224均值不等式及其應(yīng)用（2知識點5題型鞏固訓(xùn)練）

2.2.4均值不等式及其應(yīng)用課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、學(xué)會推導(dǎo)并掌握均值不等式定理.2、能夠簡單應(yīng)用定理求最值.1、通過對均值不等式不同形式應(yīng)用的研究，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想2、了解均值不等式的幾何意義。3、教材用作差配方法證明均值不等式，并用定理求最值問題。4、掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等。知識點01均值不等式（1）算術(shù)平均值與幾何平均值給定兩個正數(shù)a，b，數(shù)eq\f(a＋b,2)稱為a，b的算術(shù)平均值；數(shù)eq\r(ab)稱為a，b的幾何平均值．多個正數(shù)的算術(shù)平均值和幾何平均值可以類似地定義，例如a，b，c的算術(shù)平均值為eq\f(a＋b＋c,3)，幾何平均值為eq\r(3,abc).（2）均值不等式如果a，b都是正數(shù)，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．均值不等式也稱為基本不等式，其實質(zhì)是：兩個正實數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值．(1)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：當(dāng)a＝b且僅當(dāng)a＝b時，不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)能取到等號，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab).(2)均值不等式可變形為a＋b≥2eq\r(ab)，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2).【即學(xué)即練1】【多選】（2024·廣東江門·高一新會陳經(jīng)綸中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題中正確的是（）A．當(dāng)時，B．若，則的最小值是C．當(dāng)時，D．的最小值是【答案】BC【分析】對于A，舉反例即可判斷A錯誤；對于B，利用基本不等式可得B正確；對于C，利用基本不等式可得C正確；對于D，不滿足基本不等式取等號的條件，判斷D錯誤.【詳解】若，則，顯然不滿足，A錯誤；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，最小值是，B正確；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，最小值是，C正確；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，顯然無解，故取不到最小值，D錯誤.故選：BC.知識點02均值不等式與最大(小)值已知x，y都是正數(shù)．(1)如果積xy是定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y是定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.可以表述為：兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值；兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值．可簡記為“兩正數(shù)積定和最小，和定積最大”．利用均值不等式求最值必須滿足三個條件才可以進(jìn)行，即“一正、二定、三相等”．具體理解如下：(1)“一正”，即所求最值的各項必須都是正值，否則就容易得出錯誤的答案．(2)“二定”，即含變量的各項的和或者積必須是常數(shù)，即要求a＋b的最小值，ab必須是定值；求ab的最大值，a＋b必須是定值．(3)“三相等”，即必須具備不等式中等號成立的條件，才能求得最大值或最小值．【即學(xué)即練2】【多選】（2024·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)正實數(shù)x，y滿足，則（）A．的最大值是 B．的最小值是9C．的最小值為 D．的最小值為2【答案】BC【分析】根據(jù)基本不等式一一求解最值即可.【詳解】對于A，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，故A錯誤；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故B正確；對于C，由A可得，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故C正確；對于D，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故D錯誤；故選：BC.易錯：利用基本不等式求最值示例若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是()A．245B．285C．5錯誤的根本原因是忽視了兩次使用基本不等式，等號成立的條件必須一致．【錯解】由x＋3y＝5xy?5xy≥23xy，因為x＞0，y＞0，所以25x2y2≥12xy，即xy≥1225所以3x＋4y≥212xy≥212·1225＝當(dāng)且僅當(dāng)3x＝4y時取等號，故3x＋4y的最小值是245【正解】由x＋3y＝5xy可得15y+35x＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)15y+3當(dāng)且僅當(dāng)x＝1，y＝12故3x＋4y的最小值是5.【答案】C【題型1：對均值不等式的理解】例1．（2024·廣東廣州·高一廣州市第四十一中學(xué)校考階段練習(xí)）《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數(shù)法成了后世西方數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明現(xiàn)有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC＝a，BC＝b，可以直接通過比較線段OF與線段CF的長度完成的無字證明為（）A．a(chǎn)2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）【答案】C【分析】由圖形可知，，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，結(jié)合CF≥OF即可得出.【詳解】解：由圖形可知，，，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF＝，∵CF≥OF，∴，故選：C.