2024-2025學年新教材高中數(shù)學課時素養(yǎng)評價四十七第六章概率5正態(tài)分布含解析北師大版選擇性必修第一冊

PAGE四十七正態(tài)分布(15分鐘30分)1．已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(1，σ2)，若P(ξ≤2)＝0.66，則P(ξ≤0)＝()A．0.84B．0.68C．0.34D．0.16【解析】選C.由正態(tài)分布曲線得P(1<ξ≤2)＝0.66－0.5＝0.16，所以P(0<ξ≤1)＝0.16，所以P(ξ≤0)＝0.5－0.16＝0.34.2．已知隨機變量X聽從正態(tài)分布N(3，σ2)，且P(X≤4)＝0.84，則P(2<X≤4)＝()A．0.84B．0.68C．0.32D．0.16【解析】選B.由題可知，P(X>4)＝1－P(X≤4)＝1－0.84＝0.16，由于X～N(3，σ2)，所以，P(X<2)＝P(X>4)＝0.16，因此P(2<X≤4)＝1－P(X<2)－P(X>4)＝1－0.16－0.16＝0.68.3．已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)聽從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3，6)內(nèi)的概率為()(附：若隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%.)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%【解析】選B.由題意得P(－3＜ξ≤3)＝68.26%，P(－6＜ξ≤6)＝95.44%，所以P(3＜ξ＜6)＝eq\f(1,2)(95.44%－68.26%)＝13.59%.4．已知隨機變量X～N(1，σ2)，P(－1<X≤1)＝0.4，則P(X≥3)＝________．【解析】因為隨機變量X聽從正態(tài)分布N(1，σ2)，所以曲線關于x＝1對稱，因為P(－1<X≤1)＝0.4，所以P(X≥3)＝P(X≤－1)＝0.5－P(－1<X≤1)＝0.1.答案：0.15．依據(jù)國家標準規(guī)定，500g袋裝奶粉每袋質(zhì)量必需聽從正態(tài)分布X～N(500，σ2)，經(jīng)檢測某種品牌的奶粉P(490≤X≤510)＝0.95，一超市一個月內(nèi)共賣出這種品牌的奶粉400袋，求賣出的奶粉質(zhì)量在510g以上的大約為多少袋．【解析】因為X～N(500，σ2)且P(490≤X≤510)＝0.95，所以P(X>510)＝eq\f(1－0.95,2)＝0.025，所以510g以上的大約為：400×0.025＝10(袋).(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．設隨機變量ξ～N(2，2)，則D(eq\f(1,2)ξ＋2)＝()A．1B．eq\f(1,2)C．3D．4【解析】選B.因為ξ～N(2，2)，所以Dξ＝2，由方差的性質(zhì)可得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ＋2))＝eq\f(1,4)Dξ＝eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2).2．(2024·沈陽高二檢測)已知隨機變量X～N(0，σ2)，若P(0<X≤1)＝0.4，則P(|X|>1)的值為()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.6【解析】選B.由隨機變量X～N(0，σ2)，可得正態(tài)分布曲線的對稱軸為x＝0，又P(0<X≤1)＝0.4，所以P(|X|>1)＝1－2P(0<X≤1)＝1－2×0.4＝0.2.3．已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(1，σ2)，若P(ξ<4)＝0.9，則P(－2<ξ<1)＝()A．0.2B．0.3C．0.4D．0.6【解析】選C.由題意可知μ＝1，正態(tài)分布曲線關于x＝1對稱，P(ξ>4)＝1－P(ξ<4)＝0.1，依據(jù)對稱性可知，P(ξ<－2)＝P(ξ>4)＝0.1，P(－2<ξ<1)＝0.5－P(ξ<－2)＝0.5－0.1＝0.4.4．已知隨機變量X～N(1，σ2)，且P(X≤0)＝P(X≥a)，則(1＋ax)3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))eq\s\up12(5)的綻開式中x4的系數(shù)為()A．680B．640C．180D．40【解析】選A.因為隨機變量X～N(1，σ2)，P(X≤0)＝P(X≥a)，所以a＝2，代入可得(1＋2x)3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))eq\s\up12(5)，故(1＋2x)3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))eq\s\up12(5)綻開式中包含x4的項為：Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))(x2)3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))eq\s\up12(2)·Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))(x2)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))eq\s\up12(3)·Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))(2x)3＝40x4＋640x4＝680x4，系數(shù)為680.