專題52 四邊形面積有關(guān)的最值問題（解析版）-2021年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典問題專題訓(xùn)練

專題52四邊形面積有關(guān)的最值問題

【規(guī)律總結(jié)】

特殊四邊形用公式，普通四邊形轉(zhuǎn)化成三角形球面積（鉛垂法）；

結(jié)合二次函數(shù)；

【典例分析】

例1.（2020?湖北武漢市?九年級期中）如圖，四邊形A3C。的兩條對角線AC3。所成的

銳角為60。,AC+8。=10,則四邊形ABCQ的面積最大值為.

【分析】

根據(jù)四邊形面積公式，S=-ACxBDxsin60°,根據(jù)sin6（T=也得出S=gx（10-x）x

222

再利用二次函數(shù)最值求出即可.

【詳解】

解：EIAC與BD所成的銳角為60。，

回根據(jù)四邊形面積公式，得四邊形ABCD的面積S=gACxBDxsin600,

設(shè)AC=x,則BD=10-x,

°1.小，八,、2573

所以S=—x（10-x）x2J_=_（x-5）2+—2—,

2244

所以當(dāng)x=5,S有最大值竺叵.

4

故答案為：竺叵.

4

【點睛】

此題主要考查了四邊形面枳公式以及二次函數(shù)最值，利用二次函數(shù)最值求出四邊形的面積最

大值是解決問題的關(guān)鍵.

例2.（2018?山東濟南市?九年級一模）（探索發(fā)現(xiàn)）如圖①，是一張直角三角形紙片，

NC=60°,小明想從中剪出一個以B8為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)

沿著中位線。瓦斯剪下時，矩形的面積最大，經(jīng)證明發(fā)現(xiàn)：矩形的最大面積與原三角形

面積的比值為.

圖①圖②圖③圖④

（拓展應(yīng)用）

如圖②，在DABC中，BC=a,8c邊上的高AZ）=力，矩形PQMN的頂點P,N分

別在邊AB,AC上,頂點M在邊8。上,則矩形PQMN面積的最大值為.（用

含〃的代數(shù)式表示）

（靈活應(yīng)用）

如圖③，有一塊“缺角矩形"ABCr>E,A5=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明從中剪

出了一個面積最大的矩形（DZ?為所剪出矩形的內(nèi)角），求該矩形的面積.

（實際應(yīng)用）

如圖④，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD,經(jīng)測量

4

AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且tanB=tanC=—，木匠徐師傅從這塊余料中

3

裁出了頂點M,N在邊8C上且面積最大的矩形PQMN,求該矩形的面積.

【答案】【探索發(fā)現(xiàn)】g；【拓展應(yīng)用】中；【靈活應(yīng)用】720；【實際應(yīng)用】1944cm2

【分析】

11SFEDB_EF■DE

探索發(fā)現(xiàn)：由中位線知EF=—BC,ED^-AB,由S一1"n"可得;

27ABC—ABBC

2

PNAEn

拓展應(yīng)用：由口APNECABC知一=—,得PN=a一一PQ,設(shè)PQ=x,表示出矩形

BCADh

PQMN的面積，求出最值即可；

靈活應(yīng)用：延長BA、DE交于點F,延長BC、ED交于點G,延長AE、CD交于點H,取BF

的中點I,FG的中點K,證明口隹產(chǎn)加班。和口C￡>GH”￡。，得AF=DH=16,CG=HE=20,

再利用【探索發(fā)現(xiàn)】的結(jié)論即可求出結(jié)果；

4

實際應(yīng)用：延長BA、CD交于點E,過點E作EH_LBC于點H,根據(jù)tanB=tanC=-,

3

求出BH和EH的長，再證明中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上，即可用【拓展應(yīng)用】的

結(jié)論算出結(jié)果.