變式1.（2024·北京·高一豐臺第十二中學(xué)校考期中）下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，的最小值是C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，的最小值為1【答案】C【解析】對于A，當(dāng)時，，故A錯誤，對于B，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故B錯誤，對于C，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故C正確，對于D，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故D錯誤，故選：C變式2.（2024·湖北十堰·高一鄖陽中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）下列推導(dǎo)過程，其中正確的是（）A．因為為正實數(shù)，所以B．因為，所以C．因為，所以D．因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立【答案】ABD【解析】對于A，為正實數(shù)，有，且，又當(dāng)且僅當(dāng)時，成立，滿足均值不等式的條件，A正確；對于B，，當(dāng)時，，且，顯然不存在大于3的正數(shù)a使成立，所以，B正確；對于C，因為，則，不符合均值不等式成立的條件，C錯誤；對于D，，則，且，又當(dāng)且僅當(dāng)時，成立，滿足均值不等式的條件，D正確.故選：ABD變式3.（2024·全國·高一專題練習(xí)）如果，那么下列不等式正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知，利用基本不等式得出，因為，則，，所以，，∴.故選：B變式4.（2024·江蘇常州·高一?？茧A段練習(xí)）下列說法，其中一定正確的是（）A．B．C．D．的最小值為【答案】B【解析】對于A：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A錯誤；對于B：因為，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故B正確；對于C：當(dāng)時，滿足，但是，故C錯誤；對于D：令，因為在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即的最小值為，故D錯誤；故選：B【方法技巧與總結(jié)】基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方【題型2：利用均值不等式求最值】例2.（2024·陜西西安·高一校考期中）已知，，，則的最小值為（）A．1B．2C．4D．8【答案】B【解析】因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故選：B變式1.（2024·海南·高一?？计谥校┮阎?，代數(shù)式的最大值為（）A．B．C．2D．【答案】A【解析】由于，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：A變式2．【多選】（2024·陜西咸陽·高一武功縣普集高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用重要不等式的合理變形可得，即可知A正確；由基本不等式和不等式性質(zhì)即可計算B正確；由即可求得C正確；根據(jù)不等式中“1”的妙用即可得出，即D錯誤.【詳解】對于A，由可得，又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故A正確；對于B，由可得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即B正確；對于C，由可得，所以可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即C正確；對于D，易知，即；當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，可得D錯誤；故選：ABC變式3．（2024·江蘇連云港·高一?？茧A段練習(xí)）已知，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.變式4．（2024·吉林·高三校考階段練習(xí)）設(shè)，則函數(shù)的最小值是.【答案】【分析】根據(jù)題意，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以函數(shù)的最小值是最小值為.故答案為：.變式5．（2024·海南省直轄縣級單位·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，則函數(shù)，的最小值為（

）A．7 B．8 C．14 D．15【答案】D【分析】利用基本不等式求解.【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以函數(shù)的最小值為15，故選:D．變式6．（2023春·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，若，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用“1”的妙用計算作答.【詳解】由，，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：變式7.（2024·全國·高一專題練）已知，則的最小值為（）A．B．0C．1D．【答案】A【解析】，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，故選：A變式8．（2024·山東德州·高三德州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】因為正實數(shù)a，b滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.變式9．（2024·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)已知等式，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，所以，因為，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故選：D．變式10．（2024·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）求解下列各題：(1)求的最小值；(2)已知，且，求的最小值．【答案】(1)8(2)10【分析】（1）將化為，利用基本不等式即可求得答案；（2）化為，利用基本不等式即可求得答案.