初一數(shù)學(人教版)實際問題與一元一次方程(八)-1教學設計

課程基本信息課例編號2020QJ07SXRJ059學科數(shù)學年級七年級學期第一學期課題實際問題與一元一次方程（八）——古代問題教科書書名：數(shù)學七年級上冊出版社：人民教育出版社出版日期：年月教學人員姓名單位授課教師胡波平北京師范大學附屬實驗中學指導教師黃婉華北京市西城區(qū)教育研修學院教學目標教學目標：1．會準確地將簡單的古代問題翻譯成現(xiàn)代問題；了解一些代數(shù)學的歷史知識；能分析出題目中所蘊含的量與量之間的數(shù)量關系，設恰當?shù)奈粗獢?shù)，建立方程模型。2.在具體問題的分析與解決的過程，經(jīng)歷利用字母表示未知量，尋找量與量之間的關系過程，體會“方程”是解決實際問題的有效模型．3.在問題的解決中，體會數(shù)學學習的過程與方法，提升對數(shù)學問題學習與研究的興趣.教學重點、難點：能分析出題目中所蘊含的量與量之間的數(shù)量關系，設恰當?shù)奈粗獢?shù)，建立方程模型。教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動例題講解例1：今有共買雞，人出九，盈十一;人出六，不足十六。問人數(shù)、物價各幾何?題意是：“有若干人一起買雞，如果每人出9文錢，就多出11文錢；如果每人出6文錢，則還差16文錢，問買雞的人數(shù)、雞的價錢各是多少？”第一遍讀題，邊讀遍圈畫出關鍵詞。本題涉及：雞的價錢，人數(shù)，每人出的錢數(shù)，人出的總錢數(shù)四個量。其中：人數(shù)×每人出的錢數(shù)=人出的總錢數(shù)。第二遍逐句分析，得出兩個相等關系。人數(shù)×9-11=人數(shù)×6+16=雞的價錢②兩個未知量，兩個含有這兩個未知量的相等關系，可以列方程求出未知量的值。若設人數(shù)為x人，則可以用選兩個相等關系中任意一個用含有x的式子表示雞的價錢，比如由①得，雞的價錢為9x-11.由相等關系②列方程，得6x+16=9x-11.我們也可以直接用已學的“表示同一個量的不同式子相等”將相等關系①②變?yōu)橐粋€相等關系“人數(shù)×9-11=人數(shù)×6+16”，一個未知量，一個含未知量的方程。設人數(shù)為x人，得出方程6x+16=9x-給出完整的解題過程可以設雞的價錢為x文，由①得人數(shù)為：，由②：人數(shù)為，利用“表示同一個量的不同式子相等”得，這個方程顯然比設人第一種方法復雜得多。例1這個問題出自于《九章算術》第七章《盈不足》?！毒耪滤阈g》是中國古代一部數(shù)學專著。是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀左右。其作者已不可考。一般認為它是經(jīng)歷代各家的增補修訂，而逐漸成為現(xiàn)今定本的，西漢的張蒼、耿壽昌曾經(jīng)做過增補和整理，當時大體已成定本。最后成書最遲在東漢和帝時期，現(xiàn)今流傳的大多是在魏晉時期，劉徽為《九章》所作的注本?！毒耪滤阈g》內(nèi)容十分豐富，共收有246個數(shù)學問題，分為九章，總結(jié)了先秦至東漢時期的數(shù)學成就。書中的分數(shù)計算方法、聯(lián)立一次方程解法、負數(shù)等，在當時世界上都屬于杰出的數(shù)學研究成果?！毒耪滤阈g》第七章《盈不足》總結(jié)出了盈虧問題的解法和用同類計算方法計算其他類型算術題的方法。例2、希臘數(shù)學家丟番圖(公元3-~4世紀)的墓碑上記載著：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，兩頰長起了細細的胡須；他結(jié)了婚，又度過了一生的七分之一；再過五年，他有了兒子，感到很幸福；可是兒子只活了他父親全部年齡的一半；兒子死后，他在極度悲痛中度過了四年，也與世長辭了．”根據(jù)以上信息，請你算出：（1）丟番圖的壽命；（2）丟番圖開始當爸爸時的年齡；（3）兒子死時丟番圖的年齡．（1）分析：第一遍讀題發(fā)現(xiàn)，丟番圖人生每個階段的時間長度都與他的壽命有關，我們只需要設他的壽命為x歲，就可以用含有x的式子表示他的人生每個階段的時間長度了，而每個階段又組成了他的整個壽命。即“每個階段時間長度之和=丟番圖的壽命”第二步，逐句讀題，用含有x的式子表示丟番圖人生的每個階段的時間長度?！吧牧种弧北硎緸?