第08講平行四邊形的判定

第08講平行四邊形的判定判定定理1兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：連接BD．∵AB=CD，AD=BC，BD是公共邊，∴△ABD≌△CDB．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴AB∥DC，AD∥BC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．判定定理2兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．已知：在四邊形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：∵多邊形ABCD是四邊形，∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°．又∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°．∴AD∥BC，AB∥DC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．判定定理3對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA=OC，OB=OD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．證明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB．∴∠OAD=∠OCB．∴AD∥BC．同理AB∥DC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．判定定理4一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，AB=CD，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.證明：連接AC.∵AB//CD，∴∠1=∠2．又∵AB=CD，AC=CA，∴△ABC≌△CDA．∴BC=DA．∴四邊形ABCD是平行四邊形．平行四邊形的判定有五種：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【注意】（1）判定方法可作為“畫平行四邊形”的依據(jù)．（2）一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，有可能是等腰梯形．（3）一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形也不一定是平行四邊形．（4）兩組鄰邊分別相等或兩組鄰角分別相等都不能判定四邊形是平行四邊形．考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、平行四邊形的判定條件【例1】如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)，下列條件不能判定四邊形為平行四邊形的是（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】解：A．根據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形為平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；B．根據(jù)“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形為平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；C．“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等”的四邊形也可能是等腰梯形，故本選項(xiàng)符合題意；D．根據(jù)“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形為平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選C．【變式1】根據(jù)圖中所給的邊長(zhǎng)及角度，下列四邊形中，一定可以判定為平行四邊形的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，可知一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，不一定是平行四邊形，所以A不符合題意；由，可知一組對(duì)邊平行，平行線間距離是5，可知另一組對(duì)邊平行，該四邊形是平行四邊形，所以B符合題意；由，可知一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊無(wú)法確定，不一定是平行四邊形，所以C不符合題意；由，可知一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊無(wú)法確定，不一定是平行四邊形，所以D不符合題意．故選B．考點(diǎn)二、由兩組對(duì)邊的關(guān)系判定平行四邊形【例2】如圖，在平行四邊形中，分別是，的角平分線．求證：四邊形是平行四邊形．

【解析】∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又∵分別是，的角平分線，∴．∴，∴，∴四邊形是平行四邊形.【變式2】如圖，已知都是等邊三角形，點(diǎn)不在同一條直線上．你能證明四邊形是平行四邊形嗎？【解析】證明：都是等邊三角形，．，即．．．又∵在等邊三角形中，，，同理可得．∴四邊形是平行四邊形．考點(diǎn)三、由一組對(duì)邊的關(guān)系判定平行四邊形【例3】如圖，點(diǎn)D，C在上，，，．

(1)求證：；(2)連接，，判定四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．【解析】（1）證明：∵，∴，∵，∴，即，在與中，∴，∴；（2）判定：四邊形為平行四邊形，理由如下：由（1）知，∴，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形．【變式3】如圖，已知是等邊三角形，點(diǎn)D、F分別在線段、上，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求證：．【解析】（1）證明：是等邊三角形，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）證明：如圖，連接，，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，在與中，，，．考點(diǎn)四、由對(duì)角線的關(guān)系判定平行四邊形【例4】如圖，將平行四邊形的對(duì)角線向的兩個(gè)方向延長(zhǎng)，分別至點(diǎn)和點(diǎn)，且使得，求證：四邊形為平行四邊形．

【解析】連接，與交于點(diǎn)O．如圖所示：

∵四邊形是平行四邊形，∴，又∵，∴，即．∴四邊形是平行四邊形．【變式4】已知：如圖，在中，E，F(xiàn)是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，G，H是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，，．求證：四邊形是平行四邊形．【解析】證明：在中，，因?yàn)椋?，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形．考點(diǎn)五、添加條件使四邊形是平行四邊形【例5】如圖，在四邊形中，，，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接．(1)請(qǐng)你只添加一個(gè)條件（不另加輔助線），使得四邊形為平行四邊形，你添加的條件是；(2)在（1）中添加條件后，請(qǐng)證明四邊形為平行四邊形．【解析】（1）解：；根據(jù)，，可得，再添加，利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定；故答案為：（答案不唯一）．（2）證明：∵，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形．【變式5】如圖，平行四邊形ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上不同的兩點(diǎn)，添加個(gè)條件，使得四邊形AECF為平行四邊形．(1)現(xiàn)有四個(gè)條件：①BE＝DF；②AF∥CE；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．你添加的條件是：（填一個(gè)序號(hào)即可）(2)在（1）的基礎(chǔ)上，求證：四邊形AECF是平行四邊形．【解析】（1）解：添加①，證明AE＝CF，AECF，可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出結(jié)論；添加②，證明AF＝CE，可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出結(jié)論；添加④，證明AE＝CF，AECF，可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出結(jié)論；添加③不能得出四邊形AECF為平行四邊形．故答案為：①或②或④（填一個(gè)即可）；（2）證明：如圖，添加①BE＝DF時(shí)，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，ABCD，∴∠ABE＝∠CDF，∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AECF，∴四邊形AECF是平行四邊形；添加②AFCE時(shí)，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC，AD＝BC，∴∠ADF＝∠CBE，∵AFCE，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AFD＝∠CEB，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AF＝CE，∵AFCE，∴四邊形AECF是平行四邊形；添加④∠BAE＝∠DCF時(shí)，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，ABCD，∴∠ABE＝∠CDF，∵∠BAE＝∠DCF，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AECF，∴四邊形AECF是平行四邊形．考點(diǎn)六、與已知三點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形【例6】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、、，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)D，使得以A，B，C，D四點(diǎn)組成的四邊形為平行四辺形，請(qǐng)寫出D點(diǎn)坐標(biāo)：．【答案】，，【解析】解：①當(dāng)為邊且為鄰邊時(shí)：如圖，

