菱形與梯形-中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講+熱考題型（解析版）

菱形與梯形-中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講+熱考

題型（專題測試）（解析版）

專題27菱形與梯形

（滿分：100分時(shí)間：90分鐘）

班級(jí)姓名學(xué)號(hào)分?jǐn)?shù)

一、單選題（共10小題，每小題3分，共計(jì)30分）

1.（內(nèi)蒙古呼和浩特市?中考真題）命題①設(shè).迨。的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C且

燃X嘎瑞翁白心令扁薩金管啥箴，則汽、，門、，中，最多有一個(gè)銳角；②順次連接

菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；③從11個(gè)評(píng)委分別給出某選手的不同原始

評(píng)分中，去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，剩下的9個(gè)評(píng)分與11個(gè)原始評(píng)分相比，

中位數(shù)和方差都不發(fā)生變化.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3

個(gè)

【答案】B

【分析】

①設(shè)a、尸、/中，有兩個(gè)或三個(gè)銳角，分別判斷有兩個(gè)銳角和有三個(gè)銳角時(shí)

矛盾，并且說明有一個(gè)銳角的情況存在即可；②利用中位線的性質(zhì)和矩形的判定

可判斷；③根據(jù)評(píng)分規(guī)則和中位數(shù)、方差的意義判斷.

【詳解】

解：①設(shè)a、,6、/中，有兩個(gè)或三個(gè)銳角，

若有兩個(gè)銳角，假設(shè)a、，6為銳角，

貝i」A+B〈90°,A+CV90。，

?,.A+A+B+C=A+180°<180°,

.?.A<0°,不成立,

若有三個(gè)銳角，同理，不成立，

假設(shè)A<45°,B<45°,貝iJa<90°,

???最多只有一個(gè)銳角，故命題①正確；

②如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),

，HG〃EF,HE〃GF,

二四邊形EFGH是平行四邊形，

VAC1BD,

/.HE1HG,

...四邊形EFGH是矩形，故命題②正確;

③去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，不影響中間數(shù)字的位置，故不影響中位數(shù)，

但是當(dāng)最高分過高或最低分過低，平均數(shù)有可能隨之變化，同樣，方差也會(huì)有所

變化，

故命題③錯(cuò)誤；

綜上：錯(cuò)誤的命題個(gè)數(shù)為L

故選B.

2.（黑龍江牡丹江市?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0是菱形WTO

對(duì)角線：的中點(diǎn)，.少.軸且.二…將菱形繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，

使點(diǎn)D落在x軸上，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（)

A.心內(nèi)B.（2.-,.

.ij/-.：：D.U：二/或i：

【答案】D

【分析】

分點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸正半軸和y軸負(fù)半軸兩種情況分別討論，結(jié)合菱形的性質(zhì)求

解.

【詳解】

解：根據(jù)菱形的對(duì)稱性可得：當(dāng)點(diǎn)D在x軸上時(shí)，

A、B、C均在坐標(biāo)軸上，如圖，

VZBAD=60°,AD=4,

?,.ZOAD=30°,

/.0D=2,

,"AO=_J，=OC，

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-八6）,

同理：當(dāng)點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸正半軸時(shí),

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,：4），

二點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,或（0,二「），

故選D.

3.（浙江紹興市?中考真題）如圖，點(diǎn)。為矩形的對(duì)稱中心，點(diǎn)￡從點(diǎn)

/出發(fā)沿向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)8停止，延長&9交。于點(diǎn)石則四邊形

/人:尸形狀的變化依次為（）

A.平行四邊形一正方形一平行四邊形一矩形

B.平行四邊形一菱形一平行四邊形一矩形

C.平行四邊形一正方形一菱形一矩形

D.平行四邊形一菱形一正方形一矩形

【答案】B

【分析】

根據(jù)對(duì)稱中心的定義，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得四邊形形狀的變化情況.

【詳解】

解：觀察圖形可知，四邊形卞形狀的變化依次為平行四邊形一菱形一平行四

邊形一矩形.

故選：B.

4.（江蘇南通市?中考真題）下列條件中，能判定口48。是菱形的是（）

A.AC=BDB.ABX.BCC.AD=BDD.AC

LBD

【答案】D

【分析】

根據(jù)菱形的判定條件即可得到結(jié)果；

【詳解】

解：???四邊形力8。是平行四邊形，

...當(dāng)時(shí)，四邊形力8。是菱形；

故選：D.

5.（西藏中考真題）如圖，下列四個(gè)條件中，能判定平行四邊形ABCD為菱形

的是（）

A.ZADB=90°B.OA=OBC.OA=OCD.AB

=BC

【答案】D

【分析】

根據(jù)菱形的判定定理和矩形的判定定理分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行推理判斷即可.

【詳解】

A、平行四邊形ABCD中，ZADB=90°,

不能判定四邊形ABCD為菱形，故選項(xiàng)A不符合題意；

B、?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.OA=OC,OB=OD,

VOA=OB,

/.AC=BD,

二平行四邊形ABCD是矩形，不能判定四邊形ABCD為菱形，故選項(xiàng)B不符合

題意；

C、???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.OA=OC,不能判定四邊形ABCD為菱形，故選項(xiàng)C不符合題意：

D、?.?四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC,

二平行四邊形ABCD是菱形；故選項(xiàng)D符合題意；

故選：D.

