冀教版七年級(jí)下數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

精編冀教版七年級(jí)下數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總

第六章二元一次方程組

一、二元一次方程組

1、概念：

①二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)（即次數(shù)）都是1的方程，叫二元一次方程。

一般形式為：ax+by-c（〃、b、c為常數(shù),且4、b均不為0）

結(jié)合一元一次方程，二元一次方程對(duì)“元”和“次”作進(jìn)一步的理解；“元”與“未知數(shù)啷通，幾個(gè)元是指幾個(gè)未知數(shù)，“次”

指未知數(shù)的最高次數(shù)。

例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7Z?、2加+3〃=0、l-s+t=2s等都是二元一次方程。

2

而6『二-2y?6、4x+8y=-6zs一二〃等都不是二元一次方程。

m

②二元一次方程組：兩個(gè)二元一次方程（或一個(gè)是一元一次方程，另一個(gè)是二元一次方程；或兩個(gè)都是一元一次方

程；但未知數(shù)個(gè)數(shù)仍為兩個(gè)）合在一起，就組成了二元一次方程組。

2x-3y=57。+36=—3m+n=2s-t=2

例如：<等都是二元一次方程組。

x+y=-8a-2b=1m-n-\3s+t=-1l

1

=57Q+3Q=-3

而《2x-3y、《〃?+”=2等都不是二元一次方程組。

x+z=-8a—2a=1m-n-\

=5#—2

注意：只要兩個(gè)方程一共含有兩個(gè)未知數(shù)，也是二元一次方程組。如：1一、4‘一也是二元一次方程組。

y=-8[?=—11

2.二元一次方程和二元一次方程組的解

（1）二元一次方程的解：能夠使二元一次方程的左右兩邊都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。

（2）二元一次方程組的解：使二元一次方程組的兩個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次

方程組的解。（即是兩個(gè)方程的公共解）

注：①寫二元一次方程或二元一次方程組的解時(shí)要用“聯(lián)立”符號(hào)”把方程中兩個(gè)未知數(shù)的值連接起來寫。

x—a

二元方程解的寫法的標(biāo)準(zhǔn)形式是：<,（其中4、6為常數(shù)）；

）=b

②一個(gè)二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有許多組；

③而二元一次方程組的解是其中兩個(gè)二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一組，但也可能有無數(shù)組或無解

（即無公共解）。

二元一次方程組的解的討論：

ax+by=c

已知二元一次方程組}}}

a2x+b2y=c2

①當(dāng)紅w4時(shí)，有唯一解；例：,'）4

%b?[3x-5y=9

②當(dāng)幺='彳￡1_時(shí)，無解；例：F+＞'=3

a2b2c2[2x+2y=5

③當(dāng)￡L=2=￡L時(shí)，有無數(shù)解。例:x+y=8

勺b2c22x+2y-16

二、二元一次方程組的解法——消元（整體思想就是：消去未知數(shù)，化“二元”為“一元”）

1、代入消元法：由二元一次方程組中的一個(gè)方程，將一個(gè)未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一方

程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。

注：代入法解二元一次方程組的一般步驟為：

①、從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，將這個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來；

②、將變形后的關(guān)系式代入另一個(gè)方程（不能代入原來的方程哦！），消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；

③、解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；

④、將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式（或原來的方程組中任一個(gè)方程）中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；

⑤、把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用大括號(hào)聯(lián)立起來，就是方程組的解。

2、加減消元法：兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)前的系數(shù)相反或相等（或利用等式的性質(zhì)可變?yōu)橄喾椿蛳嗟龋r(shí)，

將兩個(gè)方程的左右兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方

程組的解，這種方法叫加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。

注：加減法解二元一次方程組的一般步驟為：

①、方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)前的系數(shù)既不相反又不相等時(shí)，就根據(jù)等式的性質(zhì)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)

