2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章勾股定理專題二利用勾股定理解決最短路徑問(wèn)題習(xí)題課件新版北師大版

北師版八年級(jí)上第一章勾股定理專題二利用勾股定理解決最短路徑問(wèn)題一、依據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”求最小距離【高分秘籍】遇到不在同一直線上的兩條變化的線段，且欲

求它們的和的最小值時(shí)，常需要將其轉(zhuǎn)化到同一直線上，利

用“兩點(diǎn)之間線段最短”來(lái)確定線段，并構(gòu)建直角三角形，

運(yùn)用勾股定理來(lái)解答.123456781.

如圖，一探險(xiǎn)者在某海島探寶，登陸后，從

A

點(diǎn)出發(fā)，先往東走了8千米，又往北走了2千米，又向西走了3千米，再又向北走了6千米，往東一拐，僅走了1千米就在

B

點(diǎn)處找到了寶藏，試問(wèn)：他走的是最近的路嗎？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)路線長(zhǎng)；如果不是，請(qǐng)?jiān)趫D上畫出最近的路線，并

求出最近的路線長(zhǎng).【解】他走的不是最近的路.最近的路線如圖所示.過(guò)點(diǎn)

B

作

BC

⊥

AD

，易知

AC

＝6千米，

BC

＝8千米.由勾股定理得：

AB2＝62＋82＝100，所以

AB

＝10千米.所以最近的路線長(zhǎng)為10千米.123456782.

[新考法對(duì)稱找點(diǎn)法]如圖，直線

l

是一條河，

A

，

B

兩地

到

l

的距離

AC

和

BD

分別為5

km，7

km，且

CD

＝5

km，

欲在

l

上的某點(diǎn)

M

處修建一個(gè)水泵站，向

A

，

B

兩地供

水，求鋪設(shè)最短的管道長(zhǎng).12345678【解】如圖，作點(diǎn)

A

關(guān)于直線

l

的對(duì)稱點(diǎn)

E

，連接

BE

，

交

l

于點(diǎn)

M

，連接

AM

，

MA

＋

MB

的值即為所求最短管

道長(zhǎng).12345678因?yàn)?/p>

MA

＝

ME

，所以

MA

＋

MB

＝

ME

＋

MB

＝

BE

，則

線段

BE

的長(zhǎng)度即為所求，過(guò)

E

作

EF

∥

CD

，交

BD

的延

長(zhǎng)線于

F

，由題易知，

EF

＝

CD

＝5

km，

BF

＝

BD

＋

DF

＝

BD

＋

AC

＝7＋5＝12(km)，所以

BE2＝

EF2＋

BF2

＝52＋122＝169，所以

BE

＝13

km.故鋪設(shè)最短的管道長(zhǎng)

是13

km.12345678二、依據(jù)“垂線段最短”來(lái)求最小距離【高分秘籍】遇到“點(diǎn)到直線的最短距離”問(wèn)題時(shí)，常要利

用“垂線段最短”來(lái)確定最短的路徑，并構(gòu)建直角三角形，

運(yùn)用勾股定理來(lái)解答.123456783.

如圖，小明在某泳池沿泳道

l

練習(xí)游泳，點(diǎn)

A

處有一個(gè)攀

梯.游了一段時(shí)間后，小明到達(dá)

B

處.已知

BD

＝14米，

AD

＝13米，

AB

＝15米，求攀梯

A

到泳道

l

的最近距離.12345678【解】過(guò)點(diǎn)

A

作

BD

的垂線，垂足為

C

，則

AC

的長(zhǎng)是攀

梯

A

到泳道

l

的最近距離.設(shè)

BC

＝

x

米，則

CD

＝(14－

x

)

米，根據(jù)題意，可得

AB2－

BC2＝

AD2－

CD2，所以152－

x2＝132－(14－

x

)2，解得

x

＝9.所以

AC2＝

AB2－

BC2＝152－92＝144.所以

AC

＝12米.答：攀梯

A

到泳道

l

的最近距離為12米.123456784.