6.（內(nèi)蒙古呼倫貝爾市?中考真題）如圖,在：中，SD岸分別是邊（-S

上的中線，紇一UE于點(diǎn)點(diǎn)“〈分別是"—.的中點(diǎn)，若，1ST,X-6,

則四邊形DEYX的周長是（）

A.14B.20C.22D.28

【答案】B

【分析】

根據(jù)已知條件證明四邊形MNDE為菱形，結(jié)合OB和OC的長求出MN,OM,

OE,計(jì)算出EM,可得結(jié)果.

【詳解】

解：:BD和CE分別是AABC的中線，

.,.DE=：BC,DE〃BC,

和N分別是OB和OC的中點(diǎn)，OB=8,0c=6,

.?.MN=：BC,MN〃BC,OM=4-OB=4,ON=4-OC=3,

四邊形MNDE為平行四邊形，

VBD1CE,

平行四邊形MNDE為菱形，

.,.0E=0N=3

?收=飆”聞，螂

，DE=MN=EM=DN=5,

二四邊形MNDE的周長為20,

故選B.

7.（浙江臺(tái)州市?中考真題）如圖，已知線段AB,分別以A,B為圓心，大于「

同樣長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C,D,連接AC,AD,BC,BD,CD,則下列

說法錯(cuò)誤的是（）

A.AB平分NCADB.CD平分NACBC.AB±CDD.AB=CD

【答案】D

【分析】

根據(jù)作圖判斷出四邊形ACBD是菱形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)：菱形的對(duì)角線平分

一組對(duì)角、菱形的對(duì)角線互相垂直平分可得出答案

【詳解】

解：由作圖知AC=AD=BC=BD,

四邊形ACBD是菱形，

...AB平分NCAD、CD平分/ACB、AB1CD,

不能判斷AB=CD,

故選：D.

8.（山東威海市?中考真題）如圖，在平行四邊形/8U。中，對(duì)角線孑「一.會(huì),

.4-：。，￡-6,。為〃門的中點(diǎn)，￡為邊"匚上一點(diǎn)，直線交CD于點(diǎn)F,

連結(jié)沙，,二.下列結(jié)論不成立的是（）

A.四邊形小、為平行四邊形

B.若"則四邊形.%￡；為矩形

C.若達(dá)_。則四邊形露為菱形

D.若--曰，則四邊形.小乩為正方形

【答案】D

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及判定定理，以及特殊平行四邊形的判定定理進(jìn)行逐一判

斷即可得解.

【詳解】

A.V四邊形ABCD是平行四邊形

:.DC

???。為,；;C的中點(diǎn)

DO二RO

在士不。與△三。中

―1）0--EHU

-DO-20

'-DOr--BOE

又—f

四邊形Dig；為平行四邊形,

故A選項(xiàng)正確;

則當(dāng),4--$時(shí)，二一心

?..四邊形。8為平行四邊形

，四邊形.舊出為矩形，

故B選項(xiàng)正確；

C；出一3回：0

是力8中點(diǎn)

,/獨(dú)一十

:.DE-就-鴕

???四邊形為；￡,為平行四邊形

四邊形.％&?為菱形，

故C選項(xiàng)正確；

D.當(dāng)?讓-13時(shí)與二三一:?.時(shí)矛盾，則。《不垂直于力8,則四邊形戈.乩,不為

矩形，則也不可能為正方形，故。選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選：D.

9.（內(nèi)蒙古通遼市?中考真題）如圖，「是的中線，四邊形一?:二是平行

四邊形，增加下列條件，能判斷YE半是菱形的是（)

A.一河：B.――工C..iS-JCD."_

【答案】A

【分析】

根據(jù)菱形的判定方法逐一分析即可.

【詳解】

解：A、若一%（：_頓，則AD=BD=CD=AE,?.?四邊形ADCE是平行四邊形，

則此時(shí)四邊形ADCE為菱形，故選項(xiàng)正確；

B、若_D.正-式：，則四邊形ADCE是矩形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、若一V?乩，則NADC=90°,則四邊形ADCE是矩形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、若卷一,話,而AB>AD,貝UAEWAD，無法判斷四邊形ADCE為菱形，故

選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選A.

10.（廣西來賓市?九年級(jí)三模）如圖，在口中，￡是8U的中點(diǎn)，且N/I尾

=ZDCE,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.S&AFD=2S&EFBB.BF=DF

C.AE=DCD./AEB=/ADC

【答案】A

【分析】

根據(jù)已知條件即可推出滔△必尸,推出選項(xiàng)/符合題意，選項(xiàng)8不符合題

意；推出四邊形/氏二。為等腰梯形，得出選項(xiàng)C。不符合題意即可.

【詳解】

解：?.?平行四邊形28。中，

:.XBEFSXDAF,

???￡是86?的中點(diǎn)，

BF-.FD=BE-.AD,

：.BF='^DF,故選項(xiàng)8不符合題意；

/.SWAFD=4SIEFB，故選項(xiàng)A符合題意；

'：AAEC=ADCE,AD//BC,

，四邊形/&N為等腰梯形，

：.AAEC=AC,AE=DC,故選項(xiàng)U不符合題意；

???N/EB+N板'=180。，//田/。=180。，AAEC=AC,

：.AAEB=AADC,故選項(xiàng)。不符合題意；

故選：4

二、填空題（共5小題，每小題4分，共計(jì)20分）

11.（江蘇淮安市?中考真題）菱形的兩條對(duì)角線長分別是6和8,則菱形的邊

長為.

【答案】5

【分析】

根據(jù)菱形對(duì)角線垂直平分，再利用勾股定理即可求解.

【詳解】

解：因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分，

根據(jù)勾股定理可得菱形的邊長為.不二=5.

故答案為5.