乘以方程的兩邊（注意，左右兩邊每一項(xiàng)都要乘以這個(gè)數(shù)），使同一未知數(shù)前的系數(shù)相反或相等；

②、把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；

③、解這個(gè)一元一次方程，求得一個(gè)未知數(shù)的值；

④、將這個(gè)求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，并把求得的兩個(gè)未

知數(shù)的值用大括號(hào)聯(lián)立起來，就是方程組的解。

三、實(shí)際問題與二元一次方程組

1、利用二元一次方程組解實(shí)際應(yīng)用問題的一般過程為：審題并找出數(shù)量關(guān)系式一＞設(shè)元（設(shè)未知數(shù)）一＞根據(jù)

數(shù)量關(guān)系式列出方程組一＞解方程組一＞檢驗(yàn)并作答（注意：此步驟不要忘記）

2、列方程組解應(yīng)用題的常見題型：

（1）、和差倍分問題：解這類問題的基本等量關(guān)系式是：較大量-較小量=相差量，總量=倍數(shù)X倍量；

（2）、產(chǎn)品配套問題：解這類題的基本等量關(guān)系式是：加工總量成比例；

（3）、速度問題：解這類問題的基本關(guān)系式是：路程=速度x時(shí)間，包括相遇問題、追及問題等；

（4）、航速問題：①、順流（風(fēng)）：航速=靜水（無風(fēng)）時(shí)的速度+水（風(fēng)）速；

②、逆流（風(fēng)）：航速=靜水（無風(fēng)）時(shí)的速度-水（風(fēng)）速：

（5）、工程問題：解這類問題的基本關(guān)系式是：工作總量=工作效率x工作時(shí)間，（有時(shí)需把工作總量看作1）；

（6）、增長(zhǎng)率問題：解這類問題的基本關(guān)系式是：原量x（1+增長(zhǎng)率）=增長(zhǎng)后的量，原量x（1-減少率）=減少

后的量；

（7）、盈虧問題：解這類問題的關(guān)鍵是從盈（過剩）、虧（不足）兩個(gè)角度來把握事物的總量；

（8）、數(shù)字問題：解這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示；

（9）、幾何問題：解這類問題的基本關(guān)系是有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長(zhǎng)、面積等計(jì)算公式；

（10）、年齡問題：解這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長(zhǎng)數(shù)相等。

四、三元一次方程組的解法

1、概念：由三個(gè)方程組成方程組，且方程組中共含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含有的未知數(shù)的次數(shù)都是1次，這

樣的方程組叫三元一次方程組。

注：三元一次方程組中的三個(gè)方程并不一定都是三元一次方程，只需滿足“方程組中共含有三個(gè)未知數(shù)”的條件即可。

2、解三元一次方程組的基本思想:

消元消元

三元一次---------------->二元一次---------------->一元一次

方程組方程組方程

（代入法、加減法）（代入法、加減法）

第七章相交線與平行線

1、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角

兩直線相交所成的四個(gè)角中存在兩種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表:

圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系

對(duì)頂角相等

對(duì)頂角有公共頂點(diǎn)Z1的兩邊與N2的

即/1=/2

兩邊互為反向延長(zhǎng)線

Z1與N2

Z3與N4有一條邊鄰補(bǔ)角互補(bǔ)

鄰補(bǔ)角有公共頂點(diǎn)

公共，另一邊互為反Z3+Z4=180°

向延長(zhǎng)線。

Z3與N4

注意：

⑴對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；

⑵如果Na與Np是對(duì)頂角，則一定有Na=N0；反之如果Na=N0,則Na與不一定是對(duì)頂角.

⑶如果/a與互為鄰補(bǔ)角，則一定有/a+/0=18O。：反之如果/a+/p=180。，則/a與Np不一定是鄰補(bǔ)角.

(4)兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè)。

⑸兩線四角：經(jīng)過一點(diǎn)畫m條直線，共有m(m-l)對(duì)對(duì)頂角，共有2m(m-1)對(duì)鄰補(bǔ)角。

2、垂線定義：

當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線

的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。符號(hào)語言記作：AB±CD,垂足為0.

垂直定義有以下兩層含義：

(1)；NAOC=90。(己知)，AABICD(垂直的定義).

(2)VAB1CD(已知)，AZAOC=90°(垂直的定義).