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5．(2024·青島高二檢測)近年來中國進入一個鮮花消費的增長期，某農(nóng)戶利用精準扶貧政策，貸款承包了一個新型溫室鮮花大棚，種植銷售紅玫瑰和白玫瑰．若這個大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷量分別聽從正態(tài)分布N(μ，302)和N(280，402)，則下列選項正確的是()附：若隨機變量X聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6826.A．若紅玫瑰日銷售量范圍在(μ－30，280)的概率是0.6826，則紅玫瑰日銷售量的平均數(shù)約為250B．紅玫瑰日銷售量比白玫瑰日銷售量更集中C．白玫瑰日銷售量比紅玫瑰日銷售量更集中D．白玫瑰日銷售量范圍在(280，320)的概率約為0.3413【解析】選ABD.對于選項A：μ＋30＝280，μ＝250，正確；對于選項BC：利用σ越小越集中，30小于40，B正確，C不正確；對于選項D：P(280<X≤320)＝P(μ<X≤μ＋σ)≈0.6826×eq\f(1,2)＝0.3413，正確．6．已知某校高三年級有1000人參與一次數(shù)學模擬考試，現(xiàn)把這次考試的分數(shù)轉換為標準分，標準分的分數(shù)轉換區(qū)間為(60，300]，若使標準分X聽從正態(tài)分布N(180，900)，則下列說法正確的有()參考數(shù)據(jù)：①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974A．這次考試標準分超過180分的約有450人B．這次考試標準分在(90，270]內(nèi)的人數(shù)約為997C．甲、乙、丙三人恰有2人的標準分超過180分的概率為eq\f(3,8)D．P(240<X≤270)＝0.0428【解析】選BC.選項A；因為正態(tài)分布曲線關于x＝180對稱，所以這次考試標準分超過180分的約有eq\f(1,2)×1000＝500人，故說法不正確；選項B：由正態(tài)分布N(180，900)，可知：μ＝180，σ＝30所以P(90<X≤270)＝P(180－3×30<X≤180＋3×30)＝0.9974，因此這次考試標準分在(90，270]內(nèi)的人數(shù)約為1000×0.9974≈997人，故說法正確；選項C：因為正態(tài)分布曲線關于x＝180對稱，所以某個人標準分超過180分的概率為eq\f(1,2)，因此甲、乙、丙三人恰有2人的標準分超過180分的概率為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,8)，故說法正確；選項D：由題中所給的公式可知：P(90<X≤270)＝P(180－3×30<X≤180＋3×30)≈0.9974，P(120<X≤240)＝P(180－2×30<X≤180＋2×30)≈0.9544，所以由正態(tài)分布的性質(zhì)可知：P(240<X≤270)＝eq\f(1,2)[P(90<X≤270)－P(120<X≤240)]＝eq\f(1,2)(0.9974－0.9544)＝0.0215，所以說法不正確．三、填空題(每小題5分，共10分)7．設隨機變量X～N(4，32)，且P(X<0)＝P(X>a－1)，則實數(shù)a的值為_______．【解析】依據(jù)題意有0＋a－1＝4×2?a＝9.答案：98．(2024·廣州高二檢測)探討珠海市農(nóng)科奇觀的某種作物，其單株生長果實個數(shù)x聽從正態(tài)分布N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.1，從中隨機抽取10株，果實個數(shù)在(90，110]的株數(shù)記作隨機變量X，假設X聽從二項分布，則X的方差為________．【解析】因為x～N(90，σ2)，所以P(90<x≤110)＝eq\f(1,2)－P(x>110)，而P(x>110)＝P(x<70)＝0.1.所以P(90<x≤110)＝0.4，而X～B(10，0.4)，所以DX＝10×0.4×0.6＝2.4.答案：2.4四、解答題(每小題10分，共20分)9．(2024·南昌高二檢測)上饒市在某次高三適應性考試中對數(shù)學成果數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，全市10000名學生的成果近似聽從正態(tài)分布N(120，52)，現(xiàn)某校隨機抽取了50名學生的數(shù)學成果分析，結果這50名學生的成果全部介于85分到145分之間，現(xiàn)將結果按如下方式分為6組，第一組[85，95)，其次組[95，105)，…，第六組[135，145]，得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)試由樣本頻率分布直方圖估計該校全體學生的數(shù)學成果的平均分數(shù)；(2)若從這50名學生中成果在125分(含125分)以上的同學中隨意抽取3人，該3人在全市前13名的人數(shù)記為X，求X≥2的概率．附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9974.【解析】(1)由頻率分布直方圖可知[125，135)的頻率為1－(0.010×10＋0.024×10＋0.030×10＋0.016×10＋0.008×10)＝0.12所以估計該校全體學生的數(shù)學平均成果為：90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112.