廣東省深圳市光明區(qū)2023-2024學年高一上學期期中數(shù)學試題含答案

2023-2024學年度第一學期高一期中考試（數(shù)學）試卷注意事項：1.答題前填寫好自己的姓名?班級?考號等信息.2.請將答案正確填寫在答題卡上.第I卷（選擇題）一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列各結(jié)論中，正確的是（）A.是空集 B.是空集C.與是不同的集合 D.方程的解集是【答案】B【解析】【分析】按照集合的定義逐個判斷即可.【詳解】是以0為元素的非空集合，故A錯誤；的，無實數(shù)根，故B正確；相同集合的元素順序可以不同，故C錯誤；同一集合不能有相同元素，故D錯誤.故選：B.2.命題“,”的否定是（）A., B.,C., D.,或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題即可得到結(jié)果.【詳解】命題“,”是存在量詞命題,又,所以其否定為全稱量詞命題,即為“,或”.故選:D.3.若，則下列不等式不能成立是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項判斷.【詳解】對于A：由得，則，即，故A成立；對于B：由得，則根據(jù)不等式的性質(zhì)有，即，故B成立；對于C：由得，則，進而，故C成立；對于D：由可得，故D不成立.故選：D.4.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】舉出反例得到充分性不成立，兩邊平方得到必要性成立.【詳解】若，滿足，不能得到，充分性不成立，因為，若，兩邊平方得，必要性成立.則“”是“”的必要不充分條件.故選：B．5.若不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將不等式在上有解，轉(zhuǎn)化為不等式在上有解求解.【詳解】因為不等式在上有解，所以不等式在上有解，令，則，所以，所以實數(shù)的取值范圍是故選：B6.如圖的曲線是冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象.已知分別取四個值，與曲線相應的依次為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】作直線分別與曲線相交，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】因為函數(shù)為增函數(shù)，所以，所以作直線分別與曲線相交，交點由上到下分別對應的n值為，由圖可知，曲線相應n值為.故選：A7.已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用一次函數(shù)與二次函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)得到關于的不等式組，從而得解.【詳解】因為函數(shù)是上的減函數(shù)，所以，解得，即實數(shù)a的取值范圍為.故選：C.8.若關于x的不等式對恒成立，則a的取值集合為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)含參一元不等式恒成立對分類討論即可得a的取值集合.【詳解】當時，不等式化為對恒成立；當，要使得不等式對恒成立，則，解得綜上，a的取值集合為.故選：D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)集合的運算逐個判斷即可.【詳解】或，對于A：易知，所以A正確；對于B：，所以B錯誤；對于C：，所以，所以C正確；對于D：或，所以，所以，所以D錯誤，故選：AC.10.下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的有（）A. B.C. D.，【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)同一函數(shù)的定義，分別判斷即可．【詳解】對于A，可知兩個函數(shù)的定義域均為R，且，故A正確；對于B，的定義域為，的定義域為，故B錯誤；對于C，的定義域為，的定義域為，且,故C正確；對于D，可知兩個函數(shù)的定義域均為R，且，故D正確．故選：ACD．11.下列結(jié)論中，所有正確的結(jié)論有（）A.若，則B.當時，的最小值為C.若，則的最小值為D.若，，則【答案】AD【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)及基本不等式，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】對于A，因為，所以，因此在不等式兩邊同乘得，故A正確；對于B，當，即時，,當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為，故B不正確；對于C、令．因為，所以，而，因此的最小值就是函數(shù)的最小值．又因為由對勾函數(shù)的性質(zhì)知：函數(shù)在是增函數(shù)，當時，函數(shù)取得的最小值為，即的最小值為，故C不正確；對于D，因為，，所以，當且僅當，即時，等號成立，因此，故D正確．故選：AD．12.若函數(shù)同時滿足：（1）對于定義域內(nèi)的任意，有；（2）對于定義域內(nèi)的任意，，當時，有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．給出下列四個函數(shù)是“理想函數(shù)”的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】先根據(jù)題目條件得到為奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，A選項，為偶函數(shù)，A錯誤；B選項，根據(jù)函數(shù)奇偶性得到為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減；C選項，在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞減，C錯誤；D選項，根據(jù)函數(shù)奇偶性得到為奇函數(shù)，且由二次函數(shù)的單調(diào)性得到單調(diào)遞減,D正確.