12.（遼寧大連市?中考真題）如圖，菱形WCO中,一」.二-則73C-

【答案】】8

【分析】

利用菱形的性質(zhì)可得到NBAC=NBCA=/ACD=4T，再利用三角形的內(nèi)角和

定理即可求解.

【詳解】

?.?四邊形為菱形

...AC平分NDCB,DCAB

/.ZBAC=ZBCA=ZACD=IO:

；?在:中,ZABC=；SC-ZBAC-ZBCA=ISO-40-40c=106：

故答案為：「二。

13.（內(nèi)蒙古鄂爾多斯市?中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD在

第一象限內(nèi)，邊BC與x軸平行，A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為6,4,反比例函數(shù)

y=（x>0）的圖象經(jīng)過A,B兩點(diǎn)，若菱形ABCD的面積為2及，則k的值

【答案】12

【分析】

過點(diǎn)A作x軸的垂線，交CB的延長線于點(diǎn)E,根據(jù)A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為

6,4,可得出橫坐標(biāo)，即可表示AE,BE的長，根據(jù)菱形的面積為2、拒，求得

AE的長，在Rt^AEB中，計(jì)算BE的長，列方程即可得出k的值.

【詳解】

解：過點(diǎn)A作x軸的垂線，交CB的延長線于點(diǎn)E,

?.?BC〃x軸,

AAE1BC,

???A,B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=：(x>0)的圖象，且縱坐標(biāo)分別為6,4,

AA（三，6）,B（二，4）,

64

/.AE=2,BE=，-"，

46U

?.?菱形ABCD的面積為2、萬，

，BCxAE=2、「，即BC=4,

*'?AB—BC~9

在RtaAEB中，BE=Jj~?"=L

.,.k=12,

故答案為：12.

14.（遼寧營口市?中考真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線/C8。交于點(diǎn)

O,其中。4=1,OB=2,則菱形的面積為.

【答案】4

【分析】

根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線之積的一半可得答案.

【詳解】

解：'：OA=1,08=2,

：.AC=2,BD=4,

二菱形的面積為；X2X4=4.

故答案為：4.

15.（陜西中考真題）如圖，在菱形力8。中，48=6,N8=60°,點(diǎn)￡在

邊/。上，且/￡=2.若直線/經(jīng)過點(diǎn)￡將該菱形的面積平分，并與菱形的另

一邊交于點(diǎn)月則線段）的長為.

【答案】2『.

【分析】

過點(diǎn)力和點(diǎn)￡作/3,8G于點(diǎn)G和”可得矩形ZGH￡再根據(jù)菱

形力8。中，AB=6,N6=60°,可得8G=3,AG=3、&=EH,由題意可得,

FH=FC-HC=2-1=1,進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得）的長.

【詳解】

解：如圖，過點(diǎn)力和點(diǎn)營作4G，8c斤于點(diǎn)G和”

得矩形AGHE,

：.GH=AE=2,

?.?在菱形中，AB=6,N8=60°,

:.BG=3,AG=3「=EH,

：.HC=BC-BG-GH=6-3-2=1,

?.?用平分菱形面積，

:.FC=AE=2,

：.FH=FC-HC=2-1=1,

在Rt△冊(cè)/中，根據(jù)勾股定理，得

*於H-FF=7F^1=2'尸?

故答案為：2『.

三、解答題（共5小題，每小題10分，共計(jì)50分）

16.（廣東廣州市?中考真題）如圖，工dD中，黝懶口蜀旗豳.

（1）作點(diǎn)〃關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)匚；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕

跡）

（2）在（1）所作的圖中，連接i,火，連接“；‘，交：于點(diǎn)》

①求證：四邊形.寸二。是菱形；

②取火.的中點(diǎn).：，連接。三，若。工‘，2^-10,求點(diǎn)上到小的距離.

【答案】（1）見解析；（2）①見解析：②”.

1?

【分析】

（1）過點(diǎn)4做的垂線交上「于點(diǎn)"，在；4的延長線上截取，即

可求出所作的點(diǎn).關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)U；

（2）①利用盤緘瀚，一G得出利用以及

得出四邊形一喈（?0是菱形；

②利用?！隇橹形痪€求出4：的長度，利用菱形對(duì)角線垂直平分得出。。的長度,

進(jìn)而利用工?工0子求出.=0的長度，得出對(duì)角線，式.的長度，然后利用面積法求

出點(diǎn)，.到京，的距離即可.

【詳解】

（1）解：如圖：點(diǎn)C即為所求作的點(diǎn)；

（2）①證明：

???.*）_.二，'「'，

乂?-4。--4。，

??.圖雄嬲睡曲娜幼；

；.米一二6,

二四邊形.4Uj是菱形；

②解：?.?四邊形/是菱形，

AAO?CO,BG-DO,

乂

為EC的中點(diǎn)，

USE，

'：AO-CO,

???DE為，4r的中位線，

0E^~,

■

-

??.iSA??

.??菱形的邊長為13,

紀(jì)，25

在三?上支力中，由勾股定理得：/=蠲售「1涕，即：翩金畫二？噌，

二_'4,

設(shè)點(diǎn)E至廣―的正』為人利用面積相等得：

*轆優(yōu)解?鬻《，

曾

解得：

即三到q的距離為三

17.（湖北黃石市?中考真題）如圖，反比例函數(shù)?-T的圖象與正比例函

數(shù)：-：的圖象相交于.」：「、8兩點(diǎn)，點(diǎn)U在第四象限，BC〃x軸.

(1)求攵的值；

(2)以4、為邊作菱形星《0,求。點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】(1)k=2；(2)D點(diǎn)坐標(biāo)為Q+：/,2).

