數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識-直線和圓的方程

直線和國的方程

I教學(xué)要求

1.掌握兩點間距離和中點坐標(biāo)公式.

2.掌握直線的點斜式方程、斜截式方程和一般式方程，會根據(jù)已知條件選取適當(dāng)?shù)姆?/p>

法求直線方程.

3.理解兩條直線平行和垂直的條件，會判斷兩條直線的位置關(guān)系，會求兩條相交直線

的交點.

4.會根據(jù)公式求一個點到一條直線的距離.

5.掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程.

6.會判斷直線與圓的位置關(guān)系.

7.能夠應(yīng)用直線和圓的方程解決一些實際問題.

II教材分析

本章內(nèi)容介紹

本章探討的主要是解析幾何知識.解析幾何產(chǎn)生于17世紀(jì)初.當(dāng)時科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展

提出了許多新的數(shù)學(xué)問題.例如，德國天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星繞太陽運行的軌道是橢圓，

力學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)拋射體運動的軌道是拋物線.這些發(fā)現(xiàn)迫切需要對曲線的研究和計算，

從而導(dǎo)致了解析幾何的產(chǎn)生和發(fā)展.法國數(shù)學(xué)家笛卡兒和費爾馬是解析幾何的創(chuàng)始人，他

們在平面上引進(jìn)坐標(biāo)，把平面上的點與實數(shù)對G,y）建立一一對應(yīng)，然后在點動成線的思

想下，將曲線與方程建立一一對應(yīng)，從而可以通過方程來研究曲線.解析幾何的產(chǎn)生在數(shù)

學(xué)史上是一重大進(jìn)展，它用變量的觀點研究曲線，使得數(shù)學(xué)的研究從常量的觀念為中心轉(zhuǎn)

變?yōu)橐宰兞康挠^念為中心；同時它又將原來彼此獨立發(fā)展的代數(shù)和兒何通過坐標(biāo)巧妙的結(jié)

合，開創(chuàng)了用代數(shù)方法研究幾何問題的新方法，這種思想和方法對幾何問題的研究如虎添

翼，使人們徹底清楚了直線是一次曲線、圓錐曲線是二次曲線，甚至還把它用于更高次

-31-

數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）下冊數(shù)學(xué)參考書

的曲線和曲面的研究.解析幾何的產(chǎn)生還為數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展一一微積分的誕生創(chuàng)造了

條件.

本章主要講解直線和圓的知識.直線和圓是最常見的簡單幾何圖形，在實際生活和生

產(chǎn)實踐中有著廣泛的應(yīng)用.直線和圓的方程屬于平面解析幾何范疇，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他曲

線方程的基礎(chǔ)，同時也是解決許多實際問題的手段.通過本部分知識學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生

應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，提高解決實際問題的能力.

本章主要包括兩大部分，直線方程和圓的方程.其中直線方程部分為教學(xué)重點，主要

包括直線的傾斜角的概念以及斜率的概念和計算方法，直線方程的幾種表示方式，要求學(xué)

生會寫直線方程.此外還介紹了兩條直線的位置關(guān)系：平行與垂直，及此種情況下斜率有

什么特點.點到直線的距離是以后經(jīng)常用到的，要求學(xué)生熟練掌握.第二部分圓的方程要

求理解圓的方程的兩種形式，并會簡單的計算.此外，本章開始還介紹了兩點間距離公式

及中點坐標(biāo)公式及其應(yīng)用，學(xué)生應(yīng)熟練掌握.

學(xué)好本章的關(guān)鍵是：理解解析幾何的基本思想方法一一建立坐標(biāo)系，用代數(shù)方程表示

曲線，通過對方程的討論來研究曲線的性質(zhì).

本章教學(xué)重點

1.求直線的斜率.

2.根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)男问角笾本€的方程.

3.判斷兩條直線的位置關(guān)系.

4.利用公式，求兩點間的距離、點到直線的距離.

5.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程.

6.直線與圓的位置關(guān)系.

本章教學(xué)難點

1.直線與方程的關(guān)系.

2.根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)男问角笾本€的方程.

3.用坐標(biāo)法解決直線、圓的相關(guān)問題.

本章學(xué)時安排如下（僅供參考）

8.1兩點間距離公式及中點公式約2學(xué)時

8.2直線的點斜式和斜截式方程約2學(xué)時

8.3直線的一般式方程約2學(xué)時

-32-

8.4兩條直線的位置關(guān)系約3學(xué)時

8.5點到直線的距離約1學(xué)時

8.6圓的方程約2學(xué)時

8.7直線與圓的位置關(guān)系約2學(xué)時

8.8直線的方程與圓的方程應(yīng)用舉例約2學(xué)時

本章小結(jié)與復(fù)習(xí)約2學(xué)時

III教學(xué)建議和習(xí)題答案

8.1兩點間距離公式及中點公式

i.兩點間的距離公式由闈=，(/-FA+(%-y6應(yīng)熟記，推導(dǎo)時可以用圖作為輔

助，以便學(xué)生更好地理解.此外，兩點間的距離公式還可以寫成

山叫=&斗一3)2+(必一%)2.

