2023-2024學年（上）高一級期中考試數(shù)學含答案

2023—2024學年（上）高一級期中考試數(shù)學本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考號填寫在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在另發(fā)的答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷和答題卡一并收回.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設集合,則A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由已知得，，故，選B．考點：集合的運算．2.函數(shù)的定義域為（）A. B.C.或 D.【答案】B【解析】【分析】利用給定函數(shù)有意義，列出不等式組求解即得.【詳解】函數(shù)有意義，，解得，所以函數(shù)的定義域為.故選：B3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合復合函數(shù)單調(diào)性法則求解即得.【詳解】函數(shù)的定義域為R，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而函數(shù)在R上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：A4.使不等式成立的一個充分不必要條件是（）.A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解出不等式，進而可判斷出其一個充分不必要條件．【詳解】解：不等式，，解得，故不等式的解集為：，則其一個充分不必要條件可以是，故選：．【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應集合是對應集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對應集合是對應集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應集合與對應集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對的集合與對應集合互不包含．5.已知，，，則A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】因為，，，因為冪函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，因為指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即b<a<c.故選：A.6.函數(shù)在的圖像大致為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由的近似值即可得出結(jié)果．【詳解】設，則，所以是奇函數(shù)，圖象關于原點成中心對稱，排除選項C．又排除選項D；，排除選項A，故選B．【點睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計算特殊函數(shù)值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．7.已知函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可求得函數(shù)的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，①又因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，②聯(lián)立①②可得，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，故函數(shù)的最小值為.故選：B.8.對于函數(shù)，若對任意的，，，，，為某一三角形的三邊長，則稱為“可構(gòu)成三角形的函數(shù)”，已知是可構(gòu)成三角形的函數(shù)，則實數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷的奇偶性，然后對進行分類討論，結(jié)合的單調(diào)性、最值求得的取值范圍.【詳解】，，當時，，的定義域為，，所以是偶函數(shù)，為偶函數(shù)，只需考慮在上的范圍，當時，在單調(diào)遞減，對，，，恒成立，需，，.當，在上單調(diào)遞增，，對，，，恒成立，，，，綜上：故選：B二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.冪函數(shù)為奇函數(shù)C.的單調(diào)減區(qū)間為D.函數(shù)的圖象與y軸的交點至多有1個【答案】ABD【解析】【分析】由存在量詞命題否定的定義判斷A；利用冪函數(shù)的定義及奇函數(shù)的概念判斷B；由判斷C；由函數(shù)的定義判斷D.【詳解】對于A項，由存在量詞命題的否定的定義可知，命題“，”的否定是“，”，A正確；對于B項，由冪函數(shù)的概念有，則或，當時，為奇函數(shù)，當時，為奇函數(shù)，所以選項B正確；對于C項，由可知，C錯誤；對于D項，由函數(shù)的定義可知，若在定義域內(nèi)，則有且只有一個與之對應，即函數(shù)的圖象與軸的交點只有一個，若不在定義域內(nèi)，則函數(shù)的圖象與軸無交點，所以函數(shù)的圖象與軸的交點至多有1個，D正確.故選：ABD10.若，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用作差法即可判斷A，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷B，舉反例即可判斷C，根據(jù)均值不等式即可判斷D.【詳解】對于A項，因為，則，，所以，A項正確；對于B項，因為，所以，所以，所以，B項正確；對于C項，令，，則，C錯誤；對于D項，由均值定理即可得到，D項正確．故選：ABD．11.已知函數(shù)的定義域為R，對任意的實數(shù)x，y，有，且當時，，則（）AB.對任意的，恒成立C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.若，則不等式的解集為【答案】BCD【解析】【分析】對選項A，首先令得到或，再根據(jù)時，，即可得到，即可判斷A錯誤，對選項B，令即可判斷B正確，對選項C，首先根據(jù)題意得到在R上恒大于0，在利用函數(shù)單調(diào)性的定義設任意R，且，得到，即判斷C正確，對選項D，根據(jù)題意得到，再結(jié)合的單調(diào)性求解即可.【詳解】對選項A，令，則，解得或，令，，則.因為時，，所以，即不符合題意.所以，故A錯誤.對選項B，令，所以，故B正確.對選項C，當時，，所以.令，所以，即又因為，時，，所以在R上恒大于0.設任意R，且，則，所以.，即，在R上為增函數(shù)，故C正確.對選項D，因為，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，故D正確.故選：BCD12.已知函數(shù)，若存在實數(shù)使得方程有四個互不相等的實數(shù)根，則下列敘述中正確的有（）A. B. C. D.有最小值【答案】ABD【解析】【分析】畫出與的圖象，根據(jù)圖象對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】畫出與的圖象如下圖所示，由圖可知，依題意可知，，所以，所以，A選項正確.由是方程的兩個不相等實數(shù)根，即是方程的兩個不相等實數(shù)根，所以，B選項正確.由圖可知，當直線向下移動時，存在，使，C選項錯誤.，當且僅當時等號成立，D選項正確.故選：ABD【點睛】本小題主要的難點有三個，一個是化的圖象，主要是含有絕對值的函數(shù)以及對鉤函數(shù)的圖象；一個是的關系以及的關系；一個是基本不等式求最值，要注意等號成立的條件.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.若冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實數(shù)的值為______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)和形式可得滿足的條件，從而可求實數(shù)的值.【詳解】因為為冪函數(shù)且在上為增函數(shù)，所以，故.故答案為：2.【點睛】本題考查冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，注意冪函數(shù)的一般形式為，當且僅當時冪函數(shù)在為增函數(shù)，本題屬于基礎題.14.若函數(shù)是奇函數(shù)，，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)定義域關于原點對稱求出，再由求出即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得，解得，又，代入解得，當時，，滿足題意，所以.故答案為：15.設函數(shù)則滿足的x的取值范圍是____________.【答案】【解析】【詳解】由題意得：當時，恒成立，即；當時，恒成立，即；當時，，即.綜上，x取值范圍是.【名師點睛】分段函數(shù)的考查方向注重對應性，即必須明確不同的自變量所對應的函數(shù)解析式是什么，然后代入該段的解析式求值.解決此類問題時，要注意區(qū)間端點是否取到及其所對應的函數(shù)值，尤其是分段函數(shù)結(jié)合點處的函數(shù)值.16.函數(shù)的定義域為R，滿足，且當時，，若對任意的，都有，則m的取值范圍是_______【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件依次得到在附近的區(qū)間，、對應的函數(shù)解析式，然后按其規(guī)律畫出函數(shù)的圖像，再根據(jù)不等式恒成立的意義與函數(shù)圖像即可求得實數(shù)m的取值范圍【詳解】當時，，則，當時，，則，當時，，則，由此作出圖象如圖所示，由圖知當時，令，整理得：，解得：或，要使對任意的，都有，必有，所以m的取值范圍是，故答案為：【點睛】本題主要考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的圖象，不等式恒成立問題，考查分類討論，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.求下列各式的值（寫出化簡步驟）（1）；（2）【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì),化簡即可得解；（2）根據(jù)換底公式化簡即可得解.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】原式.18.用分數(shù)指數(shù)冪表示并計算下列各式（式中字母均正數(shù)），寫出化簡步驟.（1）；（2）【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）（2）將根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再根據(jù)冪的運算法則計算可得.【小問1詳解】.【小問2詳解】.19.已知集合，集合或，全集.（1）若，求;（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題知，再根據(jù)集合運算求解即可；（2）根據(jù)題意得或，再解不等式即可得答案.【小問1詳解】解：當時，，所以，又或，所以.【小問2詳解】因為，或，，所以或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是.20.求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）令進行換元，然后由二次函數(shù)性質(zhì)可解；（2）分離常數(shù)，然后利用反比例函數(shù)單調(diào)性可解；（3）分離常數(shù)，利用對勾函數(shù)和反比例函數(shù)單調(diào)性可解.【小問1詳解】令，則，，所以，所以的值域為.【小問2詳解】，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以的值域為.【小問3詳解】,令，則，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，所以，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知，在單調(diào)遞減，所以，即的值域為.21.已知函數(shù)．（1）試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明；（2）若，使成立，求實數(shù)的范圍．【答案】（1）單調(diào)遞減；證明見解析（2）【解析】【分析】（1）運用定義法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可；（2）將能成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，結(jié)合單調(diào)性求解最值.【小問1詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞減,證明如下：設，則∵，∴，，，∴，∴所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減．【小問2詳解】由（1）可知在上單調(diào)遞減，所以，當時，取得最小值，即，又，使成立，∴只需成立，即，解得．故實數(shù)的范圍為．22.已知函數(shù)．（1）若不等式的解集是空集，求m的取值范圍；（2）當時，解不等式；（3）若不等式的解集為D，若，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）分和兩種情況討論即可；（2）由，因式分解得，再從分類討論即可；（3）由不等式的解集為，且，可得對任意的，不等式恒成立，分離參數(shù)得恒成立，在分離常數(shù)結(jié)合基本不等式求出的最大值即可.【小問1詳解】當時，即，則由，得，不合題意，當，即時，由不等式的解集為得，解得，所以的取值范圍為；【小問2詳解】因為，所以，即，當，即時，解得，所以不等式的解集為，當，即時，，因為，所以不等式的解集為，當，即時，，因為，所以，所以，所以不等式的解集為，綜上，當，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；【小問3詳解】因為不等式的解集為，且，所以對任意的，不等式恒成立，即，因為，所以恒成立，令，則，，所以，由基本不等式可得，當且僅當，即時取等號，所以當時，取最大值，最大值為，所以的取值范圍為.【點睛】結(jié)論點睛：利用二次不等式在實數(shù)集上恒成立，可以利用以下結(jié)論來求解：設①在上恒成立，則；②在上恒成立，則；③在上恒成立，則；④在上恒成立，則.23.已知定義在上的函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)的定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱為局部對稱函數(shù)，其中為函數(shù)的局部對稱點．若是的局部對稱點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用換元法，對的取值范圍進行分類討論，結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性可求得實數(shù)的取值范圍；（2）由分離參數(shù)，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)基本性質(zhì)可求得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：當時，令，則，因為內(nèi)層函數(shù)在上為增函數(shù)，且函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，當時，則函數(shù)在上為減函數(shù)，不合乎題意，當時，要使得函數(shù)在上為增函數(shù)