3、垂線性質(zhì)

性質(zhì)1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱：垂線段最短。

4、垂線的畫法

⑴過直線上一點(diǎn)畫已知直線的垂線；

⑵過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線。

注意：

①畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；

②過一點(diǎn)作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長(zhǎng)線上。

垂線的畫法(以線段外過一點(diǎn)做線段的垂線，垂足不在線段上為例)

用直角三角板畫垂線，可簡(jiǎn)單地說成：“一落”、“二過”、“三畫”、“四標(biāo)”.

A

I-----------------------------------------1-4

BCD

圖1圖2圖3圖4

如圖1,線段BC,過點(diǎn)A作線段BC的垂線，垂足為點(diǎn)D.

"落”：將三角板一條直角邊緊貼已知直線上.

我們要過點(diǎn)A作線段BC的垂線，獲得垂線段AD,可先用三角板的一條直角邊與BC重合在一起，另一條直角邊

落在點(diǎn)A的同一側(cè)；不蓋住點(diǎn)A.（如圖2）

“二過”：使三角板的另一直角邊經(jīng)過己知點(diǎn).

用鉛筆尖點(diǎn)住A點(diǎn)，使三角板保持與BC重合，沿線段BC慢慢移動(dòng)，到三角板的另一直角邊剛好靠近點(diǎn)A（鉛筆

尖）時(shí)停下來。（如圖3）

“三畫”：沿己知點(diǎn)所在直角邊畫直線.

按緊平移后的三角板，用鉛筆從A點(diǎn)開始沿這條直角邊畫直線，很明顯這條直線不與線段BC相交，于是我們只

需把BC延長(zhǎng)（或反向延長(zhǎng)）與這條直線相交.（如圖4）

“四標(biāo)”：標(biāo)出直角標(biāo)號(hào)“1”

由畫出的延長(zhǎng)線與作的直線相交而獲得了垂足，我們可在交點(diǎn)處標(biāo)上垂直符號(hào)'''，并標(biāo)上字母符號(hào)"D”.（如

圖4）到此，垂線段AD便作出了.

5、垂線段的概念：由直線外一點(diǎn)向直線引垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段叫做垂線段。

6、點(diǎn)到直線的距離

直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。

如圖，P01AB,同P到直線AB的距離是P0的長(zhǎng)。P0是垂線段。P0是點(diǎn)P到直線AB所有線段中最短的

一條。

P

-A*0B

注意：距離是線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)量；線段是一種圖形，它們之間不能等同。

7、正確理解“垂線”、“垂線段”、“兩點(diǎn)間距離”、“點(diǎn)到直線的距離”這些相近又相異的概念

⑴垂線與垂線段區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長(zhǎng)度；垂線段是一條線段，可以度量長(zhǎng)度。

⑵兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到直線的距離區(qū)別：兩點(diǎn)間的距離是點(diǎn)與點(diǎn)之間，點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)與直線之間。

⑶線段與距離：距離是線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)量；線段是一種圖形，它們之間不能等同。

8、平行線的概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，直線a與直線力互相平行，記作a〃人。

9、兩條直線的位置關(guān)系

在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：⑴相交；⑵平行（表示符號(hào)

因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時(shí)，就可以肯定它們平行；反過來也一樣（這里，我們把重合的兩

直線看成一條直線）。

判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定:

①有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線相交；

②無公共點(diǎn)，則兩直線平行；

③兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直線重合（因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線）。

10、平行公理（平行線的存在性與唯一性）

經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

11、平行公理的推論

如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.???/?〃4，c//a：.b//c

12、三線八角：兩條直線被第三條直線所截形成八個(gè)角，它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角。

直線AB,CD與EF相交（或者說兩條直線AB,CD被第三條直線EF所截），構(gòu)成八個(gè)角。其中N1與N5這

兩個(gè)角分別在AB,CD的上方，并且在EF的同側(cè)，像這樣位置相同的一對(duì)角叫做同位角；N3與/5這兩個(gè)

角都在AB,CD之間，并且在EF的異側(cè)，像這樣位置的兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；N3與N6在直線AB,CD之間，

并側(cè)在EF的同側(cè)，像這樣位置的兩個(gè)角叫做同旁內(nèi)角。

同位角：兩個(gè)角都在兩條直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同位角。

內(nèi)錯(cuò)角：兩個(gè)角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。

同旁內(nèi)角：兩個(gè)角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一對(duì)角叫同旁內(nèi)角。

