2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章概率1.3全概率公式學(xué)案北師大版選擇性必修第一冊

PAGE1.3全概率公式必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.全概率公式是什么？2．貝葉斯公式與全概率公式有什么聯(lián)系？1.全概率公式設(shè)B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個劃分，若P(Bi)>0(i＝1，2，…，n)，則對隨意一個事務(wù)A有P(A)＝稱上式為全概率公式．在全概率公式的推導(dǎo)過程中，用到了哪些概率公式？提示：互斥事務(wù)概率的加法公式與條件概率的乘法公式．*2.貝葉斯公式設(shè)B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個劃分，若P(A)>0，若P(Bi)>0(i＝1，2，…，n)，則P(Bi|A)＝稱上式為貝葉斯公式．1．辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)全概率公式中樣本空間Ω中的事務(wù)Ai需滿意的條件為＝Ω.()(2)貝葉斯公式是在視察到事務(wù)B已發(fā)生的條件下，找尋導(dǎo)致B發(fā)生的每個緣由的概率．()提示：(1)×.需滿意的條件為AiAj＝?(i≠j)，＝Ω且P(Ai)>0.(2)√.2．已知A，B為樣本空間為Ω中的事務(wù)，BA與Beq\x\to(A)是互斥的，B＝BA＋Beq\x\to(A)，且P(AB)＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(A)B)＝eq\f(1,3)，則P(B)＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,6)D．eq\f(5,6)【解析】選D.由互斥事務(wù)概率的加法公式得，P(B)＝P(AB)＋P(eq\x\to(A)B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).3．設(shè)一倉庫中有10箱同種規(guī)格的產(chǎn)品，其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱，3箱，2箱，三廠產(chǎn)品的廢品率依次為0.1，0.2，0.3從這10箱產(chǎn)品中任取一箱，再從這箱中任取一件產(chǎn)品，則取得正品的概率為________．【解析】設(shè)A為事務(wù)“取得的產(chǎn)品為正品”，B1，B2，B3分別表示“任取一件產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的”，由題設(shè)知P(B1)＝eq\f(5,10)，P(B2)＝eq\f(3,10)，P(B3)＝eq\f(2,10)，P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A))B1)＝0.9，P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A))B2)＝0.8，P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A))B3)＝0.7，所以P(A)＝＝eq\f(5,10)×eq\f(9,10)＋eq\f(3,10)×eq\f(8,10)＋eq\f(2,10)×eq\f(7,10)＝0.83.答案：0.83關(guān)鍵實力·合作學(xué)習(xí)類型一利用全概率公式求概率(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機(jī)取出一球，求從2號箱取出紅球的概率．【思路導(dǎo)引】弄清題意，用全概率公式求解．【解析】設(shè)A：最終從2號箱取出的是紅球，B：從1號箱取出的是紅球，則：P(B)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(B)))＝1－P(B)＝eq\f(1,3)；Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(B))))＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\x\to(B)))))＝eq\f(3,8＋1)＝eq\f(1,3)；所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AB))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A\x\to(B)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(B))))P(B)＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\x\to(B)))))Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(B)))＝eq\f(4,9)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,9)＝eq\f(11,27).全概率公式求概率的關(guān)注點(1)實質(zhì)：為了求困難事務(wù)的概率，往往可以把它分解成若干個互斥的簡潔事務(wù)之和，然后利用條件概率和乘法公式，求出這些簡潔事務(wù)的概率，最終利用概率可加性，得到最終結(jié)果．(2)應(yīng)用：把事務(wù)B看作某一過程的結(jié)果，把A1，A2，…，An…看作該過程的若干個緣由，依據(jù)歷史資料，每一緣由發(fā)生的概率(即P())已知，而且每一緣由對結(jié)果的影響程度(即P(B|))已知，則可用全概率公式計算結(jié)果發(fā)生的概率(即P(B)).【補(bǔ)償訓(xùn)練】有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%，二廠生產(chǎn)的占50%，三廠生產(chǎn)的占20%，又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為2%，1%，1%，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少？【解析】設(shè)事務(wù)A為“任取一件為次品”，事務(wù)Bi：任取一件為i廠的產(chǎn)品，i＝1，2，3.B1∪B2∪B3＝Ω，BiBj＝?