【詳解】由（1）可知，為奇函數(shù)，由（2）可知，在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，對于A，定義域為R，又，故為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，定義域為R，又，故為奇函數(shù)，又在R上單調(diào)遞減，滿足要求，B正確；對于C，分別在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞減，C錯誤；對于D：，，所以奇函數(shù)；根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，易知在和都是減函數(shù)，且在處連續(xù)，所以在上是減函數(shù)，所以是“理想函數(shù)”，D正確.故選：BD第II卷（非選擇題）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的定義域是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，結(jié)合分母不為零、零指數(shù)冪的定義進行求解即可.【詳解】函數(shù)，則，即，即定義域是.故答案為：14.計算：＝______.【答案】44【解析】【分析】利用分數(shù)指數(shù)冪運算法則計算出答案.【詳解】.故答案是：44.15.已知函數(shù)滿足，且，則__________.【答案】【解析】【分析】用替換,再解方程組可得答案.【詳解】由①，用替換，得②，①×2－②，得，得.故答案為：.16.對任意，給定，，記函數(shù)，則的最小值是__________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)定義及一次函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性計算最小值即可.【詳解】由定義可知當時，解之得，此時，當時，則，解之得或，此時，綜上，易知在上單調(diào)遞減，最小值為4，在取得；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，綜上的最小值是4.故答案為：4.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.集合，（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解絕對值不等式求集合A，再由并集運算求；（2）由題設有，討論、求參數(shù)范圍即可.【小問1詳解】由題設，，所以.【小問2詳解】由，當時，；當時，；綜上，.18.已知函數(shù).（1）若的解集為，求的值；（2）當時，解不等式.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）由題設是方程的兩根，結(jié)合根與系數(shù)關系求參數(shù)，注意驗證；（2）由題設可得，討論、、求對應解集即可.【小問1詳解】由題設解集為，則是方程的兩根，所以，經(jīng)驗證滿足題設，所以.【小問2詳解】由題設且，所以，當，即時，解集為；當，即時，解集為；當，即時，解集為.19.函數(shù)，且（1）求的值；（2）證明：為奇函數(shù)；（3）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并加以證明【答案】19.20.證明見解析21.函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)直接帶入求解；（2）根據(jù)奇函數(shù)定義證明即可；（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷和證明即可.【小問1詳解】因為函數(shù)，且，所以，所以.【小問2詳解】由（1）知，，定義域關于原點對稱，又因為，即，所以為上的奇函數(shù).【小問3詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明如下：任取，且，因為，則，因為，且，所以，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減20.已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù)．（1）求m的值；（2）求函數(shù)在的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)得到或，再驗證奇偶性得到答案.（2）確定，函數(shù)在上單調(diào)遞增，計算最值得到值域.【小問1詳解】函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得或；當時，為奇函數(shù)，滿足條件；當時，為偶函數(shù)，不滿足條件，舍去.綜上所述：.【小問2詳解】，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，，故值域為21.如圖所示，將一矩形花壇擴建成一個更大的矩形花壇，要求點在上，點在上，且對角線過點，已知米，米.（1）設的長為米，試用表示矩形的面積；（2）當?shù)拈L度是多少時，矩形花壇的面積最小?并求出最小值.【答案】（1）（2）的長為2米時，矩形花壇的面積最小，最小值為24平方米.【解析】【分析】（1）設的長為米，則米，由得到AM，然后由求解；（2）由，利用基本不等式求解.【小問1詳解】解：設的長為米，則米，∵，∴，∴；【小問2詳解】記矩形花壇的面積為，則，當且僅當，即時取等號，故的長為2米時，矩形花壇的面積最小，最小值為24平方米.22.函數(shù)對任意實數(shù)恒有，且當時，.（1）判斷的奇偶性；（2）求證：是上的減函數(shù)；（3）若，解關于的不等式.【答案】（1）奇函數(shù)（2）證明見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題設條件，利用特殊值法、奇偶性的定義分析運算即可得解.（2）根據(jù)題設條件，利用單調(diào)性的定義分析運算即可得證；（3）根據(jù)題設條件將不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分類討論法運算即可得解.小問1詳解】解：由題意，函數(shù)對任意實數(shù)恒有，令得，解得：.取，則由得，∴，即，∴函數(shù)是奇函數(shù).【小問2詳解】證明：任取，且，則，∵當時，，∴，由得，∴，∴，∴是上的減函數(shù).【小問3詳解】解：由得，由得，則，∴不等式可化為，∵是上的減函數(shù)，∴，即………①.（i）當時，不等式①式即為，解得：，即原不等式解集為；（ii）當時，不等式①式化為，即，若，上式不等式即為，解得：，即原不等式解集為；若，則，原不等式解集為；若，則，原不等式解集為；（iii）當時，不等式①式化為，即，∵此時，∴原不等式解集為；綜上，當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集為；當時，原不等式解集