【詳解】

探索發(fā)現(xiàn)：

回EF、ED是口48。的中位線，

&ED//AB,EFUBC,ED^-AB,EF=-BC,

22

回NB=90。，

回四邊形FEDB是矩形,

1fiC-—AR

KFEDBEFDE22=1

c112

aA8c-ABBC-ABBC2

22

故答案是：!：

2

拓展應(yīng)用：

0PN//BC

SUAPNiJCABC,

PNAEPNh-PQ

0-----=-----即-

BCADah

?PN=a-3pQ,

h

設(shè)PQ=x,

ncaa2Q/2

0S=PQ-PN=xa——x=——x+辦=——x——+—，

°PQMN\h)hh\2)4

團當(dāng)PQ=g時，SpQw有最大值，最大值是中,

故答案是：”；

4

靈活應(yīng)用：

如圖，延長BA、DE交于點F,延長BC、ED交于點G,延長AE、CD交于點H,取BF的中

點I,FG的中點K,

F

由題意知四邊形ABCH是矩形，

0AB=32.3C=40,4￡=2(),CD=16,

E1EH=2O,￡>”=16,

^AE=EH-CD=DH，

在山正尸和中，

NFAE=ZDHE

<AE=AH,

NAEF=NHED

^UAEF^HED(ASA),

^AF=DH=\6,

同理□CDGHHED,

SCG=HE=20,

回B/=24<32,

國中位線IK的兩端點在線段AB和DE匕過點K作KL_L8c于點L,

由【探索發(fā)現(xiàn)】知矩形的最大面積為尸=gx（40+20）x（32+16）=720；

實際應(yīng)用：

如圖，延長BA、CD交于點E,過點E作于點H,

4

[2tanB=tanC=—,

3

團NB=NC，

團EB—EC，

0BC=108cm,且

團BH=CH=—BC=54cm,

2

nEH4

0tanB==—,

BH3

4

田EH=—BH=72cm,

3

在RtVBHE中,BE=J/+BH?=90cm，

團AB=50cm，

0AE-40cm，

團BE的中點Q在線段AB±,

0CD=60cm,

0ED=30。%,

團CE的中點P在線段CD上,

回中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上，由【拓展應(yīng)用】知，矩形PQMN的最大面積為

1,

-BC-EH=\944cm-.

4

【點睛】

本題考查四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中位線定理,相似三角形的性質(zhì)和判定,

等腰三角形的性質(zhì).

【好題演練】

一、填空題

1.(2019?陜西九年級一模)如圖，以AB為直徑的口。的圓心。到直線/的距離。石=3,

口。的半徑廠=2“直線A3不垂直于直線/,過點A、3分別作直線/的垂線，垂足分別

為點。、C,則四邊形ABCO的面積的最大值為.

【答案】12

【分析】

先判斷OE為直角梯形ADCB的中位線，則OE=g(AD+BC),所以S四邊形ABCD=OE?CD

2

=3CD,只有當(dāng)CD=AB=4時，CD最大，從而得到S四邊形ABCD最大值.

【詳解】

解：BOE0I,ADE1I,BCE1I,

而OA=OB,

0OE為直角梯形ADCB的中位線,

fflOE=—(AD+BC),

2

自S四邊形ABCD=L(AD+BC)?CD=0E?CD=3CD,

2

當(dāng)CD=AB=4時，CD最大，S四邊形ABCD最大，最大值為12.

故答案為：12

【點睛】

本題考查了梯形的中位線：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.

2.（2020?貴州遵義市?九年級三模）如圖，團。是等邊MBC的外接圓，已知。是向。上一動

點，連接AD、CD,若圓的半徑r=2,則以A、B、C、。為頂點的四邊形的最大面積為.

【答案】4逐.

【分析】

連接B。并延長交AC于E,交AC于D,根據(jù)垂徑定理得到點D到AC的距離最大，根據(jù)直

角三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式計算，得到答案.

【詳解】

連接BO并延長交AC于E,交AC于D，連接AD、CD,

03ABC為等邊三角形,

@AB=BC,

回AB=BC，

團0E團AC,點D為AC的中點，

此時點D到AC的距離最大，

甌ADC的面積最大，即以A、B、C、D為頂點的四邊形的面積最大，

在Rt回BAD中，0ABD=3O°,

1

（3AD=—BD=2,

2

由勾股定理得，AB=,8￡）2_心=2布,

回以A、B、C、D為頂點的四邊形的最大面積=gx2x2jJx2=4G，

故答案為：.

【點睛】

本題考查的是三角形的外接圓與外心、等邊三角形的性質(zhì)，掌握垂徑定理、等邊三角形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?江蘇宿遷市?九年級其他模擬）如圖，□。的半徑為1,點尸為口0外一

點，過點P作口。的兩條切線，切點分別為點A和點B,則四邊形PBOA面積的最小值是

【答案】"

【分析】

由點P的坐標(biāo)為（a,a-4）,得至ij0P=Ja」+（a—4）2=,2a2—8a+16，，由于PA,PB是回0

的兩條切線，得到PA=PB,I3OAP=EIOBP,由于回OPA甌OBP,在RtlSOAP中，根據(jù)勾股定理得

到PA的長度，于是得到四邊形PBOA面積=2x[3OPA的面積=2x—OA*PA=

2

J2a2—8a+15=j2（a—4）2+7，即可得到結(jié)果.