【詳解】（1）因為，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值是8．（2）由，得，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合即時，等號成立．故的最小值為10．變式11．（2024·江西·高一江西師大附中?？计谥校┮阎龜?shù)x，y滿足，則的最小值為.【答案】4【分析】根據(jù)已知條件變形，結(jié)合基本不等式求得答案.【詳解】∵，∴，又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立，所以的最小值4.故答案為：4.變式12．（2024·天津武清·高一天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，，則的最小值為．【答案】【分析】連續(xù)使用基本不等式計算即可.【詳解】由，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，解得：，所以的最小值為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】利用均值不等式求最值的策略（1）利用均值不等式求最值的策略(2)拼湊法求解最值，就是先通過代數(shù)式變形拼湊出和或積為常數(shù)的兩項，然后利用均值不等式求解最值．(3)通過消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．注意：利用基本不等式求函數(shù)最值，千萬不要忽視等號成立的條件．【題型3：利用均值不等式證明不等式】例3.（2024·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）已知均為正數(shù)，且，求證：.【答案】證明見解析【解析】因為則，，三式相加得：所以.變式1．（2024·全國·高一課堂例題）對任意三個正實數(shù)，，，求證：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．【答案】證明見解析【分析】運用基本不等式進(jìn)行證明即可.【詳解】因為，，，所以由基本不等式，得，，，當(dāng)且僅當(dāng)，，時成立，把上述三個式子的兩邊分別相加，得，即．當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．變式2．（2024·全國·高一課堂例題）設(shè)，為正數(shù)，證明下列不等式：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】運用基本不等式對（1）（2）進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）因為，均為正數(shù)，由基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以原不等式成立．（2）因為，為正數(shù)，所以，也為正數(shù)，由基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以原不等式成立．變式3．（2024·河南焦作·高二博愛縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且.(1)證明：；(2)證明：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由，，利用基本不等式求解即可.（2）由，兩邊同時平方，結(jié)合基本不等式求的最小值.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以.（2）由，得，又由基本不等式可知當(dāng)a，b，c均為正數(shù)時，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，上述不等式等號均成立，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.變式4．（2024·廣西南寧·高一?？茧A段練習(xí)）（1）設(shè)均為正數(shù)，且，證明：若，則：（2）已知為正數(shù)，且滿足，證明：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）先對和平方化簡，然后結(jié)合已知條件可證得結(jié)論，（2）利用基本不等式結(jié)合可證得結(jié)論【詳解】（1）因為，又因為，則為正數(shù)，所以，因此.（2）因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，又，故有.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.變式5．（2024·陜西西安·高二?？计谥校?）已知，求的最大值；（2）設(shè)均為正數(shù)，且，證明：．【答案】（1）

（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)基本不等式求最值求解即可.（2）根據(jù)基本不等式，運用不等式的性質(zhì)即可證明；【詳解】解：（1）因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則的最大值為；（2）證明：由，a，b，c均為正數(shù)，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，相加可得，即當(dāng)且僅當(dāng)取得等號.變式6.（2024·湖南長沙·高一?？计谀┮阎?，都是正數(shù).（1）若，證明：；（2）當(dāng)時，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）證明：由于，都是正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以.（2）證明：.因為，，所以，，所以成立.【方法技巧與總結(jié)】利用均值不等式證明不等式(1)在利用a＋b≥2eq\r(ab)時，一定要注意是否滿足條件a>0，b>0.(2)在利用基本不等式a＋b≥2eq\r(ab)或eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)時要注意對所給代數(shù)式通過添項配湊，構(gòu)造符合基本不等式的形式．(3)另外，在解題時還要注意不等式性質(zhì)和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．【題型4：均值不等式的恒成立問題】例4.（2024·四川雅安·高一?？奸_學(xué)考試）若對，，有恒成立，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故選：D．變式1．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知且，若恒成立，則實數(shù)的范圍是．