，“生命的十二分之一”表示為，“一生的七分之一”表示為，“兒子只活了他父親全部年齡的一半”表示為，兒子的生命長度也是丟番圖生命的一個階段的時間長度。由相等關系“每個階段時間長度之和=丟番圖的壽命”得解:設丟番圖活了x歲，由相等關系“每個階段時間長度之和=丟番圖的壽命”得答:丟番圖活了84歲.（2）.丟番圖開始當爸爸的年齡:（歲）或（歲）答:丟番圖開始當爸爸的年齡為38歲。（3）兒子死時丟番圖的年齡:(歲)答:兒子死時丟番圖的年齡為80歲。丟番圖(公元3-~4世紀)，古希臘數(shù)學家，對于丟番圖的生平事跡，人們知道得很少。但在一本《希臘詩文選》（這是公元500年前后的遺物，其中有46首和代數(shù)問題有關的短詩）中，收錄了丟番圖的墓志銘，流傳至今。丟番圖對代數(shù)學的發(fā)展起了極其重要的作用，對后來的數(shù)論學者有很深的影響。丟番圖的《算術》是一部劃時代的著作，它在歷史上的影響可以和歐幾里得的《原本》媲美?！端阈g》是講數(shù)論的，它討論了一次、二次以及個別的三次方程，還有大量的不定方程。希臘數(shù)學自畢達哥拉斯學派后，興趣中心在幾何，代數(shù)也披上了幾何的外衣。直到丟番圖，才把代數(shù)解放出來，擺脫了幾何的羈絆。他認為代數(shù)方法比幾何的演繹陳述更適宜于解決問題，而在解題的過程中顯示出的高度的巧思和獨創(chuàng)性，在希臘數(shù)學中獨樹一幟。他被后人稱為“代數(shù)學之父”(還有韋達)。例3、在物理學家辛格爾的回憶錄里，曾提到俄國文學家列夫·托爾斯泰很喜歡的一道數(shù)學題：一組割草人要把兩片草地的草割完.兩片草地一大一小，大的比小的大一倍大家先都在大片的草地割了半天.午后分成兩組，一半人繼續(xù)在大草地上割,到下午收工時才把草割完；另一半人到小片草地割，到收工時還剩一小塊.這一小塊次日又由一人去割，割完恰好需要一天功夫.這組割草人有多少人?分析：第一遍讀題，可以獲取的信息有：割草人的人數(shù)，任務即大、小草坪，時間等信息，說明這是一道工程問題。工程問題的基本關系為：“工作總量=人數(shù)×時間×每人每天的工作量.”第二遍逐句分析題意：無論是大片的草地還小片草地都沒有具體面積數(shù)量，明顯的相等關系有“大片草地面積=2×小片草地面積”①“大片草地面積=一半人一天的工作量+一半人半天的工作量”②從而得“大片草地面積=一半人一天半的工作量”再根據(jù)：“工作總量=人數(shù)×時間×人均工作效率.”得“大片草地面積=總?cè)藬?shù)××人均工作效率”②“小片草地面積=一半人半天的工作量+一個人1天的工作量”③即“小片草地面積=總?cè)藬?shù)××人均工作效率+1×1×人均工作效率”“小片草地面積=(總?cè)藬?shù)×+1)×人均工作效率③總?cè)藬?shù)××人均工作效率=2×(總?cè)藬?shù)×+1)×人均工作效率即總?cè)藬?shù)×=2×(總?cè)藬?shù)×+1)一個未知量，一個含有未知量的相等關系，可以通過列方程求出未知量的值。解：設割草人的人數(shù)為x人，根據(jù)相等關系“大片草地面積=2×小片草地面積”即總?cè)藬?shù)×=2×(總?cè)藬?shù)×+1)列方程:經(jīng)檢驗是方程的解，且符合實際情況.答：這組割草人共8人.列夫·托爾斯泰是19世紀中期俄國的文學家，代表作有《戰(zhàn)爭與和平》、《安娜·卡列尼娜》、《復活》等，據(jù)說列夫·托爾斯泰在文學工作之余對數(shù)學也很感興趣，他還寫過一本算術課本。本節(jié)小結(jié)本節(jié)課主要講了古代數(shù)學問題及與之相關的書籍，人物。幫助大家了解一些與代數(shù)學發(fā)展有關的歷史知識。（1）遇到古代問題時要將其內(nèi)容正確地翻譯成現(xiàn)代語言.（2）古代問題反映了人類用數(shù)學方法解決生活中的問題的智慧.課后練習我國元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》（1299年）中有這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”題意是：“跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？”分析：1里=500米=0.5公里.本題為典型的行程問題中的追及問題.慢馬先走12天到達C地，快馬出發(fā)追慢馬，慢馬繼續(xù)前行，在B地追上，即同時到達B地，通過線段圖可以直觀地得到路程之間的相等關系：慢馬12天所行路程+