陜西省部分學校高三下學期5月第一次模擬考試數(shù)學（理）

2024年高考全真模擬考試數(shù)學（理科）注意事項：1.本試卷共4頁，全卷滿分150分，答題時間120分鐘.2.答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知為實數(shù)集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.2.已知復數(shù)，，，若，則在復平面內對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中，記載了用平面截圓錐得到圓錐曲線的辦法.如圖，已知圓錐的高與底面半徑均為2，過軸的截面為平面OAB，平行于平面OAB的平面與圓錐側面的交線為雙曲線C的一部分，將雙曲線C的這部分平移到平面OAB內.若雙曲線C的兩條漸近線分別平行于OA，OB，以點O為坐標原點建立恰當?shù)淖鴺讼岛?，則平移后的雙曲線C的方程可以為（）A. B. C. D.4.若的展開式中的各項系數(shù)和為243，則（）A.32 B.31 C.16 D.155.已知，若，則（）A. B. C. D.6.若點在平面區(qū)域上，則的最小值是（）A. B. C.1 D.27.在平行六面體中，已知，，則下列選項中錯誤的一項是（）A.直線與BD所成的角為90°B.線段的長度為C.直線與所成的角為90°D.直線與平面ABCD所成角的正弦值為8.今年兩會期間，“新質生產力”被列為了2024年政府工作十大任務之首.某中學為了讓高三同學對“新質生產力”有更多的了解，利用周五下午課外活動時間同時開設了四場有關“新質生產力”方面的公益講座.已知甲、乙、丙、丁四位同學從中一共選擇兩場去學習，則甲、乙兩人不參加同一個講座的不同方法共有（）A.48種 B.84種 C.24種 D.12種9.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，若的面積為，周長為，則AC邊上的高為（）A. B. C. D.10.設O為坐標原點，直線過拋物線（）的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（）A. B.C.的面積為 D.以MN為直徑的圓與l有兩個交點11.將一個體積為的鐵球切割成一個正三棱錐的機床零件，則該零件體積的最大值為（）A. B. C. D.12.已知函數(shù)，若，，，則（）A. B. C. D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.如圖是某人設計的正八邊形八角窗，若O是正八邊形ABCDEFGH的中心，，則______.14.圓上總存在兩個點到的距離為1，則a的取值范圍是______.15.已知函數(shù)（）在區(qū)間上有且僅有3個極值點，則的取值范圍是______.16.已知函數(shù)（）僅有一個零點，則實數(shù)a的值為______.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，記為的前n項和，是等比數(shù)列，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）記，求數(shù)列的前10項和.18.（本小題滿分12分）體育運動是強身健體的重要途徑，隨著“中國兒童青少年體育健康促進行動方案（20202030）”的發(fā)布，體育運動受到各地中小學的高度重視，眾多青少年的體質健康得到很大的改善.我們把每周體育鍛煉時間超過8小時的學生稱為“運動達人”，為了了解“運動達人”與性別是否有關系，我們對隨機抽取的80名學生的性別進行了統(tǒng)計，其中女生與男生的人數(shù)之比為，男生中“運動達人”占，女生中“運動達人”占.（Ⅰ）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否有90％的把握認為“運動達人”與性別有關？女生男生合計運動達人非運動達人合計（Ⅱ）現(xiàn)從抽取的“運動達人”中，按性別采用分層抽樣抽取3人參加體育知識闖關比賽，已知其中男、女生獨立闖關成功的概率分別為與，在恰有兩人闖關成功的條件下，求有女生闖關成功的概率.附：，.0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.63519.（本小題滿分12分）如圖，在五面體ABCDE中，已知，，且，.（Ⅰ）求證：平面平面BCD；（Ⅱ）線段BC上是否存在點F，使得二面角的余弦值為？若存在，求CF的長度；若不存在，請說明理由.20.（本小題滿分12分）已知動圓M經過定點，且與圓內切.（Ⅰ）求動圓圓心M的軌跡C的方程；（Ⅱ）設軌跡C與x軸從左到右的交點為點A，B，點P為軌跡C上異于A，B的動點，設直線PB交直線于點T，連接AT交軌跡C于點Q；直線AP，AQ的斜率分別為，.（i）求證：為定值；（ii）設直線，證明：直線PQ過定點.