大學物理課件：剛體力學

剛體

3.1定軸轉(zhuǎn)動剛體運動學3.2轉(zhuǎn)動定理3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功與能3.4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理角動量守恒定律1、剛體的概念剛體內(nèi)任意兩點間的連線在運動過程中始終保持平行，剛體的這種運動稱為平動。1.剛體的平動和定軸轉(zhuǎn)動在力作用下，大小和形狀都保持不變的物體稱為剛體。即物體內(nèi)任意兩點之間的距離不因外力而改變。3.1定軸轉(zhuǎn)動剛體運動學當剛體內(nèi)所有點都繞同一直線作圓周運動，這種運動稱為轉(zhuǎn)動。若轉(zhuǎn)軸的位置和方向是固定不動的，此時剛體的轉(zhuǎn)動稱為定軸轉(zhuǎn)動。

描述剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角量角速度角加速度

按照勻變速直線直線運動公式得勻變速轉(zhuǎn)動相應(yīng)公式

(運動學方程)離轉(zhuǎn)軸距離為的質(zhì)元線速度和剛體角速度關(guān)系加速度與剛體的角加速度和角速度關(guān)系質(zhì)點直線運動或剛體平動剛體的定軸轉(zhuǎn)動速度角速度加速度角加速度位移角位移vvrrxx11tt22xx(())ttxx(())rr11tt22(())tt(())qqqqqqwwddddttwwddddttqqaabbddddttvvddddtt勻速直線運動ssssvvtt勻角速定軸轉(zhuǎn)動qqwwtt勻變速直線運動勻變角速定軸轉(zhuǎn)動ss002211++vvtt22aattqqww00++tt2211bb22tt22vvvv002222aassww22ww002222bbqqvvvv00++aattwwww00++bbtt例3-1

一條繩索繞過一個定滑輪拉動升降機，如圖3-1(a)所示。滑輪的半徑為r=0.5m，如果升降機從靜止開始以加速度a=0.4m·s-2勻加速上升，求：（1）滑輪的角加速度；（2）開始上升后t=5s末滑輪的角速度；（3）在這5s內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)；（4）開始上升后t’=1s末滑輪邊緣上一點的加速度（假定繩索和滑輪之間不打滑且繩索不伸長）。（a）（b）解：為了圖示清晰，將滑輪放大為如圖3-1（b）所示。（1）由于升降機的加速度和滑輪邊緣上的一點的切向加速度相等，所以滑輪的角加速度為(rad·s-2)（2）由于所以5s末滑輪的角速度為(rad·s-1)（3）在這5s內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過的角度為(rad)所以在這5s內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為(圈)（4）結(jié)合題意，由圖3-1（b）可以看出由此可得滑輪邊緣上一點在升降機開始上升后t’=1s時的加速度為這個加速度的方向與滑輪邊緣的切線方向的夾角為解:(1)將轉(zhuǎn)速化為弧度

例

一飛輪半徑為0.2m，轉(zhuǎn)速為，因受到制動而均勻減速，經(jīng)30停止運動。求(1)角加速度和此時間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)圈數(shù)；(2)制動開始后飛輪的角速度；(3)時飛輪邊緣上一點的線速度、切向加速度和法向加速度。飛輪勻減速運動負號表示方向相反飛輪在30s內(nèi)轉(zhuǎn)過角度為飛輪總共轉(zhuǎn)過角度為(2)(3)課后習題3-1一、力矩力的作用線通過轉(zhuǎn)軸或是平行于轉(zhuǎn)軸，無法使物體轉(zhuǎn)動。力的大小、方向和力的作用點相對于轉(zhuǎn)軸位置，是決定轉(zhuǎn)動效果的幾個重要因素。3.2轉(zhuǎn)動定理力的大小與力臂乘積為力對轉(zhuǎn)軸的力矩。用表示在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)只考慮垂直與轉(zhuǎn)軸的作用力1.定義：力矩有大小和方向是矢量(運動學方程)力矩矢量可用矢徑和力的矢積表示。即由右手螺旋法則確定。

方向垂至于和所構(gòu)成平面。2.力矩的矢量表示二、轉(zhuǎn)動定理從牛頓第二定律出發(fā)推導剛體角加速度和外力矩之間關(guān)系遍及剛體內(nèi)所有質(zhì)點1.推導：由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，故剛體內(nèi)所有力矩綜合為零

為剛體內(nèi)所有質(zhì)點所受到外力對轉(zhuǎn)軸力矩之和，即合外力矩，用M表示。轉(zhuǎn)動慣量——表示剛體相對于確定轉(zhuǎn)軸的特征的物理量——繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體，其角加速度與它所受合外力矩成正比，與剛體轉(zhuǎn)動慣量成反比。這一結(jié)論就是剛體定軸轉(zhuǎn)動定理。剛體內(nèi)各質(zhì)點相對于轉(zhuǎn)軸的分布決定2.說明：三、轉(zhuǎn)動慣量剛體的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體內(nèi)各質(zhì)點的質(zhì)量與其到轉(zhuǎn)軸距離平方的乘積之和。質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量不連續(xù)分布例3-2有一質(zhì)量為m，長為l