【分析】

(1)根據(jù)題意，點(diǎn)TL：;，在正比例函數(shù)J-＞上，故將點(diǎn).〕：=，代入正比例函

數(shù):二：?中，可求出a值，點(diǎn)A又在反比例函數(shù)圖像上，故k值可求；

(2)根據(jù)(1)中已知A點(diǎn)坐標(biāo)，則B點(diǎn)坐標(biāo)可求，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可以

求出AB的長，最后利用已知條件四邊形ABCD為菱形，BC〃x,即可求出D

點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

(1)根據(jù)題意，點(diǎn)41「;，在正比例函數(shù)j二二?上，故將點(diǎn)此二，代入正比例函

數(shù):二二中，得a=2,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(L2),點(diǎn)A又在反比例函數(shù)圖像上，設(shè)

反比例函數(shù)解析式為：=＞二『小，將AQ,2)代入反比例函數(shù)解析中，得k=2.

故k=2.

(2)如圖，A、B為反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)，故可得--二工，解得11,

T,如圖，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,2),故點(diǎn)B坐標(biāo)為(-1,-2),根據(jù)兩點(diǎn)間

距離公式可得AB=皤項(xiàng)i.博疆，根據(jù)已知條件中四邊形ABCD為菱形，故

AB=AD=：v"AD〃BC〃x軸，則點(diǎn)D坐標(biāo)為(1+：丫，?,2).

故點(diǎn)D坐標(biāo)為(l+：v，f,2).

18.(上海中考真題)已知：如圖，在菱形28。中，點(diǎn)￡下分別在邊48、

/。上，BE=DF,%的延長線交。力的延長線于點(diǎn)G,U尸的延長線交84的延

長線于點(diǎn)H.

(1)求證：XBEC-XBCH：

(2)如果求證：AG=DF.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】

(1)先證明△Q&AU8E進(jìn)而得到NO8N8UE再由菱形對(duì)邊。BH,

得到N〃=NOa；進(jìn)而NBCE=NH即可求解.

(2)由得至U,再利用/GBC,平行線分線段成比例定

理得到包=三，再結(jié)合已知條件即可求解.

A3BC

【詳解】

解：?四邊形是菱形，

:.CD=CB,乙D=^B,CDAB.

,:DF=BE,

.?"/△gSAS),

:.乙DCF二乙BCE.

:CDBH,

:.乙H=乙DCF,

:.乙BCE=AH.且N8=N8,

:.&BEJBCH.

?:BR=ABAE,

:AGBC,

?:DF=BE,BC=AB,

:.BE=AG=DF,

^AG=DF.

19.（湖北咸寧市中考真題）如圖，在二二mcr中，以點(diǎn)8為圓心，，：;」長為半

徑畫弧，交次;于點(diǎn)E,在二上截取疔-3E,連接守.

（1）求證：四邊形「.是菱形；

（2）請(qǐng)用無刻度的直尺在二一后UP內(nèi)找一點(diǎn)"，使一七叼-￡：（標(biāo)出點(diǎn)戶的位

置，保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】

（1）根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，得出AF〃BE,由作圖過程可知AF=BE,

結(jié)合AB=BE即可證明；

（2）利用菱形對(duì)角線互相垂直的性質(zhì)，連接AE和BF,交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

【詳解】

解：（1）根據(jù)作圖過程可知：AB=BE,AF=BE,

???四邊形ABCD為平行四邊形，

，AF〃BE,

VAF=BE,

四邊形ABEF為平行四邊形，

VAB=BE,

平行四邊形ABEF為菱形；

（2）如圖，點(diǎn)P即為所作圖形，

???四邊形ABEF為菱形,則BF_LAE,

AZAPB=90°.

20.（福建中考真題）如圖，點(diǎn)E二分別在菱形的邊丁，上，且

tE-3F.

求證:.

【答案】詳見解析

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AB=AD,zB=zD,再結(jié)合已知條件BE=DF即可證明

幽除曲瞬后即可求解.

【詳解】

解：證明：???四邊形.妗CD是菱形,

菱形與梯形

【知識(shí)要點(diǎn)】

知識(shí)點(diǎn)一菱形

菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

菱形的性質(zhì)：

1、菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

2、菱形的四條邊都相等；

幾何描述：?四邊形ABCD是菱形/.AB=BC=CD=AD

3、菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

幾何描述：???四邊形ABCD是菱形

，AC_LBD,AC平分/BAD,CA平分/BCD,BD平分NCBA,DB平分NADC

I)

B

3、菱形.既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，菱形的對(duì)稱中心是菱形對(duì)角線的交

點(diǎn)，菱形的對(duì)稱軸是菱形對(duì)角線所在的直線，菱形的對(duì)稱軸過菱形的對(duì)稱中心。

菱形的判定：

1、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

2、四條邊相等的四邊形是菱形。

3、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

菱形的面積公式：菱形ABCD的對(duì)角線是AC、BD,則菱形的面積公式是：$=底

義高，S=-xACxBD

r2

知識(shí)點(diǎn)二梯形

梯形的定義：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形；有一個(gè)角是直

角的梯形叫直角

梯形；有兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形

等腰梯形性質(zhì)：

1）等腰梯形的兩底平行，兩腰相等；

2）等腰梯形的同一底邊上的兩個(gè)角相等；

3）等腰梯形的兩條對(duì)角線相等；

4）等腰梯形是軸對(duì)稱圖形（底邊的中垂線就是它的對(duì)稱軸）。

等腰梯形判定：

1）兩腰相等的梯形是等腰梯形；

2）同一底邊上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；

3）對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。

梯形的面積公式：面積=1x（上底+下底）X高

解決梯形問題的常用方法（如下圖所示）：

1）“作高”：使兩腰在兩個(gè)直角三角形中；

2）“移對(duì)角線”：使兩條對(duì)角線在同一個(gè)三角形中;

3）“延長兩腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個(gè)三角形；

4）“等積變形”：連接梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長交下底的延長線

于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形.并且這個(gè)三角形面積與原來的梯形面積相等.