三線八角也可以從模型中看出。同位角是“F”型；內(nèi)錯(cuò)角是“Z”型；同旁內(nèi)角是“U”型。

13、兩直線平行的判定方法

①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)稱：同位角相等，兩直線平行

②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)稱：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

③兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

幾何符號(hào)語言：

???/1=/5,；.AB〃CD.（同位角相等，兩直線平行）

：Z4=Z6,...AB〃CD.（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

Z4+Z5=1800,；.AB〃CD.（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

14、平行線的畫法：

利用三角板的平移畫平行線，其畫法可以總結(jié)為："一落"、"二靠”、"三移”、"四畫

一落：三角板的一邊落在已知直線；

二靠：靠緊三角板的另一邊放上另一塊三角板；

三移：使第一塊三角板沿著第二塊三角板移動(dòng)，使其經(jīng)過原直線的一邊經(jīng)過已知點(diǎn)；

四畫：沿三角板過已知點(diǎn)的一邊畫出直線.這時(shí)所畫直線就一定與已知直線平行.

補(bǔ)充平行線的判定方法：

（1）平行線的定義：如果兩條直線沒有交點(diǎn)（不相交），那么兩直線平行

（2）平行于同一條直線的兩直線平行。

15、平行線的性質(zhì)

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；幾何符號(hào)語言：；AB〃CD，N3=N2（兩直線平行，同位角相等）

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；???AB〃CD，N1=N2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。?.?AB〃CD，N4+/2=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

16、平行線的性質(zhì)與判定的區(qū)別和聯(lián)系：平行線的性質(zhì)與判定是互逆的關(guān)系：

兩直線平行-同位角相等；兩直線平行一內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行一同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

干行綻的對(duì)走*什裝的皮質(zhì)

轉(zhuǎn)告

同色制相導(dǎo)同生希相一

內(nèi)希希相等麗■絨中行內(nèi)鈣用桓導(dǎo)

同=玲互補(bǔ)同房?jī)?nèi)用互補(bǔ)

17、兩條平行線的距離：如圖，直線AB〃CD,EF_LAB于E,EFJ_CD于F,則稱線段EF的長(zhǎng)度為兩平行線AB

與CD間的距離。

注意：直線AB〃CD,在直線AB上任取一點(diǎn)G,則垂線段GH的長(zhǎng)度也就是直線AB與CD間的距離。

18、命題：①命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題。每個(gè)命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成。

命題常寫成“如果…那么…”的形式。用‘'如果”開始的部分是題設(shè)，題設(shè)是已知事項(xiàng)；

用“那么”開始的部分是結(jié)論，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。

②真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題；

③假命題：如果題設(shè)成立，不能保證結(jié)論一定成立的命題。

19、定理：經(jīng)過推理證實(shí)得到的真命題叫做定理.

19、平移變換：

①把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。

②新圖形的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相

等，圖形的這種移動(dòng)，叫做平移變換，簡(jiǎn)稱平移。

③描述一個(gè)圖形的平移時(shí)，必須指出平移的方同和里,！

④平移圖形的畫法：

找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)（如頂點(diǎn)或者端點(diǎn)）

按平移的方向和距離分別描出各個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

按原圖將各對(duì)應(yīng)點(diǎn)順次連接

20、平移的特征：

①經(jīng)過平移之后的圖形與原來的圖形的對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，對(duì)應(yīng)角相等，圖形的形狀與大小