的均勻細桿，求：（1）以桿的中垂線為軸的轉(zhuǎn)動慣量；（2）過桿的端點與桿垂直的軸線的轉(zhuǎn)動慣量。解（1）建立如圖所示坐標系在x處取質(zhì)元dx，其質(zhì)量為由于軸通過桿中心該質(zhì)量元繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為建立如圖所示坐標系在x處取質(zhì)元dx，其質(zhì)量為該質(zhì)量元繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為(2)轉(zhuǎn)軸通過桿的一端并與桿垂直。結(jié)果表明同一剛體對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量不同。對軸轉(zhuǎn)動慣量：轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理

剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動慣量

剛體繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量

兩軸間垂直距離dC

細棒(轉(zhuǎn)動軸通過中心與棒垂直)

圓柱體(轉(zhuǎn)動軸沿幾何體)

薄圓環(huán)(轉(zhuǎn)動軸沿幾何體)

球體(轉(zhuǎn)動軸沿球的任一直徑)細棒(轉(zhuǎn)動軸通過棒的一端與與棒垂直)

圓筒(轉(zhuǎn)動軸沿幾何軸)解：引入質(zhì)量面密度，單位面積質(zhì)量為整個圓盤對該軸轉(zhuǎn)動慣量為薄圓盤可以看成是許多同心圓盤的集合，在圓盤上任取一半徑為，寬度為的窄圓環(huán)，圓環(huán)的面積為，圓環(huán)質(zhì)量.此窄圓環(huán)上各點到轉(zhuǎn)軸距離都為，該圓環(huán)對通過盤心垂直與圓盤的軸的轉(zhuǎn)動慣量為例3-3

如圖所示，一質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓盤，求：①通過圓心且垂直于盤面的軸線的轉(zhuǎn)動慣量J0②通過圓盤邊緣(A點)且垂直于盤面軸線的轉(zhuǎn)動慣量JA。（1）②求JA，只需要應(yīng)用轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理確定轉(zhuǎn)動慣量的三個要素:(1)與剛體總質(zhì)量有關(guān)。總質(zhì)量越大，剛體轉(zhuǎn)動慣量越大。(2)與質(zhì)量分布有關(guān)。剛體上質(zhì)量分布離軸越遠，轉(zhuǎn)動慣量越大。(3)與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。四、轉(zhuǎn)動定理應(yīng)用舉例解：將三個物體隔離出來受力分析其中和大小不能假定相等，但對平動物體應(yīng)用牛頓第二定律例3-4如圖所示，一不能伸長的輕繩跨過一軸承光滑的定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體，且m1<m2,設(shè)滑輪的質(zhì)量為M，半徑為R，繩與輪之間無相對滑動，求物體的加速度和繩中張力。

對轉(zhuǎn)動滑輪，由于轉(zhuǎn)軸通過輪中心，所以僅有張力和對它有力矩作用。由轉(zhuǎn)動定律其中滑輪轉(zhuǎn)動慣量Olm

Cx解重力對整個棒的合力矩等于重力全部集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩對于細直棒質(zhì)心位于處合力矩：由轉(zhuǎn)動定律：例3-5

一根長為l，質(zhì)量為m的均勻細直桿，可繞通過其一端且與桿垂直的光滑水平軸轉(zhuǎn)動，如圖將桿由水平位置靜止釋放，求它下擺角為θ時的角加速度和角速度。課后習題3-23-33-43-15一、力矩做功對于有限角位移，外力做功用積分表示外力對轉(zhuǎn)動剛體所做的元功等于相應(yīng)的力矩和角位移的乘積力所做元功表示為O3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功和能二、剛體的轉(zhuǎn)動動能和重力勢能1.繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能剛體的總動能正是剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體的轉(zhuǎn)動動能剛體受到保守力作用，可引入勢能概念。重力場中剛體就具有一定重力勢能。根據(jù)質(zhì)心定義，該剛體質(zhì)心高度為重力勢能可以表示為2.

