+1≠0且Δ>0，∵Δ=(2m)∴2m+3>0，解得m>?3∴m的取值范圍是m>?32且【小題2】在m>?32且m≠?1的范圍內(nèi)，最小奇數(shù)m為此時(shí)，方程化為x2∵Δ=b∴x=?1±∴方程的根為x1=?1+

19.解：設(shè)裝裱后左右兩邊的邊寬為xcm，則天頭長與地頭長為5xcm，60+2×5x24+2x整理得：x2解得：x1=4,x答：裝裱后左右兩邊的邊寬為4厘米．

20.【小題1】連接AC，

∵AB是⊙P的直徑，∴∠ACB=90∵∠B=30°∴AB=2AC=4，∴⊙P的半徑為2．【小題2】連接CP，如下圖：

∵直線CD為⊙P的切線，∴∠DCP=90∵∠ADC=90∴∠ADC+∠DCP=180∴CP//AD，∴∠CPA+∠DAB=180∵CP=PB，∴∠B=∠PCB，∴∠CPA=2∠B，∴2∠B+∠DAB=180

21.【小題1】證明：如圖，連接OE，∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，∵DF=EF，∴∠FED=∠FDE，∵∠FDE=∠CDO，∠CDO+∠OCD=90∴∠FED+∠OEC=90°，即∴OE⊥EF，∵OE是半徑，∴EF為⊙O的切線；【小題2】解：設(shè)⊙O的半徑EO=BO=r，則BD=BF=r?1，∴FE=FD=2BD=2r?2，∴OF=2r?1．在Rt?FEO中，由勾股定理得，F(xiàn)E∴2r?2解得r=3，或r=1(舍去)，∴⊙O的半徑為3．

22.【小題1】證明：連接OC,OD，則OC=OD，

∵PD,PC是⊙O的切線，∵∠ODP=∠OCP=90在Rt?ODP和Rt?OCP中，OD=OC∴Rt?ODP≌Rt?OCP，∴∠DOP=∠COP，∵OD=OC，∴OP⊥CD；【小題2】解：如圖，

∵OA=OD=OC=OB=2，∠DAB=50°，∴∠ADO=∠DAO=50∴∠AOD=80∴∠COD=60∵OD=OC，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OC=2．

23.【小題1】設(shè)⊙O的半徑為R，∵AB⊥CD，AB過O，CD=8，∴∠OED=90°，CE=DE=4，在Rt△OED中，由勾股定理得：ODR2解得：R=5，即⊙O的半徑為5，∴⊙O的周長為2π×5=10π；【小題2】若∠P=∠D，點(diǎn)E是AB的一個(gè)四等分點(diǎn)，理由是：設(shè)PB和CD交于F，連接OF，∵AB⊥CD，AB過O，∴BC∵∠P=∠D，∴PC∴PC∵PD過O，∴PC、BC、BD的度數(shù)是1∴∠P=∠D=30°，∴∠BFD=∠P+∠D=60°，∵AB⊥CD，∴∠OEF=∠FEB=90°，∴∠FBE=180°?90°?60°=30°，∵∠P=∠D，∴PF=DF，∵PO=DO，∴∠PFO=∠DFO=1∴∠FOB=180°?60°?90°=30°=∠FBE，∴OF=BF，∵CD⊥OB，∴OE=BE，∵AO=BO，∴點(diǎn)E是AB的一個(gè)四等分點(diǎn)，即當(dāng)∠P=∠D時(shí)，點(diǎn)E是AB的一個(gè)四等分點(diǎn)．

24.【小題1】【空1】②【小題2】首先構(gòu)造了如圖2所示的圖形，圖中的大正方形面積是x+x+22，其中四個(gè)全等的小矩形面積分別為xx+2=15所以大正方形的面積又可表示為4×15+2進(jìn)一步可知大正方形的邊長為8，所以x+x+2=8，解得x=3.

25.【小題1】解：設(shè)D在原來弧上的對應(yīng)點(diǎn)為D′，連接DD′、AD′，∵點(diǎn)D和點(diǎn)D′關(guān)于AC對稱，∴DD′⊥AC，DE=1∵點(diǎn)D與圓心O重合，∴AE=1設(shè)OA=OD′=r,OE=1在Rt?AOE中，AE即32解得：r1=∴求出半徑為3

【小題2】解：設(shè)D在原來弧上的對應(yīng)點(diǎn)為D′，連接CD′、AD′