福建省部分重點(diǎn)高中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考試題 數(shù)學(xué)含答案

2023—2024學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘總分：150分）試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單選題.（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的.）1.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（）A.1 B.3 C.7 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)確定，然后計(jì)算．【詳解】由題意，，∴，，故選：B．2.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量定義求解即得.【詳解】向量，，則，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A3.如果，，那么直線不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】直線變換為，確定，，得到直線不經(jīng)過的象限.【詳解】由可得，，因?yàn)?，，故?故直線不經(jīng)過第四象限.故選：D4.已知直線與平行，則與的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由兩直線平行的充要條件先求出參數(shù)，即可求出直線的方程，然后由兩平行線之間的距離公式即可求解.【詳解】由題意直線與平行，因此，解得，所以即為，由兩平行線之間的距離可知與的距離為.故選：D.5.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種，這些節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為尺，則小滿日影長(zhǎng)為（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和和等差中項(xiàng)，求得通項(xiàng)公式求解.【詳解】從冬至日起，依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)為，由題意得：，解得，又冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5尺：，所以，所以，所以，故選：B6.動(dòng)圓P過定點(diǎn)M(0，2)，且與圓N：相內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，結(jié)合雙曲線的定義得出動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.【詳解】圓N：的圓心為，半徑為，且設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則，即.即點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，焦距長(zhǎng)為，實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為的雙曲線上，且點(diǎn)在靠近于點(diǎn)這一支上，故動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是故選：A7.已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為.若點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，軸，且，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，，然后可得，然后結(jié)合和可得，解出即可.【詳解】由題意可得，所以，所以所以，所以，所以所以，所以，解得或因?yàn)?，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是橢圓離心率的求法，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.8.若曲線與曲線的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】曲線看成兩條曲線問題，與半圓交點(diǎn)有三個(gè)，即可求解k的取值范圍.【詳解】曲線可得或曲線,由，可得;那么，即,圓心為，半徑為1，作出圖象如下，通過圖象可知與曲線交于A，只有一個(gè)交點(diǎn);那么與曲線必有2個(gè)交點(diǎn);直線恒過(0，3）點(diǎn)，當(dāng)直線與曲線相切于B點(diǎn)時(shí)，可得，解得或舍；當(dāng)直線恰好過A點(diǎn)時(shí)，可得;所以恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍為故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：原方程轉(zhuǎn)化為兩條曲線，作出的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出動(dòng)直線的極限位置是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求.）9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.不是等差數(shù)列 B.C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)即可求出數(shù)列的通項(xiàng)，再根據(jù)等差數(shù)列得定義和前項(xiàng)和公式逐一判斷即可.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以，故B正確；因?yàn)椋允堑炔顢?shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，，因?yàn)?，所以?shù)列是等差數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知點(diǎn)P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線l過點(diǎn)，過l上一點(diǎn)Q作圓O的切線QC，QD，切點(diǎn)分別為C，D，則下列說法正確的有()A.當(dāng)∠PAB最大時(shí)，B.點(diǎn)P到l的距離的最大值為C.四邊形CQDO的面積的最小值為9D.四邊形CQDO的面積最小時(shí)，直線OQ的方程為【答案】BC【解析】【分析】選項(xiàng)A，當(dāng)PA與圓相切時(shí)，∠PAB最大；選項(xiàng)B，點(diǎn)P到l最大距離為圓心到直線l的距離加上半徑；選項(xiàng)C，D，當(dāng)時(shí)，四邊形CQDO的面積最小.【詳解】對(duì)于A，如圖1，當(dāng)PA與圓相切時(shí)，∠PAB最大，設(shè)圓半徑為，,，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由已知直線l的方程為，當(dāng)點(diǎn)P到l的距離最大時(shí)，最大距離為圓心到直線l的距離加上半徑，即為，故B正確；對(duì)于C，如圖2，QC，QD是圓O的切線，則，，四邊形CQDO的面積，四邊形CQDO的面積最小時(shí)，即為取最小，又，即，所以當(dāng)最小時(shí)，取最小，即當(dāng)時(shí)，，則，四邊形CQDO的面積的最小值為9，故C正確；對(duì)于D，四邊形CQDO的面積最小時(shí)，，直線OQ的斜率為，方程為，故D錯(cuò)誤；故答案為：BC.11.