【詳解】

解：包點P的坐標(biāo)為（a,a-4）,

0P=^a2+（a-4）2=V2a2-8a+l6

0PA,PB是回0的兩條切線，

0PA=PB,0OAP=0OBP,

在I3OPA與I3OBP中，

PA=PB

-ZOAP=ZOBP

OP=OP

00OPAI30OBP,

在RtEOAP中,

PA=Jo尸—1=J2a-8a+16—1=J2a2—8a+15,

四邊形PBOA面枳=2x回OPA的面積=2xgOA?PA=J2a2-8a+15=j2(a-41+7

02>O

回當(dāng)a=4時，四邊形PBOA面積最小，

最小值為J7.

故答案為：幣.

【點睛】

本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，最值問題，能求得四邊形PBOA面積=

^2(a-4)2+7是解題的關(guān)鍵.

二、解答題

4.(2019?陜西西安市?交大附中分校九年級期中)［問題提出］

(1)如圖①，在DABC中，8。=6,。為3。上一點，AD=4,則DAHC面積的最大值

是一

A

(2)如圖②，已知矩形A88的周長為12,求矩形ABCO面積的最大值

AD

圖②

［實際應(yīng)用］

(3)如圖③，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD,經(jīng)測量

AB=60cm.BC=SOcm,CD=10cm,且NB=NC=60°,木匠師傅從這塊余料中裁出了頂

點M,N在邊8C上且面積最大的矩形PQMN,求該矩形的面積

【答案】⑴12；(2)9；(3)800百

【分析】

(1)過點A作AEEIBC,則有Sv.c=；8c-AE,要使回ABC的面積最大，貝U需滿足AD=AE

即可;

（2）設(shè)AB=x,則有BC=6-x,然后根據(jù)題意可得函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行

求解即可；

（3）根據(jù)題意作圖，貝I」由題意易得囪BMQEECNP,則有BM=CN,MN=PQ,設(shè)BM=x,則

MN=PQ=80-2x,進而可得QM=A/昱，然后根據(jù)矩形的面積及二次函數(shù)的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：（1）過點A作AEEIBC,如圖所示:

A

伺$vABC—5BC.AE,

即為BC上一點，

E1AD>AE.

13要使13ABe的面積最大，則需滿足AD=AE,

0BC=6,AD=4,

H3ABC的面積最大為：一x6x4=12：

2

故答案為12；

(2)團四邊形ABCD是矩形,

0AB=DC,AD=BC,

回矩形ABCD的周長是12,

團設(shè)AB二x,則有AD=6?x,矩形ABCD的面積為S,則有：

S=x(6—x)=-x2+6x=—(x—3)2+9，

此函數(shù)為二次函數(shù)，由。=—1<0，二次函數(shù)的開口向卜,

團當(dāng)x=3時，矩形ABCD的面積有最大值為：S=9;

(3)如圖所示：

團四邊形PQMN是矩形，

團QM=PN,PQ=MN,團QMN=團PNM=90°,

[1Z1B=回C=600,團QMB二團PNC=90°,

00BMQ00CNP,

0BM=NC,

設(shè)BM=NC=x,則有MN=PQ=80-2x,

0QM=BM-tan6Q°=6x，

團S矩形PQMN=PQ.QM=8.(80-2x)=-2G(x—20)2+800立，

此函數(shù)關(guān)系為二次函數(shù)，由a=-2ji<0可得開口向下，

自當(dāng)x=20時，矩形PQMN的面積有最大，即S矩形PQMN=800G.

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)與幾何的綜合及三角函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)是解

題的關(guān)鍵.

5.(2020?內(nèi)蒙古赤峰市?中考真題)如圖，矩形ABCD中，點P為對角線AC所在直線上的

一個動點，連接PD,過點P作陽3P。，交直線AB于點E,過點P作/W/VSAB,交直線CD

于點交直線AB于點N.AB=46,AD=4.

(1)如圖1,①當(dāng)點P在線段AC上時，G1PDM和I3EPN的數(shù)關(guān)系為:I3PD/W一田EPN；

DP

②---的值是;

PE

(2)如圖2,當(dāng)點P在CA延長線上時，(1)中的結(jié)論②是否成立?若成立，請證明；若不

成立，說明理由；

(3)如圖3,以線段PD,PE為鄰邊作矩形PEFD.設(shè)PM的長為X,矩形PEFD的面積為y.

請直接寫出y與X之間的函數(shù)關(guān)系式及y的最小值.

【答案】(1)①一②石；(2)成立，證明見解析；(3)y=(%_3)2+46，最小

值為

【分析】

(1)①根據(jù)PEEIPD,MNI3AB得至胞DPE=90°,0PMD=EPNE=9O°,即可得到回PDMM3EPN；

②根據(jù)CD=AB=4有,AD=4,0ADC=9O°,得到回ACD=30°,設(shè)MP=x,則NP=4-x,得至lj

MC=^MP=A73X,DM=4JLJJX=6(4-x),證明(SPDMEBEPN,得到答案；

(2)設(shè)NP=a,則MP=4+a,證明IBPDMaaEPN,即可得到結(jié)論成立；

(3)利用勾股定理求出產(chǎn)］=附2+硒2=(4-幻2+0，?2=1%2-8%+16，再根據(jù)

矩形的面積公式計算得到函數(shù)關(guān)系式.

