高考數學一輪復習專練54橢圓的定義及標準方程

五十四橢圓的定義及標準方程(時間:45分鐘分值:95分)【基礎落實練】1.(5分)(2024·許昌模擬)已知F1,F2為橢圓x29+y216=1的兩個焦點,過F1的直線交橢圓于A,B兩點,若|F2A|+|F2B|=10,則|ABA.8 B.6 C.4 D.2【解析】選B.由x29+y216=1,即y216根據橢圓的定義|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=4a=16,所以|AB|=|F1A|+|F1B|=6.2.(5分)與橢圓x225+y29=1有相同焦點,且過點(3,15)A.y236+x220=1 B.C.y220+x218=1 D.【解析】選B.由題意可設橢圓的方程為x225+λ+y29+λ=1(λ>9).又所求橢圓過點(3,15),所以將(3,15)代入橢圓方程,得925+λ+159+λ=1,解得λ=11(λ=3.(5分)已知(0,4)是橢圓3kx2+ky2=1的一個焦點,則實數k=()A.6 B.16 C.24 D.【解析】選D.橢圓3kx2+ky2=1化為:x213k+y21k=1,顯然k>0,有1k>13k,而橢圓的一個焦點為(0,4),因此【加練備選】已知曲線C:x2k-5+y23-k=1,則“4≤k<5”是“曲線CA.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.將曲線C的方程化為x25-k+y2k-3=1,若曲線C表示焦點在y軸上的橢圓,則k3>5k>0,即4<k<5,而“4≤k<5”不能推出“4<k<5”;“4<k<5”可以推出“4≤k<5”,故“4≤k<5”是“4.(5分)(2024·南通模擬)已知圓C的方程為x2+y2=16,直線l為圓C的切線,記A(2,0),B(2,0)兩點到直線l的距離分別為d1,d2,動點P滿足|PA|=d1,|PB|=d2,則動點P的軌跡方程為()A.x2+y2=4 B.x216+C.x216y212=1 D.【解析】選B.如圖,分別過點A,O,B作直線l的垂線,垂足分別為A1,O1,B1,則AA1∥OO1∥BB1,d1=|AA1|,d2=|BB1|,切點為O1,因為A(2,0),B(2,0),所以O是AB的中點,所以OO1是梯形ABB1A1的中位線,所以|OO1|=|AA1又因為圓C的方程為x2+y2=16,r=4,所以|OO1|=r=4,所以d1+d2=8,即|PA|+|PB|=8>|AB|=4,所以動點P的軌跡是以A,B為焦點,長軸長為8的橢圓,設橢圓的方程為x2a2+y2b則2a=8,c=2,所以a=4,a2=16,b2=a2c2=12,所以動點P的軌跡方程為x216+y5.(5分)(多選題)(2024·天水模擬)設橢圓C:x225+y29=1的左右焦點為F1,F2,P是C上的動點,A.|PF1|+|PF2|=10B.P到F1最小的距離是2C.△PF1F2面積的最大值為6D.P到F1最大的距離是9【解析】選AD.由橢圓方程可得:a=5,b=3,則c=a2對A:根據橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|=2a=10,A正確;對B:根據橢圓性質可知當P是橢圓的左頂點時,P到F1的距離最小,最小值為ac=1,B錯誤;對C:根據橢圓性質可知當P是橢圓的上頂點或下頂點時,△PF1F2的面積最大,最大值為12×2c×b=12,C錯誤對D:根據橢圓性質可知當P是橢圓的右頂點時,P到F1的距離最大,最大值為a+c=9,D正確.6.(5分)(多選題)已知橢圓的中心在坐標原點,長軸長為8,離心率為34,則滿足條件的橢圓的標準方程有(A.x216+y27=1 B.C.x216+y225=1 D.【解析】選AB.因為2a=8,e=ca=3所以c=3,所以b2=a2c2=169=7.因為焦點的位置不確定,所以橢圓的標準方程是x216+y27=1或x7.(5分)(2024·濟南模擬)已知橢圓的焦點在y軸上,其上任意一點到兩焦點的距離之和為10,焦距為6,則此橢圓的標準方程為y225+x【解析】依題意,設橢圓方程為y2a2+x2b2=1(a>b>0),所以橢圓方程為y225+x8.(5分)△ABC的兩個頂點坐標分別是B(0,6)和C(0,6),邊AB,AC所在直線的斜率的乘積是23,則頂點A的軌跡方程是x254+y2【解析】設頂點A的坐標為(x,y),由題意得y-6x·y+6x得x254+又A,B,C是△ABC的三個頂點,所以A,B,C三點不共線,因此y≠±6,所以頂點A的軌跡方程為x254+y2369.(10分)動點M與定點F1(3,0)的距離和M到定直線l:x=253的距離的比是常數3(1)求動點M的軌跡方程;(2)設F2(3,0),點P為M軌跡上一點,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.