都沒有發(fā)生變化。

②經(jīng)過平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或在同一直線上）且相等。

21.常用輔助線：只要讓平行線被第三條線所截即可

三種：過折點(diǎn)作平行；延長(zhǎng)；連接。

第八章整式的乘法

1.同底數(shù)事的乘法

①n個(gè)相同因式（或因數(shù)）a相乘，記作al讀作a的n次方（幕），其中a為底數(shù)，n為指數(shù)，a11的結(jié)果叫做第。

②底數(shù)相同的幕叫做同底數(shù)累。

⑧同底數(shù)幕乘法的運(yùn)算法則:同底數(shù)幕相乘,底數(shù)不變，指數(shù)相加。即：a1".an=am+%

注意：底數(shù)可以是多項(xiàng)式或單項(xiàng)式。如：（。+加2.（“+勿3=3+加5

④此法則也可以逆用，即：am+n=am.a%

⑤開始底數(shù)不相同的累的乘法，如果可以化成底數(shù)相同的幕的乘法，先化成同底數(shù)基再運(yùn)用法則。

2.寨的乘方與積的乘方

（1）基的乘方

①嘉的乘方是指幾個(gè)相同的塞相乘。（am）n表示n個(gè)am相乘。

②幕的乘方運(yùn)算法則：暴的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。（〃?，〃都是正整數(shù)）

③此法則也可以逆用，即a"'"=（#"）"=（優(yōu)）"。

（2）積的乘方

①積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方。

②積的乘方運(yùn)算法則：積的乘方，等于把積中的每個(gè)因式分別乘方，然后把所得的事相乘。

即（"）"=#'/（〃是正整數(shù)）。

③此法則也可以逆用，即：anbn=（ab）%

3.三種“幕的運(yùn)算法則“異同點(diǎn)

（1）共同點(diǎn)：

①法則中的底數(shù)不變，只對(duì)指數(shù)做運(yùn)算。

②法則中的底數(shù)（不為零）和指數(shù)具有普遍性，即可以是數(shù)，也可以是式（單項(xiàng)式或多項(xiàng)式）。

③對(duì)于含有3個(gè)或3個(gè)以上的運(yùn)算，法則仍然成立。

（2）不同點(diǎn):

①同底數(shù)幕相乘是指數(shù)相加。

②基的乘方是指數(shù)相乘。

③積的乘方是每個(gè)因式分別乘方，再將結(jié)果相乘。

4.單項(xiàng)式的乘法

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的幕分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。

注意：

①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值。

②相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)塞的乘法法則。

③只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式

④單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用。

⑤單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式。

5.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配率用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

即m(tz+/?+c)=ma+mb+mc(m,a,b,c都是單項(xiàng)式)。

注意：

①積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。

②運(yùn)算時(shí)要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)。

③在混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，結(jié)果有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng)。

6.多項(xiàng)式的乘法

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

注意：

①多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，必須做到不重不漏。相乘時(shí)，要按一定的順序進(jìn)行，即一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多

項(xiàng)式的每一項(xiàng)。在未合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)等于兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積。

②多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包含它前面的符號(hào)，確定積中每一項(xiàng)的符號(hào)時(shí)應(yīng)用“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)

③運(yùn)算結(jié)果中有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng)。

④對(duì)于含有同一個(gè)字母的一次項(xiàng)系數(shù)是1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘時(shí)，可以運(yùn)用下面的公式簡(jiǎn)化運(yùn)算：

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。

7.乘法公式：

(1)平方差公式

①(。+份(a-〃)=。2一即：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方之差。

公式特點(diǎn)：有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)只有符號(hào)不同

②平方差公式中的a、b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。

③平方差公式可以逆用，即:a2-b2=(a+b)(a-b)o

④平方差公式還能簡(jiǎn)化兩數(shù)之積的運(yùn)算，解這類題，首先看兩個(gè)數(shù)能否轉(zhuǎn)化成(a+b)?(a-b)的形式，然后看a?與b2

是否容易計(jì)算。

(2)完全平方公式

①(。+。)2=02+2而+尸,(。一勿2=/一2"+。2,即：兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減

去)它們的積的2倍。

②完全平方公式可以逆用，即：a1+2ab+b2=(a+bf,a2-2ab+b2=(a-b)2.

③公式中的a,b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。

④掌握理解完全平方公式的變形公式：

a2+b2=(a+b)2-2ab=(?-Z?)2+2ab=^[(a+b)2+(a-b)2]

(a+b)2-(a-b)2+4ab

ab=^[(a+b)2-(a-b)2]

常用變形：(x—y)2"=(y(x-^)2,,+l=-(_y-x)2z,+l

8.配方:

(1)若二次三項(xiàng)式x2+px+q是完全平方式，則有關(guān)系式:P

X(2)二次三項(xiàng)式ax2+bx+c經(jīng)過配方，總可以變?yōu)閍(x-h)2+k的形式，利用a(x-h)2+k

①可以判斷ax?+bx+c值的符號(hào)；②當(dāng)x=h時(shí)，可求出ax?+bx+c的最大(或最小)值k.

