初一數(shù)學(xué)(人教版)實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程(八)-1教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)2020QJ07SXRJ059學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)七年級(jí)學(xué)期第一學(xué)期課題實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程（八）——古代問(wèn)題教科書(shū)書(shū)名：數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)出版社：人民教育出版社出版日期：年月教學(xué)人員姓名單位授課教師胡波平北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)指導(dǎo)教師黃婉華北京市西城區(qū)教育研修學(xué)院教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1．會(huì)準(zhǔn)確地將簡(jiǎn)單的古代問(wèn)題翻譯成現(xiàn)代問(wèn)題；了解一些代數(shù)學(xué)的歷史知識(shí)；能分析出題目中所蘊(yùn)含的量與量之間的數(shù)量關(guān)系，設(shè)恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，建立方程模型。2.在具體問(wèn)題的分析與解決的過(guò)程，經(jīng)歷利用字母表示未知量，尋找量與量之間的關(guān)系過(guò)程，體會(huì)“方程”是解決實(shí)際問(wèn)題的有效模型．3.在問(wèn)題的解決中，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程與方法，提升對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題學(xué)習(xí)與研究的興趣.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：能分析出題目中所蘊(yùn)含的量與量之間的數(shù)量關(guān)系，設(shè)恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，建立方程模型。教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)例題講解例1：今有共買(mǎi)雞，人出九，盈十一;人出六，不足十六。問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何?題意是：“有若干人一起買(mǎi)雞，如果每人出9文錢(qián)，就多出11文錢(qián)；如果每人出6文錢(qián)，則還差16文錢(qián)，問(wèn)買(mǎi)雞的人數(shù)、雞的價(jià)錢(qián)各是多少？”第一遍讀題，邊讀遍圈畫(huà)出關(guān)鍵詞。本題涉及：雞的價(jià)錢(qián)，人數(shù)，每人出的錢(qián)數(shù)，人出的總錢(qián)數(shù)四個(gè)量。其中：人數(shù)×每人出的錢(qián)數(shù)=人出的總錢(qián)數(shù)。第二遍逐句分析，得出兩個(gè)相等關(guān)系。人數(shù)×9-11=人數(shù)×6+16=雞的價(jià)錢(qián)②兩個(gè)未知量，兩個(gè)含有這兩個(gè)未知量的相等關(guān)系，可以列方程求出未知量的值。若設(shè)人數(shù)為x人，則可以用選兩個(gè)相等關(guān)系中任意一個(gè)用含有x的式子表示雞的價(jià)錢(qián)，比如由①得，雞的價(jià)錢(qián)為9x-11.由相等關(guān)系②列方程，得6x+16=9x-11.我們也可以直接用已學(xué)的“表示同一個(gè)量的不同式子相等”將相等關(guān)系①②變?yōu)橐粋€(gè)相等關(guān)系“人數(shù)×9-11=人數(shù)×6+16”，一個(gè)未知量，一個(gè)含未知量的方程。