因?yàn)辄c(diǎn)、，所以點(diǎn)先向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得點(diǎn)，相應(yīng)地，點(diǎn)先向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得點(diǎn)，，；②當(dāng)為邊且為鄰邊時(shí)：如圖，

因?yàn)辄c(diǎn)、，所以點(diǎn)先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得點(diǎn)，相應(yīng)地，點(diǎn)先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得點(diǎn)，，；③當(dāng)為對(duì)角線時(shí)：如圖，

因?yàn)辄c(diǎn)、，所以點(diǎn)先向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得點(diǎn)，相應(yīng)地，點(diǎn)先向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得點(diǎn)，，；故答案為：，，．【變式6】平面直角坐標(biāo)系中，，，，為平面內(nèi)一點(diǎn)若、、、四點(diǎn)恰好構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，則平面內(nèi)符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】或或【解析】解：如圖，

當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或，故答案為：或或．考點(diǎn)七、平行四邊形與動(dòng)點(diǎn)問題【例7】如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，向以的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)即停止．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，向以的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)即停止，點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.(1)用含t的代數(shù)式表示：_________；___________；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形？(3)是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）解：∵點(diǎn)以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以的速度運(yùn)動(dòng)，∴，，故答案為：tcm，．（2）解：∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形；（3）解：∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，∵，，∴，解得：，∴存在，當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形．【變式7】在四邊形中，，，，，點(diǎn)從出發(fā)以1cm/s的速度向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，而另一點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．

若是上一點(diǎn)，且，t取何值時(shí)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？【解析】解：∵，是上一點(diǎn)，即，①當(dāng)點(diǎn)在線段上，時(shí)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則有，解得，②當(dāng)在線段上，時(shí)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則有，解得，綜上所述，s或s時(shí)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．過關(guān)檢測(cè)一、單選題1．在下列命題中，是假命題的是（

）A．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形B．有一組對(duì)邊相等，一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形C．一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形D．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形【答案】B【解析】解：A、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，是真命題，故本選項(xiàng)不符合題意；B、有一組對(duì)邊相等，一組對(duì)邊平行的四邊形可能是等腰梯形，原命題是假命題，故本選項(xiàng)符合題意；C、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，是真命題，故本選項(xiàng)不符合題意；D、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，是真命題，故本選項(xiàng)不符合題意；故選B．2．如圖，在四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，下列條件中不能判定四邊形是平行四邊形的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】解：A、∵，，∴四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵，，∴四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵，，∴四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、由，，不能判定四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)D符合題意．故選D．3．如圖，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線、分別平行于、，與的邊分別交于、、、．則圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)為（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【答案】D【解析】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，∵過點(diǎn)作直線、分別平行于、，∴，∴四邊形均為平行四邊形，∴加上共9個(gè)；故選D．4．如圖，，，且平分，則下列結(jié)論：；；．其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵，，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴正確；∵，∴，∵，∴，∴正確；∵四邊形是平行四邊形，∴，∴與不會(huì)全等，∴錯(cuò)誤．故選．二、填空題5．如圖，D是直線l外一點(diǎn)，在l上取兩點(diǎn)A，B，連接AD，分別以點(diǎn)B，D為圓心，AD，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接CD，BC，則四邊形ABCD是平行四邊形，理由是．【答案】?jī)山M對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形【解析】由題意可知，AD=BC，AB=CD，所以四邊形ABCD是平行四邊形.故答案為：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.6．如圖，四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：，使四邊形是平行四邊形（寫出一種情況即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】∵，∴AD∥BC，∴可添加，得四邊形是平行四邊形，故答案為：（答案不唯一）.7．在四邊形中,,為兩條對(duì)角線,若,,則在下列結(jié)論中,不正確的是．；；；.【答案】【解析】解:∵,∴,在和中,,∴,∴,故正確；,故正確；,故錯(cuò)誤；∴四邊形是平行四邊形,,故正確．故答案為:．8．如圖，O是等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)O作分別交于點(diǎn)G，H，I，已知等邊三角形的周長(zhǎng)為18，則．【答案】6【解析】解：∵，∴則四邊形和四邊形都是平行四邊形，∵是等邊三角形，∴是等邊三角形，則，∴，∴，∵的周長(zhǎng)為，∴．故答案為：6．9．如圖所示，四邊形是平行四邊形，按下列條件得到的四邊形是平行四邊形的有個(gè)．①圖甲，；②圖乙，平分，平分；③圖丙，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)；

④圖丁，是上一點(diǎn)，．【答案】3【解析】①∵四邊形是平行四邊形，，，，，，，∴四邊形是平行四邊形；②∵四邊形是平行四邊形，，，平分，平分，，在和中，，，，，，∴四邊形是平行四邊形；③∵四邊形是平行四邊形，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，，∴四邊形是平行四邊形；④∵四邊形是平行四邊形，，是上一點(diǎn)，，無(wú)法判斷，∴四邊形不一定是平行四邊形；綜上所述，能得到四邊形是平行四邊形的個(gè)數(shù)是3，故答案為：3．10．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)A、B、C在網(wǎng)格中的位置如圖所示，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為、、，在平面直角坐標(biāo)系中找一點(diǎn)D，使以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)：．【答案】或或【解析】解：根據(jù)題意得，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，．故答案為：或或．三、解答題11．已知：在的邊，上分別取一個(gè)點(diǎn)，，使得，，連接，．求證：

(1)四邊形是平行四邊形；(2)