X(3)注意：X2+《=(X+L)-2.

9.同底數(shù)暴的除法

①同底數(shù)基的除法法則：同底數(shù)塞相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減,

即：優(yōu)"+。"=優(yōu)"-"〃都是正整數(shù))。

②此法則也可以逆用，即：am-n=am4-an(a#))。

10.零指數(shù)與負(fù)指數(shù)公式：

(1)零指數(shù)累：任何不等于0的數(shù)的0次嘉都等于1,即：a°=l(a和)。

(2)負(fù)指數(shù)累：任何不等于零的數(shù)的一p次幕，等于這個(gè)數(shù)的p次哥的倒數(shù)，即：ap(。工0,。是正整數(shù))

a'

注：在同底數(shù)塞的除法、零指數(shù)基、負(fù)指數(shù)幕中底數(shù)不為0。

注意：0°,0-2無意義;

(2)有了負(fù)指數(shù)，可用科學(xué)記數(shù)法記錄小于1的數(shù)，例如：0.0000201=2.01xlO-s.

第九章三角形

(-)三角形

1、不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形，稱為三角形，可以用符號(hào)"A”表示。組成三角形的線

段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形

的角。

2,頂點(diǎn)是A、B、C的三角形，記作“AABC”，讀作“三角形ABC”。

3、組成三角形的三條線段叫做三角形的邊，即邊AB、BC、AC,有時(shí)也用a,b,c來表示，頂點(diǎn)A所對(duì)的邊BC

用a表示，邊AC、AB分別用b,c來表示；

4、三角形的分類

‘銳角三角形（三個(gè)角都是銳角）

（1）三角形按角分類可分為：〈直角三角形（有一個(gè)角是直角）

專屯角三角形（有一個(gè)角是鈍角）

各類三角形的定義

銳角三角形：所有內(nèi)角都是銳角的三角形叫銳角三角形；

直角三角形：有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形叫直角三角形；

鈍角三角形：有一個(gè)內(nèi)角是鈍角的三角形叫鈍角三角形。

‘不等邊三角形（三條嫡不相等）（又稱斜部形）

（2）三角形按邊分類可分為：等腰二角開成腰和底不相等的等腰三龜形（只兩邊等）

［腰和底相等的等腰三翩（等邊三角形）

各類三角形的定義

不等邊三角形：三邊互不相等的三角形叫做不等邊三角形；

等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形。相等的兩邊叫做等腰三角形的腰。

等邊三角形；三條邊都相等的三角形叫等邊三角形（或正三角形）。

5、三角形的三邊關(guān)系

（1）三角形三邊不等關(guān)系定理：三角形的任何兩邊的和大于第三邊。三角形的任何兩邊的差小于第三邊。

用字母可表示為a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b<c,a-c<b,b-c<a5,

即三角形第三邊的取值范圍是：|任何兩邊的差|V第三邊〈任何兩邊的和

用字母可表示為<c<a+Z?

以上定理主要用語判斷給出一定長(zhǎng)度的線段能否構(gòu)成三角形和求第三邊的取值范圍。

（2）三角形具有穩(wěn)定性

這就是說三角形的三條邊固定，那么三角形的形狀和大小就完全確定了。三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。

四邊形就不具有這個(gè)性質(zhì)。

（二）三角形的內(nèi)角，外角

1、內(nèi)角：每?jī)蓷l邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，如/BAC等。每個(gè)三角形有三個(gè)內(nèi)角。

2、三角形內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180。。

3、外角：三角形中內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做三角形的外角，如下圖中NACD是/ABC的