【解析】(1)設M(x,y),d是點M到直線l的距離,則|MF1|d=35化簡得16x2+25y2=400,所以動點M的軌跡方程為x225+y(2)由(1)知,動點M的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓,所以|PF1|+|PF2|=10,在△PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|22|PF1||所以(|PF1|+|PF2|)23|PF1||PF2|=|F整理得|PF1||PF2|=643所以S△PF1F2=12|PF1||PF2|sin60°=1【能力提升練】10.(5分)直線mx+y=0(m∈R)與橢圓x216+y225=1交于A,B兩點,則A,BA.10 B.16 C.20 D.不能確定【解析】選C.設橢圓兩個焦點為F1,F2,由題可得a=5,則A,B與橢圓的兩個焦點構成的四邊形的周長為|AF1|+|F1B|+|BF2|+|F2A|=4a=20.11.(5分)若點M(x,y)滿足方程x2+(y-2)2+A.x236+y232=1 B.C.y236+x232=1 D.【解析】選C.因為動點M(x,y)滿足關系式x2+(所以該等式表示點M(x,y)到兩個定點F1(0,2),F2(0,2)的距離的和為12,而|F1F2|=4<12,即動點M的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓,且2a=12,即a=6,又c=2,b2=a2c2=364=32,所以動點M的軌跡方程為y236+x12.(5分)(多選題)已知F1,F2為橢圓x24+y23=1的左、右焦點,M為橢圓上的動點,A.|MF2|的最大值大于3B.|MF1|·|MF2|的最大值為4C.∠F1MF2的最大值為60°D.△MF1F2的面積的最大值為3【解析】選BC.由橢圓的方程得a2=4,b2=3,所以c2=1,所以F1(1,0),F2(1,0).對于A,|MF2|max=a+c=3,故A錯誤.對于B,由橢圓定義可知|MF1|+|MF2|=4,所以|MF1|·|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=4,當且僅當|MF對于C,當點M為橢圓與y軸的交點時,∠F1MF2取得最大值,由M(0,3)得tan∠F1M所以∠F1MF22=30°,∠F1MF對于D,當點M為橢圓與y軸的交點時,△MF1F2的面積最大,最大值為bc=3,故D錯誤.13.(5分)(2024·北京模擬)已知F1,F2分別為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,點P在橢圓上,△POF2(O為坐標原點)是面積為3的正三角形,【解析】不妨設點P位于第一象限,且F2(c,0),因為△POF2是面積為3的正三角形,可得34c2=3,解得c所以P(1,3),F1(2,0),F2(2,0),由橢圓的定義得2a=|PF1|+|PF2|=(1+2)2+(3-0)2+(1-2)2+(3-所以橢圓的標準方程為x24+23+14.(10分)求滿足下列各條件的橢圓的標準方程:(1)長軸是短軸的3倍且經過點A(3,0);(2)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形,且焦點到同側頂點的距離為3;(3)經過點P(23,1),Q(3,2)兩點.【解析】(1)若焦點在x軸上,設方程為x2a2+y2b2=1(a>所以9a2=1,解得因為2a=3×2b,所以b=1,所以方程為x29+y若焦點在y軸上,設方程為x2b2+y2a因為橢圓過點A(3,0),所以9b2=1,解得又2a=3×2b,所以a=9,所以方程為x29+y綜上所述,橢圓方程為x29+y2=1或x2(2)由已知,有a=2ca-所以b2=a2c2=9,若焦點在y軸上,則x29+若焦點在x軸上,則x212+所以所求橢圓方程為x212+y29=1或(3)設方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),則12m+n=1則所求橢圓方程為x215+y15.(10分)(2024·南充模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)經過點(1)求橢圓C的方程;(2)若直線l:y=x2交橢圓C于A,B兩點,O是坐標原點,求△AOB的面積S.【解析】(1)因為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0把點(6,2)的坐標代入方程x2a2得6a2+24=1,解得a=23.所以橢圓C的方程為x2(2)聯(lián)立y=x-2,x212+y解得x=0,y=-2或x=3,y=1,不妨設A(0,2),B【素養(yǎng)創(chuàng)新練】16.(5分)在平面直角坐標系xOy中,已知△HMN的周長是18,M,N是x軸上關于原點對稱的兩點,若|MN|=6,動點G滿足GM+GN+GH=0.則動點G的軌跡方程為x24+y23【解析】由G