【答案】【分析】依題意得，利用基本不等式“1”的代換求出的最小值，即可得解.【詳解】因為且，若恒成立，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以，即實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．變式2.（2024·高一單元測試）已知對任意，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為．【答案】【解析】因為，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即有，所以，即a的最小值為，故答案為：變式3．（2024·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，從而得到，解得即可.【詳解】因為，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即，因為恒成立，可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C.變式4．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，從而得到，解得即可.【詳解】因為，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以，因為恒成立，所以，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C變式5．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知不等式對任意正實數(shù)恒成立，則正實數(shù)的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．9【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式即可求解最值，進(jìn)而由即可求解.【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)且時取等號，所以，整理得，解得，故正實數(shù)的最小值為9.故選:D.變式6．（2024·吉林四平·高一?？茧A段練習(xí)）已知，且(1)求的最小值；(2)若恒成立，求的最大值.【答案】(1)8(2)【分析】（1）由題意可得，化簡后利用基本不等式可求出其最小值，（2）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，求出的最小值，而，化簡后利用基本不等式可求出其最小值，從而可求出的最大值.【詳解】（1）因為，且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為8，（2）因為（）恒成立，所以恒成立，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，所以，所以的最大值為.變式7．（2024·安徽阜陽·高二?？计谥校﹥蓚€正實數(shù)，滿足，若不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】妙用“1”先求得的最小值為4，然后解不等式可得.【詳解】正實數(shù)，滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時取等號，不等式有解，，解得或，即．故選：C．【方法技巧與總結(jié)】求參數(shù)的值或取值范圍的一般方法(1)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的最值問題．(2)觀察題目特點，利用均值不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍．【題型5：利用均值不等式解決實際問題】例5.（2024·廣西欽州·高一?？奸_學(xué)考試）有一塊橡皮泥的體積為2，起初做成一個長，寬，高依次為，，1的長方體.現(xiàn)要將它的長增加1，寬增加2，做成一個新的長方體，體積保持不變，則新長方體高的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依題意，設(shè)新長方體高為，則，得到，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最大值為．故選：C.變式1.（2024·四川雅安·高一雅安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）一批貨物隨17列貨車從A市以千米/時勻速直達(dá)B市，已知兩地鐵路線長400千米，為了安全，兩列貨車的間距不得小于千米，那么這批貨物全部運到B市，最快需要小時.【答案】8【解析】設(shè)這批貨物從A市全部運到B市的時間為t，則＝＋(小時)，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即v＝100時，等號成立，此時小時.故答案為：8.變式2．（2024·浙江杭州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）某人要買房，隨著樓層的升高，上下樓耗費的精力增多，因此不滿意度升高.當(dāng)住第層樓時，上下樓造成的不滿意度為.但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜，因此隨著樓層的升高，環(huán)境不滿意度降低.設(shè)住第層樓時，環(huán)境不滿意程度為.則此人應(yīng)選第樓，會有一個最佳滿意度.【答案】3【分析】先得到不滿意程度為，利用基本不等式可得取最小值即為最佳滿意度.【詳解】由題意可知，當(dāng)住層樓時，不滿意程度為，因，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故當(dāng)住樓時，不滿意程度最低，故答案為：3變式3．（2024·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某小區(qū)要建一座八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的十字形地域，四個小矩形加一個正方形面積共為200平方米．計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為每平方米4200元，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪設(shè)花崗巖地坪，造價為每平方米210元，再在四個角上鋪設(shè)草坪，造價為每平方米80元．