2.教材用從特殊到一般的思想方法推導(dǎo)出中點坐標(biāo)公式，易于學(xué)生理解.

課堂練習(xí)8.1.1答案

1.\AM\=5

2.⑴歸周二2而⑵歸周二平

課堂練習(xí)8.1.2答案

(1)(5,3)(2)(|,1)

2

習(xí)題8.1答案

1.(10,0)或(0,0)

2.一1或11

數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）下冊數(shù)學(xué)參考書

3.三條中線的長度分別為3,3,3后

77

，5），N（5,0）

（2）\MN\=^-\BC\=V53

（3）\BC\>\MN\

8.2直線的點斜式和斜截式方程

1.教材從實例出發(fā)，用圖直觀地向?qū)W生展示傾斜角，在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)后，學(xué)生就很

容易表示出斜率上tana,在講課時一定要注意角a的旋轉(zhuǎn)方向一定是沿逆時針旋轉(zhuǎn)，否

則很容易弄錯正負(fù)號.同時a=90°時，出是不存在的，這也要注意.通過畫圖舉例說明，

引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)出k取不同值時，a角的變化以及直線的變化趨勢.

2.學(xué)習(xí)直線的傾斜角概念時，要強調(diào)定義中的三個條件：直線向上的方向、x軸正方

向、最小的正角.由定義可得傾斜角a的取值范圍是0WaVTT.這個定義保證了任何一

條直線都有唯一的傾斜角.對于基礎(chǔ)好的學(xué)生，可要求他們根據(jù)斜率的定義，自己推出斜

率的符號與傾斜角的關(guān)系.

3.只要正確理解了斜率的定義及意義，就很容易計算斜率.但已知兩點求斜率需要一

些向量的知識，教師可稍作介紹，已知兩點（為，％）與（X2,"），則過此兩點的直線斜率

%=之二"，此處一定要注意義工加，且女也可以寫作女即與點的順序無關(guān).

x2-X]X1-x2

4.已知一點及斜率求直線方程稱為點斜式，如已知點P（汨，yi）,斜率為2,則直線

方程為丁一丁尸以工一天），其實由斜率的定義可以得出，我們已知尸是直線上的點，（》,y）也

滿足要求是直線上的點，則斜率2=變形后即為了-必=網(wǎng)X-再），用此方法求直

x-x]

線方程時一定要注意k必須存在.

5.斜截式是已知斜率4和直線與y軸的交點（0,b）,直線方程寫作）=丘+從其實斜

截式是點斜式的特殊情況，點斜式是已知任意一點，而斜截式是己知直線與y軸的截距.

-34-

課堂練習(xí)8.2.1答案

1.(1)0(2火￡(0,+8)(3)不存在(4)左￡(-8,0)

2.

直線傾斜

30°45°60°120°135°150°180°270°

角a

斜率攵731-1一旦0不存在

T一

3.(1)0°,0(2)90°,不存在

4.略

課堂練習(xí)822答案

1.⑴產(chǎn)一3

(2)x=5

(3)產(chǎn)4

(4)x=6

2.(1)%=2,丁-1=2*-2)

(2)%=。，

44

課堂練習(xí)823答案

3

1.(1)k=2,b=3,?=-1

(2)k=V3,b=5V3,a=-5

(3)k=—/?=—,a=-\

292

_7

(4)k=2,b=-l,a=—

2

2.(1)y=*x-2

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(2)y=-x+3

(3)》=瓜-5百

(4)y--2x+4

3.(1)y-5=4(x-2),y=4x-3

(2)y-3=-V3(.v-0),y=-y[3x+3

習(xí)題8.2答案

33

1(Dy=-x-2(2)y=—x-2

44

2.〃=-4

3.初=4y3=-3

4.(l)y-7=y-(x+3),圖略

(2)尸一5,圖略

(3)y=-2x+8,圖略

(4)y=x^cy=-x,圖略.

5.(1)在同一直線上

(2)不在同一直線上

8.3直線的一般式方程

1.直線的一般式方程是本章教學(xué)的重點，一般求直線方程都要求是一般式方程.對于

給出直線的一般式方程Ar+6y+C=0,當(dāng)笈時可化成

AC

y=---x---.