5）平移腰。過上底端點(diǎn)作一腰的平行線，構(gòu)造一個(gè)平行四邊形和三角形。

考查題型一探索菱形的性質(zhì)

典例1.（湖北黃岡市?中考真題）若菱形的周長為16,高為2,則菱形兩鄰角的

度數(shù)之比為（）

A.4:1B.5:1C.6:1D.7:1

變式1-1.（甘肅金昌市?中考真題）如圖所示的木制活動(dòng)衣帽架是由三個(gè)全等的

菱形構(gòu)成，根據(jù)實(shí)際需要可以調(diào)節(jié)力E間的距離，若4E間的距離調(diào)節(jié)到60。機(jī)，

菱形的邊長AB=2（）cm,則ND鉆的度數(shù)是（）

I）

於六

I??。ǔ?

w

H

A.90°B.100°C.120°D.150°

變式1-3.（貴州貴陽市?中考真題）菱形的兩條對(duì)角線長分別是6和8,則此菱

形的周長是（）

A.5B.20C.24D.32

變式1-4.（黑龍江鶴崗市?中考真題）如圖，菱形ABCO的對(duì)角線AC、3。相

交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作于點(diǎn)H,連接OH,若。4=6,OH=4,則菱形

A5CD的面積為（）

A.72B.24C.48D.96

變式1-4.（山東日照市?中考真題）已知菱形的周長為8,兩鄰角的度數(shù)比為L

2,則菱形的面積為（）

A.8百B.8C.46D.273

變式1-5.（貴州遵義市?中考真題）如圖，在菱形A8CD中，AB=5,AC=6,過

點(diǎn)。作。ELBA,交班的延長線于點(diǎn)E,則線段DE的長為（）

121824

A.—B.—C.4D.—

555

考查題型二證明四邊形是菱形

典例2.（湖南婁底市?中考真題）如圖，ABC。中，BC^IAB,ABA.AC,

分別在邊8C、AD上的點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于4c對(duì)稱，連接EF、AE、CF、DE.

（1）試判定四邊形AECF的形狀，并說明理由；

（2）求證：AEYDE

變式2-1.（山東濱州市?中考真題）如圖，過DABCD對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)E

作兩條互相垂直的直線，分別交邊AB、BC.CD、DA于點(diǎn)P、M、Q、N.

（1）求證：PBEgQDE；

（2）順次連接點(diǎn)P、M、Q、N,求證：四邊形PMQN是菱形.

變式22（江蘇宿遷市?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F在AC上,

且AF=CE.求證：四邊形BEDF是菱形.

考查題型三菱形性質(zhì)與判定的綜合

典例3.（黑龍江綏化市?中考真題）如圖，在心.ABC中，8為斜邊A6的中

線，過點(diǎn)。作DELAC于點(diǎn)E,延長。E至點(diǎn)F,使印=DE,連接ARCE,點(diǎn)

G在線段上，連接EG,且NCDE+NEGC=18（）o,EG=2,GC=3.下列結(jié)論:

①DE.BC；②四邊形DBCF是平行四邊形；③b=EG；④BC=2布.其中

正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

變式3-1.（內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在中，NACB=90。，BC>AC,

按以下步驟作圖：（1）分別以點(diǎn)AB為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩

弧相交于M,N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在的上方）；（2）作直線MN交A8于點(diǎn)0,交BC

于點(diǎn)D；（3）用圓規(guī)在射線上截取=連接A￡）,AE,8E,過點(diǎn)。作

OF±AC,垂足為F,交AD于點(diǎn)G.下列結(jié)論：

①CD=2GF；②BEP-82=m2；③SB°E=2SMG；④若AC=6,O尸+04=9,

則四邊形AD5E的周長為25.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

變式32（四川南充市?中考真題）如圖，面積為S的菱形ABCD中，點(diǎn)。為對(duì)

角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E是線段BC單位中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFJ_BD于F,EG_LAC與G,

則四邊形EF0G的面積為（）

變式3-3.（廣東中考真題）已知菱形ABC。，E,F是動(dòng)點(diǎn),邊長為4,

BE=AF,ZBAD=UQ°,則下列結(jié)論正確的有幾個(gè)（）

①\BEC也MFC；②AECF為等邊三角形

（3）ZAGE=ZAFC④若AF=1,則空

GE3

A.1B.2C.3D.4

考查題型四探索梯形的性質(zhì)

典例4.（廣東茂名市?九年級(jí)一模）如下圖所示，在梯形ABC。中，己知

AB=1cm,CD=3cm,MDO的面積為15cm2,則梯形ABCD的面積是（）c/

考查題型五梯形性質(zhì)與判定的綜合

典例5.（江蘇南通市模擬）如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,BA=AD=DC,點(diǎn)E

在CB延長線上，BE=AD,連接AC、AE.

（1）求證：AE=AC；

⑵若ABLAC,F是BC的中點(diǎn)，試判斷四邊形AFCD的形狀，并說明理由.

