2025屆福建省高中畢業(yè)班適應(yīng)性練習(xí)卷（二）數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2025屆高中畢業(yè)班適應(yīng)性練習(xí)卷（二）數(shù)學(xué)考生注意：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和練習(xí)卷的指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本練習(xí)卷上無效．3．考試結(jié)束后，將練習(xí)卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先將因式分解，然后解不等式，利用兩個根的關(guān)系分類討論，求出的取值范圍即可.【詳解】由題可知，當(dāng)時，無解，得，此時；當(dāng)時，解，得，此時，；當(dāng)時，解，得，此時，要使，則；綜上所述，.故選：A2.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)乘法和復(fù)數(shù)相等的概念求出，再利用復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.【詳解】設(shè)，則，所以，解得，所以，.故選：D.3.在中，點是邊上一點，若，則的最小值為（）A. B. C. D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量定理的推論求得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】在中，點是邊上一點，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以最小值為.故選：B4.將函數(shù)圖象向右平移后，再將所得圖象上各點橫坐標(biāo)擴大為原來的4倍，得到的圖象，若方程在內(nèi)有兩不等實根，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由圖象的變換可得，進(jìn)而解方程可得，可求的值..【詳解】將函數(shù)圖象向右平移后，可得平移后的解析式為，再將所得圖象上各點橫坐標(biāo)擴大為原來的4倍，可得，由方程，可得，所以，因為，所以，因為方程在內(nèi)有兩不等實根，所以，所以，所以.故選：A.5.已知正四棱臺下底面邊長為，若內(nèi)切球的體積為，則其外接球表面積是（）A.49π B.56π C.65π D.130π【答案】C【解析】【分析】作出正四棱臺及其內(nèi)切球的軸截面，求出正四棱臺的上底面邊長，再求出外接球半徑即可得解.【詳解】正四棱臺下底面邊長，設(shè)其內(nèi)接球半徑為，則，解得，取的中點，則四邊形內(nèi)切圓是正四棱臺內(nèi)接球的截面大圓，則四邊形是等腰梯形，，而，，整理得，而，則，設(shè)為正四棱臺外接球球心，為該球半徑，則，令分別為正四棱臺上下底面的中心，則，，，，當(dāng)球心在線段時，，解得，球的表面積為；當(dāng)球心在線段的延長線時，，無解，所以所求外接球表面積是.故選：C6.設(shè)數(shù)列的前面和為，若，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用，結(jié)合已知變形構(gòu)造數(shù)列，求出，進(jìn)而求出即可判斷得解.【詳解】數(shù)列an中，由，得，整理得，則，數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，于是，即，而滿足上式，因此，，，ABD錯誤，C正確.故選：C7.設(shè)曲線的方程為（，為系數(shù)），則（）A.曲線一定經(jīng)過第一象限 B.當(dāng)，曲線可能為拋物線C.曲線一定經(jīng)過第三象限 D.當(dāng)，曲線一定關(guān)于直線對稱【答案】D【解析】【分析】分別對曲線的方程中的系數(shù)，進(jìn)行賦值，即可排除A,C項，對于B，因時，曲線表示直線或拋物線，排除B，對于D，分都等于0和相等但不為0兩種情況分析討論，均能驗證曲線關(guān)于直線對稱.【詳解】對于A，當(dāng)時，由化簡得，，則可得，或，此時曲線表示軸或開口向下且頂點在原點的拋物線，顯然圖象不經(jīng)過第一象限，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，由化簡得，可得，或，當(dāng)時，曲線顯然不是拋物線，當(dāng)時，曲線表示軸或焦點在軸上的拋物線，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，由化簡得，，即或，即曲線表示軸或軸，因而圖象不經(jīng)過第三象限，故C錯誤；對于D，若時，由C分析知，曲線表示軸或軸，顯然關(guān)于直線對稱；若相等但不為0時，由可得，若點在曲線上，即，而對于，有，即必有在曲線上，而點與關(guān)于直線對稱，故D正確.故選：D.8.已知函數(shù)的定義域為R，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，記的導(dǎo)函數(shù)為，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用抽象函數(shù)的奇偶性、周期性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運算法則逐項判斷即可.