BB

這時斜率為-捺，在y軸上的截距為-￡的直線方程.還要明晰，當(dāng)4二0,3工0時，方程

y=-~,表示經(jīng)過點（0,-21且平行于工軸的直線；當(dāng)AwO,B=0時，方程為x=-C,

-B\B）A

-36-

表示經(jīng)過點o],且平行于〉軸的直線.

IAJ

學(xué)生感到困難的是對方程Ax+8)，+C=O中系數(shù)A,B,C的理解，無法將直線的傾斜

角、斜率、截距等幾何特征與之有機地對應(yīng)起來，尤其對缺項的方程(如：Ax:+C=O和

8)，+C=O等)，掌握起來頗有困難.教學(xué)中應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實際情況，對例題的討論應(yīng)講深

講透，結(jié)合圖形，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

2.直線方程的一般式為Av+By+C=O,其也是二元一次方程的一般式，其中A、B

不能同時為零，由一般式很容易推導(dǎo)出直線的斜率和)，軸的截距.

3.教材中通過列表給出了一般式方程的斜率和縱截距公式，但是不要求學(xué)生記住，理

解并能夠推導(dǎo)即可.

4.本節(jié)教學(xué)時，教師不必重點講解直線和直線方程的一般式的一一對應(yīng)，重點讓學(xué)生

熟記一般式的形式，并會將其他形式化為一般式.

課堂練習(xí)答案

1.-^x-y-2=0

2.-x+y--=0

42

習(xí)題8.3答案

1.(1)gx+y_2=0

⑵y=2

(3)2x-y-3=0

_4

2.(1)當(dāng)BWO時，k=—;當(dāng)8=()時，無斜率

B

(2)當(dāng)C=0,A、B不同時為0時，方程表示通過原點的直線

3.8x-5y+25=0

4.y-5=0

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8.4兩條直線的位置關(guān)系

1.本節(jié)重點是運用直線方程研究兩條直線的位置關(guān)系.平面上兩條直線的位置關(guān)系

有平行、重合和相交三種情況，通過本節(jié)教學(xué)，要使學(xué)生能夠通過兩條直線的方程判斷兩

條直線的位置關(guān)系，在相交情況下，判斷兩條直線是否垂直，并能求出交點.

2.平面內(nèi)兩條相交直線，若相交的角為直角，則兩條直線垂直.若兩條直線平行，則

直線的斜率相等.直線乙=匕/+々與直線4=后工+&平行的充要條件是占=22且加"歷，

其中加之歷是學(xué)生最容易遺漏的.對于傾斜角為90°的情況應(yīng)特殊考慮.對于一般式，直

線平行的充要條件是a=2w￡.

A2B2C2

3.在直線乙=%x+4與直線4中，若匕=攵2且仇=打時，兩條直線重合.在

判斷兩條直線的位置關(guān)系時，應(yīng)注意此種情況.

4.對于均有斜率的兩條直線垂直時，斜率滿足1+匕葭=0即《幺=7或匕=-'-.

k2

5.這部分都要求學(xué)生熟練掌握怎樣求與已知直線平行或垂直的直線方程.

6.教材中提到三角形外角定理，其內(nèi)容為三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)

角之和.

7.在求兩條直線的交點之前，首先應(yīng)判斷兩條直線是否相交，即分析一次項系數(shù)是否

對應(yīng)成比例.教材應(yīng)用了充要條件的語言，簡明地論證了兩條直線的交點坐標(biāo)就是兩直線

方程構(gòu)成的方程組的解.因此，求這兩條直線的交點問題就轉(zhuǎn)化為求方程組的解的問題.

建議教師帶領(lǐng)學(xué)生回憶二元一次方程組的解法.這部分內(nèi)容容易理解，要求學(xué)生掌握.

課堂練習(xí)8.4.1答案

1.⑴否⑵是⑶是（4）否

2.x+2y-8=0

課堂練習(xí)842答案

1.否

-38-

2.y=2x+7

kAB^AC、&?C.％AC均不為T、

故此三角形不是直角三角形.

課堂練習(xí)8.4.3答案

(1)(3,-2)

(2)(3,-|)

(3)(5,-3)

(4)(0,1)

習(xí)題8.4答案

1.⑴平行(2)平行(3)垂直

2.(1)y=-2x4-7(2)y=-x+5

3.(1)a=2或-3(2)a=-l(3)a=-

4.(1)y=—x+9

2

y=-x+2

(3)y=3x-6

5.(1)相交，交點為(?2,1)

(2)相交，交點為(0,0)

(3)相交，交點為(7,y)

8.5點到直線的距離

1.點到直線的距離是研究某些問題的重要工具.本節(jié)給出點到直線的距離公式的推

數(shù)學(xué)(基礎(chǔ)模塊)下冊教學(xué)參考書

導(dǎo)，要求學(xué)生理解其定義和計算方法，教師也可以根據(jù)實際情況，讓學(xué)生利用點到直線的

距離求兩條平行線之間的距離.下面給出相關(guān)例題.