(1)設(shè)AD長為x米，總造價為S元，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)問：當(dāng)x為何值時S最小，并求出這個S最小值.【答案】(1)(2)，118000元【分析】（1）根據(jù)題意，建立函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)題意，由（1）中的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得，，且，則，則（2）由（1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以，當(dāng)米時，元.變式4．（2024·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）中歐班列是推進(jìn)“一帶一路”沿線國家道路聯(lián)通、貿(mào)易暢通的重要舉措，作為中歐鐵路在東北地區(qū)的始發(fā)站，沈陽某火車站正在不斷建設(shè)，目前車站準(zhǔn)備在某倉庫外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一面高為3m，底面積為，且背面靠墻的長方體形狀的保管員室，由于保管員室的后背靠墻，無需建造費用，因此甲工程隊給出的報價如下：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體的報價為每平方米150元，屋頂和地面以及其他報價共計7200元，設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為．(1)當(dāng)左右兩面墻的長度為多少米時，甲工程隊的報價最低?(2)現(xiàn)有乙工程隊也參與此保管員室建造競標(biāo)，其給出的整體報價為元若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標(biāo)成功，求a的取值范圍．【答案】(1)長度為4米時，報價最低(2)【分析】（1）首先由題意抽象出甲工程隊的總造價的函數(shù)，再利用基本不等式求最值，結(jié)合等號成立的條件，即可求解；（2）由（1）可知，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，參變分離后，轉(zhuǎn)化為求最值的問題.【詳解】（1）設(shè)甲工程隊的總造價為元，依題意，左右兩面墻的長度均為（），則屋子前面新建墻體長為，則即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故當(dāng)左右兩面墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低為元；（2）由題意可知，當(dāng)對任意的恒成立，即，所以，即，，當(dāng)，，即時，的最小值為12，即，所以的取值范圍是.變式5．（2024·山東菏澤·高一菏澤一中?？计谥校┠彻緮M在下一年度開展系列促銷活動，已知其產(chǎn)品年銷量萬件與年促銷費用萬元之間滿足：.已知每一年產(chǎn)品的設(shè)備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件產(chǎn)品需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件產(chǎn)品售價定為：其生產(chǎn)成本的1.5倍與“平均每件促銷費的一半”之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的商品正好能銷完.(1)將下一年的利潤（萬元）表示為促銷費（萬元）的函數(shù)；(2)該公司下一年的促銷費投入多少萬元時，年利潤最大?并求出此時的最大利潤.（注：利潤=銷售收入生產(chǎn)成本促銷費，生產(chǎn)成本=固定費用+生產(chǎn)費用）【答案】(1)(2)7萬元，最大利潤為42萬元【分析】（1）根據(jù)題意表示出年生產(chǎn)成本，年銷售收入，從而可表示出年利潤；（2）由（1）知，變形后利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，當(dāng)年生產(chǎn)（萬件）時，年生產(chǎn)成本為：，當(dāng)銷售（萬件）時，年銷售收入為：，由題意，，即.（2）由（1）知，即，當(dāng)且僅當(dāng)，又即時，等號成立.此時，.所以該公司下一年促銷費投入7萬元時年利潤最大，最大利潤為42萬元.【方法技巧與總結(jié)】利用均值不等式解決實際問題的步驟解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識(函數(shù)及不等式性質(zhì)等)解決問題．用基本不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：(1)理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時，一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)．(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題．(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值．(4)正確寫出答案．一、單選題1．（2024高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）若，使得成立是真命題，則實數(shù)的最大值為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】依據(jù)題意先將問題等價轉(zhuǎn)化成在上恒成立，接著將恒成立問題轉(zhuǎn)化成最值問題，再結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】，使得成立是真命題，所以,恒成立.所以在上恒成立，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以，所以，即實數(shù)的最大值為.故選：B.2．（2024高一上·福建福州·階段練習(xí)）已知實數(shù)，則函數(shù)的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】配湊后，根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】實數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，函數(shù)的最小值為6.故選：B.3．（2024高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】變形給定的等式，再利用基本不等式求解即得.【詳解】由，得，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為3.故選：A4．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測），則的最小值為（