【詳解】

(1)①EIPEI3PD,

00DPE=9O0,

00DPM+B1EPN=9O0,

0MN0AB,

03PMD=(3PNE=9O°,

aaPDM+!3DPM=90°,

00PDM=0EPN；

故答案為：=:

（2）0CD=AB=4A/3，八。二4,0ADC=9O°,

0t8n0ACD=------=—==,

CD4733

00ACD=3O0,

設(shè)MP=x,則NP=4-x,

0MC=73MP=V3x,DM=4百-后x=g(4-x),

aSPDM=EIEPN,0PMD=0PNE=9O°,

釀PDME0EPN,

回絲:也=向4-x)=3

PEPN4-x

故答案為：；

(2)成立，

設(shè)NP=a,則MP=4+a,

00ACD=3O°,

I3MC=73(4+a),

0MD=y/3(4+a)-4相=石a,

由(1)同理得EIPDM=EIEPN,0PMD=I3PNE=9O°,

aapDMaaEPN,

DPMD瓜R

PENPa

(3)0PM=x,

0PN=4-x,EN=3X

3

EPE2=P^2+￡A^2=(4-x)2+(y-x)2=^|X2-8X+16.

團PE=J$2—8X+16，PD=y/3x^|X2-8X+16.

回矩形PEFD的面積為y=PE?P。=后x(g/-8x+16)=手(x-3)2+4上，

回述＞0,

3

回當(dāng)x=3時，y有最小值為4c.

【點睛】

此題考查矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，利用面積公式

得到函數(shù)關(guān)系式及最小值，解答此題中運用類比思想.

6.(2020?甘肅隴南市?九年級一模)如圖1,拋物線丁=-*2+蛆+〃交X軸于點人(-3,0)和

點B,交y軸于點c(o,3).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求一次函數(shù)丫=丘+人(直線AC)的表達(dá)式和口43。的面積；

(3)如圖2,設(shè)點N是線段AC上的一動點，作DNJ_x軸，交拋物線于點。，求四邊形

ABC。最大面積時。點的坐標(biāo)和最大面積.

【答案】（l）y=—x2—2x+3；（2）y=x+3,面積為6；（3）。（一萬，1），最大值為

75

T

【分析】

（1）把A（—3,0）,C（O,3）代入＞=一/+如+〃解方程即可求出解析式;

⑵先由解析式求出A（—3,0）,5（1,0）,C（0,3）再求AC解析式及DAbC的面積;

（3）利用鉛錘法求出S八℃=gx￡?NxQ4,當(dāng)ZW最大時，S小改最大此時四邊形A3C0

面積最大.

【詳解】

（1）把A（-3,0）,C（0,3）代入y=—％2+的+,,

一9一3機+〃=0m=-2

得｛—'解，團y=-x—2x+3.

n=3

（2）當(dāng)y=0時一X2-2X+3=0，解得玉=3,x2=1,

0A（-3,O）,B（l,0）,C（0,3）,

b=3*=1

y=for+b過C(0,3),A(-3,0),得＜,得，

-3k+b=Qb=3

團一次函數(shù)關(guān)系式為丁=X+3,

S4ABC48xOCx；=4x3x；=6.

(3)設(shè)O，,—廠—2/+3),N(t,r+3),

(3、2g

則|。叫=(一/-2r+3)_?+3)=_r—3/=_卜+巳+-.

\2)4

39

當(dāng)，=—時，DN?＞：=—-

24

9127

"iZ)N最大時，S^AOC最大=-x3x—=—,

428

27(75

S四邊形ABC?最大=S4ADC最大+,^AABC——+6=—

88

此時2'4J

【點評】

本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函

數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是利用鉛錘法解決二次函數(shù)面積最值問題，屬于中考壓軸題.

7.（2020?廣東深圳市?蛇口育才二中九年級一模）如圖，點A、B分別在x軸和y軸的正半

軸上，以線段AB為邊在第一象限作等邊M8C,5ABe=6且CA?y軸.

（1）若點C在反比例函數(shù)y=—（kwO）的圖象上，求該反比例函數(shù)的解析式；

x

（2）在（1）中的反比例函數(shù)圖象上是否存在點N,使四邊形A8CN是菱形，若存在請求出

點N坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

（3）點P在第一象限的反比例函數(shù)圖象上，當(dāng)四邊形OAPB的面積最小時，求出P點坐標(biāo).

【答案】（【）（2