已知拋物線：（）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，，則（）A.的準(zhǔn)線方程為B.若，則C.若，則的斜率為D.過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若軸平分，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)拋物線幾何意義求出，即可得到拋物線的方程，再根據(jù)拋物線的定義判斷A、B、D，設(shè)，，，，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元列出韋達(dá)定理，根據(jù)焦半徑公式計(jì)算即可判斷C；【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€：（）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以，所以拋物線方程為，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，故A錯(cuò)誤；若，則，所以，所以，故B正確；可設(shè)，，，，直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，消去，可得，可得，，由拋物線的定義可得即，即，解得，則直線的斜率為，故C正確；對(duì)于D，若軸平分，則，又軸，所以，所以，所以，即，所以，故D正確；故選：BCD12.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方體上底面上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.滿足平面的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為B.滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.存在唯一點(diǎn)滿足D.存在點(diǎn)滿足【答案】ABC【解析】【分析】利用線面平行的判定定理可以證得點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，且，，進(jìn)而對(duì)BCD各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證即可判斷并得到答案．【詳解】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)知，平面，平面所以平面，同理平面，，平面，所以平面平面，又平面，平面，故點(diǎn)的軌跡為線段，故A正確；以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)且，，，，，對(duì)于B，，即，又，，則點(diǎn)的軌跡為線段，，且，故B正確；對(duì)于C，，顯然，只有，時(shí)，，即，故存在唯一的點(diǎn)滿足，故C正確；對(duì)于D，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的為，三點(diǎn)共線時(shí)線段和最短，故，故不存在點(diǎn)滿足，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本大題共4小題，共20分.）13.以點(diǎn)為圓心，且與軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得出半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】以點(diǎn)為圓心，且與軸相切圓的半徑為1，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：14.已知拋物線：，直線：交于兩點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)是_______．【答案】5【解析】【分析】聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可得解.【詳解】設(shè)，聯(lián)立，消得，，則，所以.故答案為：.15.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6，4)，則|PM|+|PF1|的最大值為____.【答案】15【解析】【分析】利用橢圓的定義得|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|)求解.【詳解】如圖所示：在橢圓+=1中，a=5，b=4，c=3，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(-3，0)，F(xiàn)2(3，0).|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|).∵|PM|-|PF2|≤|MF2|，當(dāng)且僅當(dāng)P在直線MF2上時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)點(diǎn)P與圖中的點(diǎn)P0重合時(shí)，有(|PM|-|PF2|)max=|MF2|==5，此時(shí)|PM|+|PF1|取最大值，最大值為10+5=15.故答案為：1516.已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則_______．【答案】506【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列遞推公式可知，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可分組求和，利用累加法即可求得結(jié)果.【詳解】由遞推公式可得，；；……；而.故答案為：506.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即可出現(xiàn)分組求和.四．解答題（本大題共6小題，共70分.）17.已知圓的圓心為，半徑為3，是過點(diǎn)的直線．（1）求圓的方程，并判斷點(diǎn)是否在圓上，證明你的結(jié)論；（2）若圓被直線截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程．【答案】（1），點(diǎn)P不在圓上．證明見解析（2）或．【解析】【分析】（1）圓心到點(diǎn)的距離與半徑比較即可；（2）分直線l的斜率不存在與存在兩種情形討論即可.【小問1詳解】圓C的方程為：點(diǎn)P不在圓上．證明如下：∵，∴由圓的定義可知點(diǎn)P是在圓C的內(nèi)部，不在圓上；【小問2詳解】由直線與圓的位置關(guān)系可知，圓心C到直線l的距離，①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)，滿足題意；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為，即，又∵，解得，此時(shí)直線l為，綜上所述：直線l的方程為或．18.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）78【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，∴，解得，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）知，.所以.