）A． B． C． D．6【答案】C【分析】由已知可得，利用基本不等式求的最小值.【詳解】，則，且,整理得到，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.即的最小值為.故選：C.5．（2526高一上·上海·課后作業(yè)）若兩個正實數(shù)滿足，且存在這樣的使不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得，則化簡后利用基本不等式可求出其最小值為4，從而得，解不等式可求得答案.【詳解】由，，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．所以，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：C．6．（2425高三上·廣東·開學(xué)考試）若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對進(jìn)行變形，再利用不相等時，即可求出的范圍.【詳解】由，則，又，則，又當(dāng)時，，因此可得，，即，又，因此可得，故選：D.7．（2024高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知，且，則的最小值為（

）A．45 B．42 C．40 D．38【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用，即可求解.【詳解】由題意得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故選：A8．（2024·福建寧德·模擬預(yù)測）若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用基本不等式求得的最小值，把不等式有解，轉(zhuǎn)化為不等式，即可求解.【詳解】由兩個正實數(shù)滿足，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，又由不等式有解，可得，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為或.故選：B.9．（2024·山東淄博·二模）記表示中最大的數(shù)．已知均為正實數(shù)，則的最小值為（）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】設(shè)，可得，利用基本不等式運算求解，注意等號成立的條件.【詳解】由題意可知：均為正實數(shù)，設(shè)，則，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，可得，即，所以的最小值為2.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)定義得出，，再結(jié)合基本不等式求得.二、多選題10．（2425高三上·河南·開學(xué)考試）已知a，b為正實數(shù)，且，，，則（

）A．的最大值為4 B．的最小值為C．的最小值為4 D．的最小值為2【答案】BCD【分析】A選項，由基本不等式得到，從而得到，求出；B選項，，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；C選項，由基本不等式得到，從而得到，得到；D選項，變形得到，由C選項，得到答案.【詳解】A選項，，因為a，b為正實數(shù)，且，，由基本不等式得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為4，A錯誤；B選項，由，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，B正確；C選項，，因為a，b為正實數(shù)，且，，由基本不等式得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為4，C正確；D選項，因為，所以，因為的最小值為4，所以的最小值為2，D正確.故選：BCD11．（2425高三上·湖南常德·階段練習(xí)）已知且，則下列不等式恒成立的是（

）A．的最小值為2 B．的最小值為C．的最大值為1 D．的最小值為2【答案】AC【分析】利用基本不等式逐項判斷即可.【詳解】對于A，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時，時等號成立，故B錯誤；對于C，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C正確；對于D，由A知，，故，故，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最大值為2，故D錯誤.故選：AC12．（2024高一上·江蘇南通·開學(xué)考試）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論檢驗各選項即可判斷．【詳解】對于A，因為，，且，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故A錯誤；對于B，根據(jù)A可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故C正確．對于D，要證明，只需要證明，由于，則只需要證明，只需證明，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，故等號不能取到，故，即，故D正確.故選：BCD13．（2425高三上·福建龍巖·開學(xué)考試）已知，，則（

）A． B．若，則C．若，則 D．，則的最大值【答案】BC【分析】由結(jié)合基本不等式即可判斷A；由基本不等式，換元法及一元二次不等式的解法即可判斷B；由基本不等式“1”的妙用即可判斷C；由基本不等式及一元二次不等式的解法即可判斷D．【詳解】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A錯誤；對于B，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，設(shè)，則，解得，即，當(dāng)時，取等號，所以，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故C正確；對于D，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，即，解得，所以的最大值為，故D錯誤，故選：BC．三、填空題14．（2024高一上·天津濱海新·階段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值，則；．【答案】21【分析】現(xiàn)將函數(shù)進(jìn)行配湊，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】因為,所以,所以，當(dāng)且僅當(dāng),即x=2時等號成立，所以.故答案為：.15．