變式5-1.（上海楊浦區(qū)?九年級(jí)一模）如圖，已知在梯形A8c。中，48〃CO,A8=12,

￡）￡2

CD=7,點(diǎn)E在邊4。上，—過點(diǎn)E作EF〃陽交邊8c于點(diǎn)F.

AE3

（1）求線段EF的長；

（2）設(shè)A3=a，AD-b，聯(lián)結(jié)AF,請(qǐng)用「可量表不向量A/7.

變式5-2.（陜西九年級(jí)零模）某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計(jì)的學(xué)生板凳的正面視

圖如圖所示，其中BA=CD,BC=20cm,BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距

離分別為40cm、8cm.為使板凳兩腿底端A、D之間的距離為50cm,那么橫梁

EF應(yīng)為多長？（材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計(jì)）.

變式5-3.（景縣模擬）（材料學(xué)習(xí)）

小學(xué)里已經(jīng)學(xué)過：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形稱為梯形，平行的

一組對(duì)邊稱為底，不平行的一組對(duì)邊稱為腰.

如圖（1）,在等腰三角形紙片ABC上，畫底邊的平行線。民可得到一個(gè)梯

形DBCE.由NB=NC,DE//3C,可知于是又

AB=AC,從而￡>8=EC.

定義:像梯形DBCE,兩腰相等的梯形稱為等腰梯形.

幾何語言：如圖（1）,在梯形。8CE中，=，梯形。BCE是等腰梯

形.

圖（1）

如果把圖（1）的等腰三角形紙片ABC沿頂角平分線AM折疊，那么與AC重

合，由于=可知點(diǎn)。與點(diǎn)E重合，如圖（）2,于是MB=MC,ND=NE.由

此，我們可以得到如下結(jié)論：

圖（2）

（1）等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，過兩底中點(diǎn)的直線是它的對(duì)稱軸，

（2）等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等，

（3）等腰梯形的對(duì)角線相等.

（探究歸納）

利用等腰梯形與等腰三角形的內(nèi)在聯(lián)系，我們還可以研究：具備什么條件的梯形

是等腰梯形？

（1）如圖（3）,在梯形ABC。中，AD//BC/B=4C,求證：梯形ABC。是

等腰梯形；

歸納提煉1；通過（1）的證明可知：的梯形是等腰梯形；

（2）如圖（4）,在梯形ABCO中，AD"BC,AC=BD,求證：梯形ABC。是

等腰梯形.

歸納提煉2：通過（2）證明可知：的梯形是等腰梯形;

考查題型六利用輔助線解決梯形計(jì)算問題

典例6.（雷州市模擬）已知等腰梯形的大底等于對(duì)角線的長，小底等于高，則

該梯形的小底與大底的長度之比是（）

A.3:5B.3:4C.2：3D.1:2

變式6-1.（石家莊市模擬）如圖所示，于點(diǎn)A,CD_L/4D于點(diǎn)。，ZC

=120°.若線段8c與CD的和為12,則四邊形ABCD的面積可能是（）

A.2473B.30百C.45D.

2

變式6-2.（湖北隨州市模擬）從正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)中，任取四個(gè)頂點(diǎn)連成四

邊形，則這個(gè)四邊形是等腰梯形的概率是（）

21

A.1B.—C.一D.0

55

變式6-3.（江蘇蘇州市模擬）如圖,在梯形A8CD中，AD//BC,EF是梯形48co

的中位線，若ABEF的面積為4cm2,則梯形A8CD的面積為（）

C.16cm2D.20cm2

變式6-4.（甘肅蘭州市?九年級(jí)期末）一個(gè)等腰梯形的兩底之差為12,高為6,則

等腰梯形的銳角為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

變式6-5.（四川成都市期末）如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,AB=CD,ZABC

=ZC,BD平分NABC,AD=2,ZC=60°,則BC=.

D

變式66（山東荷澤市模擬）已知：等腰梯形ABCD外切于為。0,AD〃BC,

若AD=4,BC=6,AB=5,則。0的半徑的長為—.

菱形與梯形

【知識(shí)要點(diǎn)】

知識(shí)點(diǎn)一菱形

菱■而定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

菱形的性質(zhì)：

1、菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

2、菱形的四條邊都相等；

幾何描述：???四邊形ABCD是菱形.\AB=BC=CD=AD

3、菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

幾何描述：???四邊形ABCD是菱形

，AC_LBD,AC平分NBAD,CA平分NBCD,BD平分NCBA,DB平分NADC

3、菱形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，菱形的對(duì)稱中心是菱形對(duì)角線的交

點(diǎn)，菱形的對(duì)稱軸是菱形對(duì)角線所在的直線，菱形的對(duì)稱軸過菱形的對(duì)稱中心。

菱形的判定：

1、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

2、四條邊相等的四邊形是菱形。

3、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

菱形的面積公式：菱形ABCD的對(duì)角線是AC、BD,則菱形的面積公式是：$=底

-：AC-

義局，S=-

知點(diǎn)—

梯信而定義：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形；有一個(gè)角是直

角的梯形叫直角

梯形；有兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形

等腰梯形性質(zhì)：

1）等腰梯形的兩底平行，兩腰相等；

2）等腰梯形的同一底邊上的兩個(gè)角相等；

3）等腰梯形的兩條對(duì)角線相等；

4）等腰梯形是軸對(duì)稱圖形（底邊的中垂線就是它的對(duì)稱軸）。

等腰梯形判定：

1）兩腰相等的梯形是等腰梯形；

2）同一底邊上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；

3）對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。

梯形的面積公式：面積=°X（上底+下底）X高

解決梯形問題的常用方法（如下圖所示）：

1）“作高”：使兩腰在兩個(gè)直角三角形中；

2）“移對(duì)角線”：使兩條對(duì)角線在同一個(gè)三角形中；

3）“延長兩腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個(gè)三角形；

4）“等積變形”：連接梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長交下底的延長線

于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形.并且這個(gè)三角形面積與原來的梯形面積相等.