一個(gè)外角它與內(nèi)角/ACB相鄰。

4、三角形外角的性質(zhì)：

(1)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；

(2)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

如圖：D是△ABC邊BC上一點(diǎn)，則有NADC=NDAB+/ABD；ZADOZDAB,ZADOZABD

5、三角形外角的和。

(1)三角形外角和的定義：與三角形的每個(gè)內(nèi)角相鄰的外角分別有兩個(gè)，這兩個(gè)外角是對(duì)頂角，從與每個(gè)內(nèi)角相

等的兩個(gè)外角中分別取一個(gè)相加，得到的和稱為三角形的外角和。

(2)三角形外角和定理：三角形的外角和是360。

(三)三角形的中線、角平分線、高(記住這重要的三線)

1、三角形的角平分線：

(1)三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。

(2)任意三角形都有三條角平分線，并且它們相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)。

2、三角形的中線：

(1)在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線。

(2)三角形有三條中線，它們相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)。

3、三角形的高線：

(1)從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱為三角

形的高。

(2)任意三角形都有三條高線，它們所在的直線相交于一點(diǎn).

區(qū)另U相同

中線平分對(duì)邊三條中線交于三角形內(nèi)部(1)都是線段

角平分線平分內(nèi)角三條角平分線交于三角表內(nèi)部(2)都從頂點(diǎn)畫出

垂直于對(duì)銳角三角形：三條高線都在三角形內(nèi)部(3)所在直線相交于一點(diǎn)

高線邊(或其延直角三角形：其中兩條恰好是直角邊

長(zhǎng)線)鈍角三角形：其中兩條在三角表外部

注意：

(1)一個(gè)三角形中三條中線(高、角平分線)之間的位置關(guān)系怎樣？

［三條中線交于一點(diǎn)，三條角平分線交于一點(diǎn)，三條高所在的直線交于一點(diǎn)］

(2)一個(gè)三角形的三條中線(角平分線)的交點(diǎn)與三角形有怎樣的位置關(guān)系？

［三條中線(角平分線)相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)在三角形內(nèi)部］

(3)直角三角形的三條高，它們有怎樣的位置關(guān)系?鈍角三角形呢？

［直角三角形有一條高在三角形內(nèi)部，另外兩條就是直角三角形的兩條直角邊，三條高的交點(diǎn)就是直角三角形的直角

頂點(diǎn)，鈍角三角形有一條高在形內(nèi)，兩條高在形外，三條高所在的直線的交點(diǎn)在形外。］

(4)以上三線都是線段。

第十章一元一次不等式和一元一次不等式組

一、不等關(guān)系

1、不等式：

(1)定義：用“V"(或"W'),(或2")等不等號(hào)表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式.用“尹’表示不等關(guān)系的式子也是

不等式.

常見不等號(hào)：>、<、>><,聲

注不僅表示左右兩邊不等關(guān)系，還明確表示左右兩邊的大?。弧皐，、2”也表示不等，前者表示“不大于”(小

于或等于)，后者表示“不小者”(大于或等于),“尹’表示左右兩邊不相等

例如：方程7y-3x>4、-3a+3*-7a、2m+3n，0等都是不等式。而-2y-6、4x+8y=-6z等都不是不等式。

(2)常見不等式的基本語言的符號(hào)表示.

①。是正數(shù)：a>0.②。是負(fù)數(shù)：a<0.③。是非負(fù)數(shù)：a>0

④a是非正數(shù)：a<0⑤a,〃同號(hào)：ab>0.⑥a,人異號(hào)：ab<0.

(5)不等式的解集與不等式的解的區(qū)別：解集是能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，是所有解的集合，而不等式的

解是使不等式成立的未知數(shù)的值。

(6)二者的關(guān)系是：解集包括解，所有的解組成了解集。

二、不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1:不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。

即:如果a>6,那么a±c>Z?±c.

性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘上（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。

即：如果a>。，并且c>0,那么ac>Oc；

CC

性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘上（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。

ah

即：如果a>b,并且c<0,那么ac<Oc；

CC

性質(zhì)4：如果a>8,那么b<a.（對(duì)稱性）

性質(zhì)5：如果a>Z?,b>c,那么a>c.（傳遞性）

三、不等式的解集：

※上能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解;一個(gè)不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集;求不等式的解集

的過程，叫做解丕等式.

