2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.4第1課時(shí)空間圖形的基本關(guān)系與公理1～3學(xué)案含解析北師大版必修2

PAGE4空間圖形的基本關(guān)系與公理第1課時(shí)空間圖形的基本關(guān)系與公理1～3考綱定位重難突破1.通過長方體這一常見的空間圖形，體會直線、平面及點(diǎn)的位置關(guān)系．2.理解異面直線的概念，以及空間圖形基本關(guān)系．3.駕馭空間圖形的三個公理.重點(diǎn)：對空間圖形基本關(guān)系的考查．難點(diǎn)：文字語言、符號語言及圖形語言的相互轉(zhuǎn)化.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第9頁[自主梳理]一、空間中的基本關(guān)系(1)(2)(3)空間點(diǎn)與直線的位置關(guān)系(兩種)P∈lP?l空間點(diǎn)與平面的位置關(guān)系(兩種)P∈αP?α二、空間圖形的公理1～3文字語言圖形表示符號語言公理1過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)若A、B、C三點(diǎn)不共線，則存在唯一一個平面α使A∈α，B∈α，C∈α公理2假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上全部的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))若A∈α，B∈α，則ABα公理3假如兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個點(diǎn)的公共直線若A∈α，A∈β，且α與β不重合，則α∩β＝l，且A∈l[雙基自測]1．下列四個命題：①三點(diǎn)確定一個平面；②一條直線和一個點(diǎn)確定一個平面；③若四點(diǎn)不共面，則每三點(diǎn)肯定不共線；④三條平行直線確定三個平面．其中正確的有()A．1個B．2個C．3個D．4個解析：對于①，三個不共線的點(diǎn)可以確定一個平面，所以①不正確；對于②，一條直線和直線外一點(diǎn)可以確定一個平面，所以②不正確；對于③，若每三點(diǎn)共線，則四點(diǎn)肯定共面，所以③正確；對于④，若三條平行線共面，則只能確定一個平面，所以④不正確．故選A.答案：A2．直線l1∥l2，在直線l1上取2個點(diǎn)，直線l2上取4個點(diǎn)，由這6個點(diǎn)能確定平面的個數(shù)為()A．5B．4C．9D．1解析：由直線l1∥l2知，直線l1，l2確定一個平面，則直線l1，l2上全部的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)．答案：D3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與對角線AC1A．4條B．5條C．6條 D．7條解析：從AC1的每一個端點(diǎn)動身有3條棱，每一條都與AC1共面，線段AC1有兩個端點(diǎn)，所以有6條棱與AC1共面．答案：C4．三角形、四邊形、梯形中肯定是平面圖形的有________個．解析：由基本性質(zhì)1,2及推論知，三角形、梯形必為平面圖形，四邊形的四個頂點(diǎn)不肯定共面，故不肯定是平面圖形．答案：25．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1C與平面解析：因?yàn)镹∈平面A1C，且N∈平面BDPQ；同理M∈平面A1C，且M∈平面BDPQ，所以平面A1C與平面BDPQ的交線是MN.答案：MN授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第10頁探究一空間圖形的基本關(guān)系[典例1]視察長方體ABCD-A′B′C′D′，回答所給的問題．(1)直線B′C′與BC；直線AB和BC；直線AB和B′C′，分別是什么關(guān)系？(2)直線AB和平面ABCD；直線A′A和平面ABCD；直線A′B′和平面ABCD，分別是什么關(guān)系？(3)平面AA′D′D和平面BB′C′C；平面ABCD和平面BB′C′C，分別是什么關(guān)系？[解析](1)直線B′C′和BC在同一個平面內(nèi)，但沒有公共點(diǎn)，所以B′C′∥BC；直線AB和BC只有一個公共點(diǎn)，所以直線AB和BC相交；直線AB和B′C′不同在任何一個平面內(nèi)，所以直線AB和B′C′既不平行也不相交．(2)直線AB和平面ABCD有多數(shù)個公共點(diǎn)，所以AB平面ABCD；直線A′A和平面ABCD只有一個公共點(diǎn)，所以A′A與平面ABCD相交；直線A′B′和平面ABCD沒有公共點(diǎn)，所以A′B′∥平面ABCD.(3)平面AA′D′D和平面BB′C′C沒有公共點(diǎn)，所以平面AA′D′D∥平面BB′C′C；平面ABCD和平面BB′C′C不重合，但有公共點(diǎn)，所以平面ABCD和平面BB′C′C相交．1．空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：(1)eq\a\vs4\al(共面,直線)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個,公共點(diǎn)；,平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；))(2)異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．2．直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種：直線在平面內(nèi)；直線與平面相交；直線與平面平行．直線與平面相交或平行的狀況統(tǒng)稱為直線在平面外，記作3．兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種：(1)兩個平面平行——沒有公共點(diǎn)；(2)兩個平面相交——有一條公共直線．1．下列說法正確的是()A．線段AB在平面α內(nèi)，直線AB不在α內(nèi)B．平面α和β有時(shí)只有一個公共點(diǎn)C．三點(diǎn)確定一個平面D．過一條直線可以作多數(shù)個平面解析：線段AB在平面α內(nèi)，直線AB肯定在α內(nèi)，故A錯；平面α和β若有一個公共點(diǎn)，則平面α和β要么重合，要么相交，故公共點(diǎn)有多數(shù)個，B錯；若三點(diǎn)共線，則此三點(diǎn)可確定多數(shù)個平面，C錯，故選D.答案：D探究二點(diǎn)線共面問題[典例2]證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)．