定軸轉(zhuǎn)動剛體的勢能三、定軸轉(zhuǎn)動的動能定理對于一有限過程合外力矩對剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理設(shè)作用于剛體的合外力矩為M，剛體轉(zhuǎn)過角位移dθ時，合外力矩的功為

由轉(zhuǎn)動定律：例3-6

某一沖床利用飛輪的轉(zhuǎn)動動能通過曲柄連桿機構(gòu)的傳動，帶動沖頭在鐵板上穿孔。已知飛輪為均勻圓盤，其半徑為r=0.4m，質(zhì)量為m=600kg，飛輪的正常轉(zhuǎn)速是，沖一次孔轉(zhuǎn)速降低20%。求沖一次孔沖頭做的功。解：以和分別表示沖孔前后的飛輪的角速度由轉(zhuǎn)動動能定理又例3-7半徑R質(zhì)量M的圓盤滑輪可繞通過盤心的水平軸轉(zhuǎn)動，滑輪上繞有輕繩，繩的一端懸掛質(zhì)量為m的物體。當物體從靜止下降距離h時，物體速度是多少？解：以滑輪、物體和地球組成系統(tǒng)為研究對象。由于只有保守力做功，故機械能守恒。初態(tài)：動能為零，重力勢能為末態(tài)：動能包括滑輪轉(zhuǎn)動動能和物體平動動能設(shè)終態(tài)時重力勢能為零由機械能守恒課后習題3-63-17定義：力矩與力矩作用時間的乘積稱為沖量矩。1.沖量矩3.4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理角動量守恒定律

數(shù)學表達：

一、沖量矩角動量

2.角動量整個剛體的角動量就是剛體上每一個質(zhì)元的角動量——即每個質(zhì)元的動量對轉(zhuǎn)軸之矩的和。2.1質(zhì)點的角動量定義質(zhì)點相對原點的角動量定義為方向由右手螺旋法則得到：右手拇指伸直，其余四指由矢徑通過小于的角彎向，拇指所指方向就是的方向。質(zhì)點作圓周運動的角動量剛體對軸的角動量為剛體對轉(zhuǎn)軸的角動量等于其轉(zhuǎn)動慣量與角速度乘積。剛體繞軸的轉(zhuǎn)動慣量2.2剛體的角動量1.質(zhì)點角動量定理及守恒定律質(zhì)點所受合外力矩等于質(zhì)點角動量對時間的變化率對時間求導矢積定義二、角動量定理和角動量守恒定理若質(zhì)點所受合外力矩為零，即如果質(zhì)點所受合外力矩為零，則質(zhì)點的角動量保持不變，這就是質(zhì)點的角動量守恒定律。解：衛(wèi)星在運動過程中，所受力主要是萬有引力，其它力忽略不計，故衛(wèi)星在運動過程中對地心角動量守恒。例：我國第一顆人造地球衛(wèi)星沿橢圓軌道繞地球運動，地心為該橢圓的一個焦點。已知地球半徑，衛(wèi)星的近地點到地面距離，衛(wèi)星的遠地點到地面距離。若衛(wèi)星在近地點速率為，求它在遠地點速率。在近地點和遠地點，所以2.剛體的角動量定理及守恒定律剛體所受合外力矩與角加速度關(guān)系為利用角動量表示剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，作用于剛體的合外力矩等于剛體繞此軸的角動量對時間的變化率。這是剛體角動量定理的一種形式。當合外力矩為零時如果物體所受合外力矩為零，或不受外力矩的作用，物體的角動量保持不變，這就是角動量守恒定律。注意(1)角動量守恒定律不僅適用于剛體，對非剛體同樣適用(2)角動量守恒定律對天體運動以及微觀粒子運動同樣適用例3-8

如圖，一均質(zhì)桿，長為L、質(zhì)量為M。可繞水平光滑轉(zhuǎn)軸自由轉(zhuǎn)動。今有一質(zhì)量為m，速度為v0的子彈，沿水平方向距水平轉(zhuǎn)軸距離為a射入豎直、靜止的桿內(nèi)。桿能擺起的最大角度θmax=60°，求v0。解：把子彈與桿作系統(tǒng)。由于子彈入射桿的瞬間，系統(tǒng)合外力矩為零故角動量守恒。設(shè)子彈射入后桿起擺的角速度為ω，則有：

子彈射入后一起擺動的過程只有重力做功，故系統(tǒng)機械能守恒。

課后習題3-93-103-18一.剛體的概念剛體內(nèi)任意兩點間的連線在在運動過程中始終保持平行，剛體的這種運動稱為平動。1.剛體的平動和定軸轉(zhuǎn)動在力作用下，大小和形狀都保持不變的物體稱為剛體。當剛體內(nèi)所有點都繞同一直線作圓周運動，這種運動稱為轉(zhuǎn)動。若轉(zhuǎn)軸的位置和方向是固定不動的，此時剛體的轉(zhuǎn)動稱為定軸轉(zhuǎn)動。二.力矩力的大小與力臂乘積為力對轉(zhuǎn)軸的力矩。用表示力矩矢量可用矢徑和力的矢積表示。——繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體，其角加速度與它所受合外力矩成正比，與剛體轉(zhuǎn)動慣量成反比。這一結(jié)論就是剛體定軸轉(zhuǎn)動定理。三.轉(zhuǎn)動定理四