設(shè)人數(shù)為x人，得出方程6x+16=9x-給出完整的解題過(guò)程可以設(shè)雞的價(jià)錢(qián)為x文，由①得人數(shù)為：，由②：人數(shù)為，利用“表示同一個(gè)量的不同式子相等”得，這個(gè)方程顯然比設(shè)人第一種方法復(fù)雜得多。例1這個(gè)問(wèn)題出自于《九章算術(shù)》第七章《盈不足》?！毒耪滤阈g(shù)》是中國(guó)古代一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著。是《算經(jīng)十書(shū)》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右。其作者已不可考。一般認(rèn)為它是經(jīng)歷代各家的增補(bǔ)修訂，而逐漸成為現(xiàn)今定本的，西漢的張蒼、耿壽昌曾經(jīng)做過(guò)增補(bǔ)和整理，當(dāng)時(shí)大體已成定本。最后成書(shū)最遲在東漢和帝時(shí)期，現(xiàn)今流傳的大多是在魏晉時(shí)期，劉徽為《九章》所作的注本?！毒耪滤阈g(shù)》內(nèi)容十分豐富，共收有246個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，分為九章，總結(jié)了先秦至東漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就。書(shū)中的分?jǐn)?shù)計(jì)算方法、聯(lián)立一次方程解法、負(fù)數(shù)等，在當(dāng)時(shí)世界上都屬于杰出的數(shù)學(xué)研究成果?！毒耪滤阈g(shù)》第七章《盈不足》總結(jié)出了盈虧問(wèn)題的解法和用同類(lèi)計(jì)算方法計(jì)算其他類(lèi)型算術(shù)題的方法。例2、希臘數(shù)學(xué)家丟番圖(公元3-~4世紀(jì))的墓碑上記載著：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，兩頰長(zhǎng)起了細(xì)細(xì)的胡須；他結(jié)了婚，又度過(guò)了一生的七分之一；再過(guò)五年，他有了兒子，感到很幸福；可是兒子只活了他父親全部年齡的一半；兒子死后，他在極度悲痛中度過(guò)了四年，也與世長(zhǎng)辭了．”根據(jù)以上信息，請(qǐng)你算出：（1）丟番圖的壽命；（2）丟番圖開(kāi)始當(dāng)爸爸時(shí)的年齡；（3）兒子死時(shí)丟番圖的年齡．（1）分析：第一遍讀題發(fā)現(xiàn)，丟番圖人生每個(gè)階段的時(shí)間長(zhǎng)度都與他的壽命有關(guān)，我們只需要設(shè)他的壽命為x歲，就可以用含有x的式子表示他的人生每個(gè)階段的時(shí)間長(zhǎng)度了，而每個(gè)階段又組成了他的整個(gè)壽命。即“每個(gè)階段時(shí)間長(zhǎng)度之和=丟番圖的壽命”第二步，逐句讀題，用含有x的式子表示丟番圖人生的每個(gè)階段的時(shí)間長(zhǎng)度?！吧牧种弧北硎緸?，“生命的十二分之一”表示為，“一生的七分之一”表示為，“兒子只活了他父親全部年齡的一半”表示為，兒子的生命長(zhǎng)度也是丟番圖生命的一個(gè)階段的時(shí)間長(zhǎng)度。由相等關(guān)系“每個(gè)階段時(shí)間長(zhǎng)度之和=丟番圖的壽命”得解:設(shè)丟番圖活了x歲，由相等關(guān)系“每個(gè)階段時(shí)間長(zhǎng)度之和=丟番圖的壽命”得答:丟番圖活了84歲.（2）.丟番圖開(kāi)始當(dāng)爸爸的年齡:（歲）或（歲）答:丟番圖開(kāi)始當(dāng)爸爸的年齡為38歲。（3）兒子死時(shí)丟番圖的年齡:(歲)答:兒子死時(shí)丟番圖的年齡為80歲。丟番圖(公元3-~4世紀(jì))，古希臘數(shù)學(xué)家，對(duì)于丟番圖的生平事跡，人們知道得很少。但在一本《希臘詩(shī)文選》（這是公元500年前后的遺物，其中有46首和代數(shù)問(wèn)題有關(guān)的短詩(shī)）中，收錄了丟番圖的墓志銘，流傳至今。丟番圖對(duì)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起了極其重要的作用，對(duì)后來(lái)的數(shù)論學(xué)者有很深的影響。丟番圖的《算術(shù)》是一部劃時(shí)代的著作，它在歷史上的影響可以和歐幾里得的《原本》媲美?！