，i，j＝1，2，3，i≠j；P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A))B1)＝0.02，P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A))B2)＝0.01，P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A))B3)＝0.01，由全概率公式得，P(A)＝P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A))B1)P(B1)＋P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A))B2)P(B2)＋P(eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(A))B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.(選學(xué))類型二利用貝葉斯公式求概率(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】三部自動的機(jī)器生產(chǎn)同樣的零件，其中機(jī)器甲生產(chǎn)的占40%，機(jī)器乙生產(chǎn)的占25%，機(jī)器丙生產(chǎn)的占35%，已知機(jī)器甲、乙、丙生產(chǎn)的零件分別有10%、5%和1%不合格，現(xiàn)從總產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一個零件，發(fā)覺是不合格品，求：(1)它是由機(jī)器甲生產(chǎn)出來的概率；(2)它是由哪一部機(jī)器生產(chǎn)出來的可能性大．【思路導(dǎo)引】利用貝葉斯公式分別求出不合格產(chǎn)品是由哪一部機(jī)器產(chǎn)出的概率，比較大小即可．【解析】設(shè)B1，B2，B3分別表示事務(wù)：任取的零件為甲、乙、丙機(jī)器生產(chǎn)的，A：抽取的零件是不合格品，由條件知，P(B1)＝0.40，P(B2)＝0.25，P(B3)＝0.35，P(A|B1)＝0.10，P(A|B2)＝0.05，P(A|B3)＝0.01，(1)所求概率為P(B1|A)，P(B1|A)＝≈0.714.(2)類似(1)的計算可得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B2\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A))))≈0.223，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B3\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A))))≈0.063，比較可知是機(jī)器甲生產(chǎn)出來的可能性大．貝葉斯公式的應(yīng)用把事務(wù)B看作某一過程的結(jié)果，把A1，A2，…，An…看作該過程的若干個緣由，依據(jù)歷史資料，每一緣由發(fā)生的概率即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(An))已知，而且每一緣由對結(jié)果的影響程度(即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(An)))))已知，假如已知事務(wù)B已經(jīng)發(fā)生，要求此時是由第i個緣由引起的概率，則用貝葉斯公式(即求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ai\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(B))))).用血清診斷肝癌，臨床實踐表明，患肝癌的病人中有95%試驗呈陽性，也有2%的非肝癌患者化驗呈陽性．若將此法用于人群肝癌普查，設(shè)人群中肝癌患病率0.2%，現(xiàn)某人在普查中化驗結(jié)果呈陽性，求此人確患肝癌的概率．【解析】設(shè)A：被化驗者確患肝癌癥，B：被化驗者結(jié)果呈陽性，則P(B|A)＝0.95，P(B|eq\x\to(A))＝0.02，P(A)＝0.002，P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝0.998，P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝＝eq\f(0.95×0.002,0.95×0.002＋0.02×0.998)≈0.087.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1．(2024·濰坊高二檢測)甲袋中有5只白球，7只紅球；乙袋中有4只白球，2只紅球．從兩個袋中任取一球，則取到的球是白球的概率為()A．eq\f(5,12)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(13,24)【解析】選D.設(shè)事務(wù)A表示“取到的是甲袋”，B表示“取到的是乙袋”，C表示“最終取到的是白球”，則A與B是對立事務(wù)．依據(jù)題意：P(C|A)＝eq\f(5,12)，P(C|B)＝eq\f(2,3)，P(A)＝eq\f(1,2).所以P(C)＝P(C|A)P(A)＋P(C|B)P(B)＝eq\f(5,12)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(13,24).2．設(shè)某工廠有兩個車間生產(chǎn)同型號家用電器，第一車間的次品率為0.15，其次車間的次品率為0.12，兩個車間的成品都混合堆放在一個倉庫，假設(shè)第1，2車間生產(chǎn)的成品比例為2∶3，今有一客戶從成品倉庫中隨機(jī)提一臺產(chǎn)品，則該產(chǎn)品合格的概率為()A．0.6B．0.85C．0.868D．0.88【解析】選C.設(shè)B：從倉庫中隨機(jī)提出的一臺是合格品，Ai：提出的一臺是第i車間生產(chǎn)的，i＝1，2，則有B＝A1B∪A2B，由題意，P(A1)＝eq\f(2,5)，P(A2)＝eq\f(3,5)，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.3．設(shè)某馬路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，則該汽車是貨車的概率為________．【解析】設(shè)B：中途停車修理，A1：經(jīng)過的是貨車，A2：經(jīng)過的是客車，則B＝A1B∪A2B，由貝葉斯公式有P(A1eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(B)))＝eq\f(P（A1）P（B\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A1）)),P（A1）P（B\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A1）＋P（A2）P（B\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(A2）)))))＝eq\f(\f(2,3)×0.02,\f(2,3)×0.02＋\f(1,3)×0.01)＝0.8.答案：0.84．已