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）某服裝加工廠為了適應(yīng)市場需求，引進(jìn)某種新設(shè)備，以提高生產(chǎn)效率和降低生產(chǎn)成本．已知購買臺設(shè)備的總成本為（單位：萬元）．若要使每臺設(shè)備的平均成本最低，則應(yīng)購買設(shè)備臺．【答案】400【分析】由的表達(dá)式得到每臺設(shè)備的平均成本，由均值不等式等號成立條件得到答案.【詳解】每臺設(shè)備的平均成本，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，故答案為：400.【點睛】方法點睛：均值不等式常用結(jié)論1、如果，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；推論：；2、如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；推論：；3、16．（2024高一上·江蘇南通·開學(xué)考試）若命題“”是假命題，則實數(shù)的最大值.【答案】【分析】由命題的否定轉(zhuǎn)化為能成立問題，利用分離參數(shù)法和基本不等式即可求解.【詳解】由題知命題的否定“”是真命題．即，即，其中，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則故實數(shù)的最大值為故答案為：.17．（2024高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知，且，則的最大值為．【答案】144【分析】由基本不等式得到，平方后得到答案.【詳解】因為，由基本不等式得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故的最大值為故答案為：14418．（2024高一下·北京石景山·期中）為提高生產(chǎn)效率，某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，投入生產(chǎn)后，除去成本，每條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的利潤s（單位：萬元）與生產(chǎn)線運轉(zhuǎn)時間t（單位：年，）滿足二次函數(shù)關(guān)系：，現(xiàn)在要使年平均利潤最大，則每條生產(chǎn)線運行的時間t為年．【答案】7【分析】求出年平均利潤函數(shù)，利用均值不等式求解即可.【詳解】依題意，年平均利潤為,由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，所以當(dāng)每條生產(chǎn)線運行的時間時，年平均利潤最大.故答案為：7.19．（2425高三上·福建莆田·開學(xué)考試）若實數(shù)滿足，則的最大值為.【答案】/【分析】利用基本不等式可求得，通過配湊即可得出結(jié)果.【詳解】由可得，可得；而，所以，解得；當(dāng)且僅當(dāng)，也即時，上式右邊等號成立；此時的最大值為.故答案為：.四、解答題20．（2024高一上·福建莆田·階段練習(xí)）運貨卡車以每小時千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制（單位:千米/時），假設(shè)汽油的價格是每升6元，而汽車每小時耗油升，司機(jī)的工資是每小時18元.(1)求這次行車總費用關(guān)于的表達(dá)式;(2)當(dāng)為何值時，這次行車的總費用最低?最低費用是幾元?【答案】(1)(2)，最低費用為元【分析】（1）求出運貨卡車行駛的時間，然后根據(jù)題意求出行車總運費即可；（2）利用基本不等式即可求出最值.【詳解】（1）運貨卡車行駛的時間為，則有，，即.（2）由（1）得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即當(dāng)時，這次行車總費用最低為元.21．（2024高一下·全國·課堂例題）（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值．【答案】（1）6；（2）【分析】（1）對式子進(jìn)行配湊，然后用基本不等式即可；（2）對式子進(jìn)行配湊和變形，確保滿足“一正”的前提下使用基本不等式.【詳解】（1）∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴當(dāng)時，取得最小值6．（2）∵，∴，∴，∴，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．∴，∴當(dāng)時，取得最大值．22．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，求的最大值．【答案】【分析】由基本不等式，結(jié)合乘“1”法即可求得答案，注意“一正、二定、三相等”的條件.【詳解】可以先求的最小值，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取“＝”，因此，的最大值是．23．（2024高一上·天津濱海新·階段練習(xí)）（1）若，求的最大值；（2）求在時的最小值．（3）已知，且，求的最小值．（4）已知正數(shù)滿足．求的最大值．【答案】（1）12；（2）；（3）6；（4）.【分析】對于（1），用配湊法及基本不等式的變形即可求解最大值；對于（2）可以先用換元的方法進(jìn)行化簡，然后直接利用基本不等式求解最小值即可；對于（3）直接利用基本不等式的變形，然后解不等式即可；對于（4）將變成，然后用兩次基本不等式求解即可求解最大值.【詳解】（1），，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=2時等號成立，的最大值為12.（2）,令,則則可化為,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,的最小值為.（3），即，解得或(舍),當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號武立，的最小值為6.（4）正數(shù)a,b,c滿足，,即,,，，當(dāng)且僅當(dāng)且,即時等號成立,故的最大值為.24．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，求函數(shù)的最大值．【答案】【分析】利用基本不等式可求函數(shù)的最大值或?qū)⒃瘮?shù)變形為二次函數(shù)求最值，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求出最大值.【詳解】法1：因為，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，故的最大值為4.法2：根據(jù)題意知，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)函數(shù)圖象開口向下，因為，所以當(dāng)時，取得最