5）平移腰。過上底端點(diǎn)作一腰的平行線，構(gòu)造一個(gè)平行四邊形和三角形。

6）過上底中點(diǎn)平移兩腰。

【考查題型】

.岸索要先的性腰

?證明岫形墨要形

?要形性88與初定的給臺(tái)

專題27菱形與梯形學(xué)自儂

?掙蒙棒形的性8!

.2形性！B與軻疣的綠合

.利腳I助戰(zhàn)第決拂弦計(jì)算向塞

考查題型一探索菱形的性質(zhì)

典例1.（湖北黃岡市?中考真題）若菱形的周長為16,高為2,則菱形兩鄰角

的度數(shù)之比為（）

A.I1B.?1C.61D.-1

【答案】B

【提示】如圖，AH為菱形ABCD的高，AH=2,利用菱形的性質(zhì)得到AB=4,

利用正弦的定義得到/B=30°,則NC=150°,從而得到NC：NB的比值.

【詳解】解：如圖，AH為菱形ABCD的高，AH=2,

???菱形的周長為16,

；.AB=4,

在RtZ\ABH中，sinB=J=二=±,

In?、

?SSQ?

.,.ZB=30°,

VAB/7CD,

/.ZC=150°,

AZC：NB=5：1.

故選：B.

變式1-1.（甘肅金昌市?中考真題）如圖所示的木制活動(dòng)衣帽架是由三個(gè)全等的

菱形構(gòu)成，根據(jù)實(shí)際需要可以調(diào)節(jié)?,二間的距離，若一間的距離調(diào)節(jié)到60■,

菱形的邊長.姐=2%…,則.D4.S的度數(shù)是（）

/t

K

A.9/B.C.；20DD.15（P

【答案】C

【提示】如圖（見解析），先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得幽E豳微耀器，再根據(jù)全

等的性質(zhì)可得般管5輜呂瓢融，然后根據(jù)等邊?角形的判定與性質(zhì)可得

多

^-60%最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得.

【詳解】如圖，連接AC

???四邊形ABCD是菱形

X魂E解?蹤碟幽敏0

?.?如圖所示的木制活動(dòng)衣帽架是由三個(gè)全等的菱形構(gòu)成，aE-包;…

￡密N憶段前^

堪

..15-SC-

二白C是等邊三角形

..d?

:.O3C

?一D四-】即-4--60。_120：

故選：C.

變式1-3.（貴州貴陽市?中考真題）菱形的兩條對(duì)角線長分別是6和8,則此菱

形的周長是（）

A.5B.20C.24D.32

【答案】B

【提示】根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，利用對(duì)角線的一半，根據(jù)勾股

定理求出菱形的邊長，再根據(jù)菱形的四條邊相等求出周長即可.

【詳解】解：如圖所示，根據(jù)題意得AO=；N-J,BO=|S

△.

?.?四邊形ABCD是菱形，

/.AB=BC=CD=DA,AC±BD,

...△AOB是直角三角形，

,AB=^耨串財(cái)x，履營，

此菱形的周長為：5x4=20.

故選：B.

變式1-4.（黑龍江鶴崗市?中考真題）如圖，菱形40的對(duì)角線.:相

交于點(diǎn)。，過點(diǎn)D作任于點(diǎn)；，連接。三，若必-5,--，則菱形

四的面積為（）

B

D

A.72B.24C.48D.96

【答案】C

【提示】根據(jù)菱形的性質(zhì)得。為BD的中點(diǎn)，再由直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半，得BD的長度，最后由菱形的面積公式求得面積.

【詳解】解：?.?四邊形.步是菱形,

???注！一。U，OB-OD，JCSD,

■?????*■?■

?**HD=9產(chǎn)，

:.2D二20E，

?（）!!一1，

???初-3，

??S-6，

：?dC=1二，

...菱形I-■（:）的面積L翼.輜鼻寬魂殿,輾.

故選：C.

變式1-4.（山東日照市?中考真題）已知菱形的周長為8,兩鄰角的度數(shù)比為L

2,則菱形的面積為（）

A.8,；3B.8C.4,；3D.2、萬

【答案】D

【提示】根據(jù)菱形的性質(zhì)和菱形面積公式即可求出結(jié)果.

【詳解】解:如圖，［兩鄰角度數(shù)之比為1：2,兩鄰角和為180°,

：.ZABC=60°,ZBAD=120°,

?.?菱形的周長為8,

...邊長48=2,

...菱形的對(duì)角線/C=2,BD=2x2sin60°=2，萬,

.?.菱形的面積=:ACBD=\x2x2、萬=2、萬.

故選：D.

變式1-5.（貴州遵義市?中考真題）如圖，在菱形中，AB=5,/U=6,

過點(diǎn)。作DELBA,交BA的延長線于點(diǎn)E,則線段OF的長為（）

E

12C元「“C

AA-TB-TU4D-T

【答案】D

【提示】利用菱形的面積等于兩對(duì)角線之積的一半，求解菱形的面積，再利用等

面積法求菱形的高:%即可.

【詳解】解：記AC與BD的交點(diǎn)為0,

二菱形.應(yīng)力,，北二良

\

碗H愣1歲碼

/.菱形的面積65-：二，

-.菱形的面積=.4,以

故選D.