例求兩條平行直線2X-7>8=0和2x-7y-6=0之間的距離.

分析：根據(jù)點到直線距離的定義可以知道：兩條平行直線中的一條直線上的每一點到

另一條直線的距離都相等.

解在直線2x-7y-6=0上任取一點，例如取P(3,0),則點P(3,0)到直線

2x-7y+8=0的距離就是兩平行線間的距離.

因此

^_|2x3-7x0+8|

6十(一7)2

14

-753

14屈

53

2.點(%,%)到直線Ax+8y+到0的距離為d」土廠為。十。，應(yīng)要求學(xué)生熟記.

JA?+B2

課堂練習(xí)答案

1」

5

2.4

習(xí)題8.5答案

18

l.(Dy⑵8(3)1

2.(1)11(2)—(3)8

2

3.(1)土竿(2)。］或。<2

-40-

8.6圓的方程

1.圓可以看作平面內(nèi)一點(x,y)到一定點(。力)等于定長廠的點的集合，由此列方程

可得

7(x-a)2+(y-b)2=r

變形后。-。)2+()-力2=/即為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中(凡力為圓心，尸為圓的半徑.

2.了解了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的來源，就很容易根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程.

3.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開后變成x2+y2+Dx+Ey+F=O的二元二次方程，叫做圓的一般

方程，要求學(xué)生根據(jù)圓的一般方程求出圓的圓心、半徑.

將圓的一般方程配方后得(x+?)2+(y4-1)2J'—尸

①當(dāng)。2+石2一4/>(),其表示以一￡)為圓心，Lg+E?-4F為半徑的圓;

222

②當(dāng)。2+石2一4/=(),其表示點(_2,一W)；

22

③當(dāng)。2+52-4廠<0,方程無實數(shù)解，所以不表示任何圖形.

故要表示圓的方程的條件為D2+E2-4F>0.

4.由于方程(x—a)2+(y—h)2=，和%2+產(chǎn)+以+@+尸=0都含有3個參變數(shù)，因

而必須具備3個獨立條件，才能確定一個圓.通常用待定系數(shù)法，確定常數(shù)。、Ar或。、

從凡然后再寫出圓的方程.學(xué)生己經(jīng)學(xué)過待定系數(shù)法，在例題的講解中一般不會有什么

困難，但要再次向?qū)W生指出它是一種常用的數(shù)學(xué)方法，不僅可以月來確定圓的方程，還可

以用來確定其他一些曲線的方程和解決有關(guān)問題.

5.對于圓的一般方程，要求學(xué)生能夠通過配方，理解在什么情況下，它的軌跡是一個

圓，圓心的坐標(biāo)是什么，半徑是什么，在什么情況下，它的軌跡是點或無軌跡.這里注意

不要讓學(xué)生死記結(jié)果，而是要求學(xué)生掌握通過配方求圓心和半徑的方法.

課堂練習(xí)8.6.1答案

數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）下冊數(shù)學(xué)參考書

1.3

2.(0,1)

3.(x+2)2+y2=l,圖略

課堂練習(xí)8.6.2答案

1.(1)(-10,0),10

(2)(-2,3),V13

(3)(-2,4),V23

2.x2+y2-2x=0

習(xí)題8.6答案

1.(1)x2+y2=9

⑵。-3戶+(”4)2=5

(3)(x—8)2+(y+3)2=25

2.(1)點(0,0)

(2)表示以點(1,-2)為圓心，而為半徑的圓

3.⑴設(shè)圓心為C(%,3x0-2)

由IACI=IBCI得

刖二2,則圓心為(2,4)

半徑,二］。

:?圓方程為(％-2,+。一4-=10

(2)設(shè)圓方程為x2+y2+Dx+Ey^F=0,將三個點的坐標(biāo)分別代入得

-42-

l+l+D-E+F=0

“+16+O+4E+尸=0

16+4+4D-2E+F=0

D=-7

解得＜E=-3

F=2

???x2+/-7x-3y+2=0

4.x2+/-4x-2y-20=0

8.7直線與圓的位置關(guān)系

1.教材通過讓學(xué)生回憶初中知識，回憶直線與圓的3種位置關(guān)系，引出如何去判斷這

3種關(guān)系的問題.

2.判斷直線與圓的位置關(guān)系，有很多種方法.有一種方法是利用將直線方程和圓的方

程聯(lián)立組成方程組，通過對方程組的解的討論，來研究直線與圓的位置關(guān)系.這種方法，理

論上講是很簡單的，但是實際操作起來，運算過程很麻煩.教材中通過利用圓心到直線的