已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．[證明]證法一∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2α，∴B∈α.同理可證C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．證法二∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1，l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個平面β.∴A∈l2，l2α，∴A∈α.∴A∈l2，l2β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．證明點(diǎn)、線共面問題的常用方法(1)由其中某些點(diǎn)、線確定一個平面，再證明其余的點(diǎn)、線都在這個平面內(nèi)．(2)證明某些點(diǎn)、線在α內(nèi)，其余點(diǎn)、線在β內(nèi)，再證明這兩個平面重合．2.求證：假如一條直線和兩條平行直線相交，那么這三條直線共面．已知：a∩c＝A，b∩c＝B，a∥b.求證：直線a，b，c共面．證明：如題圖所示，∵a∥b，∴直線a，b確定一個平面α.∵a∩c＝A，aα，∴A∈α.同理可證B∈α.又∵A∈c，B∈c，∴cα.∴直線a，b，c共面．探究三多線共點(diǎn)和多點(diǎn)共線問題[典例3]已知△ABC在平面α外，它的三邊所在的直線分別交平面α于P，Q，R(如圖)．求證：P，Q，R三點(diǎn)共線．[證明]證法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上．同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P，Q，R三點(diǎn)共線．證法二∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC平面APR.又∵Q∈直線BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三點(diǎn)共線．1．證明三線共點(diǎn)問題的方法主要是：先確定兩條直線交于一點(diǎn)，再證明該點(diǎn)是這兩條直線所在平面的公共點(diǎn)，第三條直線是這兩個平面的交線．2．證明多點(diǎn)共線主要采納如下兩種方法：一是首先確定兩個平面，然后證明這些點(diǎn)是這兩個平面的公共點(diǎn)，再依據(jù)公理3，這些點(diǎn)都在這兩個平面的交線上；二是選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后再證明其他的點(diǎn)都在這條直線上．3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M、N、E、F分別是棱CD、AB、DD1、AA1上的點(diǎn)，若MN與EF交于點(diǎn)Q，求證：D、A、Q證明：∵M(jìn)N∩EF＝Q，∴Q∈直線MN，Q∈直線EF.∵M(jìn)∈直線CD，N∈直線AB，CD平面ABCD，AB平面ABCD.∴M，N∈平面ABCD，∴MN平面ABCD，∴Q∈平面ABCD.同理，EF平面ADD1A1，∴Q∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直線AD，即D、A、Q三點(diǎn)共線．分類探討思想在確定平面問題中的運(yùn)用[典例]兩兩相交的四條直線a，b，c，d能夠確定幾個平面？[解析](1)當(dāng)四條直線a，b，c，d相交于一點(diǎn)時(shí)，能確定1個平面或6個平面．(2)當(dāng)四條直線a，b，c，d不共點(diǎn)時(shí)，有兩種情形：①當(dāng)四條直線中有三條相交于一點(diǎn)時(shí)，a，b，c，d在同一平面內(nèi)．②當(dāng)四條直線中任何三條都不共點(diǎn)時(shí)，如圖所示：因?yàn)檫@四條直線兩兩相交，則設(shè)相交直線a，b確定一個平面α.設(shè)直線c與a，b分別交于點(diǎn)H，K，則H，K∈α.又H，K∈c，所以cα.同理可證dα.所以a，b，c，d四條直線在同一平面α內(nèi)．綜上可知：當(dāng)四條直線a，b，c，d兩兩相交共點(diǎn)時(shí)，能確定1個或6個平面．當(dāng)四條直線a，b，c，d兩兩相交不共點(diǎn)時(shí)，能確定一個平面．[感悟提高](1)分類探討也是一種“化整為零，各個擊破”的解題策略，關(guān)鍵在于相識到引起探討的緣由，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，多級分類探討時(shí)，留意分類的層次．(2)分類探討是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它適用于從整體上難以解決的數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用分類探討來解決問題時(shí)，必需遵循不重不漏和最簡的原則．[隨堂訓(xùn)練]對應(yīng)學(xué)生用書第11頁1．若點(diǎn)A在平面α內(nèi)，直線a在平面α內(nèi)，點(diǎn)A不在直線a上，用符號語言可表示為()A．A∈α，aα，A?a B．A∈α，a∈α，A?aC．Aα，aα，A?a D．A∈α，aα，A?a解析：點(diǎn)與線的關(guān)系用∈、?；線與面的關(guān)系用、?.答案：A2．不重合的三個平面最多可以把空間分成幾個部分()A．4 B．5C．7 D．8解析：①當(dāng)三個平面兩兩平行時(shí)，可以把空間分成4部分；②當(dāng)兩個平面平行，第三個平面同時(shí)與兩個平面相交時(shí)，把空間分成6部分；③當(dāng)兩個平面相交，第三個平面同時(shí)與兩個平面相交，且交線相互平行時(shí)，把空間分成7部分；④當(dāng)兩個平面相交，第三個平面同時(shí)與兩個平面相交，且交線互不平行時(shí)，把空間分成8部分．故不重合的三個平面最多可以把空間分成8個部分，故選D.答案：D3．三條兩兩相互平行的直線最多可確定________個平面．解析：當(dāng)三條平行線不在同一個平面內(nèi)時(shí)，可確定3個平面．答案：34．不共線三點(diǎn)A，B，P?平面α，P?直線AB，AP∩α＝A1，BP∩α＝B1，AB∩α＝O，當(dāng)點(diǎn)P在空間中變動時(shí)，定點(diǎn)O與動直線A1B1的位置關(guān)系是________．解析：由題意知平面ABP∩α＝A1B1，AB∩α＝O，∴O∈平面ABP，且O∈α，∴O∈A1B1.答