廣東省湛江市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

湛江市2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期期末調(diào)研考試高二數(shù)學(xué)說明：本卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.過和兩點(diǎn)直線的斜率是（）A.1 B. C. D.2.用最小二乘法得到一組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，若，則（）A.11 B.13 C.63 D.783.若圓被直線平分，則（）A. B.1 C. D.24.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，以下命題正確的是（）A.在處的切線的斜率大于0 B.是函數(shù)的極值C.在區(qū)間上不單調(diào) D.是函數(shù)的最小值5.某學(xué)校對(duì)本校學(xué)生的課外閱讀進(jìn)行抽樣調(diào)查，抽取25名女生，25名男生調(diào)查，結(jié)果形成以下列聯(lián)表，通過數(shù)據(jù)分析，認(rèn)為喜歡課外閱讀與學(xué)生性別之間（）喜歡課外閱讀不喜歡課外閱讀合計(jì)男生52025女生151025合計(jì)203050參考數(shù)據(jù)及公式如下：0.0500.0100.0013.8416.63510828A.不能根據(jù)小概率的的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩者有關(guān)B.根據(jù)小概率的的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩者有關(guān)C.根據(jù)小概率的的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩者有關(guān)D.根據(jù)小概率的的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩者無(wú)關(guān)6.學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣5種菜，甲、乙2名同學(xué)每人從中選一種或兩種，且兩人之間不會(huì)互相影響，則不同的選法種數(shù)為（）A.20 B.25 C.225 D.4507.如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.8.定義“等方差數(shù)列”：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)的平方與它的前一項(xiàng)的平方的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作該數(shù)列的方公差.設(shè)是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為2，，則數(shù)列的前24項(xiàng)和為（）A. B.3 C. D.6二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.C. D.10.已知甲口袋中裝有3個(gè)紅球，1個(gè)白球，乙口袋中裝有2個(gè)紅球，1個(gè)白球，這些球只有顏色不同.先從甲口袋中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙口袋，再?gòu)囊铱诖须S機(jī)取出1個(gè)球.記從甲口袋中取出的球是紅球、白球分別為事件、，從乙口袋中取出的球是紅球?yàn)槭录﨎，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.11.如圖，在棱長(zhǎng)為2正方體中，點(diǎn)P是線段上的點(diǎn)，點(diǎn)E是線段上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A.存在點(diǎn)E，使得平面B.當(dāng)點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為2C.點(diǎn)E到直線的距離的最小值為D.當(dāng)點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角為三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，滿分15分.12.展開式中項(xiàng)的系數(shù)為________.13.已知，若為奇函數(shù)，則______.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若，，則C的離心率為______．四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且．（1）求和；（2）設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和．16.四棱錐中，平面，底面是正方形，，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)．（1）求證:平面平面；（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求二面角的正弦值．17.已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓W：的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓W上的一點(diǎn)．（1）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，m）（m>0），求△F1MF2的面積；（2）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x0，y0），且∠F1MF2是鈍角，求橫坐標(biāo)x0的范圍．18.學(xué)校師生參與創(chuàng)城志愿活動(dòng).高二（1）班某小組有男生4人，女生2人，現(xiàn)從中隨機(jī)選取2人作為志愿者參加活動(dòng).（1）求在有女生參加活動(dòng)的條件下，恰有一名女生參加活動(dòng)的概率；（2）記參加活動(dòng)的女生人數(shù)為，求的分布列及期望；（3）若志愿活動(dòng)共有衛(wèi)生清潔員?交通文明監(jiān)督員?科普宣傳員三項(xiàng)可供選擇.每名女生至多從中選擇2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加1項(xiàng)或2項(xiàng)的可能性均為；每名男生至少?gòu)闹羞x擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加2項(xiàng)或3項(xiàng)的可能性也均為.每人每參加1項(xiàng)活動(dòng)可獲得3個(gè)工時(shí)，記隨機(jī)選取的兩人所得工時(shí)之和為，求的期望.19已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線為x軸，求a的值；（2）在（1）條件下，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3），若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍.湛江市2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期期末調(diào)研考試高二數(shù)學(xué)說明：本卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.