[情境題·生活應(yīng)用2024西安第三中學(xué)期末]如圖，某小區(qū)有

兩個(gè)噴泉

A

，

B

，兩個(gè)噴泉的距離為125

m.現(xiàn)要為噴泉鋪

設(shè)供水管道

AM

，

BM

，供水點(diǎn)

M

在小路

AC

上，供水點(diǎn)

M

到

AB

的距離

MN

的長(zhǎng)為60

m，

BM

的長(zhǎng)為75

m.(1)求供水點(diǎn)

M

到噴泉

A

，

B

需要鋪設(shè)的管道總長(zhǎng)；12345678【解】在Rt△

MNB

中，

BN2＝

BM2－

MN2＝752－602＝2

025，所以

BN

＝45

m.所以

AN

＝

AB

－

BN

＝125－45＝80(m).在Rt△

AMN

中，

AM2＝

AN2＋

MN2＝802＋602＝10

000，所以

AM

＝100

m.所以供水點(diǎn)

M

到噴

泉

A

，

B

需要鋪設(shè)的管道總長(zhǎng)為100＋75＝175(m).12345678(2)求噴泉

B

到小路

AC

的最短距離.【解】因?yàn)?/p>

AB

＝125

m，

AM

＝100

m，

BM＝75

m，所以

AB2＝

BM2＋

AM2，所以△

ABM

是直角三角形，所以

BM

⊥

AC

，所以噴泉

B

到小路

AC

的最短距離是

BM

＝75

m.12345678三、將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形求最短距離【高分秘籍】在立體圖形上找最短距離，通常要把立體圖形

轉(zhuǎn)化為平面圖形，在平面圖形中構(gòu)建直角三角形，運(yùn)用勾股

定理來(lái)解答.123456785.

[2024龍巖月考]如圖，有一圓柱形油罐，要從

A

點(diǎn)環(huán)繞油

罐側(cè)面搭梯子，正好到

A

點(diǎn)正上方的

B

點(diǎn).梯子最短需要

多少米？(已知油罐底面的周長(zhǎng)是12

m，高

AB

是5

m)12345678【解】油罐的側(cè)面展開圖如圖所示.因?yàn)锳A'＝12

m，A'B'＝

AB

＝5

m，所以AB'2＝AA'2＋A'B'2＝122＋52＝169.所以AB'＝13

m.答：梯子最短需要13

m.123456786.

如圖，圓柱形容器的高為120

cm，底面周長(zhǎng)為100

cm，在

容器內(nèi)壁離容器底部40

cm的點(diǎn)

B

處有一蚊子，此時(shí)一只

壁虎正好在容器外壁，離容器上沿40

cm與蚊子相對(duì)的點(diǎn)

A

處，求壁虎捕捉蚊子的最短距離.12345678【解】如圖，將容器側(cè)面的一半展開，作

A

關(guān)于

EC

的對(duì)

稱點(diǎn)A'，連接A'B交

EC

于

F

，連接

AF

，易知

AF

＝A'F，所以

AF

＋

FB

＝A'F＋

FB

＝A'B，易知A'B的長(zhǎng)即為最短距離.過(guò)點(diǎn)A'作A'D⊥

BC

交

BC

延長(zhǎng)線于

D

，由題易得，A'D＝50

cm，

BD

＝120

cm，在Rt△A'DB中，A'B2＝A'D2＋

BD2＝502＋1202＝16

900，

所以A'B＝130

cm.故壁虎捕捉蚊子的最短距離為130

cm.123456787.

[母題教材P15習(xí)題T4

2024廣州月考]一只螞蟻沿圖①中立

方體的表面從頂點(diǎn)

A

爬到頂點(diǎn)

B

，圖②是圖①立方體的表

面展開圖，設(shè)立方體的棱長(zhǎng)為1.(1)在圖②中標(biāo)出點(diǎn)

B

的位置.【解】如圖所示.(答案不唯一)12345678(2)若螞蟻從點(diǎn)

A

到點(diǎn)

B

爬行的最短路徑長(zhǎng)為

m

，求

m2.【解】如圖，連接

AB

，因?yàn)榱⒎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以

AC

＝2，

BC

＝1，所以

m2＝

AB2＝12＋22＝5.123456788.

[新考法展開法]

如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為2米，寬為1米的長(zhǎng)方

形草地上，放著一根長(zhǎng)方體木塊，它較長(zhǎng)的棱和草地寬

AD

平行且長(zhǎng)度大于

AD

長(zhǎng)，木塊從正面看是邊長(zhǎng)為0.2米

的正方形，求螞蟻從點(diǎn)

A

處開始，到達(dá)

C

處時(shí)走的最短路