（1）不等式的解集與不等式的解的區(qū)別：解集是能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，是所有解的集合，而不等式的

解是使不等式成立的未知數(shù)的值。

（2）二者的關(guān)系是：解集包括解，所有的解組成了解集。

X2.不等式的解可以有無數(shù)多個(gè)，一般是在某個(gè)范圍內(nèi)的所有數(shù)，與方程的解不同.

Q3.不等式的解集在數(shù)軸上的表示：

用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要確定邊界和方向：

①邊界:有等號(hào)的是實(shí)心圓圈，無等號(hào)的是空心圓圈；

②方向:大向右,小向左

四.一元一次不等式：

（二）一元一次不等式

1、定義：含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等號(hào)兩邊都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)；一般步驟為：（1）去分母；（2）去括號(hào)；（3）移項(xiàng)；（4）合并同類項(xiàng)；（5）系數(shù)化

為1.

解不等式應(yīng)注意：

①去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘同一個(gè)數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng)；

②移項(xiàng)時(shí)不要忘記變號(hào)；

③去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都要變號(hào)；

④在不等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變。

五、一元一次不等式組

※1定義：由含有一個(gè)相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組.

X2.一元一次不等式組中各個(gè)不等式解集的公共部分叫做不等式組的解集.如果這些不等式的解集無公共部分，就說

這個(gè)不等式組無解.

幾個(gè)不等式解集的公共部分，通常是利用數(shù)軸來確定.

X3.解一元一次不等式組的步驟：

（1）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集；

（2）利用數(shù)軸求出這些解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集.

兩個(gè)一元一次不等式組的解集的四種情況（a、b為實(shí)數(shù)，且a<b）

一元一次不等式解集圖示敘述語言表達(dá)

x>a

x>b_______a__________1b___________,\兩大取較大

x>b

x<a---------------1----------------1>

x>a兩小取小

x<ba-b,

x>aJJ

V---------------------------------------------->

a<x<bab/大小交叉中間找

x<b

x<a在大小分離沒有解

—J----------------

無解aib------>-

x>b（是空集）

六、一元一次不等式（組）解決實(shí)際問題

解題的步驟：

（1）審題，找出不等關(guān)系—（2）設(shè)未知數(shù)一（3）列出不等式（組）-（4）求出不等式的解集—（5）找出符

合題意的值T（6）作答。

七、解題技巧

1、有解無解問題：

（x>a（有解：a<b

（1）［x<h-I無解：a>b

Jx>a_（有解：a<b

（2）lx<。AI無解：a>b

（有解：a助

⑶lx勁口l無解：a>b

2、特征解問題:

解題步驟：把原式中的要求的量（以下簡(jiǎn)記為m）當(dāng)作已知數(shù)，去解原式一得到原式的解（含m）一根據(jù)解的特征

列出式子（關(guān)于m的式子）一解出m的值。

例：已知a+xN2x+l的解集為x<l,求a的值。

解：解不等式a+xN2x+l……把a(bǔ)當(dāng)作已知數(shù)，去解原式

得x?a-l……得到原式的解（含a）

則a-1=1……根據(jù)解的特征列出式子

解得a=2……解出a的值

第十一章因式分解

一、因式分解

定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式，這種變形叫因式分解。即：多項(xiàng)式—幾個(gè)整式的積

例：—ax+—bx=—x（a+b）

因式分解是對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行的一種恒等變形，是整式乘法的逆過程。

二、因式分解的方法：

（1）提公因式法：

①定義：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式，這個(gè)變形

就是提公因式法分解因式。

公因式：多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的相同的因式。公因式可以是一個(gè)數(shù)字或字母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。

’系數(shù)一一取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)

■字母—取各項(xiàng)都含有的字母

指數(shù)一一取相同字母的最低次幕

例：1233b3。一8a+6a%2c2的公因式是.

解析：從多項(xiàng)式的系數(shù)和字母兩部分來考慮，系數(shù)部分分別是12、-8、6,它們的最大公約數(shù)為2；字母部分

a3b3c,,a%2c2都含有因式2c,故多項(xiàng)式的公因式是2a^b2c