【詳解】因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，，所以為偶函數(shù)，故C錯誤；又對兩邊求導(dǎo)，得，即，所以是偶函數(shù)，故B錯誤；由，可得，由，可得，所以，即fx+2=?fx，即得所以是周期為4的函數(shù)，則，所以fx?1是奇函數(shù)，故A正確；由，可得，即，又由，可得，所以，即為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，故D錯誤.故選：A.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.設(shè)是非空的實數(shù)集，若，則（）A.函數(shù)的定義域為 B.函數(shù)的值域為C.函數(shù)值域為 D.函數(shù)無極值【答案】AD【解析】【分析】由函數(shù)定義可判斷A和B，令，可判斷C，對求導(dǎo)可判斷D.【詳解】由函數(shù)的定義可知，集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，所以函數(shù)的定義域為，值域為集合的子集，故A正確，B錯誤；對于C，當(dāng)，時，值域不為，故C錯誤；對于D，，所以單調(diào)遞增，無極值，故D正確.故選：AD.10.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次成等差數(shù)列，現(xiàn)在丟失了其中一個數(shù)據(jù)，另外六個數(shù)據(jù)分別是7，9，10，7，15，7．將丟失數(shù)據(jù)的所有可能值從小到大排列成數(shù)列an，記，則（）A. B.C.an是等差數(shù)列 D.a【答案】AC【解析】【分析】設(shè)丟失的數(shù)據(jù)是，求出平均值和眾數(shù)，然后根據(jù)的大小得出中位數(shù)，根據(jù)已知等差數(shù)列求出的所有可能值，判斷各個選項得出結(jié)論．【詳解】設(shè)丟失的數(shù)據(jù)是，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，眾數(shù)顯然是7，所以中位數(shù)為，當(dāng)時，有，解得，當(dāng)時，有，解得，當(dāng)時，有，解得，所以丟失的數(shù)據(jù)所有可能值為，則.對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，D，由，，，所以是等差數(shù)列，故C正確，D錯誤.故選：AC.11.若平面點集滿足：任意點，存在，都有，則稱該點集是階聚合點集．下列命題為真命題的是（）A.若，則是3階聚合點集B.存在對任意正數(shù)，使不是階聚合點集C.若，則不是階聚合點集D.“”是“是階聚合點集”的充要條件【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)集合新定義的規(guī)定，易判斷A正確；通過舉反例排除B；按照集合新定義得不出合理結(jié)論否定為階聚合點集判斷C；運用等價轉(zhuǎn)化思想，即可得到D正確.【詳解】對于A，由可得，故是3階聚合點集，即A正確；對于B，對任意的點集，總存在，使得是1階聚合點集，故B錯誤；對于C，因，而，故不是階聚合點集，即C正確；對于D，因是階聚合點集等價于，因，可得，又因，依題意可得，反之也成立，故“是階聚合點集”是“”的充要條件，即D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．將答案填在答題卡的相應(yīng)位置．12.正八面體中，以其頂點為頂點三棱錐的個數(shù)為___________（用數(shù)字作答）．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用幾何圖形組合計數(shù)問題，結(jié)合排除法列式計算即得.【詳解】作出正八面體，如圖，正八面體共有6個頂點，其中有3組不同的四點共面，則以正八面體頂點為頂點的三棱錐的個數(shù)為.故答案為：1213.將一裝有適量水的圓柱容器斜靠在墻面，已知墻面與水平地面垂直，若圓柱軸線與水平地面所成角為，則液面所呈橢圓的離心率為______．【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)題意得到的值，然后利用離心率公式求出橢圓的離心率.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，由題意可知，，即，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.14.已知函數(shù)，則曲線的對稱中心為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用對稱中心的定義計算判斷即得.【詳解】曲線的對稱中心為，則，即，整理得，依題意，與無關(guān)，則，解得，此時，所以曲線的對稱中心為.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在，角所對的邊分別為，已知．（1）證明：；（2）是否存在內(nèi)一點使得且？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）不存在【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換以及輔助角公式可將原式化為，根據(jù)三角函數(shù)最值即可得，可得結(jié)論；（2）由（1）可知點在的邊的中線上，再由的最小值為可得，可得不成立.【小問1詳解】由題意可知，即，則，即，其中；其中和的最大值為1，故上式只有當(dāng)時，等號成立；故，由正弦定理可得，所以【小問2詳解】因為，所以為的重心，因為，為各邊中線的交點，因此；又因為點在內(nèi)部，點在內(nèi)的直線上的動點，如下圖所示：當(dāng)點與點重合時，取得最小值，即，所以恒成立，顯然與，即矛盾，故內(nèi)不存在點使得且同時成立.16.