過和兩點(diǎn)的直線的斜率是（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由斜率公式可得.【詳解】根據(jù)斜率公式求得所給直線的斜率.故選：A2.用最小二乘法得到一組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，若，則（）A.11 B.13 C.63 D.78【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線性回歸方程為一定過點(diǎn)，先求出，代入回歸方程即可得出，進(jìn)而可得的值.【詳解】依題意，因?yàn)椋?，因線性回歸方程為一定過點(diǎn)，所以，所以.故選：D.3.若圓被直線平分，則（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)，將圓心坐標(biāo)代入直線方程即可求解.【詳解】由題意得圓心在直線上，則，解得.故選：D.4.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，以下命題正確的是（）A.在處的切線的斜率大于0 B.是函數(shù)的極值C.在區(qū)間上不單調(diào) D.是函數(shù)的最小值【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的圖像分析的單調(diào)性和最值，即可判斷BCD；對(duì)于A：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】由圖象可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則為的最小值（也為極小值），無(wú)最大值，故BCD錯(cuò)誤；對(duì)于A：可知，即在處的切線的斜率大于0，故A正確；故選：A.5.某學(xué)校對(duì)本校學(xué)生的課外閱讀進(jìn)行抽樣調(diào)查，抽取25名女生，25名男生調(diào)查，結(jié)果形成以下列聯(lián)表，通過數(shù)據(jù)分析，認(rèn)為喜歡課外閱讀與學(xué)生性別之間（）喜歡課外閱讀不喜歡課外閱讀合計(jì)男生52025女生151025合計(jì)203050參考數(shù)據(jù)及公式如下：0.0500.0100.0013.8416.63510.828A.不能根據(jù)小概率的的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩者有關(guān)B.根據(jù)小概率的的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩者有關(guān)C.根據(jù)小概率的的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩者有關(guān)D.根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩者無(wú)關(guān)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的數(shù)表，求出的觀測(cè)值，再與臨界值比對(duì)即得.【詳解】由數(shù)表知，，而，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為兩者有關(guān)．故選：B6.學(xué)校食堂的一個(gè)窗口共賣5種菜，甲、乙2名同學(xué)每人從中選一種或兩種，且兩人之間不會(huì)互相影響，則不同的選法種數(shù)為（）A.20 B.25 C.225 D.450【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.【詳解】甲和乙的選擇方法分別有種方法，所以甲和乙不同的選擇方法有種.故選：C7.如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先得到，再平方求解.【詳解】解：由題意得，故，，則.故選：C.8.定義“等方差數(shù)列”：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)的平方與它的前一項(xiàng)的平方的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作該數(shù)列的方公差.設(shè)是由正數(shù)組成的等方差數(shù)列，且方公差為2，，則數(shù)列的前24項(xiàng)和為（）A. B.3 C. D.6【答案】D【解析】【分析】先由等方差數(shù)列的定義得到是公差為2的等差數(shù)列并求出，進(jìn)而求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即得.【詳解】依題意，，即是公差為2的等差數(shù)列，而，于是，即，則，所以數(shù)列的前24項(xiàng)和為：.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用題設(shè)等式進(jìn)行等比數(shù)列的基本量運(yùn)算，求得，代入公式即可一一判斷.【詳解】依題，，解得故A錯(cuò)誤，B正確；則，，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.10.已知甲口袋中裝有3個(gè)紅球，1個(gè)白球，乙口袋中裝有2個(gè)紅球，1個(gè)白球，這些球只有顏色不同.先從甲口袋中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙口袋，再?gòu)囊铱诖须S機(jī)取出1個(gè)球.記從甲口袋中取出的球是紅球、白球分別為事件、，從乙口袋中取出的球是紅球?yàn)槭录﨎，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】直接使用古典概型方法可以計(jì)算得出，，，，即可判斷A選項(xiàng)，再結(jié)合條件概率公式和全概率公式即可確定B，C，D選項(xiàng)的正確性.【詳解】對(duì)于A，由于甲口袋中裝有4個(gè)球，其中有3個(gè)紅球，所以，故A正確；對(duì)于B，若從甲口袋中取出的球是白球，則此時(shí)乙口袋中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球，從而此條件下從乙口袋中取出的球是紅球的概率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若從甲口袋中取出的球是紅球，則此時(shí)乙口袋中有3個(gè)紅球，1個(gè)白球，從而此條件下從乙口袋中取出的球是紅球的概率為，所以，故C正確；對(duì)于D，由于甲口袋中裝有4個(gè)球，其中有1個(gè)白球，所以，結(jié)合以上分析，所以，故D正確.故選：ACD11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P是線段上的點(diǎn)，點(diǎn)E是線段上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A.存在點(diǎn)E，使得平面B.當(dāng)點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為2C.點(diǎn)E到直線的距離的最小值為D.當(dāng)點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角為【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直即可求解A，求解平面法向量，即可根據(jù)點(diǎn)面距離，以及點(diǎn)線距離，求解BC，利用兩平面的法向量的夾角即可求解D.