(2)由于eq\f(13,10000)＝0.0013，依據(jù)正態(tài)分布：P(120－3×5<X≤120＋3×5)≈0.9974，故P(X≥135)＝eq\f(1－0.9974,2)＝0.0013，即0.0013×10000＝13.所以前13名的成果全部在135分以上．依據(jù)頻率分布直方圖可知這50人中成果在135分以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125，145]的學生有50×(0.12＋0.08)＝10人．所以X的取值為0，1，2，3.P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,30).P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,10)＋eq\f(1,30)＝eq\f(1,3).10．某市舉辦數(shù)學學問競賽活動，共5000名學生參與，競賽分為初試和復試，復試環(huán)節(jié)共3道題，其中2道單選題，1道多選題，得分規(guī)則如下：參賽學生每答對一道單選題得2分，答錯得0分，答對多選題得3分，答錯得0分，答完3道題后的得分之和為參賽學生的復試成果．(1)通過分析可以認為學生初試成果X聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ＝66，σ2＝144，試估計初試成果不低于90分的人數(shù)；(2)已知小強已通過初試，他在復試中單選題的正確回答率為eq\f(2,3)，多選題的正確回答率為eq\f(1,2)，且每道題回答正確與否互不影響．記小強復試成果為Y，求Y的分布列及數(shù)學期望．附：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.【解析】(1)因為σ2＝144，即σ＝12，又μ＝66，所以μ＋2σ＝66＋2×12＝90，所以P(X≥90)＝P(X≥μ＋2σ)＝eq\f(1,2)(1－0.9544)＝0.0228，所以估計初試成果不低于90分的人數(shù)有0.0228×5000＝114(人).(2)Y的全部可能取值為0，2，3，4，5，7，所以P(Y＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,18)；P(Y＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9)；P(Y＝3)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,18)；P(Y＝4)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9)；P(Y＝5)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9)；P(Y＝7)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(4,18)＝eq\f(2,9)；所以Y的分布列為：Y023457Peq\f(1,18)eq\f(2,9)eq\f(1,18)eq\f(2,9)eq\f(2,9)eq\f(2,9)所以EY＝0×eq\f(1,18)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,18)＋4×eq\f(2,9)＋5×eq\f(2,9)＋7×eq\f(2,9)＝eq\f(25,6).【創(chuàng)新遷移】1．設隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒有零點的概率是eq\f(1,2)，則μ＝()A．1B．4C．2D．不能確定【解析】選B.依據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒有零點時，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，依據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性，當函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒有零點的概率是eq\f(1,2)時，μ＝4.2．為了了解某市高三學生的身體狀況，某健康探討協(xié)會對該市高三學生組織了兩次體測，其中第一次體測的成果(滿分：100分)的頻率分布直方圖如圖所示，其次次體測的成果X～N(65，2.52).(1)試通過計算比較兩次體測成果平均分的凹凸；(2)若該市有高三學生20000人，記體測成果在70分以上的同學的身體素養(yǎng)為優(yōu)秀，假設這20000人都參與了其次次體測，試估計其次次體測中身體素養(yǎng)為優(yōu)秀的人數(shù)；(3)以頻率估計概率，若在參與第一次體測的學生中隨機抽取4人，記這4人成果在[60，80)的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望．附：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.【解析】(1)由頻率分布直方圖可得第一次體測成果的平均分為：0．12×45＋0.2×55＋0.25×65＋0.35×75＋0.06×85＋0.02×95＝65.9；其次次體測的成果X～N(65，2.52)，故其次次體測成果的平均分為65.因為65.9>65，所以第一次體測成果的平均分高于其次次體測成果的平均分．(2)因為X～N(65，2.52)，所以P(X>70)＝eq\f(1－P（60<X≤70）,2)＝eq\f(1－P（μ－2σ<X≤μ＋2σ）,2)＝0．0228，故所求人數(shù)大約為20000×0.0228＝456.(3)依題意(0.025＋0.035)×10＝0.6＝eq\f(3,5)，ξ的可能取值為0，1，