如圖，在圓錐中，高，底面圓的直徑，是的中點，點在圓上，平面平面．（1）證明：；（2）若點是圓上動點，求平面與平面夾角余弦值的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）在平面內(nèi)過作，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，借助面面垂直求出平面的法向量，再計算即可得證.（2）設(shè)出點的坐標(biāo)，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法求出夾角余弦的函數(shù)關(guān)系即可求出范圍.【小問1詳解】在平面內(nèi)過作，而平面，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)，設(shè)平面的法向量，則，令，得，而平面的法向量為，平面平面，則，解得，于是，而，則，所以.【小問2詳解】設(shè)點，顯然，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，由（1）知，平面的一個法向量，設(shè)平面與平面夾角為，于是，所以平面與平面夾角余弦值的取值范圍.17.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的零點個數(shù)；（2）若有三個零點，求的取值范圍．【答案】（1）或時，函數(shù)有一個零點，時，函數(shù)有三個零點；（2）．【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在對按，和分類討論確定的零點個數(shù)，其中要特別注意零點存在定理的應(yīng)用.（2）利用得，又，結(jié)合基本不等式可得范圍．【小問1詳解】，則，令，則，（i），即時，，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)在上的取值集合為，而在上的取值集合為，則存在，使得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，而當(dāng)趨近于0時，趨近于，因此只有一個零點；（ii）當(dāng)，即時，，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，因此只有一個零點；（iii）當(dāng)，即時，由，得，由，得，函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，由（i）知，存在，使得，而，令，，又，則存在，使得，即當(dāng)或時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，顯然，因此，又當(dāng)趨近于0時，趨近于，因此在上有一個零點，而，，令，，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，因此在上有一個零點，又1是的零點，此時有三個零點，所以或時，有一個零點，時，有三個零點．【小問2詳解】由（1）討論知是函數(shù)的一個零點，又，則，即，，因此，所以的取值范圍是.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點個數(shù)問題有兩種基本方法，一是利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性、極值，然后結(jié)合零點存在定理得出零點個數(shù)，二是利用參數(shù)分離法，轉(zhuǎn)化為求直線與函數(shù)圖象的交點個數(shù)，從而只要利用導(dǎo)數(shù)確定新函數(shù)的單調(diào)性與極值，得出函數(shù)的變化趨勢后可得結(jié)論．18.為慶祝祖國周年華誕，某商場決定在國慶期間舉行抽獎活動．盒中裝有個除顏色外均相同的小球，其中個是紅球，個是黃球．每位顧客均有一次抽獎機會，抽獎時從盒中隨機取出球，若取出的是紅球，則可領(lǐng)取“特等獎”，該小球不再放回；若取出的是黃球，則可領(lǐng)取“參與獎”，并將該球放回盒中．（1）在第2位顧客中“參與獎”的條件下，第1位顧客中“特等獎”的概率；（2）記為第個顧客參與后后來參與的顧客不再有機會中“特等獎”的概率，求數(shù)列的通項公式；（3）設(shè)事件為第個顧客參與時獲得最后一個“特等獎”，要使發(fā)生概率最大，求的值．【答案】（1）（2）（3）4【解析】【分析】（1）利用條件概率公式計算；（2）將個顧客參與后后來的顧客不再有機會中“特等獎”轉(zhuǎn)化為最后一位顧客中“特等獎”，前位顧客中有一位中“特等獎”，然后結(jié)合等比數(shù)列求和公式計算概率；（3）根據(jù)概率最大列不等式，然后解不等式即可.【小問1詳解】設(shè)第位顧客中“特等獎”為事件，第位顧客中“參與獎”為事件，，，故，所以在第位顧客中“參與獎”的條件下，第位顧客中“特等獎”的概率為.【小問2詳解】由題意得，個顧客參與后后來的顧客不再有機會中“特等獎”表示最后一位顧客中“特等獎”，前位顧客中有一位中“特等獎”，所以，故數(shù)列的通項公式為.【小問3詳解】設(shè)第個顧客參與時拿下最后一個“特等獎”的概率最大，則概率，要使最大，即使最大，所以，即，化簡得，且，又在0,+∞上單調(diào)遞減，所以，綜上所述，.【點睛】關(guān)鍵點睛：（2）的解題關(guān)鍵在于將個顧客參與后后來的顧客不再有機會中“特等獎”轉(zhuǎn)化為最后一位顧客中“特等獎”，前位顧客中有一位中“特等獎”，然后求概率.19.貝塞爾