由二次函數(shù)的性質(zhì)知，對(duì)稱軸方程為，開口向下，所以，當(dāng)取與最近的整數(shù)即時(shí)，最大值，最大值為.19.已知雙曲線的離心率為2，且過點(diǎn).（1）求C的方程；（2）若斜率為的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)M，若Q為PM的中點(diǎn)，求l的方程.【答案】（1）（2）（或）【解析】【分析】（1）由離心率可得，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入方程可得，解方程組即可求解.（2）設(shè)，，，由題意可得，設(shè)l的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去，利用韋達(dá)定理即可求解；將直線與橢圓方程聯(lián)立消去，利用韋達(dá)定理也可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，?將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，得，解得，故C的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，，因?yàn)镼為PM的中點(diǎn)，所以.因?yàn)橹本€l的斜率為，所以可設(shè)l的方程為，聯(lián)立得，，由韋達(dá)定理可得，.因?yàn)?，所以，解得，，解得，即，故l的方程為.在第（2）問中，若未寫判別式大于0，但寫到“由，得l與C必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”，另外本問還可以通過聯(lián)立方程消去y求解，其過程如下：設(shè)，，l的方程為，聯(lián)立得，，由韋達(dá)定理可得，.因?yàn)镼為PM的中點(diǎn)，所以，則，，解得，，，解得，即，故l的方程為（或）.20.在三棱錐中，底面與側(cè)面均為正三角形，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）為線段上一點(diǎn)，且，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可；或根據(jù)面面垂直的判定定理、線面垂直的判定定理進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】解法1：因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，M為AB的中點(diǎn)，所以，，同理，，又，因?yàn)?，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；解?：因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，M為AB的中點(diǎn)，所以且平面，所以平面平面，所以；【小問2詳解】因?yàn)槭钦切危琈為AB的中點(diǎn)，所以，又，，故以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)槠矫?，平面，所?在中，因?yàn)镹為線段PA上一點(diǎn)，設(shè)，則，所以，又，所以，解得，所以.或設(shè)，則又，，由得由得，設(shè)面的法向量為，，取設(shè)面的法向量為，，取設(shè)二面角的大小為，則，所以，，二面角的正弦值為1.另解：在中，，所以，所以，又，所以平面，平面，所以.在中，,在邊長(zhǎng)為2的正中，取中點(diǎn)，則，又是的中點(diǎn)，所以，所以是的中點(diǎn)，則.在中,,在中，，所以，所以，，又，所以平面平面，所以平面平面，所以二面角的大小為，二面角的正弦值為1.21.已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，且點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離不大于，過點(diǎn)作斜率存在的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（在第一象限），過點(diǎn)作斜率為的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：直線BC過定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由利用距離公式構(gòu)建方程即可求得值；（2）過點(diǎn)，則可設(shè)的方程為，并與拋物線聯(lián)立可得，若，則可知，消得，由斜率為可得，代入消可得將他代入的方程為即可求得必過點(diǎn).【小問1詳解】焦點(diǎn)，又∵，且點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離不大于，即∴∴拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】依題意直線斜率存在且過點(diǎn)，則可設(shè)的方程為，由，化簡(jiǎn)得：，設(shè)，則由韋達(dá)定理可知，消去得：①又，則②由①②得，∴③由于（?。┤糁本€沒有斜率，則，又，∴（舍去）（ⅱ）若直線有斜率，直線的方程為，即，將③代入得，∴，故直線有斜率時(shí)過點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：我們?cè)谔幚碇本€與拋物線相交問題時(shí)，通常使用聯(lián)立方程設(shè)而不求韋達(dá)定理處理，最終利用橫（縱）坐標(biāo)的和與積的轉(zhuǎn)換來處理；拋物線上兩點(diǎn)斜率一般可用拋物線方程轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之和來表示，如上兩點(diǎn)的斜率.22.已知圓：，是圓上的點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，且的垂直平分線與交于點(diǎn)，記的軌跡為．（1）求的方程；（2）坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)分別為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別為，過的直線與交于點(diǎn)，直線相交于點(diǎn)．請(qǐng)從下列結(jié)論中，選擇一個(gè)正確的結(jié)論并給予證明．①的面積是定值；②的面積是定值；③的面積是定值．【答案】（1）（2）結(jié)論③正確，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)為的垂直平分線上的點(diǎn)，垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等，則可判斷到、的距離之和為半徑，又因?yàn)椋瑒t判斷點(diǎn)的軌跡為橢圓.（2）證明③的結(jié)論過點(diǎn)的直線與橢圓聯(lián)立表示、兩點(diǎn)，再設(shè)出直線并求出交點(diǎn)的表示，則即可判斷、、為頂點(diǎn)的三角形面積.【小問1詳解】由題意得，圓的圓心坐標(biāo)又因?yàn)殛P(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則．因?yàn)闉榈拇怪逼椒志€上的點(diǎn)，所以所以，所以點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓．設(shè)：，其中，．由題可知：則，，，．故的方程為：小問2詳解】法一：結(jié)論③正確．若證：的面積是定值．由題意得，，，，，且直線的斜率不為0，可設(shè)直線：，，且，．由，得，所以，所以.直線的方程為：，直線的方程為