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，以，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建系如圖：則根據(jù)題意可得,0,,,0,,,0,,,2,,，設(shè),2,，所以，，，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，則，，解得，所以存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，故A正確；對(duì)于B，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)時(shí)，,,,設(shè)平面的法向量為，則，取，則，,故點(diǎn)到平面的距離為，故B正確，對(duì)C選項(xiàng),,2,，,點(diǎn)到直線的距離為，故當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)時(shí)，,,,設(shè)平面的法向量為，則，取，則，設(shè),,,設(shè)平面的法向量為，則，取，則，若存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角為，則，化簡(jiǎn)得，解得或，由于，所以，故D正確，故選：ABD．三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，滿分15分.12.展開式中項(xiàng)的系數(shù)為________.【答案】30【解析】【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，即可求出指定項(xiàng)的系數(shù).【詳解】展開式的通項(xiàng)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，.故答案為:30.13.已知，若為奇函數(shù)，則______.【答案】0【解析】【分析】求導(dǎo)后利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到，代入計(jì)算再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)椋?故答案為：0.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若，，則C的離心率為______．【答案】【解析】【分析】引入?yún)?shù)，結(jié)合雙曲線定義、正弦定理表示出，，，，，在中由余弦定理可得，在中，運(yùn)用余弦定理可得出，結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】

在中，設(shè)，由正弦定理得，則，所以由雙曲線的定義可知，，故，在中，，解得，所以在中，，，，又，解得，所以離心率．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于適當(dāng)引入?yún)?shù)，結(jié)合已知得出參數(shù)與的關(guān)系，進(jìn)而結(jié)合離心率公式即可得解.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且．（1）求和；（2）設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和．【答案】（1）；；（2）．【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列性質(zhì)求出通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和.【小問1詳解】設(shè)的公差為，因?yàn)?，所以，又，所以，解得，所以，．【小?詳解】，所以．16.四棱錐中，平面，底面是正方形，，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)．（1）求證:平面平面；（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得到，又由線面垂直的性質(zhì)得到，即可得到平面，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問1詳解】底面是正方形，，平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，平面平面．【小問2詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)二面角為，由圖可知二面角為銳二面角，所以，所以，即二面角的正弦值為.17.已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓W：的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓W上的一點(diǎn)．（1）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，m）（m>0），求△F1MF2的面積；（2）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x0，y0），且∠F1MF2是鈍角，求橫坐標(biāo)x0的范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入法求得值，然后求出焦點(diǎn)坐標(biāo)后可得三角形面積；（2）由余弦定理可得．【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M（1，m）在橢圓上，所以，因?yàn)閙>0，所以，因?yàn)閍＝2，b＝1，所以，所以，，所以【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以－2≤x0≤2，由余弦定理得cos∠F1MF2＝＝，因?yàn)椤螰1MF2是鈍角，所以，又因?yàn)?，所以，解得，故橫坐標(biāo)x0的范圍為.18.學(xué)校師生參與創(chuàng)城志愿活動(dòng).高二（1）班某小組有男生4人，女生2人，現(xiàn)從中隨機(jī)選取2人作為志愿者參加活動(dòng).（1）求在有女生參加活動(dòng)條件下，恰有一名女生參加活動(dòng)的概率；（2）記參加活動(dòng)的女生人數(shù)為，求的分布列及期望；（3）若志愿活動(dòng)共有衛(wèi)生清潔員?交通文明監(jiān)督員?科普宣傳員三項(xiàng)可供選擇.每名女生至多從中選擇2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加1項(xiàng)或2項(xiàng)的可能性均為；每名男生至少?gòu)闹羞x擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加2項(xiàng)或3項(xiàng)的可能性也均為.每人每參加1項(xiàng)活動(dòng)可獲得3個(gè)工時(shí)，記隨機(jī)選取的兩人所得工時(shí)之和為，求的期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）13個(gè)工時(shí)【解析】【分析】（1）根據(jù)條件概率公式，結(jié)合組合的定義、古典概型公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)超幾何分布的概率公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式和性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】設(shè)“有女生參加活動(dòng)”為事件A，”恰有一名女生參加活動(dòng)“為事件.則，所以【小問2詳解】依題意知服從超幾何