端阈g(shù)》是講數(shù)論的，它討論了一次、二次以及個(gè)別的三次方程，還有大量的不定方程。希臘數(shù)學(xué)自畢達(dá)哥拉斯學(xué)派后，興趣中心在幾何，代數(shù)也披上了幾何的外衣。直到丟番圖，才把代數(shù)解放出來(lái)，擺脫了幾何的羈絆。他認(rèn)為代數(shù)方法比幾何的演繹陳述更適宜于解決問(wèn)題，而在解題的過(guò)程中顯示出的高度的巧思和獨(dú)創(chuàng)性，在希臘數(shù)學(xué)中獨(dú)樹(shù)一幟。他被后人稱(chēng)為“代數(shù)學(xué)之父”(還有韋達(dá))。例3、在物理學(xué)家辛格爾的回憶錄里，曾提到俄國(guó)文學(xué)家列夫·托爾斯泰很喜歡的一道數(shù)學(xué)題：一組割草人要把兩片草地的草割完.兩片草地一大一小，大的比小的大一倍大家先都在大片的草地割了半天.午后分成兩組，一半人繼續(xù)在大草地上割,到下午收工時(shí)才把草割完；另一半人到小片草地割，到收工時(shí)還剩一小塊.這一小塊次日又由一人去割，割完恰好需要一天功夫.這組割草人有多少人?分析：第一遍讀題，可以獲取的信息有：割草人的人數(shù)，任務(wù)即大、小草坪，時(shí)間等信息，說(shuō)明這是一道工程問(wèn)題。工程問(wèn)題的基本關(guān)系為：“工作總量=人數(shù)×?xí)r間×每人每天的工作量.”第二遍逐句分析題意：無(wú)論是大片的草地還小片草地都沒(méi)有具體面積數(shù)量，明顯的相等關(guān)系有“大片草地面積=2×小片草地面積”①“大片草地面積=一半人一天的工作量+一半人半天的工作量”②從而得“大片草地面積=一半人一天半的工作量”再根據(jù)：“工作總量=人數(shù)×?xí)r間×人均工作效率.”得“大片草地面積=總?cè)藬?shù)××人均工作效率”②“小片草地面積=一半人半天的工作量+一個(gè)人1天的工作量”③即“小片草地面積=總?cè)藬?shù)××人均工作效率+1×1×人均工作效率”“小片草地面積=(總?cè)藬?shù)×+1)×人均工作效率③總?cè)藬?shù)××人均工作效率=2×(總?cè)藬?shù)×+1)×人均工作效率即總?cè)藬?shù)×=2×(總?cè)藬?shù)×+1)一個(gè)未知量，一個(gè)含有未知量的相等關(guān)系，可以通過(guò)列方程求出未知量的值。解：設(shè)割草人的人數(shù)為x人，根據(jù)相等關(guān)系“大片草地面積=2×小片草地面積”即總?cè)藬?shù)×=2×(總?cè)藬?shù)×+1)列方程:經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，且符合實(shí)際情況.答：這組割草人共8人.列夫·托爾斯泰是19世紀(jì)中期俄國(guó)的文學(xué)家，代表作有《戰(zhàn)爭(zhēng)與和平》、《安娜·卡列尼娜》、《復(fù)活》等，據(jù)說(shuō)列夫·托爾斯泰在文學(xué)工作之余對(duì)數(shù)學(xué)也很感興趣，他還寫(xiě)過(guò)一本算術(shù)課本。本節(jié)小結(jié)本節(jié)課主要講了古代數(shù)學(xué)問(wèn)題及與之相關(guān)的書(shū)籍，人物。幫助大家了解一些與代數(shù)學(xué)發(fā)展有關(guān)的歷史知識(shí)。（1）遇到古代問(wèn)題時(shí)要將其內(nèi)容正確地翻譯成現(xiàn)代語(yǔ)言.（2）古代問(wèn)題反映了人類(lèi)用數(shù)學(xué)方法解決生活中的問(wèn)題的智慧.課后練習(xí)我國(guó)元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》（1299年）中有這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何追及之？”題意是：“跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？”分析：1里=500米=0.5公里.本題為典型的行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題.慢馬先走12天到達(dá)C地，快馬出發(fā)追慢馬，慢馬繼續(xù)前行，在B地追上，即同時(shí)到達(dá)B地，通過(guò)線(xiàn)段圖可以直觀地得到路程之間的相等關(guān)系：慢馬12天所行路程+