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（），.（Ⅰ）討論函數(shù)的單調性；（Ⅱ）證明：（）；（Ⅲ）證明：（）.（二）選考題：共10分.考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.22.（本小題滿分10分）【選修44：坐標系與參數(shù)方程】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）.以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知點A的極坐標為，直線（）.（Ⅰ）求曲線的極坐標方程以及曲線的普通方程；（Ⅱ）過點A且平行于l的直線m與交于M、N兩點，求的值.23.（本小題滿分10分）【選修45：不等式選講】已知函數(shù)（，）.（Ⅰ）當，時，解不等式；（Ⅱ）若的最小值為6，求的最小值.2024年高考全真模擬考試數(shù)學（理科）參考答案及評分標準一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.C2.A3.C4.B5.C6.B7.D8.A9.B10.C11.B12.D二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13. 14. 15. 16.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.解：（Ⅰ）由題意得，，又是等比數(shù)列，，，，，又，故，又是等差數(shù)列，故為等比數(shù)列，首項，公比，.……（6分）（Ⅱ），，令，則（），記的前n項和為，，數(shù)列的前10項和為760.……（12分）18.解：（Ⅰ）因為隨機抽取了80人，其中女生與男生的人數(shù)之比為，男生中“運動達人”占，女生中“運動達人”占，所以可得到如下列聯(lián)表：女生男生合計運動達人153045非運動達人53035合計206080由所以有90％的把握認為“運動達人”和性別有關.……（6分）（Ⅱ）根據(jù)分層抽樣，抽取的男生人數(shù)為2人，女生人數(shù)為1人，記“恰有兩人闖關成功”為事件A，“有女生闖關成功”為事件B，則，，由條件概率的公式得.故恰有兩人闖關成功的條件下，有女生闖關成功的概率為.……（12分）19.解：（Ⅰ）證明：取AC的中點G，連接EG，，，，∴四邊形EDCG為平行四邊形，，又，，，，又，.，BC，CD是平面BCD內的兩條相交直線，平面BCD，又平面ABC，平面平面BCD.……（6分）（Ⅱ）在平面BCD內過點C作BC的垂線l，平面BCD，∴l(xiāng)，CA，CB兩兩相互垂直，故以C為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，設在線段BC上存在點（），使二面角的余弦值為，則，，.設平面AEF的法向量為，則即令，則，，.設平面ABE的法向量為，則即（Aé.n=0，m（，+）y:+/2=0，令，則，，..化簡得，解得或（含去），故，所以，存在點F，當時，二面角的余弦值為.……（12分）20.解：（Ⅰ）設動圓的半徑為r，由題意得圓的圓心為，半徑，，，則.∴動點M的軌跡C是以，為焦點，長軸長為4的橢圓，，，即，，則，因此軌跡C的方程為.……（4分）（Ⅱ）（i）證明：設，，.由題意可知，，如圖所示，則，，而，于是，，又，則，因此，為定值.……（8分）（ii）直線PQ的方程為，設，.由得，由（i）可知，即，解得或（舍去），∴直線PQ的方程為，因此直線PQ過定點.……（12分）21.解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，，①當時，恒成立，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為；②當時，由，得，當時，；當時，.∴函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.綜上，當時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.………………（5分）（Ⅱ），恒成立，在上單調遞減，又，，.……（8分）（Ⅲ）由（Ⅰ）知，當時，，即，，，（當時“=”成立）.令（），，即，，從而，，…，，累加可得，即.由（Ⅱ）知，在是遞減函數(shù)，，即，.（）.……（12分）（二）選考題：共10分.考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.22.解：（Ⅰ）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），∴曲線的普通方程為，即.由，得曲線的極坐標方程為，即曲線的極坐標方程為.……（2分）由曲線的參數(shù)方程（s為參數(shù)），可得，又，故