考查題型二證明四邊形是菱形

典例2.（湖南婁底市?中考真題）如圖，二.選匚「中，三（?一二3,」f_二C，

分別在邊三E、上的點(diǎn)￡與點(diǎn)尸關(guān)于,對(duì)稱，連接出、；.：.、CE、.

（1）試判定四邊形.WXF的形狀，并說明理由;

（2）求證：￡一比

【答案】（1）四邊形為菱形，理由詳見解析；（2）詳見解析

【提示】

（1）根據(jù)題意可證明圓&螂?徽藤，再由露鼻蜘鮮以蜷可得到四邊形

一正CF是菱形；

（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

解：（1）四邊形.正仁:為菱形，理由如下

由二一少UP可得aDBC，從而一

設(shè)X'與M相交于點(diǎn)O

?.?點(diǎn)￡與點(diǎn)尸關(guān)于"對(duì)稱

在」OF和二COE中

ZGi?=-ACE

fOE=OF

；_QF=_C0￡

?皿踴簟的

???3-，大，又咨螟翳。

二四邊形.正為菱形，

(2)'：.iB-.lC，據(jù)⑴EF.<C

又O.l-OC^BE-C￡4，“一少

11

甌三曲kX函就Fa踴

鬻段

?'?AE^DE-

變式2-1.(山東濱州市?中考真題)如圖，過nABCD對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)

E作兩條互相垂直的直線，分別交邊AB、BC.CD、DA于點(diǎn)P、M、Q、N.

(1)求證：PBE會(huì)一QDE；

(2)順次連接點(diǎn)P、M、Q、N,求證：四邊形PMQN是菱形.

BMC

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【提示】(1)由ASA證△PBEgZXQDE即可；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得出EP=EQ,同理△BME^^DNE(ASA),得出

EM=EN,證出四邊形PMQN是平行四邊形，由對(duì)角線PQ_LMN,即可得出結(jié)

論.

【詳解】

(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.EB=ED,AB〃CD,

/.ZEBP=ZEDQ,

在aPBE和△QDE中，

：*￡￡!=￡D,

二口火

/.△PBE^AQDE(ASA)；

(2)證明：如圖所示：

VAPBE^AQDE,

，EP=EQ,

同理：^BME絲Z\DNE(ASA),

.\EM=EN,

四邊形PMQN是平行四邊形,

VPQ1MN,

...四邊形PMQN是菱形.

變式2-2.（江蘇宿遷市?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F在AC

上，且AF=CE.求證：四邊形BEDF是菱形.

【答案】見解析

【提示】

由正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD=BC,ZDAE=ZBAE=ZBCF=ZDCF=45°,

由"SAS"可證△ABEgAADE,ABFC^ADFC,AABE^ACBF,可得

BE=BF=DE=DF,可得結(jié)論.

【詳解】

???四邊形ABCD是正方形，

.?.AB=AD=CD=BC,ZDAE=ZBAE=ZBCF=ZDCF=45°,

在ZSABE和aADE中，

/.△ABE^AADE(SAS),

，BE=DE,

同理可得△BFCgZ\DFC,

可得BF=DF,

VAF=CE,

.?.AF-EF=CE-EF,即AE=CF,

在ZXABE和4CBF中，

.15-BC

?-_5CF,

'AE-CF

/.△ABE^ACBF（SAS）,

，BE=BF,

.,.BE=BF=DE=DF,

四邊形BEDF是菱形.

考查題型三菱形性質(zhì)與判定的綜合

典例3.（黑龍江綏化市?中考真題）如圖，在三「T中，CD為斜邊的中

線，過點(diǎn)。作區(qū)TC于點(diǎn)￡延長）.至點(diǎn)尸，使連接了。二，

點(diǎn)G在線段上，連接EG，且^?皆&^0嬲虞瑜厘惠翎啟交下列結(jié)

論：①。F-：；②四邊形DS0F是平行四邊形；③3-④"-入土其

中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4

個(gè)

【答案】D

【提示】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)知DA=DB=DC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合菱

形的判定定理可證得四邊形ADCF為菱形，繼而推出四邊形DBCF為平行四邊

形，可判斷①②；利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)結(jié)合已知可證得NCFE=/FGE,即可判斷

③；由③的結(jié)論可證得△FEG'AFCD,推出袋金簿，即可判斷④.

【詳解】???在我亡；￡。中，CU為斜邊“S的中線，

/.DA=DB=DC.

???比_aC于點(diǎn)￡且

.-.AE=EC,

四邊形ADCF為菱形，

.,.FC//BD,FC=AD=BD,

二四邊形DBCF為平行四邊形，故②正確；

.\DF=BC,

/.DE=；BC,故①正確；

個(gè)

?.?四邊形ADCE為菱形，

，CF=CD,

/.ZCFE=ZCDE,

??,/CDE+NEGC=180?,而NFGE+NEGC=180>,

...NCDE=NFGE,ZCFE=ZFGE,

，EF=EG,故③正確;

VZCDF=ZFGE,ZCFD=ZEFG,

.,.△FEG-AFCD,

FD-

ABC=DF_j,/,故④正確；

綜上，①②③④都正確，

故選：D.

變式3-1.（內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在幻二TSC中,二UE-療，EC>.1C,

按以下步驟作圖：（1）分別以點(diǎn)-二為圓心，以大于，出的長為半徑作弧，兩

弧相交于X〈兩點(diǎn)（點(diǎn)例在h；的上方）；（2）作直線交于點(diǎn)O,

交不.于點(diǎn)