廣西欽州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

廣西欽州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（每小題5分，共40分）1.某小組有三名女生，兩名男生，先從這個(gè)小組中任意選一人當(dāng)組長(zhǎng)，則女生小麗當(dāng)選為組長(zhǎng)的概率是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式可得.【詳解】從這個(gè)小組中任選一人當(dāng)組長(zhǎng)，有5種選法，其中選小麗當(dāng)組長(zhǎng)只有一種選法，根據(jù)古典概型的概率公式可得所求概率為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.2.法國(guó)有個(gè)名人叫做布萊爾·帕斯卡，他認(rèn)識(shí)兩個(gè)賭徒，這兩個(gè)賭徒向他提出一個(gè)問(wèn)題，他們說(shuō)，他們下賭金之后，約定誰(shuí)先贏滿5局，誰(shuí)就獲得全部賭金700法郎，賭了半天，甲贏了4局，乙贏了3局，時(shí)間很晚了，他們都不想再賭下去了.假設(shè)每局兩賭徒輸贏的概率各占，每局輸贏相互獨(dú)立，那么這700法郎如何分配比較合理（）A.甲400法郎，乙300法郎 B.甲500法郎，乙200法郎C.甲525法郎，乙175法郎 D.甲350法郎，乙350法郎【答案】C【解析】【分析】通過(guò)分析甲可能獲勝的概率來(lái)分得獎(jiǎng)金，假定再賭一局，甲獲勝的概率為；若再賭兩局，甲才獲勝的概率為，從而得甲獲勝的概率為，可得出獎(jiǎng)金的分配金額.【詳解】假定再賭一局，甲獲勝的概率為；若再賭兩局，甲才獲勝的概率為，∴甲獲勝的概率為，∴甲應(yīng)分得：（法郎），乙應(yīng)分得：（法郎）.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查概率知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵在于明確概率的原理，以達(dá)到理論聯(lián)系實(shí)際，屬于中檔題.3.下列敘述隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系中，說(shuō)法正確的是A.頻率就是概率 B.頻率是隨機(jī)，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)C.概率是穩(wěn)定的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān) D.概率是隨機(jī)的，與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)頻率、概率的概念，可得結(jié)果.【詳解】頻率指的是：在相同條件下重復(fù)試驗(yàn)下，事件A出現(xiàn)的次數(shù)除以總數(shù)，是變化的概率指的是：在大量重復(fù)進(jìn)行同一個(gè)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是事件A的概率，是不變的故選：C【點(diǎn)睛】本題考查頻率與概率的區(qū)別，屬基礎(chǔ)題.4.已知復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，則虛部為（）A B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，先求解，根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)求解，即可求解的虛部.【詳解】解：因?yàn)?，故，所以在?fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故，的虛部為-1.故選：A.5.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解復(fù)數(shù)，得到，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，則，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限.故選：D．6.在復(fù)平面內(nèi)，下列命題是真命題的是（）A.若復(fù)數(shù)z滿足R，則RB.若復(fù)數(shù)z滿足R，則RC.若復(fù)數(shù)，滿足R，則D.若復(fù)數(shù)R，則【答案】A【解析】【分析】A選項(xiàng)，設(shè)復(fù)數(shù)為，表達(dá)出，根據(jù)得到，A正確；BCD選項(xiàng)，舉出反例；【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)復(fù)數(shù)，，則，若，則，所以，A為真命題；B選項(xiàng)，若復(fù)數(shù)，則，但，故B為假命題；C選項(xiàng)，若復(fù)數(shù)，，滿足，但，C為假命題；D選項(xiàng)，如果，則無(wú)意義，D為假命題.故選：A.7.已知復(fù)數(shù)z=（為虛數(shù)單位），則|z|=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)得，即得解.【詳解】解：由題得z=，所以|z|=.故選：A8.已知為虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【詳解】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)得到復(fù)數(shù)為，即得解.【點(diǎn)睛】解：，所以該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D二、多選題（每小題6分，共18分）9.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，原點(diǎn)為O，為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則或B.若點(diǎn)Z的坐標(biāo)為，且是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則C.若，則的虛部為D.若，則點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為【答案】BD【解析】【分析】舉反例可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)相等列方程組可解p、q，然后可判斷B；由虛部概念可判斷C；利用兩圓面積相減可判斷D.【詳解】A中，令，則，故A錯(cuò)誤；B中，若點(diǎn)Z的坐標(biāo)為，則，所以，整理得，所以，解得，所以，故B正確；C中，易知的虛部為，故C錯(cuò)誤；D中，記，則所以，圓的面積為，圓的面積為，所以點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為，故D正確.故選：BD10.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.z的虛部為-3 B.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算求解復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】解：由可得，故z的虛部為3，A錯(cuò)誤；z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限，B正確；，C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.下列命題為真命題的是（）A.若，為共扼復(fù)數(shù)，則為實(shí)數(shù)B.若為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，則C.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn).復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可判斷A項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算可判斷B項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷C項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念可判斷D項(xiàng).【詳解】解：設(shè)，則，故，故A正確；因?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以在第三象限，故C正確；因?yàn)?，其共軛?fù)數(shù)為，故D錯(cuò)誤；故選：AC.第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共15分）12.已知復(fù)數(shù)滿足，的虛部為－2，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則_________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)題干中的條件列方程組求解的值即可.【詳解】解：設(shè)復(fù)數(shù)，則，所以，又，且的虛部為-2，則，因?yàn)樗鶎?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，即點(diǎn)在第二象限，所以，故，解得，故.故答案為：.13.若|，則的最小值為_____.【答案】1【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得，則，即可求解.【詳解】設(shè)，則.所以，即，所以，所以，故當(dāng)時(shí)，的最小值為1.故答案為：1.14.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的實(shí)部為________．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，進(jìn)而確定其實(shí)部.【詳解】由，則實(shí)部為：，故答案為：.四、解答題（共77分）15.化簡(jiǎn)：，，，，，，，．【答案】.【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的乘方法則即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)乘方法則可知，所以，，，，，，，.16.求適合下列方程的實(shí)數(shù)x，y的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等即可得到方程組，解出即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得，解得.【小問(wèn)2詳解】由題意得，解得.17.已知復(fù)數(shù)z滿足，的虛部是2，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A在第一象限，（1）求z的值；（2）若在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，求cos∠ABC.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出，利用復(fù)數(shù)的模和的虛部列出方程組，求出z的值；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，得到和對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算的三角表示及其幾何意義求出答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，，則，由題意得，故，因?yàn)閦對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A在第一象限，所以，解得，故；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，因?yàn)?，且的輻角為，所?8.一個(gè)小組的3個(gè)學(xué)生在分發(fā)數(shù)學(xué)作業(yè)時(shí)，從他們3人的作業(yè)中各隨機(jī)地取出了一份作業(yè)．（1）每個(gè)學(xué)生恰好拿到自己作業(yè)的概率是多少？（2）3個(gè)學(xué)生不都拿到自己作業(yè)的概率是多少？（3）每個(gè)學(xué)生拿的都不是自己作業(yè)的概率是多少？【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）首先確定3人拿作業(yè)的情況包含種可能，再求概率；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用對(duì)立事件求概率；（3）首先列舉基本事件，再求概率.【詳解】（1）由題意可知，每個(gè)學(xué)生恰好拿到自己作業(yè)的概率；（2）3個(gè)學(xué)生不都拿到自己作業(yè)的概率；（3）三個(gè)學(xué)生分別設(shè)為，則每個(gè)學(xué)生拿的都不是自己的作業(yè)包含的基本事件是或，共2個(gè)基本事件，所以每個(gè)學(xué)生拿都不是自己作業(yè)的概率.19.古人云：“腹有詩(shī)書氣自華.”為響應(yīng)全民閱讀，建設(shè)書香中國(guó)，校園讀書活動(dòng)的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計(jì)學(xué)生一周課外讀書的時(shí)間，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了他們一周課外讀書時(shí)間（單位：）的數(shù)據(jù)如下：一周課外讀書時(shí)間/合計(jì)頻數(shù)46101214244634頻率0.020.030.050.060.070.120.250.171（1）根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù)，求，，的值并估算一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù).（2）如果讀書時(shí)間按，，分組，用分層抽樣的方法從名學(xué)生中抽取20人.①求每層應(yīng)抽取的人數(shù)；②若從，中抽出的學(xué)生中再隨機(jī)選取2人，求這2人不在同一層的概率.【答案】（1），，，中位數(shù)；（2）①三層中抽取的人數(shù)分別為2，5，13；②【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方表的性質(zhì)，即可求得，得到，，再結(jié)合中位數(shù)的計(jì)算方法，即可求解.（2）①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人，根據(jù)抽樣比，求得在三層中抽取的人數(shù)；②由①知，設(shè)內(nèi)被抽取學(xué)生分別為，內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為，利用列舉法得到基本事件的總數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，可得，所以，.設(shè)一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù)為小時(shí)，則，解得，即一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù)約為小時(shí).（2）①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人，抽樣比為，又因?yàn)椋?，的頻數(shù)分別為20，50，130，所以從，，三層中抽取的人數(shù)分別為2，5，13.②由①知，在，兩層中共抽